NÅGRA TILLÄMPNINGAR AV DUBBELINTEGRALER I MEKANIKEN Tillämpningar av dubbelintegraler. Mekanik

(1)

Sida 1 av 7

NÅGRA TILLÄMPNINGAR AV DUBBELINTEGRALER I MEKANIKEN

Koordinaterna för tyngdpunkten för ett plant område

𝑥𝑥_𝑐𝑐= 1

𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(𝐷𝐷) � 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥

𝐷𝐷

𝑥𝑥𝑐𝑐 = 1

𝐷𝐷

Yttröghetsmoment för ett plant område

𝐼𝐼𝑥𝑥 = � 𝑥𝑥²𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥

𝐷𝐷

[Yttröghetsmoment med avseende på x − axeln]

𝐼𝐼𝑦𝑦= � 𝑥𝑥²𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥

𝐷𝐷

[Yttröghetsmoment med avseende på y − axeln]

𝐼𝐼0= 𝐼𝐼𝑥𝑥+ 𝐼𝐼𝑦𝑦= � 𝐴𝐴²𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥

𝐷𝐷

= � 𝐴𝐴³𝑥𝑥𝐴𝐴𝑥𝑥𝑑𝑑

𝐷𝐷

[Yttröghetsmoment kring origo (polär tröghetsmoment)]

Exempel 1

För området D = triangeln OAB bestäm a) Tyngdpunkten

b) Yttröghetsmoment med avseende på x − axeln c) Yttröghetsmoment med avseende på y − axeln d) Yttröghetsmoment kring origo

Lösning:

a) Tyngdpunkten . Vi använder formlerna

(2)

Sida 2 av 7

𝐷𝐷

𝑥𝑥_𝑐𝑐 = 1

𝐷𝐷

𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(𝐷𝐷) = (1 ∙ 2)/2 = 1

� 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥

𝐷𝐷

= � 𝑥𝑥𝑥𝑥 �^{−2𝑥𝑥+2}𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥

0 1

0 = � (−2𝑥𝑥¹ ²+ 2𝑥𝑥)𝑥𝑥𝑥𝑥

0 … = 1/3

𝐷𝐷

= � 𝑥𝑥𝑥𝑥 �^{−2𝑥𝑥+2}𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥

0 1

0 = � (2𝑥𝑥¹ ²− 4𝑥𝑥 + 2)𝑥𝑥𝑥𝑥

0 = ⋯ = 2/3

Därför

𝐷𝐷

=1 1 ∙

1 3 =

1 3 och

𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(𝐷𝐷)� 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥

𝐷𝐷

=1 1∙2

3=2 3

Svar a: T=( 1/3, 2/3)

Anmärkning: Tyngdpunkten för en triangel med hörn i punkterna

( , ) x y

₁ ₁ ,

( , ) x y

₂ ₂

och ( , ) x y

₃ ₃ kan vi enklast bestämma med hjälp av den kända formeln:

1 2 3

, y

1 2 3

3 3

c

x x x

c

y y y

x = + + = + +

.

För ovanstående fall har vi ¹ ² ³

0 1 0 1 , y

¹ ² ³

0 0 2 2

3 3 3 3 3 3

c

x x x

c

y y y

x = + + = + + = = + + = + + =

b) Yttröghetsmoment med avseende på x − axeln

𝐼𝐼𝑥𝑥 = � 𝑥𝑥²𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥

𝐷𝐷

= � 𝑥𝑥𝑥𝑥 �^{−2𝑥𝑥+2}𝑥𝑥²𝑥𝑥𝑥𝑥

0 1

0 = � �𝑥𝑥³

3 �₀

−2𝑥𝑥+2 1 𝑥𝑥𝑥𝑥

0 =

� (−2𝑥𝑥 + 2)³

3 𝑥𝑥𝑥𝑥

1

0 = � −8𝑥𝑥³+ 24𝑥𝑥²− 24𝑥𝑥 + 8

3 𝑥𝑥𝑥𝑥

1

0 =

1 3 �−8

𝑥𝑥⁴ 4 + 24

𝑥𝑥³ 3 − 24

𝑥𝑥² 2 + 8𝑥𝑥�₀

1

=2 3

Anmärkning: (−2𝑥𝑥 + 2)³= (−2𝑥𝑥 + 2)(−2𝑥𝑥 + 2)²= ⋯ = −8𝑥𝑥³+ 24𝑥𝑥²− 24𝑥𝑥 + 8 Alternativt kan man använda formeln

(𝐴𝐴 + 𝑏𝑏)³= 𝐴𝐴³+ 3𝐴𝐴²𝑏𝑏 + 3𝐴𝐴𝑏𝑏²+ 𝑏𝑏³

(3)

Sida 3 av 7

Svar b) 𝐼𝐼_𝑥𝑥 =²₃

c) Yttröghetsmoment med avseende på y − axeln

𝐼𝐼𝑦𝑦= � 𝑥𝑥²𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥

𝐷𝐷

= � 𝑥𝑥𝑥𝑥 �^{−2𝑥𝑥+2}𝑥𝑥²𝑥𝑥𝑥𝑥

0 1

0 = � [𝑥𝑥¹ ²𝑥𝑥]_𝑦𝑦=0𝑦𝑦=(−2𝑥𝑥+2)𝑥𝑥𝑥𝑥

0 =

� 𝑥𝑥¹ ²(−2𝑥𝑥 + 2)𝑥𝑥𝑥𝑥

0 = � (−2𝑥𝑥¹ ³+ 2𝑥𝑥²)𝑥𝑥𝑥𝑥

0 = �−2𝑥𝑥⁴

4 + 2 𝑥𝑥³

3 �₀

1

=1 6.

Svar c) 𝐼𝐼𝑦𝑦=¹₆

d) Yttröghetsmoment kring origo 𝐼𝐼₀= 𝐼𝐼_𝑥𝑥+ 𝐼𝐼_𝑦𝑦=⁵₆

Svar d) 𝐼𝐼₀=⁵₆

Exempel 2.

Bestäm tyngdpunkten för nedanstående område D.

Lösning:

Vi använder formlerna 𝑥𝑥𝑐𝑐=𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(𝐷𝐷)¹ ∬ 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥_𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑐𝑐=𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(𝐷𝐷)¹ ∬ 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥_𝐷𝐷

4 4

) 1

( D = π r

²

= π Arean

𝐷𝐷

= (𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝ä𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑘𝑘𝑝𝑝𝑝𝑝𝐴𝐴𝑥𝑥𝑘𝑘𝐴𝐴𝐴𝐴𝑘𝑘𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑥𝑥 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝑝𝑝𝜌𝜌𝑑𝑑, 𝑥𝑥 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝑘𝑘𝐴𝐴𝑑𝑑, 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝜌𝜌𝑥𝑥𝜌𝜌𝑥𝑥𝑑𝑑 )

= � 𝜌𝜌𝜌𝜌𝑝𝑝𝜌𝜌𝑑𝑑 ∙ 𝜌𝜌𝑥𝑥𝜌𝜌𝑥𝑥𝑑𝑑

𝐷𝐷

= � 𝑥𝑥𝑑𝑑 � 𝜌𝜌²𝜌𝜌𝑝𝑝𝜌𝜌𝑑𝑑 𝑥𝑥𝜌𝜌

1 0 𝜋𝜋/4

−𝜋𝜋/4

=

(4)

Sida 4 av 7

= � 1

3 𝜌𝜌𝑝𝑝𝜌𝜌𝑑𝑑 𝑥𝑥𝑑𝑑

𝜋𝜋/4

−𝜋𝜋/4

= �1 3 𝜌𝜌𝑘𝑘𝐴𝐴𝑑𝑑 �

𝜋𝜋/4

−𝜋𝜋/4 =√2 3

Därför

𝐷𝐷

= 4 π ∙

√2 3 =

4√2 3π

På liknande sätt beräknar vi

𝑥𝑥𝑐𝑐 =𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(𝐷𝐷)¹ ∬ 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥_𝐷𝐷 =⁴_π ∬ 𝜌𝜌𝜌𝜌𝑘𝑘𝐴𝐴𝑑𝑑 ∙ 𝜌𝜌𝑥𝑥𝜌𝜌𝑥𝑥𝑑𝑑_𝐷𝐷 =⁴_π∫_{−𝜋𝜋/4}^𝜋𝜋/4 𝑥𝑥𝑑𝑑 ∫ 𝜌𝜌₀¹ ²𝜌𝜌𝑘𝑘𝐴𝐴𝑑𝑑 𝑥𝑥𝜌𝜌= … = 0

Svar: T= (^4√2_3π , 0) Exempel 3.

Bestäm tyngdpunktskoordinaterna

( x

_c

, y

_c

)

för området D som definieras av

1 0

0 ,

0 ≥ ≤

²

+

²

≤

≥ y och x y

x

^.

Lösning:

Vi använder formlerna:

∫∫

=

D

c

x dxdy

D Arean

x ( )

1

_,

∫∫

=

D

c

y dxdy

D Arean

y ( )

1

Området D är en cirkelsektor med radien 1 och befinner sig i den första kvadranten.

4 4

) 1

( D = π r

²

= π

Arean

.

Polära koordinater skall användas i detta fall:

_x = _r cos θ , _y = _r sin θ , _dxdy = _rdrd θ

.

Gränser:

0 1

0 ≤ θ ≤ π 2 och ≤ r ≤

(5)

Sida 5 av 7

[ ]

3 1 sin 3

cos cos

1 0 3 02 1

0 2 2

0 2

0 1 0

 =



 



= 

=

⋅

= ∫ ∫ ∫ ∫

∫∫ ^x ^dxdy ^d ^r ^rdr ^d ^r ^dr ^r

D

π π

π

θ θ

θ

.

Därför

π

π 3

4 3 1 4 )

(

1 = ⋅ =

= ∫∫

D

c

x dxdy

D Arean

x

.

På grund av symmetrin gäller

y

_c

= x

_c

= ₃ ⁴ π

^.

Om man inte märker detta då får man samma resultat genom att beräkna

[ ]

3 1 cos 3

sin

1 0 3 02 1

0 2 2

0

 =



 



− 

=

= ∫ ∫

∫∫ ^y ^dxdy ^d ^r ^dr ^r

D

π π

θ θ

θ

och därmed

π

π 3

4 3 1 4 )

(

1 = ⋅ =

= ∫∫

D

c

y dxdy

D Arean

y

.

Svar: T=(

3 π 4

_,

3 π 4

₎

Exempel 4. Området D som definieras av

x ≥ 0 , 0 ≤ y ≤ x och 0 ≤ x

²

+ y

²

≤ 4

. Bestäm: Tyngdpunkten

a) Tyngdpunkten

b) Yttröghetsmoment med avseende på x-axeln c) Yttröghetsmoment med avseende på y-axeln d) Yttröghetsmoment kring origo.

Lösning:

Området D är en cirkelsektor i den första kvadranten (en åttonde del av cirkeln med radien =2).

Vi använder polära koordinater:

_x = _r cos θ , _y = _r sin θ , _dxdy = _rdrd θ

Gränser i polära koordinater:

0 2

0 ≤ θ ≤ π 4 och ≤ r ≤

a) Tyngdpunkten:

(6)

Sida 6 av 7

Arean = (en åttonde del av cirkeln med radien =2)=

2 8 2

²

π ₌ π

[ ]

3 2 4 3 8 2

2 sin 3

cos cos

2 0 3 04

2 0 4 2

0 2

0 4

0

=

⋅

 =



 



⋅ 

=

⋅

= ∫ ∫ ∫ ∫

∫∫

r

dr r d dr

r r

d dxdy x

D

π

π π

θ

θ θ θ

θ

.

Därför

1 . 200

3 2 8 3

2 4 2 )

(

1 = ⋅ = ≈

= ∫∫ _π _π

D

c

x dxdy

D Arean

x

.

[ ] )

2 1 2 3 ( 8 cos 3

sin sin

2 0 4 3

0

2 0 4 2

0 2

0 4

0

−

 =



 



⋅ 

−

=

⋅

= ∫ ∫ ∫ ∫

∫∫

r

dr r d rdr

r d dxdy y

D

π

π π

θ

θ θ θ

θ

Därmed

0.497 3 2 8 ) 16 2 1 2 3 ( ) 16 2 1 2 3 ( 8 2 )

(

1 − ≈

=

−

=

−

⋅

=

= ∫∫ _π _π _π

D

c

y dxdy

D Arean

y

.

Svar a) T=(

3 π 2 8

_,

3 π 2 8 16 −

₎

b) Yttröghetsmoment med avseende på x-axeln

=

⋅

=

= ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

²

0 4 3

0 2 2

0 4 2 0

2

dxdy d ( r sin ) rd sin d r dr

y I

D x

π π

θ θ θ

θ θ

(Vi använder formeln

2 ) 2 cos(

sin

²

θ = 1 ⁻ θ

.)

2 1 4 ) 0 0 ( 2 )

4 ) 2 sin(

( 4 2 1 4 2

) 2 sin(

2 1 2

) 2 cos(

1

²

0 4 4

0 4

0

2 0

3

⋅ = −



 







 





−

⋅ −

−

 =



 



⋅ 

 

 



 



 

  −

− =

∫ ∫ ^π

π π θ θ

θ θ

^π

π

dr r r d

Svar b)

1 2 − π

c) Yttröghetsmoment med avseende på y-axeln

=

⋅

=

= ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

²

0 4 3

0 2 0

4 2 0

2

dxdy d ( r cos ) rdr cos d r dr

x I

D y

π π

θ θ θ

θ

(Vi använder formeln

2 ) 2 cos(

cos

²

θ = 1 ⁺ θ

.)

(7)

Sida 7 av 7

4 0 2

0 2 4

0 4 3

0 2

0 4 3

0 2

2 ) 2 sin(

2 1 4 2

) 2 cos(

cos 1

π π π

θ θ θ θ

θ

θ  

 



 



 

  +

 ⋅



 



= 

= ∫ + ∫

∫

∫ ^d ^r ^dr ^d ^r ^dr ^r

2 1 ) 0 0 ( 2 )

4 ) 2 sin(

( 4 2

4 1 = +



 







 





−

⋅ − +

⋅

= π π

π

Svar c)

1 2 + π

d)

Yttröghetsmoment kring origo ( polär tröghetsmoment) är

∫∫ =

D

drd

r

³

θ [ ] ^θ

^π

^π ^π

π

=

 ⋅



 



== 

∫

∫ ₄

⁰⁴

¹⁶ ₄ ₄

2 0 2 4

0 4 3 0

dr r

r .

Svar d)

π

Alternativ: Eftersom vi redan har beräknat I och

_x

I

_y

kan vi beräkna yttröghetsmoment kring origo enligt

π π π ₋ ₊ ₊ ₌

= +

= 1

1 2

0

I

x

I

y

2 I

^.

Svar d)

π

NÅGRA TILLÄMPNINGAR AV DUBBELINTEGRALER I MEKANIKEN Tillämpningar av dubbelintegraler. Mekanik

Sida 1 av 7