Tentamensskrivning i SF1610 Diskret Matematik för CINTE 27 maj 2020,

(1)

Sida 1 av 10 Matematiska Institutionen, KTH

Tentamensskrivning i SF1610 Diskret Matematik för CINTE 27 maj 2020,

LÖSNINGSFÖRSLAG

Examinator: Armin Halilovic, tel 08 790 4810

Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.

Tentamen består av 10 frågor i tre delar.

Totalsumma poäng vid denna tentamensskrivning, för alla tre delar, är 37p

OBS:: En komplett lösning med fullständiga motiveringar krävs för alla uppgifter.

Betygsgränser:

13 poäng totalt eller mer ger minst omdömet Fx 15 poäng totalt eller mer ger minst betyget E 18 poäng totalt eller mer ger minst betyget D 22 poäng totalt eller mer ger minst betyget C 27 poäng totalt eller mer ger minst betyget B 32 poäng totalt eller mer ger betyget A Under hela skrivningen ska du vara synlig i Zoom.

Parametrarna p och q i nedanstående uppgifter är sista två siffror i ditt personnummer.

T ex: Om ditt personnummer är 751332 2248 så är p= 4 och q=8.

---

DEL I

Var och en av nedanstående fem uppgifter svarar mot en kontrollskrivning. Godkänt resultat på kontrollskrivning nr i under vårterminen 2019 ger automatiskt full poäng på uppgift nr i.

Att lösa en uppgift som man på detta sätt redan har till godo ger inga extra poäng.

1. (3p) Bestäm samtliga heltalslösningar (x,y) till den diofantiska ekvationen

(q+3)x+(10−q y) = − +q2 7q+30.

OBS. En komplett lösning med fullständiga motiveringar skall ges.

Lösning för q=9:

Ekvationen blir 12x y+ =12

Härav d=SGD(12,1)=1 ( som vi kan inse direkt eller använda Euklides algoritm) Eftersom d| 12 är ekvationen lösbart.

Vi kan uppenbart ( i det här fallet) skriva 12*0+1*12=12.

En lösning är därför x0= 0 och y0=12.

Alla lösningar till en lösbar diofantisk ekvationen ax+by=c får vi med följande formel

(2)

Sida 2 av 10 d k

x b

x= ₀ + , k

d y a

y= ₀ − , (*) ,

där d SGD a b= ( , ). (Alternativ: x x₀ bk

= −d , y y₀ ak

= +d ) . Därför är den allmänna lösningen

x= +0 k , y=12 12− k, (*) , där k är ett heltal.

(Alternativ: x= −k , y=12 12+ k)

Svar: x k= , y=12 12− k, där k är ett heltal.

Anmärkning: För start värde x0, y 0 kan vi använda vilken som lösning till ekvationen.

Exempelvis x0= 1 och y0=0 ger x= +1 k , y= −0 12k,

Rättningsmall: Korrekt en lösning ger +1p +1p för korrekt x= +1 k (eller ekvivalent) +1p för korrekt y= −12k, (eller ekvivalent)

Q = 0, ekvationen: 3*x+10*y = 30 , SGD(a,b)= 1, Lösning:{x = 10-10*k, y = 3*k}

Q = 4, ekvationen: 7*x+6*y = 42 , SGD(a,b)= 1, Lösning:{x = 6*k, y = 7-7*k}

Q = 9, ekvationen: 12*x+y = 12 , SGD(a,b)= 1, Lösning:{x = k, y = 12-12*k}

2. (3p) Bestäm antalet heltal n, där 100+ ≤ ≤p n 200+p, som är delbara med minst ett av talen 3 eller 4.

Lösning för p=9.

Vi ska bestämma antalet heltal n, där 109≤ ≤n 209, som är delbara med minst ett av talen 3 eller 4.

Vi använder principen om inklusion och exklusion.

Vår grundmängd är U={109,110, …208,209}.

Vi inför följande beteckningar:

A: mängden av de tal n, där 109≤ ≤n 209 som är delbara med 3.

B: mängden av de tal n, där 109≤ ≤n 209som är delbara med 4.

Unionen A ∪Bomfattar alla tal som ligger i minst en av mängderna A,B. (Med andra ord

(3)

Sida 3 av 10

består unionen av heltal n, där 109≤ ≤n 209 som är delbara med minst ett av talen 3 eller 4.

Låt |M| beteckna antalet element i en mängd M.

Enligt principen om inklusion och exklusion har vi

|

|A∪B = A + B − A∩B

|A| dvs antalet heltal mellan 109 och 209 som är delbara med 3 är

209 108 69 36 33

3 3

  − = − =

   

    .

|B| är 209 108 52 27 25

4 4

  − = − =

   

    .

|

|A ∩B dvs antalet heltal i intervallet 109≤ ≤n 209 som är delbara med både 3 och 4 och därmed med 12 är 209 108 17 9 8

12 12

  − = − =

   

    .

Slutligen: |A∪B|=|A|+|B|−|A∩B| =33+25–8=50.

Rättningsmall:

1p för korrekt exklusion/inklusion formel

2p för korrekt exklusion/inklusion formel och dessutom korrekta värden |A|, |B| och |A∩B| 3p om allt är korrekt.

Lösning för p=9

3. (3p) Låt n= 5p+15. Vi betraktar gruppen G=( Zn, + ) a) Bestäm en delgrupp H till G så att |H|= p+3.

b) Bestäm alla sidoklasser till H.

c) Bestäm ett element i gruppen ( Zn, + ) som har ordning 5.

Lösning (för fallet p= 9):

Vi har n=5∙9+15 =60. Vi betraktar gruppen G=( Z60+ ) Vi ska välja en delgrupp H så att |H|=9+3= 12.

Låt H vara den cykliska delgruppen som genereras av element 5.

Då innehåller H följande element: 0, 5, 5+5=10, 5+5+5, 5+5+5+5… , 55.

Alltså H={0,5,10, …55} och är den sökta delgruppen med 12 element.

a) Svar: H={0,5,10, …55}

a) Svar i allmänt fall: H är den delgruppen som genereras av talet 5, dvs H=<5>.

b) Lösning (för p= 9):

Det finns 5 olika sidoklasser till H:

H+0= H={0,5,10,…,55}, H+1 ={1,6,11,…,56} , H+2 ={2,7,…, 57}, H+3={3,8,…, 58} och H+4={4,9,…, 59}

b) Svar i allmänt: H, H+1 , H+2, H+3 och H+4 c) Lösning (för p= 9):

(4)

Sida 4 av 10

Vi ska bestämma ett element i gruppen ( Z60, + ) som har ordning 5.

Låt a=12. Då gäller 12+12 =24, … 12+12+12+12+12 =0 (i gruppen ( Z60, + )) . Alltså har a=12 ordning 5.

c) Svar: 12.

c) Svar i allmänt: p+3.

Rättningsmall 1 p för varje del

4. (3p)

Låt A= (p mod 2)

a) Bestäm alla kodord som definieras av checkmatrisen 1 0 0 1 1

1 0 1 1

0 1 1 1 1

H A

 

 

=  

 

 

.

b) Bestäm minimala distansen mellan två kodord i ovanstående koden.

Lösning för A=0 a)

1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 H

 

 

=  

 

 

.

För att få alla kodord ( , , , , )x x x x x löser vi homogena systemet (vi räknar mod 2): ₁ ₂ ₃ ₄ ₅

1 2 3 4 5

1 0 0 1 1 0

1 0 1 0 1 0

0 1 1 1 1 0

x x

H x

x x

  

    

   

=    =   

  

.

Vi använder Gausselimination.

1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0

1 0 1 0 1 0 ~ ( 1 2) 0 0 1 1 0 0 ~

0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0

R R

   

  +  

   

   

1 0 0 1 1 0 byta pl. R2,R3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0

 

 

 

Härav får vi tre ledandevariabler x x x₁, ,₂ ₃och två fria variabler x x₄, ₅. Vi löser ut ledande

(5)

Sida 5 av 10 variabler och får

3 4

x = x , x₂ =x₅ och x₁=x₄+x₅

För varje av de fria variabler har vi två möjligheter 0 eller 1 (tabell A). Därmed får vi 4 kodord tabell B).

Tabell A: Tabell B:

1 2 3 4 5

( , , , , ) 0 0 0 1 1 0 1 1 x x x x x

1 2 3 4 5

( , , , , ) 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 x x x x x

Svar för A=0

a) Koden innehåller 4 ord

(0,0,0,0,0), (1,1,0,0,1), (1,0,1,1,0), (0,1,1,1,1) b) Kodens minimala distans är 3.

Rättningsmall:

a) 1 poäng för korrekt lösning till systemet ( i vårt fall: x₁=x₄ +x₅ , x₂ = x₅ , x₃=x₄ ).

2 poäng om allt är korrekt.

b) Korrekt svar ger 1p.

Svar för A=1

System: x₁ =x₄+x₅ , x₂ =x₄ +x₅ , x = ₃ 0 a) Koden innehåller 4 ord

(0,0,0,0,0), (1,1,0,0,1), (1,1,0,1,0), (0,0,0,1,1) b) Kodens minimala distans är 2.

5. (3p) Rita en sammanhängande graf sådan att antalet kanter är ≥ (p+5) a) som är eulersk men inte hamiltonsk graf

b) som är hamiltonsk graf men inte eulersk graf c) som är varken eulersk eller hamiltonsk graf.

(6)

Sida 6 av 10 Lösning:

a) (Ett exempel)

Eulersk (jämna grader i alla noder)

men inte hamiltonsk graf . (Oavsett hur vi vandrar genom alla noder då måste vi passera nod P minst två gånger.

P

b) Hamiltonsk graf men inte eulersk

( Om vi vandrar runt yttre kanter får vi en hamiltoncykel.

Det finns 4 noder med udda grader medför att grafen inte är eulersk)

c) En sammanhängande graf som är varken eulersk eller hamiltonsk graf.

(Ej eulersk graf eftersom vi har noder med udda grader.

Ej hamiltonsk eftersom om vi går genom alla noder måste vi passera noden P flera gånger.)

P

Rättnings mall:

a) 1 poäng för varje del

DEL II

(7)

Sida 7 av 10 6. (4p)

Bevisa med hjälp av den matematiska induktionen att talet

3

2 3ⁿ

27 9

ⁿ

( 1) (40 27) q ⋅

⁺

+ ⋅ + q + ⋅ n −

är delbart med 64 för alla heltal n ≥0.

OBS. Du får 0 poäng om du inte använder induktionsbevis.

Lösning:

För att förenkla beräkning faktoriserar vi uttrycket

2 3

2 3 2 3 2 3

3 27 9 ( 1) (40 27)

3 3 ( 1) (40 27)

( 1) (3 40 27)

n n

n

q q n

q n

+

+ +

+

⋅ + ⋅ + + ⋅ −

= ⋅ + + + ⋅ −

= + ⋅ + −

Vi ska bevisa att talet 3^{2 3}ⁿ⁺ +40n−27 är delbart med 64.

(Notera att man kan direkt gå till induktionsbevis, utan ovanstående faktorisering) a) (Induktionsbas)

För n=0 får vi talet 3^{0 3}⁺ +40 0 27 27 27 0⋅ − = − = vilket är delbart med 0.

Alltså gäller påståendet för n=0.

b) (Induktionssteg)

Antag att det för givet n gäller påståendet, P(n), dvs 32 3ⁿ⁺ +40n−27=64c (*) , där c är ett helt tal.

Vi vill visa att då gäller P(n+1) d v s att 32 5ⁿ⁺ +40(n+ −1) 27 = 64d för ett heltal d.

Från antagandet 3^{2 3}ⁿ⁺ +40n−27=64c har vi att 32 3ⁿ⁺ +40n−27=64c dvs

32 3ⁿ⁺ =64c−40n+27 (**) . Vi utvecklar vänsterledet i P(n+1)

2 5 2 2 3

3 ⁿ 40( 1) 27 3 3ⁿ 40( 1) 27 VL= ⁺ + n+ − = ⁺ + n+ − (Vi använder **)

3 (642 40 27) 40( 1) 27 9 64 9 40 9 27 40 40 27

9 64 320 8 5 8 27 9 64 320 8 32 9 64 64 5 64 4

64(9 5 4)

VL c n n c n n

c n c n c n

c n

= − + + + − = ⋅ − ⋅ + ⋅ + + −

= ⋅ − + ⋅ + ⋅ = ⋅ − + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅

= − +

(8)

Sida 8 av 10 Alltså P(n)⇒P(n+1)

Från a) och b) får vi, enligt den matematiska induktionen, att påståendet gäller för alla heltal 0

n≥ .

7. (4p)

a) (2p) Låt K= 7+ (p mod 2) Bestäm antalet ord av längd K som man kan bilda med hjälp av bokstäverna a, b, c ,d och e, och som är sådana att var och en av

bokstäverna a, b, c och d förekommer minst en gång i ordet, medan bokstaven e förekommer precis två gånger.

b) (2p) I en klass finns (20+q) studenter från Stockholm, 12 studenter från Uppsala och 14 studenter från Sundsval. Man vill välja ett lag som innehåller 7 studenter som inkluderar minst en student från varje av de tre städer.

Bestäm antalet sådana lag (med 7 studenter och minst 1 från varje stad) där antalet studenter från Stockholm är större än antalet studenter från Uppsala och Sundsval tillsammans.

Anmärkning: I uppgift 7 a,b får du använda fakultet, binomiska koefficienter och Stirlingtal i svaret.

a) Lösning för K=8:

Steg 1. Först väljer vi två platser för bokstaven e. Detta kan vi göra på 8 2

  

  sätt.

Steg 2. Därefter delar vi resterande 6 platser på bokstäverna a, b, c och d. Detta kan vi göra på 4! S(6,4) sätt, där S(6,4) är Stirlingstal.

Multiplikationsprincipen ger att antalet ord är 4! S(6,4)  8 2

  

 . Svar a :

För K=8 är antalet= 4! S(6,4)  8 2

  

  (= 43680).

För K=7 är antalet= 4! S(5,4)  7 2

  

  (=5040).

b) Lösning för q= 9.

Vi har (20+q)=29 studenter från Stockholm, 12 studenter från Uppsala och 14 studenter från Sundsval. I ett lag med 7 studenter är studenter från Stockholm i majoritet i följande (disjunkta) fall:

Exakt 4 studenter från Stockholm 1 från Uppsala, 2 studenter från Sundsval, 29 12 14

4 1 2

   

   

    olika sätt.

(9)

Sida 9 av 10 ---

Exakt 4 studenter från Stockholm 2 från Uppsala, 1 studenter från Sundsval:

Antalet sätt: 29 12 14

4 2 1

   

   

   

---

Exakt 5 studenter från Stockholm 1 från Uppsala, 1 studenter från Sundsval, Antalet sätt: 29 12 14

5 1 1

   

   

   

--- Totalt blir det:

29 12 14 29 12 14 29 12 14

4 1 2 4 2 1 5 1 1

           

+ +

           

           

Svar i allmänt fall : 20 12 14 20 12 14 20 12 14

4 1 2 4 2 1 5 1 1

q q q

+ + +

           

+ +

           

           

Rättningsmall för : 2 poäng för varje del .

8. (4p)

Ett RSA-krypto har parametern n = 143. Välj ett lämpligt krypteringsnyckel e där 12≤ ≤e 20+ . För detta e bestäm dekrypteringsnyckeln d. p

Kryptera ”medelandet” 2.

Lösning:

Först faktoriserar vi n =143 =1113

Nu bestämmer vi parametern m =1012=120.

Krypteringsnyckel, som vi ska välja i intervallet 12≤ ≤e 20+ , ska vara relativt prim med p m =120.

Här väljer vi t ex e =13 och bestämmer inversen i Z120. Vi löser diofantiska ekvationen

13x= +1 120y dvs 13x−120y= 1

och väljer den lösning som uppfyller 0< ≤x 119. Vi får x=37

Denna lösning är vår dekrypteringsnyckeln, alltså d=37.

För att kryptera meddelandet 2 beräknar vi 2 mod^e n =2 mod143¹³ = 41.

Svar (om e=13): d= 37, krypterade meddelandet är 41.

Svar (om e=17): d= 113, krypterade meddelandet är 84.

Svar (om e=19): d=19, krypterade meddelandet är 50.

(10)

Sida 10 av 10 Rättningsmall : 1p för faktorisering,

+1p för m=120 +1p för korrekt d,

+1p för krypterade meddelandet