Självständigt arbete i matematikdidaktik med inriktning mot specialpedagogik
”Ett – två – oj, oj jättemånga!”
En studie i förskoleklass om tidiga insatser i matematik med fokus på taluppfattning
Författare: Charlotte Fransson &
Christine Shrives Handledare: Helena Roos Examinator: Jeppe Skott Termin: HT17
Nivå: Speciallärarprogrammet Kurskod: 4PP70E
Abstrakt
En god taluppfattning är grundläggande för förståelse i matematik. Forskning
(Lundberg & Sterner, 2009; Sayers, Andrews & Björklund Boistrup, 2016) visar på hur viktig barns tidiga matematiska kunnande är för goda skolframgångar i matematik i grundskolan samt att tidiga insatser i matematikundervisningen verkar främjande för elevers matematiska utveckling. Med utgångspunkt i detta har denna studie undersökt i vilken mån förskoleklasselever, med påvisad bristfällig taluppfattning, kan utveckla förståelse av antal och talraden. Detta med en tidsbegränsad och strukturerad undervisningsinsats med fokus på dessa två delar inom taluppfattningen. Som kartläggningsmaterial för att undersöka elevernas kunskap i taluppfattning användes Elevintervju vid skolstarten (McIntosh, 2008). Utformandet av undervisningen i interventionen tog sin utgångspunkt dels från resultatet av kartläggningen, dels från boken Tänka, resonera och räkna i förskoleklass (Sterner, Helenius & Wallby, 2014) och genomsyrades av ett sociokulturellt perspektiv på lärande där det är i det
matematiska samtalet i gruppen som elevernas förmågor och kunskaper utvecklas.
Under interventionen användes olika representationer för tal, exempelvis konkret och visuellt material för att stödja elevernas matematiska förståelse. Resultatet av studien visar på att en strukturerad undervisningsinsats gav positiv utveckling för den aktuella elevgruppen i denna studie, vilket är i linje med tidigare forskningsresultat (Sterner, 2015; Vennberg, 2015).
Nyckelord
matematik, taluppfattning, intervention, intensivundervisning, förskoleklass
English titel
One – two- oh, oh too many!
A studie on intervention in mathematics with focus on number sense at preschool.
Abstract
A strong number sense is foundational for mathematical understanding. Research (Lundberg & Sterner, 2009; Sayers, Andrews & Björklund Boistrup, 2016) has shown strong evidence of the relationship between student’s mathematical abilities when starting school entry and their later performance in mathematics. An early intervention in mathematics has significant positive effects on the student’s mathematical
development through elementary school. As a continuation from this prior research the present study examined how preschool-students, with inadequate number sense, can develop an understanding of quantity and number sequence using the support of a structured and time specific intervention with focus on those two parts within number sense. Student interview at school entry (McIntosh, 2008) was the basis for examining the student’s number sense. The structure of the intervention lessons was based on the results from the survey and from the pedagogical literature Tänka, resonera och räkna i förskoleklass (Sterner, Helenius & Wallby, 2014). A sociocultural perspective pervaded where it is assumed the students’ abilities and knowledge develop from mathematical collective reasoning. During the intervention different representations where used, for example concrete and visual material to support the students mathematical
understanding. The result demonstrated that a structured intervention in this study had significant effect on the group of preschool-students, which supports research (Sterner, 2015; Vennberg, 2015).
Key words
Mathematics, number sense, intervention, intensive tuition, preschool class
Tack
Vår intervention hade inte överhuvudtaget varit möjlig utan de fantastiska elever som ivrigt deltog i alla de aktiviteter som vi ledde. Det har varit en ynnest och glädje att få jobba med er.
Vi vill tacka vår handledare Helena Roos för allt stöd i processen att genomföra denna studie. Din generositet med råd längs vägen har varit ovärderlig. Vi vill också tacka alla våra lärare och kurskamrater på LNU som i över två år har fungerat som förebilder, inspiration och bollplank under vår resa mot drömmen att bli speciallärare. Sist men inte minst vill vi tacka våra nära och kära som visat stort tålamod under denna period då vi har ägnat mycket fokus och tid till våra studier i allmänhet och denna studie i synnerhet.
Växjö, oktober 2017 Christine och Charlotte
Innehåll
1 Inledning ____________________________________________________________ 5 2 Syfte och frågeställningar ______________________________________________ 6 3 Bakgrund ___________________________________________________________ 7 3.1 Taluppfattning __________________________________________________ 7 3.1.1 Grundläggande taluppfattning ____________________________________ 7 3.1.2 Talraden _____________________________________________________ 8 3.1.3 Subitisering __________________________________________________ 8 3.1.4 Representationer ______________________________________________ 9 3.2 Intensivundervisning ____________________________________________ 11 4 Teoretisk utgångspunkt ______________________________________________ 12 4.1 Sociokulturellt perspektiv på lärande ______________________________ 12 4.1.1 Artefakter som medierande redskap ______________________________ 12 4.1.2 Den närmaste utvecklingszonen _________________________________ 12 4.1.3 Situerat- och distribuerat lärande _________________________________ 13 4.1.4 Sammanfattning av det sociokulturella perspektivet __________________ 14 5 Metod _____________________________________________________________ 15 5.1 Forskningsansats _______________________________________________ 15 5.2 Studiens design _________________________________________________ 15 5.3 Urval _________________________________________________________ 15 5.4 Interventionen _________________________________________________ 16 5.4.1 Intensivundervisningen ________________________________________ 16 5.4.2 Lektioner ___________________________________________________ 16 5.5 Datainsamling __________________________________________________ 19 5.5.1 Testmaterial _________________________________________________ 19 5.5.2 Deltagande observationer ______________________________________ 20 5.5.3 Fältanteckningar och bilder _____________________________________ 20 5.5.4 Analysmetod ________________________________________________ 20 5.5.5 Etiska överväganden __________________________________________ 20 5.5.6 Studiens trovärdighet och tillförlitlighet ___________________________ 21 6 Resultat och analys __________________________________________________ 22
6.1 Förståelse av antal och talraden i pre- post och eftertest _______________ 22 6.1.1 Förståelse av antal ____________________________________________ 23 6.1.2 Förståelse av talraden _________________________________________ 24 6.2 Förståelse av antal och talraden i interventionen _____________________ 26 6.2.1 Förståelse av antal ____________________________________________ 26 6.2.2 Förståelse av talraden _________________________________________ 27 7 Diskussion och slutsatser _____________________________________________ 29 7.1 Metoddiskussion ________________________________________________ 29 7.2 Resultatdiskussion ______________________________________________ 31 7.3 Vidare forskning ________________________________________________ 32 Referenser ___________________________________________________________ 34 Bilagor ______________________________________________________________ 38
Bilaga A Diamant AF ________________________________________________ 38 Bilaga B Lektioner __________________________________________________ 41
Bilaga C Elevintervju vid skolstarten, lärarinstruktioner _____________________46 Bilaga D Missivbrev _________________________________________________49
1 Inledning
Välutvecklade matematiska förmågor samt god läsförståelse och läsförmåga är en förutsättning för att elever ska klara kunskapskraven i matematik i skolan (Lundberg &
Sterner, 2009). Det är därför viktigt att elever får möjlighet att tidigt utveckla de matematiska förmågorna. Den matematik elever har med sig vid skolstarten har betydelse för deras fortsatta kunskapsutveckling (Löwing, 2008; Lundberg & Sterner, 2009; Sterner, 2015). Inom den tidiga matematiken är taluppfattning en viktig och grundläggande del och en förutsättning för att en elev ska lyckas lära sig matematik (Löwing, 2008). Det är alltså av största vikt att eleverna under de första skolåren skaffar sig en bra grund för matematiska kunskaper. Vi instämmer med forskningen som visar på att just taluppfattning ligger till grund för alla matematiska kunskaper samt är en förutsättning för att eleverna ska kunna uppnå goda resultat inom matematik. Sayers, Andrews & Björklund Boistrup (2016) har genom en omfattande litteraturstudie fast- ställt åtta komponenter som kan ses som ett begreppsligt ramverk för en grundläggande taluppfattning, där alla komponenter har betydelse för elevernas matematiska
utveckling. En av skolans viktigaste uppgifter är att se till att eleverna utvecklar en god taluppfattning och detta arbete bör fortgå under en lång tid för att eleverna ska skapa en förståelse för det (Malmer, 2002). Reys och Reys (1995) anser att taluppfattning är en förmåga som ständigt byggs på med kunskaper och genom erfarenheter, den är med andra ord oändlig. En god taluppfattning utvecklas inte av en tillfällighet utan det fordras en omsorgsfullt planerad undervisning som gör det möjligt för eleverna att förstå den viktiga relationen mellan tal och räkneprocedur (Sterner, 2015).
Många elever som befinner sig i matematiksvårigheter har brister och luckor i sin taluppfattning. Ju längre tiden går, desto mer omfattande och komplex blir
matematiken, vilket gör att det kan bli svårare att hjälpa dessa elever med kunskaps- luckor och missuppfattningar. Det är därför angeläget att på ett tidigt stadium uppmärksamma dessa svårigheter och missuppfattningar hos eleverna, så att de kan redas ut och förebyggas (McIntosh, 2008). De förebyggande insatser och stöd i klassrummet som specialläraren i matematik kan ge i förskoleklass och de tidigare årskurserna, kan göra stor skillnad och innebära att senare matematiksvårigheter undviks (Anghileri, 2006). Det är aldrig för sent att sätta in anpassningar och åtgärder, men ju tidigare desto bättre effekt (Sterner, 2015).
Enligt vår erfarenhet är det långt ifrån självklart att det genomförs specialpedagogiska insatser i förskoleklass, än mindre i matematik. Medvetenheten om värdet av tidiga insatser vad det gäller taluppfattningens betydelse för matematikutveckling är dessutom lägre än medvetenheten om vikten att sätta in tidiga resurser för att gynna läsutveckling.
Följden borde i och med detta bli att åtgärder för att främja taluppfattning är lika viktiga som åtgärder för att främja läsförmåga. Det görs kartläggningar av matematikkunskaper i en del kommuner, men resultaten genererar inte nödvändigtvis till åtgärder riktade för att stärka elever med bristfällig taluppfattning. Med detta som bakgrund, har vi som blivande speciallärare med inriktning mot matematikutveckling, i följande studie valt att fördjupa oss i hur förskoleklasselever med bristfällig taluppfattning kan stärka sin taluppfattning med stöd av intensiv-undervisning. Forskning har visat att elever som tidigt fått insatser i mindre grupp ökade sin matematiska förståelse (Sterner, 2015;
Vennberg, 2015). Vi har därför valt att genomföra en intervention där vi undervisade förskoleklasselever med bristfällig taluppfattning under en intensivperiod. Med intensivundervisning menar vi en tidsbegränsad och strukturerad undervisningsinsats, med fokus på taluppfattning.
2 Syfte och frågeställningar
Syftet med denna studie är att undersöka hur tidiga och intensiva insatser för
förskoleklasselever med påvisad bristfällig taluppfattning kan utveckla förståelse inom taluppfattning, talområdet 1–5. Följande frågeställningar har formulerats:
Hur utvecklas förskoleklasselevers förståelse av antal inom talområdet 1–5 av intensivundervisning?
Hur utvecklas förskoleklasselevers förståelse av talraden 1–5 av intensivundervisning?
3 Bakgrund
I detta avsnitt beskrivs de matematiska grunderna som interventionen bygger på. Först den grundläggande taluppfattningen där förståelse av antal (sambandet mellan tal och mängd) ingår i de åtta komponenter (Sayers, Andrews & Björklund Boistrup, 2016) som genomsyrar både intensivundervisningen, resultat och analys i denna studie. Likaså har talraden en central roll i studien i och med att den, så som förståelse för antal, ingår i frågeställningarna. I avsnittet tas även subitisering och representationer upp då de utgör viktiga återkommande moment i interventionen. Slutligen redogörs kort om
intensivundervisning.
3.1 Taluppfattning
Begreppet taluppfattning är frekvent förekommande inom såväl forskning som
undervisning i matematik, men att definiera begreppet taluppfattning är nödvändigtvis inte en enkel uppgift.
What is number sense? We all know number sense when we see it but, if asked to define what it is and what it consists of, most of us, including the teachers among us, would have a much more difficult time. Yet this is precisely what we need to know to teach number sence effectively (Griffin, 2004 s. 173).
I en omfattande litteraturstudie fann Sayers, Andrews & Björklund Boistrup (2016) att taluppfattning kan innefatta tre olika begrepp; Perceptuell subitisering - kunna jämföra ett mindre antal utan att räkna dem, Grundläggande Taluppfattning - talrelaterad
förståelse som är inlärd och oftast utvecklas under de första skolåren och Implementerad taluppfattning - den taluppfattning som de allra flesta vuxna har eller behöver ha,
oavsett yrkesval. Implementerad taluppfattning kommer fortsättningsvis inte tas upp, då den inte är relevant för studiens syfte.
3.1.1 Grundläggande taluppfattning
Sayers, Andrews & Björklund Boistrup (2016) har genom sin forskning identifierat åtta komponenter som sätts samman till ett begreppsligt ramverk för grundläggande
taluppfattning. Först är Symboler för tal, som innebär att barn känner igen talens symboler, kan deras namn och vet hur de skrivs. De kan identifiera en specifik siffra från en mängd symboler och kan namnge den siffra de ser. Den andra är Systematisk räkning som är samma som ramsräkning, där barnet kan räkna både framlänges och baklänges till och från 20 från en given startpunkt. De vet att varje tal har en bestämd position i ordningen av alla tal. Den tredje är Sambandet mellan tal och mängd som är förståelse för ett – till – ett principen mellan tal och antal och även kardinalprincipen där det sista räknade talet i en uppräkning representerar det totala antalet i en mängd. Den fjärde komponenten är Åtskillnad mellan mängder som innebär att barnet kan jämföra mängder och förstår begrepp som fler än, färre än och lika. Den femte Olika
representationer av tal är när barnet har en förståelse för att det finns olika
representationsformer för samma tal, till exempel på en tallinje, fingerräkning eller olika slags laborativa material. Den sjätte komponenten är Uppskattning där barnet kan uppskatta både antal objekt i en mängd och storleken på ett objekt. Uppskattning handlar också om att röra sig mellan olika representationer av tal som till exempel att placera tal på en tom tallinje. Den sjunde komponenten är Grundläggande Aritmetik som innebär att barnet kan utföra enkla aritmetiska uträkningar så som att förändra antalet i små mängder med hjälp av addition och subtraktion. Den åttonde och sista
komponenten är en förståelse för Mönster i Talföljder där barnet kan se och förlänga mönster i talföljder och kan se vilket tal som saknas i en talrad (a.a). I denna studie i förskoleklass om tidiga insatser i matematik, ligger dessa åtta komponenter i fokus och till grund vid resultat och analys samt vid diskussion.
Forskning har visat att elever som har svårigheter med den grundläggande taluppfattningen i början av sin skolgång, riskerar att stanna kvar i matematiska
svårigheter genom åren i skolan (Aubrey m fl, 2006, Sterner 2015). Forskning har även visat att elever som i tidig ålder har en förmåga att identifiera ett tal som saknas i en talrad och kan jämföra mängder, ofta visar på en mycket positiv matematisk utveckling (Jordan m fl, 2010).
3.1.2 Talraden
När barn får arbeta med talraden hjälper det dem att börja se talens uppbyggnad på ett sätt som kan vara mindre primitivt än det entalsbaserade och det kan hjälpa barnen att förstå de räkneord som vi använder (Butterworth & Yeo, 2010). Detta innebär att talens betydelse frigörs från det konkreta och att barnet kan bilda en generell föreställning för talen. Denna generella föreställning betyder att uppfattningen för talet 6 inte
nödvändigtvis är begränsat till ett visst antal knappar, fingrar eller ett tärningsmönster utan istället har barnet nu en mer allmän bild, såsom att talet 6 betecknar en position i talraden och kommer efter talet 5 men före talet 7. Detta innebär också att barnet förstår bakåträkning, vilket är ett viktigt redskap för subtraktion (Johansson, 2016).
När ett barn anammat de två komponenterna för grundläggande taluppfattning systematisk räkning och symboler för tal (Sayers, Andrews & Boistrup Björklund, 2016) har hen förutsättningen för att kunna börja forma en mental talrad, det vill säga en talrad som hen bara kan se som en inre bild. När barnet har bildat denna mentala talrad blir tal och siffra samma sak, vilket utgör ett fundament för att reflektera över tal och forma effektiva strategier för att lösa matematiska problem (Johansson, 2016). Det är inte självklart att alla barn skapar sig en mental tallinje, utan det är något som skapas när de får rätt yttre stimulering. Forskning har visat att de barn som har bildat en mental talrad även visar på större förståelse för grundläggande aritmetik. Detta innebär att en pedagogik som stimulerar och hjälper barnet att skapa en inre mental talrad ger barnet ett kraftfullt verktyg i matematik (a.a).
3.1.3 Subitisering
Subitisering är en viktig del av elevers utveckling av taluppfattning (Clements, 1999;
Andrew & Sayers, 2014, Sayers & de Ron, 2015). Uttrycket subitisering kommer från det latinska ordet subito som betyder plötsligt. Subitisering kan definieras som en ordlös förmåga att ögonblickligen kunna identifiera antalet objekt i en liten mängd, utan att räkna, det vill säga en spontan antalsuppfattning (Ekeblad, 1990; Sayers & de Ron, 2015).
Trots att det har bedrivits forskning kring subitisering i snart hundrafemtio år är
forskarna inte överens om hur subitisering utvecklas. Är subitisering en förmåga som är medfödd eller något som lärs in genom erfarenhet? (Ekeblad, 1990; Sayers & de Ron, 2015). Redan 1871 genomfördes ett experiment som visade att människor kan uppfatta upp till sju föremål omedelbart utan att räkna dem och det hävdades att detta var en medfödd intuition (Ekeblad,1990). 80 år senare gjordes en mycket omfattande studie av Kaufman, Lord, Reese och Volkman (1949) som resulterade i att de drog en gräns för subitisering vid sex föremål samt att de förkastade idén om att subitisering skulle kunna
vara medfött (Kaufman m fl, 1949). 1988 publicerade däremot Klein och Starkey sin forskning som pekade mot att subitisering kan vara en medfödd förmåga. De visade att ett 6-månader gammalt spädbarn som hade tre olika bilder framför sig, tittade på bilden med tre prickar när hen hörde tre trumslag (Klein & Starkey, 1988).
Subitisering beskrivs på olika sätt inom forskning (Sayers & de Ron, 2015). En del psykologer menar att subitisering kan ses som en snabbare form av att räkna, som en genväg till räknandet (a.a), medan Clements (1999) anser att det är mer än så.
Subitisering kan spela en stor roll i ett barns utveckling av färdigheter i grundläggande matematik, inklusive tidig aritmetik med addition och subtraktion.
Perceptuell subitisering är när ett antal kan definieras med hjälp av synen utan att någon matematisk process används, det vill säga utan att de räknas, ett sätt att med tanken få grepp om små antal (Ekeblad, 1999). Det är denna typ av subitisering som nyfödda kan visa enligt ovan nämnda studie av Klein & Starkey (1988).
Konceptuell subitisering innebär en förmåga att med hjälp av tanken organisera,
kombinera och gruppera små mängder för att se hur stort antalet är, att kunna se delar av en hel (Sayers & de Ron, 2015; Sayers, Andrews & Björklund Boistrup, 2016). En förutsättning för denna förmåga är att kunna se mönster, som till exempel när man ser mönstret på en tärningssida som ett antal utan att behöva räkna prickarna eller när man vet antal visade fingrar utan att räkna dem. När det gäller att snabbt se ett antal föremål, spelar det en stor roll hur dessa är placerade. Det är oftare lättare att se antalet om de är ordnade rektangulärt eller som tärningen, följt av linjärt och cirkulärt medan det är svårare om de är utplacerade oregelbundet (Clements, 1999; Sayers & de Ron, 2015).
Konceptuell subitisering kan inte vara medfödd, utan är en medvetenhet om grupperingar och ihopparning av dessa grupper och som kan utvecklas genom
undervisning (Clements, 1999; Sayers & de Ron, 2015). Barn som har svårigheter med konceptuell subitisering kan uppleva problem med inlärning av aritmetik, men barn som åtminstone kan se mönster och subitisera mycket små antal är i början av en process som kan leda till mer avancerad aritmetik med högre tal (Clements, 1999). Därför kan det vara av vikt att elever ökar sin medvetenhet kring konceptuell subitisering genom undervisning. Detta kan ske genom att eleverna får arbeta med olika mönster för tal så att de kan se tal även när de ser olika ut (Sayers & de Ron, 2015). Det kan också vara effektivt att visa eleverna bilder med ett lågt antal föremål under en mycket kort stund, för att de ska träna på att snabbt se hur många det är, utan att räkna föremålen en och en.
Det kan också vara en vinning med att visa bilder med ett högre antal föremål, där det inte är rimligt att kunna se ett exakt antal - utan där eleverna istället tränar på att uppskatta antalet (Clements, 1999).
3.1.4 Representationer
Matematik handlar mycket om att kunna abstrahera mer konkreta ting, särskilt i skolan (Löwing, 2004). Abstrakt och konkret kan ses som motsatser då konkret matematik kan förklaras som matematik som har uppstått ur ett specifikt moment i vardagen och som kan förklaras med verkliga exempel (Löwing & Kilborn, 2002; Roth & Hwang, 2006) medan abstrakt matematik är gångbar i många olika situationer eftersom den har frigjorts från det konkreta ursprunget (Kiselman, 2005). En stor del av matematiken i skolan är att eleverna ska kunna ta sig från det konkreta, det vill säga laborativa material, mot det abstrakta och därmed klara av att räkna mer avancerad matematik (Löwing, 2004).
Det som sammanlänkar konkret och abstrakt är representationerna, som kan ses som ett slags mellanläge och som konkretiserar den abstrakta matematikens koncept samtidigt som konkreta verkliga objekt kan bli mer abstrakta. I en jämförelse med abstrakta objekt är representationerna mer konkreta och i jämförelse med konkreta objekt är
representationerna mer abstrakta (Wittmann, 2005). Olika representations-former kan delas upp i inre och yttre representationer, där de inre grundar sig bland annat på
personliga erfarenheter, synligt bildskapande och problemlösningsstrategier och de yttre grundar sig på konkret läromaterial och symboler. I en samverkan mellan de inre och yttre representationerna måste eleverna utgå från sina egna erfarenheter och uttryck. Det är i detta samspel som ett matematiskt lärande kan ske (Goldin & Shteingold, 2001).
Nedan visas en schematisk bild över processer som används när elever arbetar med att översätta mellan olika uttrycksformer och som är tänkt att underlätta för lärare att välja rätt arbetssätt till rätt innehåll i undervisningen.
Bild 1. Schema över de viktigaste processerna som används vid översättning mellan olika uttrycksformer enligt Skolverket, 1997 s.16.
I denna schematiska bild är de manipulativa modellerna till exempel geometriska figurer eller grafer, det vill säga modeller som är beräkningsbara och som kan förändras för att anpassas till undervisningen. Dessa manipulativa modeller kan ses både som en förenkling och en generalisering av verkligheten. Skrivna symboler används bland annat för att formalisera problemet och utförandet av beräkningar medan de talade
symbolerna kan vara ett sätt att beskriva tankarna kring problemet. Omvärldssituationer är de konkreta händelserna som kan förena elevens verklighet med problemet och partikularisera, det vill säga göra om det generella till specifika fall. I mitten av schemat finns bilder och dessa är tänkta som statiska bilder som inte är manipulerbara utan mer som en inspirerande illustration (Lesh, 1981)
Många forskare förespråkar användning av mer än en typ av representation för att lära ut matematik (Ainsworth, Bibby & Wood, 2002; Stylianou, 2010; Chinn, 2011). Om elever tränar på att översätta mellan olika representationer av tal får de en mer gedigen och flexibel matematisk kunskap. Dessutom innebär ett arbetssätt med flera olika representationer en mindre risk för att eleverna ska begränsas av en representations svagheter och styrkor (Ainsworth m. fl. 2002).
manipulativa modeller
skrivna symboler
omvärlds- situationer
talade symboler bilder
3.2 Intensivundervisning
För elever som är eller som riskerar att hamna i matematiska svårigheter är strukturerad undervisning viktig. En del elever behöver fler repetitioner i mindre grupper, arbete enskilt tillsammans med läraren eller arbeta med samma sak på flera olika sätt och med olika representationer (Ainsworth, Bibby & Wood, 2002; Stylianou, 2010; Chinn, 2011). Det är viktigt att arbetet får ta den tid den tar för att eleverna ska tillgodogöra sig den grundläggande taluppfattningen. En viktig del i intensivundervisningen är att den är just intensiv och regelbundet återkommande (Butterworth & Yeo, 2010).
Intensivundervisning har två syften, dels att hjälpa eleven med kunskapsluckor eller missuppfattningar och dels att ge eleverna möjlighet att ligga steget före klassen genom att få introduktion av nya områden innan klassen börjar med det (Sterner, 2012). De flesta elever som får intensivundervisning i matematik gör stora framsteg. Däremot om insatser inte sätts in i tid är risken att kunskapsluckorna gentemot klasskamraterna ökar, eftersom det kan vara svårt för eleven att både lära sig det hen inte kan, samtidigt som hen ska lära sig nya moment. Sterner påtalar dock att intensivundervisning inte är något trolleri, utan ett grundligt och gediget arbete (a.a.).
Undervisning av elever i små grupper är ingen ny företeelse. Redan under 70-talets början fick elever runt om i Sverige undervisning i mindre grupp. En riskfaktor med att plocka ut elever utanför klassrummet, som dock måste tas i beaktning, är att elevens självbild kan försämras, att eleven kan tappa tilltro till sig själv och uppleva utanförskap jämfört med sina klasskamrater (Malmer, 2002).
4 Teoretisk utgångspunkt
I kommande kapitel ges beskrivningen av den teoretiska utgångspunkt som ligger till grund för denna studie, det sociokulturella perspektivet på lärande som innebär att kunskap skapas genom samarbete i ett sammanhang. I slutet ges en kort sammanfattning av kapitlet.
4.1 Sociokulturellt perspektiv på lärande
Det är grundläggande att förstå hur eleverna inhämtar kunskap för att kunna skapa de bästa förutsättningarna för en bra undervisning och ur ett sociokulturellt perspektiv är social gemenskap, samspel med andra människor och språkanvändning centrala delar.
Vygotskij är förgrundsfigur för det sociokulturella perspektivet och menar att språket, vilket innebär all form av kommunikation, dialog och möten med andra människor, är väsentligt för hur kunskap uppstår (Dysthe, 2003). Vidare menar Vygotskij att varken språk eller tänkande kan utvecklas utan social interaktion (Vygotskij, 2001).
4.1.1 Artefakter som medierande redskap
Inom det sociokulturella perspektivet har personer, redskap eller verktyg, så kallade artefakter, en central roll. Dessa artefakter kan ses som de resurser, språkliga eller fysiska, som används för att möta och förstå omvärlden (Säljö, 2000). Dysthe (2003) skriver att artefakter är till hjälp när vi till exempel löser problem, utför en arbets- uppgift, tänker eller minns. Dessa artefakter kallar Vygotskij för medierande redskap och de ger stöd och hjälp i lärandet (a.a.). I matematikundervisningen kan till exempel laborativt material, räkna på fingrarna, att rita eller använda olika appar på Ipaden vara medierande artefakter som stöttar och hjälper eleverna i sitt matematiska lärande. För att lärandet ska ske hos alla elever måste läraren ha vetskap och kunna erbjuda ett brett register av metoder, artefakter och olika representationer av tal så att alla elevers behov blir tillgodosedda.
Vygotskij menar att det viktigaste av alla medierande redskap är språket (Säljö, 2000). I matematikundervisningen är det angeläget med klassrumsdiskussioner, då språket som medierande redskap används eftersom tankestrategier och resonemangsförmåga
synliggörs (Häggblom 2000, Sterner, 2015; Vennberg, 2015). Det är genom språket som man kan beskriva och förstå omvärlden. Genom att vara öppen för vad eleverna kan och förstår och använda sig av deras vardagstänkande i matematikundervisningen kan läraren göra det abstrakta mer lättbegripligt. Det är viktigt att eleverna får många möjligheter att använda och reflektera över de matematiska orden och deras innebörd i verkliga situationer (Sterner, 2015). När vi gör saker tillsammans med yngre barn berättar vi också ofta med ord vad det är vi gör, det vill säga språket integrera med handlingen. Till exempel säger läraren samtidigt som hen plockar fram pengar och visar: ”Om Kalle har tre kronor och sedan får han två kronor till av mamma. Hur mycket pengar har han då?”
4.1.2 Den närmaste utvecklingszonen
Ett av Vygotskijs välkända begrepp är den närmaste utvecklingszonen (Zone of
proximal development, ZPD). Inbyggt i detta begrepp ligger tankar kring att utveckling och undervisning hänger ihop, men inte är synonyma (Vygotskij, 2001). Undervisning främjar eleven när den leder hen från den punkt i utvecklingen där hen befinner sig precis just då till den som hen skulle kunna uppnå med viss hjälp. Vygotskij menar att
lärare ska utmana sina elever med uppgifter som ligger lite över deras förmåga, men som de med hjälp kan klara av (Säljö, 2000). Barn lär sig i samspel med varandra och av andra barn och vuxna som har mer erfarenhet inom det aktuella kunskapsområdet (a.a.). Den närmaste utvecklingszonen, det vill säga den nivå där eleven kan något tillsammans med en kamrat eller läraren, är viktig för det samband som finns mellan lärande och utveckling. Vygotskij menar att den pedagogiska insatsen ska rikta sig mot det lärande som kan utveckla elevernas närmaste utvecklingszon. Det är där som elevens lärande och utveckling sker (Vygotskij, 2001). Genom att eleven har lärt sig något nytt blir så småningom den närmaste utvecklingszonen elevens nuvarande utvecklingszon, den kunskapsnivå som eleven klarar själv, och eleven har därmed vidareutvecklats.
Vygotskij ser läraren som en som utmanar elevernas tänkande, men även som en deltagare i lärsituationen. Vygotskij menar att uppmuntran och vägledning är viktiga delar för att nå målet. I denna kontext används även begreppet scaffolding, det vill säga stöd eller byggnadsställning. I pedagogiska sammanhang beskrivs scaffolding vanligen som kommunikativa stöttor (Wood, Bruner & Ross, 1976; Säljö, 2000). Det innebär att elever får stöd i sin inlärningsprocess av läraren. Allt eftersom eleven tillägnar sig kunskapen minskar läraren stöttningen tills eleven klarar av att förstå på egen hand.
Läraren låter därmed eleven göra de delar i uppgiften som hen klarar av själv och backar upp resten av uppgiften med passande stöd. Det stämmer överens med
Vygotskijs förklaring av elevens ZPD där god undervisning, som knyter an till något som eleven redan har erfarit, sätter igång lärandet och skapar den närmaste
utvecklingszonen (Skott m.fl 2010). Enligt Vygotskij är detta undervisningens huvudsakliga roll.
4.1.3 Situerat- och distribuerat lärande
En utgångspunkt i det sociokulturella perspektivet är att lärande är situerat, vilket innebär att elevernas lärande både påverkas av och sker i den omgivande miljön (Säljö, 2015). Vygotskij menar att samspelet med kontexten är avgörande för vad och hur vi lär oss (Dysthe, 2003). När eleverna förstår vad de behöver kunskapen till kan de lättare ta till sig den. Det är till exempel lättare att lära sig uppfattningar om längd om man får vara med och mäta med linjal eller måttband sin egen och kamraternas längd, än att bara läsa och lösa uppgifter om det i matematikboken. Vygotskij är förvissad om att elever lär sig bäst när de kopplar ihop sina egna kunskaper och erfarenheter med aktiva handlingar (Säljö, 2015). De yngre eleverna förstår ofta mer och kan i regel lättare uttrycka sina tankar och idéer i handlingar än i ord. Det gäller att läraren kan skapa lärsituationer som ligger nära elevernas vardag och intresseområden. Det är angeläget att läraren möter eleverna där de befinner sig, både socialt och kunskapsmässigt.
Lärandet är distribuerat på så sätt att det sker tillsammans med andra i en grupp och att alla gruppdeltagarna tillför något av sina kunskaper, upplevelser eller erfarenheter (Dysthe, 2003). Matematikens abstrakta karaktär kan vara svår att självständigt ta till sig, men i den här kontexten medför det att en grupp elever har mer kunskap
tillsammans än vad var och en har för sig. Interaktionen mellan elever, men även mellan lärare och elev är viktiga. Läraren har kanske inte alltid den bästa förklaringsmodellen utan kamrater kan ofta förstå en annan kamrats problem och hjälpa därifrån. Det är av största vikt att läraren tar tillvara på elevernas tankar, stimulera dem att resonera matematiskt och lyfter fram deras åsikter i klassrumsdiskussioner.
4.1.4 Sammanfattning av det sociokulturella perspektivet
Nyckelbegrepp inom det sociokulturella perspektivet är artefakter och mediering. Det sistnämnda innebär något som finns mellan eleven och det som ska läras in och som underlättar inlärningen. Det kan till exempel vara lärarens information, texten i böckerna, laborativt material eller det egna minnet och tänkandet. Det kan också vara hjälpmedel, så kallade artefakter, som hjälper till att lösa uppgiften. Artefakter kan vara olika representationer, allt från papper och penna, laborativt material till språk. Att en handling är medierad innebär att den genomförs med hjälp av artefakter. Alla
handlingar och lärande är situerade. Det betyder att lärandet sker i den kontexten där kunskapen ska användas. När eleverna förstår vad de behöver kunskapen till kan de lättare ta till sig den. I ett distribuerat lärande får eleverna tillfällen att dela med sig av sina kunskaper och erfarenheter till sina kamrater. I detta lärandet kompletterar eleverna varandra och ytterligare utveckling förverkligas.
I det sociokulturella perspektivet sker lärandet genom interaktion med andra människor.
I samspelet kan den som är mer kunnig, till exempel läraren, vägleda och stötta den som är mindre kunnig. Detta kallas i pedagogiska sammanhang för scaffolding, vilket
vanligtvis översätts som kommunikativa stöttor. Erfarenheter av omvärlden medieras till eleven av den mer kompetenta personen. Detta leder så småningom till att eleven själv kan använda artefakter för att mediera erfarenheter, vilket är undervisningens mål.
Scaffolding kan utformas på olika sätt, men syftet är att den kan föra in eleven i hens närmaste utvecklingszon, ZPD. Vygotskij menar att eleven, genom undervisning, kan lära sig mer än vad hen kan lära sig själv. Genom att läraren bygger vidare på det som eleven redan kan och ger lagom utmanande uppgifter kan elevens lärande utvecklas.
Lärarens roll är att hjälpa eleverna att överbrygga klyftan mellan vad de kan göra på egen hand och vad de skulle kunna göra efter viss hjälp. Undervisning främjar eleven när den knyter an till något som eleven redan erfarit och leder hen från den punkten i utvecklingen där hen befinner sig nu till den där hen själv blir kapabel att gå framåt i sitt tänkande (Vygotskij, 2001).
I denna studie kommer begreppen situerat och distribuerat lärande, artefakter som medierande redskap och ZPD att användas vid analys av resultat av den insamlade empirin.
5 Metod
I följande kapitel ges först en presentation av studiens ansats. Därefter följer en
beskrivning av studiens design och deltagare. Sedan kommer en redogörelse av metoder och genomförande samt studiens trovärdighet och tillförlitlighet.
5.1 Forskningsansats
Denna studien har en kvalitativ ansats. Den innehåller Pre-, post- och eftertest av förskoleklasselevers matematikkunnande samt undersöker och analysera hur tidiga och intensiva undervisningsinsatser kan stärka förskoleklasselever med bristfällig
taluppfattning. I undervisningssituationerna har eleverna fått möta matematiken med stimulerande uppgifter utifrån deras tidigare erfarenheter, kunskaper och förutsättningar.
Ansatsen var även att undersöka lärande ur ett sociokulturellt perspektiv där tre samverkande men särskiljande drag studerats: användningen av intellektuella och fysiska redskap (artefakter), kommunikation samt social gemenskap. Utifrån detta sätt att se på lärandet samt vara medvetna om att matematikinlärning och eventuella
matematiksvårigheter kan bero på olika saker, har en kvalitativa metod använts. Empiri har genererats genom insamling av data från pre- post- och eftertest av
förskoleklasselevers matematikkunnande samt samtal och interventioner.
5.2 Studiens design
Studiens utformning kan beskrivas som en i huvudsak kvalitativ studie där eftersträvan har varit en djupare insikt i sju förskoleelevers bristfälliga taluppfattning. En kvalitativ metod kan användas vid småskaliga studier med få människor (Denscombe, 2016;
Merriam, 1994). I den här studien var detta en lämplig metod eftersom endast sju förskoleklasselevers grundläggande taluppfattning undersöktes.. Denna metod har använts i studien för att jämföra och synliggöra skillnader vid pre- post- och eftertest av förskoleklasselevers matematikkunnande.
Studien är inspireras av fallstudie eftersom den kan ses som en helhetsinriktad metod för att beskriva och analysera en företeelse (Merriam, 1994). Det är en passande metod för att tolka och förstå deltagande observationer av pedagogiska situationer, då
tyngdpunkten snarare ligger mer på processen än resultatet (a.a)
I den här studien har vi använt kvalitativ data med en blandning av olika metoder såsom till exempel skriftliga källor, deltagande observationer i en intervention, personliga fältanteckningar och bilder samt olika testresultat av förskoleklasselevers
matematikkunnande. Insamlingen av empiri har skett under en period av fem veckor i maj och juni samt vid en vecka i september 2017.
5.3 Urval
Urvalet i denna studie är ett kriterierelaterat urval. Det urvalet innebär att man skapar kriterier för vad som ska studeras och därefter söker information om dessa enheter som innehar kriterierna för att kunna delta (Merriam, 1994). I denna studie omfattar dessa kriterier främst bedömningen av förskoleelever med bristfällig taluppfattning och som riskerar att hamna i särskilda utbildningsbehov i matematik. Eleverna som deltar i studien har identifierats genom kartläggning av förskoleklasselevers matematiska kunnande, där diagnosmaterialet Diamant (Skolverket, 2016) användes (bilaga A).
Kartläggningen genomfördes med sammanlagt 53 elever på två olika skolor i två kommuner i södra Sverige. När resultaten sammanställdes, kunde sju elever, tre flickor och fyra pojkar, med bristfällig taluppfattning och som riskerar att hamna i särskilda utbildningsbehov i matematik identifieras. Dessa elever delades in i tre grupper; två grupper med två elever och en grupp med tre elever.
5.4 Interventionen
I detta avsnitt beskrivs interventionen som bestod av intensivundervisning på 12 lektioner à cirka 20 minuter. Lektionstillfällena, som leddes av oss, var förlagda under en period på 4–5 veckor och innehöll olika övningar som behandlade grundläggande taluppfattning 0–10, med mest fokus på talområdet 0–5. Utöver de 12
undervisningstillfällena ingick även pre- post- och eftertest som också beskrivs under avsnittet för datainsamling och testmaterial.
5.4.1 Intensivundervisningen
Intensivundervisningen genomfördes i små grupper på 2–3 elever. Lärare och elever träffades i för eleverna välbekant miljö. Varje lektion varade i cirka 20 minuter.
Intensivundervisningen handlade om den grundläggande taluppfattningen inom talområdet 0–5. Pretest och samtal låg till grund för hur lektionerna planerades och genomfördes. Inspiration till lektionerna har bland annat hämtats från materialet Tänka, resonera och räkna i förskoleklass (Sterner, Helenius, Wallby, 2014). Hela
intensivundervisningen genomsyrades av ett sociokulturellt perspektiv där ett kommunikativt och undersökande arbetssätt gynnar och utvecklar elevernas matematiska förståelse. Lektionsplaneringen och innehållet reviderades efterhand, utifrån elevernas utveckling och respons som läraren fick av eleverna vid
undervisningstillfällena.
5.4.2 Lektioner
Här följer en sammanfattning av genomförandet av samtliga undervisningstillfällen.
Lektionerna finns i sin helhet i bilaga B.
Ett enskilt pretest genomfördes för att kartlägga elevens taluppfattning och var hen befann sig i sin matematiska utveckling. När sedan intensivundervisningen, på tolv lektioner, startade innehöll lektionerna aktiviteter och övningar som handlade om att undersöka och resonera om talet fem och dess användning. Eleverna fick dela upp talet fem på olika sätt och med olika representationsformer. Många av diskussionerna under dessa lektioner gick ut på att resonera kring öppna utsagor. Eleverna fick till exempel
”Gömma i handen” där eleven fick se lärarens ena hand med tre kuber och sedan säga hur många kuber som gömde sig i den andra handen.
Bild 2. ”Gömma i handen”. En öppen utsaga, en ekvation 3 + ? = 5
Under ett par lektioner uppmärksammades talmönstret på tärningen. Eleverna ritade de olika tärningsbilderna och undersökte hur talbilden ändrades när prickar täcktes över. I denna övning tränade eleverna konceptuell subitisering, förmågan att se mönster (Sayers, Andrews & Björklund Boistrup, 2016).
Bild 3. Här görs talbilden för fem om till en trea.
Vid flera tillfällen fick eleverna träna på mönster i talföljden genom att räkna högt både uppåt och nedåt, med stöd av en talrad på golvet. Här resonerade vi om att ett mer är detsamma som nästa tal på talraden och ett mindre är detsamma som föregående tal, det vill säga talets grannar, enligt Johanssons (2016) talradsteori.
Bild 4. Eleverna upptäcker talets grannaroch mönster i talföljden.
För att träna perceptuell subitisering (Ekeblad, 1990) har eleverna fått ”snabbtitta” på talkort med olika antal prickar 1-5, där prickarna var organiserade både som
tärningsbilder och mer oregelbundet.
Bild 5. Exempel på talkort som visar antalet tre på olika sätt.
För att stärka elevernas förståelse av att olika representationer av tal kan vara uttryck för samma tal (Sayers, Andrews & Björklund Boistrup, 2016), fick de vid flera tillfällen träna på att sortera bilder och föremål som representerade talen 1–5.
Bild 6. Exempel på en representationsövning.
Som inspirerande och engagerande färdighetsträning har iPads använts. Eleverna har använt apparna Vector och King of Math Junior. Här tränades bland annat
antalsuppfattning med olika representationer, talraden och femkompisar.
Här följer en tabell som redogör för samtliga lektionernas syfte och genomförande.
Lektion Syfte Genomförande
pretest Kartlägga elevernas grundläggande taluppfattning.
Undersökarna genomför pretest genom enskild Elevintervju vid skolstart,
från Förstå och använda tal (McIntosh, 2008).
1 Resonera om talet 5 och dess användning
Undersökning och resonemang om talet 5.
Vad finns det fem av? På kroppen? Runt omkring oss? Hemma? Utomhus?
2 Undersöka och dela upp talet 5
Med hjälp av en "uppdelningsmaskin" laborerar och resonerar eleverna hur talet 5 kan delas upp.
3 Undersöka och dela upp talet 5
Eleverna bygger talet 5 med kuber i två färger.
Samtal om alla möjliga kombinationer.
4 Undersöka och dela upp talet 5
Gömma handen. Visa ena handen och låt eleven säga hur många de tror finns i den knutna handen.
5 Uppmärksamma
talmönster på tärningar
Undersökning och diskussion om tärningsbilden 5.
Hur är prickarna grupperade? Hur kan
tärningsmönstret ändras genom att täcka över/ta bort prickar.
Hur kan en femma göras om till en fyra?
Eleverna ritar av tärningsmönster.
6 Förståelse för koppling mellan tärningsbild och antal.
Repetition av tärningsmönster. Eleverna blundar och försöker skapa en inre bild av tärningsmönster. Vad händer om pricken i mitten försvinner?
Spel som övar kopplingen mellan tärningsbild och antal.
7 Undersöka och använda talraden som en modell för tal.
Erfarenhet av att räkna uppåt och nedåt på talraden inom talområdet 1 - 10.
En talrad fästs på golvet och eleverna går på den samtidigt som de räknar högt.
Vilket tal är ett eller två steg framåt?
Vilket tal är ett eller två steg bakåt?
8 Stärka den perceptuella subitiseringen.
Repetition av talraden på golvet.
Kort med olika antal prickar (1–5) i orgelbundet mönster visades under fåtal sekunder. Eleverna sa antalet prickar de uppfattade.
9 Använda och
reflektera över
begreppen ett mer, ett mindre - talens grannar.
Eleverna bygger en talrad 1–5 med hjälp av sifferkort och motsvarande antal kuber. Eleverna uppmärksammar att ett mer eller ett mindre är talets granne på talraden.
10 Använda och reflektera över
begreppen ett mer och ett mindre, två mer och två mindre.
Automatisering av femkompisarna.
Efter att ett talkort (1–5) slumpmässigt dragits, så får eleven i uppdrag att klappa ett mer eller ett mindre än kortet visar.
Färdighetsträning av femkompisarna med hjälp av iPad och appen Vector.
11 Erfarenhet av att använda och jämföra olika
representationer av talen 1–5.
Eleverna grupperar föremål som representerade ett bestämt antal.
12 Erfarenhet av att använda och jämföra olika representationer av talen 1–5.
Färdighetsträning av antalsuppfattning och talraden med hjälp av iPad och appen King of Math Junior.
posttest Kartlägga elevernas grundläggande taluppfattning efter genomförd
intervention.
Undersökarna genomför posttest. Samma
testmaterial, Elevintervju vid skolstart, från Förstå och använda tal (McIntosh 2008), används som vid genomförande av pretest.
eftertest Kartlägga elevernas grundläggande taluppfattning efter sommarlovet.
Undersökarna genomför eftertest. Samma
testmaterial används som vid genomförandet av pre- och posttest.
Tabell1. Sammanfattning av lektioner i interventionen samt pre- post och eftertest.
5.5 Datainsamling
I följande avsnitt beskrivs hur empiri på olika sätt samlats in genom olika tester, deltagande observationer i en intervention samt fältanteckningar och bilder.
5.5.1 Testmaterial
Testet (bilaga C) som använts till pre- post- och eftertest är från boken Förstå och använda tal och är forskningsbaserat och bygger på en kombination av McIntoshs forskning och utvecklingsarbete (tillsammans bl. a Reys & Reys, 1993 och Callingham, 2002) samt hans erfarenhet av arbete med elever och lärare. Det utgår från ett
taluppfattningsperspektiv och presenterar kritiska punkter och missuppfattningar som elever kan befästa och som kan leda till svårigheter i matematik. Boken ger förslag på hur man som lärare kan arbeta och lägga upp sin planering samt på uppgifter som
hjälper eleverna att utveckla en god taluppfattning (McIntosh 2008). I testet finns uppgifter som representerar alla åtta komponenter i Sayers, Andrews & Björklund Boistrups (2016) begreppsliga ramverk för grundläggande taluppfattning.
5.5.2 Deltagande observationer
Observationerna genomfördes som deltagande observationer, vilket innebär att undersökarna möter elever i deras naturliga undervisningsmiljö (Fangen, 2005,
Denscombe, 2016). I denna studie innebar att vi som undersökare och lärare, kom nära deltagarna och medverkade tillsammans med dem. I denna kontext skedde även den första analysen som kom att ligga till grund för både nästa lektionsplanering och vidare utvärdering.
5.5.3 Fältanteckningar och bilder
Efter varje lektionstillfälle genomfördes fältanteckningar som beskrev lektionens händelseförlopp med deltagarnas respons och spontana kommentarer. Under
lektionstillfällena togs bilder av en del av elevernas arbeten. Anteckningar och bilder användes som ett stöd för kommunikation och jämförelse undersökarna emellan, samt hur nästa lektion skulle utformas och som grund för vad som skulle studeras vid nästa tillfälle. Materialet har också använts för att underlätta arbetet med resultat och analysen.
5.5.4 Analysmetod
I den här studien utgjorde de sammatagna resultaten vid pre- post- och eftertest av förskoleklasselevers matematikkunnande en grund för en jämförande analys. Resultaten och skillnader redovisas i en frekvenstabell (tabell 2). En djupare analys av elevsvaren skedde genom ett kriterieurval av de testuppgifter som var relevanta för studiens syfte och frågeställningar samt kopplade till studiens begreppsliga ramverk för
grundläggande taluppfattning.
Den empiri som samlades in under de deltagande observationerna analyserades och påverkade det fortsatta urvalet och insamlandet av data, vilket bidrog till att
datainsamling och analys skedde parallellt. Fältanteckningarna och bilderna gör inte på något sätt anspråk på att vara heltäckande på det som hände under både test- och lektionstillfällena eftersom det redan skett ett selektivt urval. Denna analys inspirerades av det sociokulturella perspektivet som framhäver att undervisning bör ske i en social gemenskap och bör bygga på elevernas tidigare erfarenheter, inom ramen för den närmaste utvecklingszonen (ZPD).
5.5.5 Etiska överväganden
I detta självständiga arbete har hänsyn tagits till de forskningsetiska regler som utgår från Vetenskapsrådet (2002) och som är aktuella utifrån vårt undersökningsförfarande.
Vetenskapsrådet har fyra allmänna etiska grundprinciper; informationskravet,
samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet (Vetenskapsrådet, 2002).
För att uppfylla informations- och samtyckeskravet fick elevernas vårdnadshavare både muntlig och skriftlig information om syftet med studien. Den muntliga informationen gavs av respektive förskollärare och det skriftliga informationsbrevet (bilaga D) skickades till berörda vårdnadshavare i de olika förskoleklasserna. De vårdnadshavare som var villiga att låta sitt barn delta gav ett skriftligt medgivande. Konfidentialitet- skravet har infriats i studien genom att all insamlad data förvaras säkert. Vidare är alla namn på barn, vuxna och skolor som förekommer i studien avidentifierade. Nyttjande- kravet har inneburit att insamlad empiri endast har använts i den här studien. Det har
även tagits hänsyn till samtyckes-, informations- och nyttjandekravet, då de medverkande har godkänt att deras uppgifter får nyttjas i den här studien.
När yngre barn är med i en studie är det viktigt att redan vid planeringen ta i beaktning att interventionen inte får bli för omfattande för barnets välmående (Alderson &
Morrow, 2011) och att undersökaren är observant för om barnet inte längre önskar deltaga (Magnusson, 2013). Under denna intervention uppstod aldrig detta bekymmer.
Vid fotografering av elevernas arbeten fick eleverna alltid se bilderna när de så önskade.
5.5.6 Studiens trovärdighet och tillförlitlighet
Under detta stycke kommer vi att kortfattat beskriva studiens tillförlitlighet genom termerna reliabilitet och validitet.
Reliabilitet handlar om ifall resultatet som man har fått i en studie skulle bli detsamma om studien gjordes om igen (Kvale & Brinkman, 2009). Validitet handlar om ifall undersökningen verkligen mäter det den är avsedd att mäta (a.a.).
Genom att studien har ägt rum ute på fältet för att samla in empiri och undersökarna har varit på plats bidrar detta till studiens validitet (Denscombe, 2016). De
bedömningsmaterial som användes vid kartläggningen av elevernas matematik- kunskaper baseras på forskning i ämnet och pre- post- och eftertest genomfördes muntligt med var och en av eleverna. Detta ökar reliabilitet då vi som lärare använde testet som återkoppling i undervisningen (Karlsson & Kilborn, 2015). Under
interventionens gång har vi medvetet försökt undvika aktiviteter som är lika de uppgifter som finns med i testet. Detta för att undvika den igenkänningsfaktorn som skulle kunnat påverka resultaten vid post- och eftertest.Vid pretestsituationen var både vi som undersökare och själva provsituationen nytt för eleverna, medan vid posttest och eftertest var situationen mer bekant. Detta kan ha påverkat resultaten. Det har inte funnits någon kontrollgrupp att jämföra resultatet med, vilket även kan inverka på studiens validitet. För att öka reliabiliteten har vi försökt skriva metodavsnittet så utförligt och detaljerat som möjligt för att studien skulle kunna genomföras av någon annan undersökare och förhoppningsvis ge liknande resultat. Studien gör inte anspråk på att resultaten kan generaliseras till andra elevgrupper, eftersom det finns så många faktorer som påverkar undervisning och inlärningsmiljöer samt att urvalet i studien även var begränsat. Resultat kan dock vara överförbara till andra fall med exempelvis
hänvisning till samma ålder och sammanhang som studien bedrivits i (Descombe, 2016).
6 Resultat och analys
I följande avsnitt presenteras resultatet med analys av den insamlade empirin utifrån studiens frågeställningar:
Hur utvecklas förskoleklasselevers förståelse av antal inom talområdet 1–5 av intensivundervisning?
Hur utvecklas förskoleklasselevers förståelse av talraden 1–5 av intensivundervisning?
Resultat och analys av pre- post och eftertest inleder och sedan följer resultat och analys av interventionen.
6.1 Förståelse av antal och talraden i pre- post och eftertest
Före interventionen genomfördes ett urvalstest på 53 förskoleklasselever. Skolverkets kartläggningsmaterial Diamant, del Förberedande aritmetik Diagnos AF (bilaga A), användes. Resultatet visade på en förhållandevis god matematisk medvetenhet hos de flesta eleverna. Dock visade sju elever, 13 % av det totala antalet, på svårigheter med till exempel talraden, så som att börja räkna på ett givet tal eller att räkna baklänges.
Detta visade på ett behov av undervisning som stärker och utvecklar deras taluppfattning. Dessa elever ingick sedan i vår intervention.
I interventionens början genomfördes ett mer omfattande pretest, Elevintervju vid skolstarten (bilaga C) från Förstå och använda tal (McIntosh, 2008), vilket i fortsättningen kommer att benämnas som testet. Detta test är avsett att kartlägga förskoleklasselevers taluppfattning (a.a). Testet genomfördes i en för eleverna välkänd miljö, enskilt och muntligt. I detta test ingår samtliga komponenter i Sayers, Andrews &
Björklund Boistrups (2016) ramverk för grundläggande taluppfattning.
Vid interventionens slut genomfördes ett posttest som var samma individuella muntliga elevintervju som pretestet. Senare efter sommaruppehållet i september genomfördes samma test ytterligare en gång, ett eftertest. Nedan följer en tabell som visar resultaten över pre- post och eftertest.
elev pretest posttest förändring eftertest förändring
1 5 8 +3 10 +2
2 2 13 +11 12 -1
3 1 12 +11 9 -3
4 10 15 +5 17 +2
5 4 13 +9 13 0
6 6 15 +9 16 + 1
7 6 17 +11 17 0
medelvärde 4,85 13,29 +8,43 13,43
Tabell 2. Översikt över resultaten vid pre- post- och eftertest, Elevintervju vid skolstarten (McIntosh, 2008).
I tabellen ovan framgår att samtliga elever förbättrade sina resultat i en jämförelse mellan pretest och posttest. Två av eleverna visade på betydligt mindre förändring än de övriga med en förändring på tre respektive fem rätt. De övriga fem eleverna visade på en anmärkningsvärd större förändring då de alla förbättrade sina resultat med nio eller elva rätt. Två av eleverna som höjde sina resultat med elva rätt, hade vid pretestet ett resultat med ett respektive två korrekta svar. Eftersom detta test har ett maxresultat av 18, innebär det att dessa elever visade en förbättring från ett utmärkande lågt resultat, 5 respektive 10 procent korrekta svar till att vid posttestet klara av 67 respektive 72 procent av frågorna. Räknat på alla eleverna gjorde gruppen en förändring på 8.43 fler korrekta svar vid jämförelse mellan pretest och posttest, vilket innebär en positiv förändring på 47 procent.
I en jämförelse mellan post- och eftertest framgår att fem elever har samma eller något bättre resultat efter sommaruppehållet medan två elever har ett litet negativt resultat.
Dessa två resultat visar emellertid fortfarande på positiv förändring jämfört med resultatet från pretest. Sammantaget visar resultatet på post- och eftertest att
förskoleklasseleverna i denna studie har utvecklat förståelse av antal 1-5 och förståelse av talraden 1-5 och som var bestående tre månader efter avslutad intervention.
6.1.1 Förståelse av antal
I testet ingår sex frågor som direkt syftar på att ta reda på elevens antalsuppfattning. En fråga handlar om elevens förmåga att subitisera. Eleven fick se kort med prickar
ordnade som tärningsmönster, 1-6. Alla eleverna svarade rätt antal både vid pretest och posttest, under pretestet observerades att samtliga elever räknade prickarna innan de svarade. Vid posttestet däremot kunde sex elever subitisera alla tärningsbilderna, medan en elev kunde subitisera 1-3. Vid samtal med en elev under testets gång, svarar hen på frågan ”Hur många prickar ser du?”:
- Fem, jag ser dem i huvudet.
När eleverna fick uppgiften att räkna ett antal föremål på fyra olika kort (2, 4, 7 och 12) var det bara en elev som fick alla rätt i pretestet. De andra eleverna klarade att räkna två och fyra föremål, men trots att de pekade på ett föremål i taget så blev inte svaret rätt vid räknandet av sju och tolv. De höll inte ordning på vilka föremål som redan var räknade och som återstod att räkna eller så gissade de. Vid posttestet klarade eleverna däremot uppgiften, med undantag av en elev som fick bilden med tolv föremål till tretton. En större säkerhet och ett rytmiskt räknande (McIntosh, 2008) observerades vid posttestet, vilket kan visa på en större medvetenhet och förståelse av antalsuppfattning.
Eleverna hade nu utvecklat förståelse för sambandet mellan tal och mängd som innebär ett- till- ett principen mellan tal och antal och även kardinalprincipen, där det sista räknade talet i en uppräkning representerade det totala antalet i en mängd (Sayers, Andrews & Björklund Boistrup, 2016).
Två av antalsfrågorna avsåg att ta reda på om eleverna kunde begreppen flest, störst och minst. I den ena uppgiften fick eleverna jämföra olika sifferkort och i den andra fick de i uppgift att jämföra en hög med två lika stora föremål respektive en hög med tre. Vid pretestet visade alla eleverna osäkerhet när de skulle jämföra sifferkorten, till exempel bestämma om talet 2 eller 3 är störst, medan de alla klarade av att jämföra högarna med två respektive tre föremål. Detta visar att de har en viss förståelse för begreppet störst och påbörjat förståelse för åtskillnad mellan mängder (Sayers, Andrews & Björklund Boistrup, 2016) men det är begränsat till när det är kopplat med en visuell konkret representation, eftersom de ännu inte fullt ut utvecklat sambandet mellan tal och mängd (a.a) och därmed inte anammat en generell föreställning om talen eller börjat bilda en
mental talrad (Johansson, 2016). Samma begränsningar visade sig även när eleverna fick jämföra konkreta föremål som var större i antal, en hög med sju jämfört med en hög med åtta. Vid pretestet var det bara en elev som svarade rätt (och här går det att förmoda med stöd av övriga resultat att detta kan ha varit en gissning). En elev uttrycker sig så här:
- Jag kan inte, det är alldeles för många.
Vid samma uppgifter på postestet klarade nu fyra elever av att med säkerhet jämföra sifferkorten och alla eleverna var säkra i sin jämförelse av högarna, även de högar med de större antalen sju och åtta. Detta visar på en positiv utveckling av både elevernas förståelse för sambandet mellan tal och mängd och deras förståelse för åtskillnad mellan mängder (Sayers, Andrews & Björklund Boistrup, 2016).
Eleverna fick även en uppgift gällande uppskattning, vilket ingår Sayers, Andrews och Björklund Boistrups (2016) ramverk för grundläggande taluppfattning. Eleverna fick se tre bilder med olika antal stjärnor i ett oregelbundet mönster; 4, 9 och 18, en bild i taget under ett fåtal sekunder. Vid pretestet klarade alla eleverna att göra en rimlig
uppskattning av fyra stjärnor, där 3, 4 och 5 räknades som godkänt, men för övrigt blev det inte några rimliga uppskattningar. En elev tittade på bilden med 18 stjärnor, skakade på huvudet och sa:
- 1, 2 …oj, oj, jättemånga!
En annan elev sa:
- Det är mycket! Det är 10!
Även vid posttestet visade sig uppskattningen av 18 stjärnor vara svår, fem elever har fortfarande en orimlig uppskattning. Däremot gjorde eleverna en betydligt rimligare uppskattning av nio stjärnor denna gång. Detta stämmer väl överens med
interventionens innehåll där vi arbetade med antal upp till 10.
För att ta reda på om eleverna behärskar Sambandet mellan tal och mängd, ombads de att ta ett visst antal föremål ur en hög med 20 föremål på bordet. Vid pretestet klarade alla eleverna att plocka ut tre föremål, men åtta och femton visade sig vara mycket svårare för dem. Ett exempel på hur det kan visa sig att en elev inte anammat en- till- en principen och kardinaltalsprincipen är när en elev ska plocka ut femton föremål ur högen på bordet, istället bara konstaterar att femton är många och tar hela högen. Vid posttestet däremot klarade samma elev uppgiften utan större problem precis som fem andra elever också gjorde – nu hade de en större förståelse för sambandet mellan tal och mängd.
Sammantaget i en jämförelse mellan pretest och posttest drar vi slutsatsen att
elevgruppen har stärkt sin förståelse av antal. Denna effekt kvarstod tre månader senare, enligt resultat på eftertest (tabell 2).
6.1.2 Förståelse av talraden
I testet finns det även frågor som syftar på att ta reda på elevernas kunskap om talraden.
I början av testet ska eleverna visa hur långt de kan ramsräkna, systematisk räkning, och de flesta eleverna kunde räkna till 21 eller mer. Enligt McIntosh (2008) kan det vara en
tröskel att kunna räkna till mer än 29, vilket vi var uppmärksammade på både vid pre- och posttest. En elev utryckte det som:
- Jag vet att det inte heter tjugotio, men jag kommer inte på vad...
Trots att vi inte har lagt något fokus på ramsräkning över tio, upplevde vi vid posttestet att samtliga elever räknade med en större säkerhet och de räknade längre. Denna säkerhet framgick också tydligt vid frågan om framåträkning med start vid ett annat tal än ett. Vid pretestet var det endast en elev som kunde börja räkna på talet 4, medan vid posttestet klarade samtliga elever att med säkerhet börja räkna från både 4 respektive 8.
Detta visar att eleverna nu har stärkt sin systematiska räkning, de har gått från att uppfatta räkneramsan som en odelbar ordningsföljd till en mer generell föreställning för talen, de har nu även en större insikt om talens grannar.
Att kunna räkna baklänges är en milstolpe i ett barns erövring av talraden, eftersom detta är ett redskap inför lösning av subtraktionsuppgifter (Johansson, 2016). En uppgift i testet var att kunna räkna bakåt med början på fem. I pretestet kunde två elever detta, men senare i posttestet klarade fem elever momentet, vilket visar på ökat kunnande om talraden.
Två av komponenterna i den grundläggande taluppfattningen är symboler för tal och mönster i talföljden (Sayers, Andrews, Björklund Boistrup, 2016). Både dessa fick eleverna visa prov på genom att uppge vilket sifferkort som togs bort i en horisontell talrad, 0-10, medan de tittade bort. Här observerade vi en markant skillnad mellan pre- och posttest. Vid pretestet var de flesta eleverna beroende av principen om räkneordens stabila ordning och började hela tiden med att räkna och peka på talraden från ett, utan att det nödvändigtvis blev rätt. Vid posttestet svarade de alla både snabbt och säkert rätt svar, utan att ta stöd av ramsräkning eller pekande. De behärskar nu talraden upp till 10 och talens grannar.
Samma komponenter, symboler för tal och mönster i talföljden, testades även genom att eleverna fick ordna talkort med 2, 5 och 3 i en horisontell rad från det minsta till det största. Vid pretestet vållade detta bekymmer för sex av eleverna, som inte kunde ta stöd i någon inre mental talrad. Trots att en av eleverna hade en idé om talföljden, kunde hen ändå inte lösa uppgiften.
- Det här går inte!
- Varför då?
- Jag måste ju ha en etta och en fyra!
När hen inte fick fler sifferkort, gav hen upp. Precis som i uppgiften ovan, observerades stor skillnad hos samtliga elever vid posttestet. De lägger nu korten snabbt och säkert i rätt ordning, vilket kan tyda på att de har skapat en inre mental talrad. Vilket i sin tur kommer att hjälpa eleverna med den grundläggande aritmetiken.
Sammantaget i en jämförelse mellan pretest och posttest drar vi slutsatsen att
elevgruppen har stärkt sin förståelse av talraden. De har börjat utveckla en mental inre talrad vilket visar på att eleverna har börjat utveckla en förståelse för att matematik inte bara existerar i den konkreta världen utan även kan ske inne i huvudet, den abstrakta världen. Vid eftertest uppmärksammades att denna effekt kvarstod tre månader senare (tabell 2).
6.2 Förståelse av antal och talraden i interventionen
Interventionen genomsyrades av det sociokulturella perspektivet på lärandet där språk, kommunikation och social gemenskap ingick i samtliga lektioner. Lektionerna
planerades och genomfördes av oss själva, vilket innebar att vi medverkade tillsammans med eleverna i en deltagande observation.
6.2.1 Förståelse av antal
Under ett par lektionerna fick eleverna undersöka hur talet fem kunde delas upp i två mindre delar, bland annat med hjälp av en uppdelningsmaskin (bild nr.7). För eleverna föll det sig naturligt att dela så rättvist som möjligt, då detta rättvisebegrepp är en del av barns vardag. Eftersom fem är ett udda tal, vållade detta en del bekymmer.
- Tre till mej och två till dej eller två till mej och tre till dej.
- Två till mej och två till dej (eleven försökte sedan gömma undan den udda bönan).
Här visade eleven på svårigheter med att förstå att det går att dela upp ett antal utan att det är en likadelning. Detta ställde krav på oss lärare att vara extra tydliga om att det handlade om att undersöka på hur många olika sätt talet kan delas upp. Efter flertalet laborationer med medierande artefakter så som konkret material, i detta fallet bönor, och resonemang upptäckte eleverna de olika kombinationerna. Vi stöttade (scaffolding) eleverna med att ordna de olika kombinationerna för att synliggöra att det fanns ett mönster. En elev utbrast:
- Aah, det blir som en trappa!
Bild 7.Uppdelningsmaskin. Bild 8. Kuber ordnade som en trappa. Med hjälp av talkort befästes
sambandet mellan olika representationer.
Ett distribuerat lärande baseras på grupparbete och samtal (Dysthe, 2003). I arbetet med talet fem blev det tydligt att ett kommunikativt och undersökande arbetssätt bidrog till att eleverna upptäckte de olika kombinationerna och utvecklade sin förmåga att förstå sambandet mellan tal och mängd. Eleverna fick tillfällen att dela med sig av sina kunskaper och erfarenheter till sina kamrater. De jämförde sina uppdelningar med kompisarnas, vilket gjorde att samband upptäcktes (Aah, det blir som en trappa!) och diskussion uppstod (bild 8). När eleverna lär av varandra och kunskaper från olika elever vävs samman sker en vidareutveckling av elevernas förståelse (Säljö, 2015).
