Tentamen i Linjär algebra, HF1903

Sida 1 av 8

Tentamen i Linjär algebra, HF1903

Datum: 19 okt 2020 Skrivtid: 14:00-18:00

Lärare: Elias Said, Joakim Dahlfors Examinator: Armin Halilovic

För godkänt betyg krävs 10 av max 24 poäng.

Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) . Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten).

• Skriv TYDLIGT NAMN och PERSONNUMMER på varje blad, (speciellt tydligt på omslaget, eftersom tentorma skannas och automatiskt kopplas till namn/personnummer som finns på omslaget)

• Skriv endast på en sida av papperet.

• Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget.

• Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter. ( Endast svar utan tillhörande lösning ger 0 poäng.)

• Ange omslagsbladet klasstillhörighet : Klass A, Klass B eller Klass C eller Omregistrerad för enklare sortering.

• Denna tentamenslapp får ej behållas utan lämnas in tillsammans med lösningar.

--- Uppgift 1. (2p)

För vilket värde på parameter a har nedanstående system (med avseende på x, y och z) oändligt många lösningar. Lös systemet för detta värde på a.

2 3 7

2 4 8

1 x y z x y z x y az

+ + =

 + + =

 + + = −



Uppgift 2. (2p)

Låt  vara planet som går genom punkterna A=(1,1,1), B=(2,2,3) och C=(4,3,4).

Bestäm avståndet från punkten P=(1,0,1) till planet .

Uppgift 3. (3p) Bestäm volymen av pyramiden ABCD där A=(1,1,1), B=(2,2,3), C= (2,3,4) D=(3,4, 2)

Var god vänd.

Sida 2 av 8 Uppgift 4. (2p)

Bestäm en ekvation för planet som går genom följande två (parallella) linjer

1: ( , , ) (1,1,2) (1,2,1)

L x y z = +t och L₁: ( , , ) (1,2,3) (1,2,1)x y z = +t . Ange planets ekvation på formen ax+by+cz+d =0.

Uppgift 5. (2p) Låt L vara den räta linjen som går genom punkten (1,2,4) och som är vinkelrät mot planet Π: x+2y z+ =4 . Bestäm den punkt på linjen L som ligger närmast punkten M=(5,1,2).

Uppgift 6. (3p) Lös matrisekvationen (med avseende på Y)

1 3 1 2 1 2

2 3

2 7 1 3 1 0

Y  −   

+ =

  −   

     

Uppgift 7. (2p) Bestäm alla matriser X som uppfyller 2 3^{1 2}

[

]

2 3 X

 

  =

 

 

 

.

Uppgift 8. (3p) Bestäm avståndet mellan följande två plan

1: x y 2z 4

Π + + = och Π₂: x y+ +2z=6.

Uppgift 9. (3p)

Låt S vara spegelbilden av punkten P i linjen L. Linjens ekvation är

( , , ) (0,2,2) (1,2,2)x y z = +t . Bestäm spegelbilden S om punkten P =(6,0, 2)− .

P

S L

Uppgift 10. (2p) Bestäm x ur följande ekvation

2 2 2

1

1 0

1 a a b b x x

= .

Lycka till!

Sida 3 av 8

Lösningsförslag:

Uppgift 1. (2p)

För vilket värde på parameter a har nedanstående system (med avseende på x, y och z) oändligt många lösningar. Lös systemet för detta värde på a.

2 3 7

2 4 8

1 x y z x y z x y az

+ + =

 + + =

 + + = −



Lösning:

Detta system kan t.ex. lösas med totalmatris enligt

�2 3 1 1 2 4 1 1 𝑎𝑎� 7

−18 � ~ �1 2 4 2 3 1 1 1 𝑎𝑎� 8

−17 � ~ �1 2 4

0 −1 −7

0 −1 𝑎𝑎 − 4� 8

−9−9� ~ �1 2 4

0 1 7

0 0 𝑎𝑎 + 3�8 90�.

Oändligt många lösningar då 𝑎𝑎 = −3 vilket ger följande fortsättning på lösningen

�1 2 4 0 1 7 0 0 0�8

90� ~ �1 0 −10

0 1 7

0 0 0 �−10

90 �.

Sätt 𝑧𝑧 = 𝑡𝑡 ⇒ � 𝑦𝑦 + 7𝑡𝑡 = 9𝑥𝑥 − 10𝑡𝑡 = −10 ⇒ 𝑦𝑦 = 9 − 7𝑡𝑡 𝑥𝑥 = −10 + 10𝑡𝑡 Svar: 𝑥𝑥 = −10 + 10𝑡𝑡, 𝑦𝑦 = 9 − 7𝑡𝑡, z=t , där t R∈

Alternativ: �𝑥𝑥

𝑦𝑦𝑧𝑧� = �−10

90 � + 𝑡𝑡 �10

−71 � , där t R∈ . Rättningsmall:

Rätt a = – 3 ger 1p. Korrekt en av variablerna x eller y ger +1p.

Allt korrekt= 3p.

Uppgift 2. (2p)

Låt  vara planet som går genom punkterna A=(1,1,1), B=(2,2,3) och C=(4,3,4).

Bestäm avståndet från punkten P=(1,0,1) till planet .

Lösning:

Först skall planets ekvation bestämmas.

(1,1,2) (3,2,3) AB= och AC =

 

Planets normal ges via 1 1 2 ( 1,3, 1) 3 2 3

i j k

n AB AC= × = = − −

  

  

0 3 0

ax by cz d+ + + = ⇒ − +x y z d− + = (välj t. ex punkt A) ger d = − 1

: 3 1 0

Planetsekvation − +x y z− − =

Avståndet från punkten P till planet  ges via: d ax by cz d⁰ ₂ ⁰ ₂ ⁰₂ a b c

+ + +

= + + (formelbladet)

Sida 4 av 8

2 2 2

1 3 0 1 1 3 3 3 11

11 11 11 ( 1) 3 ( 1)

d = − + ⋅ − − = − = =

− + + −

Rättningsmall:

Rätt planets ekvation ger 1p. Resten rätt ger 1p.

Fel ekvation ger 0p.

Uppgift 3. (3p) Bestäm volymen av pyramiden ABCD där A=(1,1,1), B=(2,2,3), C= (2,3,4) D=(3,4, 2)

Lösning:

Först (1,1,2)

AB =

, AC =(1,2,3)

, AD =(2,3,1) 1 1 2

1 4 2

| ( ) | | 1 2 3 |

6 6 3

2 3 1 V =   AB AC AD× ⋅ = = = Svar: 2

3

Rättningsmall:

Korrekt metod=+1p Korrekt determinant +1p Allt korrekt=3p

Uppgift 4. (2p)

Bestäm en ekvation för planet som går genom följande två (parallella) linjer

1: ( , , ) (1,1,2) (1,2,1)

L x y z = +t och L₁: ( , , ) (1,2,3) (1,2,1)x y z = +t . Ange planets ekvation på formen ax+by+cz+d =0.

Lösning:

Båda linjernas har riktningsvektor 𝑣𝑣⃗ = (1,2,1) som ligger i planet. Vektorn mellan de två linjernas utgångspunkter, dvs 𝑢𝑢�⃗ = (1,2,3) − (1,1,2) = (0,1,1) ligger också i planet. En normalvektor 𝑛𝑛�⃗ till planet är ortogonal mot båda dessa och erhålls ur

𝑛𝑛�⃗ = 𝑣𝑣⃗ × 𝑢𝑢�⃗ = �𝑒𝑒⃗_𝑥𝑥 𝑒𝑒⃗_𝑦𝑦 𝑒𝑒⃗_𝑧𝑧

1 2 1

0 1 1� = � 1

−11 �.

Då kan planets ekvation skrivas 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 + 𝑑𝑑 = 0 där insättning av t.ex. (1,2,3) ger 1 − 2 + 3 + 𝑑𝑑 = 0 ⇒ 𝑑𝑑 = −2 så att 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 − 2 = 0.

Svar: 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 − 2 = 0 Rättningsmall:

Rätt en normalvektor ger 1p. Allt rätt =2p.

Sida 5 av 8

Uppgift 5. (2p) Låt L vara den räta linjen som går genom punkten (1,2,4) och som är vinkelrät mot planet Π: x+2y z+ =4 . Bestäm den punkt på linjen L som ligger närmast punkten M=(5,1,2).

Lösning:

Linjens ekvation är P P tr där P= ₀+  ₀ =(1,2,4)och r planets normal n=  =(1,2,1) dvs.

1 2 2 ,

4

x t

y t t

z t

 = +

 = + ∈ℜ

 = +



Punkten på linjen som ligger närmast punkten M är Q=( , , )x y z Vektorerna MQ

och r

är vinkelräta vilket ger

0 ( 5, 1, 2) (1,2,1) 0 5 2( 1) 2 0 MQ r = ⇒ x− y− z− = ⇒ x− + y− + − =z

 

 

2 9 0 (1 ) 2(2 2 ) (4 ) 9 0 6 0 0

x y z t t t t t

⇒ + + − = ⇒ + + + + + − = ⇒ = ⇒ =

Svar: Närmaste punkten till punkten M erhålls för t = är 0 Q=(1,2,4)=P₀ Rättningsmall:

Rätt linjens ekvation samt rätt ger 1p. Fel linjens ekvation ger 0p.

Allt rätt=2p

Uppgift 6. (3p) Lös matrisekvationen (med avseende på Y)

1 3 1 2 1 2

2 3

2 7 1 3 1 0

Y  −   

+ =

  −   

     

Lösning:

1

1 3 1 2 1 2 1 3 5 2

3 2

2 7 1 0 1 3 2 7 5 6

5 2 1 3 5 2 7 3

5 6 2 7 5 6 2 1

31 13 47 21

Y Y

Y Y

Y

−

    −     

= − ⇒ =

    −     − 

         

       − 

⇒ = −   ⋅  ⇒ = −   ⋅ − 

 − 

⇒ =  − 

Svar: 31 13

47 21

Y  − 

=  − 

Rättningsmall: Korrekt till 1 3 5 2

2 7 5 6

Y    = −  ger 1p Korrekt inversen ger +1p

Allt korrekt=3p

Sida 6 av 8

Uppgift 7. (2p) Bestäm alla matriser X som uppfyller 2 3^{1 2}

[

]

2 3 X

 

  =

 

 

 

.

Lösning:

Matrisen 𝑋𝑋 måste vara av typ 1 × 3 så en ansats blir [𝑥𝑥11 𝑥𝑥₁₂ 𝑥𝑥₁₃] �1 2

2 32 3� = [3 8] som ger � 𝑥𝑥¹¹+ 2𝑥𝑥₁₂+ 2𝑥𝑥₁₃ = 3

2𝑥𝑥11+ 3𝑥𝑥12+ 3𝑥𝑥13 = 8. Då fås �1 2 2 2 3 3�3

8� ~ �1 2 2 0 −1 −1�3

2� ~ �1 0 0 0 1 1� 7 Sätt 𝑥𝑥₁₃= 𝑡𝑡 ⇒ 𝑥𝑥₁₂= −2 − 𝑡𝑡, 𝑥𝑥₁₁= 7 så att 𝑋𝑋 = [7 (−2 − 𝑡𝑡) 𝑡𝑡]. −2�

Svar: 𝑋𝑋 = [7 −2 − 𝑡𝑡 𝑡𝑡]. Rättningsmall:

Korrekt tillhörande system � 𝑥𝑥¹¹+ 2𝑥𝑥₁₂+ 2𝑥𝑥₁₃= 3

2𝑥𝑥₁₁+ 3𝑥𝑥₁₂+ 3𝑥𝑥₁₃ = 8 ger 1p.

Allt rätt=2p

Uppgift 8. (3p) Bestäm avståndet mellan följande två plan

1: x y 2z 4

Π + + = och Π₂: x y+ +2z=6. Lösning:

Planen är parallella eftersom de har samma normalvektor (1,1,2).

Vi väljer en punkt på ett plan och beräknar avståndet till det andra planet.

T ex. punkten P=(1,1,1) ligger i planet Π₁ ( eftersom 1+1+2=4).

Avståndet från P till Π₂: x y+ +2z− =6 0är ( kolla formelblad)

1 1 1

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 2 1 6 2

| | | |

1 1 2 6 Ax By Cz D

d A B C

+ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ −

= = =

+ + + +

Svar: 2 6 Rättningsmall:

1p om man konstaterar att planen är parallella.

+1p för korrekt lösningsmetod.

Allt korrekt=3p

Uppgift 9. (3p)

Låt S vara spegelbilden av punkten P i linjen L: Linjens ekvation är

( , , ) (0,2,2) (1,2,2)x y z = +t . Bestäm spegelbilden S om punkten P =(6,0, 2)− .

Sida 7 av 8

P

S L

Lösning:

Vi bestämmer först den punkt i linjen, dvs. punkten Q som ligger närmast punkten P. (Det kan vi göra på flera olika sätt. Här är en av flera möjliga metoder.) På grund av symmetrin är

QS PQ = .

P

S L

Q

Låt r = (1,2,2)

. Då har vi

0 ( 6, , 2) (1,2,2) 0 2 2 2 0 PQ r = ⇒ x− y z+ = ⇒ x+ y+ z− =

 

 

2 2 2 2

2(2 2 ) 2(2 2 ) 2 0 ( , , )

3 3 3 3

t+ + t + + t − = ⇒ t= − ⇒ Q= − Utgående från origo dvs. O =(0,0,0) har vi

men eftersom

OS OP PQ QS   = + + QS PQ =

får vi

20 2 8 40 4 16 22 4 10

2 (6,0, 2) 2( , , ) (6,0, 2) ( , , ) ( , , )

3 3 3 3 3 3 3 3 3

OS OP = + PQ= − + − = − + − = − Svar: Spegelbilden ( ^{22 4 10}, , ) ²( 11,2,5)

3 3 3 3

S = − = −

Rättningsmall:

Rätt Q ger 1p. Fel punkt ger 0p.

Rätt analys till och med OS OP = +2PQ

ger +1p.

Allt korrekt=3p

Uppgift 10. (2p) Bestäm x ur följande ekvation

2 2 2

1

1 0

1 a a b b x x

= . �1 𝑎𝑎 𝑎𝑎² 1 𝑏𝑏 𝑏𝑏²

1 𝑥𝑥 𝑥𝑥²� = �1 𝑎𝑎 𝑎𝑎² 0 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑏𝑏²− 𝑎𝑎² 0 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 𝑥𝑥²− 𝑎𝑎²� =

= (𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)(𝑥𝑥²− 𝑎𝑎²) − (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)(𝑏𝑏²− 𝑎𝑎²) =

= (𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)(𝑥𝑥 + 𝑎𝑎) − (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)(𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)(𝑏𝑏 + 𝑎𝑎) =

Sida 8 av 8

= (𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)�(𝑥𝑥 + 𝑎𝑎) − (𝑏𝑏 + 𝑎𝑎)� = (𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)(𝑥𝑥 − 𝑏𝑏).

(𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)(𝑥𝑥 − 𝑏𝑏) = 0 ⇒𝑥𝑥1 = 𝑎𝑎, 𝑥𝑥2 = 𝑏𝑏 om 𝑎𝑎 ≠ 𝑏𝑏 och 𝑥𝑥 valfritt om 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏.

Inses även direkt då två lika rader i en determinant ⇒ determinanten lika med noll.

Svar:

Fall1: Om 𝑎𝑎 ≠ 𝑏𝑏 har vi två lösningar 𝑥𝑥1 = 𝑎𝑎, 𝑥𝑥₂ = 𝑏𝑏

Fall2: Om 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 har vi oändligt många lösningar. Determinanten är 0 för varje tal x.

Rättningsmall:

Korrekt Fall 1 ger +1p Korrekt Fall 2 ger +1p

( 2 p endast om båda fall är korrekta)