Jämförelse m e d f r ä m m a n d e länder.

M a t e m a t i k e n i skolan.

Af H . P e t r i n i .

Under diskussionen o m läroverksreformen h a r m a n haft föga a t t säga o m m a t e m a t i k e n . O c h ' d o c k äro kurserna i d e t t a ämne ömkligt små i jämförelse m e d h v a d de äro i andra länders skolor m e d samma t i m a n t a l för m a t e m a t i k e n . H i s t o r i s k t t o r d e detta missförhållande hafva u p p k o m m i t på följande sätt. För a t t slippa rötäggen i klassen inrättade m a n för deras s k u l l i m e d i e t af förra århundradet en spe- ciell l i n j e , r e a l l i n j e n , b vars h u f v u d s a k l i g a särmärke v a r : i n g e n latinläsning. M e n för a t t eleverna ej skulle slå d a n k under d e n t i d k a m r a t e r n a läste l a t i n , satte m a n d e m i brist på a n n a t a t t räkna. A andra sidan k u n d e m a n n u peka på de många m a t e m a t i k t i m m a r n a och säga, a t t r e a l l i n j e n var afsedd för d e m som v i l j a välja den p r a k t i s k a b a n a n ; d e t t a lät j u bättre. M e n då äfven i n t e l l i g e n t a p o j k a r så småningom bör- j a d e besöka r e a l l i n j e n , flngo dessa under de många mate- m a t i k t i m m a r h a förnöta t i d e n med a t t lösa mer tillkrånglade p r o b l e m på samma kurs. På d e t t a sätt bibehölls en löjligt l i t e n k u r s i förhållande t i l l t i m m a r n a s a n t a l , a l l t under det problemen blefvo mer och mer invecklade. Sedermera har språktyranniet v u n n i t insteg äfven på reallinjen och där t i l l r y c k t sig en mängd t i m m a r frän m a t e m a t i k e n och natur- vetenskaperna.

Jämförelse m e d f r ä m m a n d e länder.

Våra kursplaner i m a t e m a t i k hålla någorlunda jämna steg m e d främmande länders för klasserna 1—4. I läro- verkskommitténs förslag är det t . o. m . m e n i n g e n a t t här h i n n a m e d ungefär samma k u r s som i de n y a preussiska skolplanerna är stadgad för motsvarande klasser i »Oberreal- schnle» som svarar emot vår reallinje, ehuru m a t e m a t i k e n där har sammanlagclt t r e v e c k o t i m m a r mer. D e t är egent- l i g e n först från och m e d femte klassen som vår efterblif-

venhet gör sig märkbar, o m den också e n l i g t n u gällande

läsordning börjat redan i fjärde. I Preussen skola nämligen

eleverna redan i de sex nedre klasserna hafva läst andra- gradsekvationer och l o g a r i t m e r t i l l och m e d på den helklas- siska l i n j e n , där dock l a t i n e t börjar redan i första klassen (8t) och g r e k i s k a n i fjärde ( 6 t ) . Och på den halfklassiska l i n j e n läses dessutom på realskolestadiet stereometri och t r i - gonometri. I F r a n k r i k e läses i den klass som motsvarar vår R 6 : 1 : algebra fullständigt, s t e r e o m e t r i — likformighetsläran läses redan i femte klassen — grafisk representation. Må dessa exempel vara nog för a t t visa den enorma s k i l l n a d e n m e l l a n såväl våra n u v a r a n d e kurser som den kurs läroverks- kommittén föreslagit för realskolan och h v a d m a n anser sig böra m e d h i n n a på ungefär samma t i d i motsvarande klasser på andra håll. A t t våra kurser för studentexamen skola, b l i bedröfligt små i jämförelse m e d andra länders är då a t t vänta, och det k a n icke k o m m a ifråga a t t jämföra ens vår realstudentkurs m e d annat än kursen på den helklassiska l i n j e n på andra håll. Så läses enligt de preussiska skolplanerna i 7:1 och 7:2 följande kurser på den helklassiska l i n j e n .

»Aritmetik: A r i t m e t i s k a och geometriska serier s a m t ränta på ränta. Grunderna af kombinationskalkylen ock dess omedelbaraste användningar på sannolikhetsberäkning. Binomial- teoremet för hela p o s i t i v a exponenter. Sammanhängande framställning af räknelagarna ( u t v i d g n i n g af talbegreppet genom de algebraiska operationerna från och m e d hela posi- t i v a t a l t i l l och m e d komplexa tal). E k v a t i o n e r af högre g r a d som k u n n a reduceras på andragradsekvationer.

F o r t s a t t a öfningar i t r i g o n o m e t r i och geometriska k o n - struktionsuppgifter.

Stereometri och dess användning på matematisk geografi ock astronomi. Teorin för perspektivisk teckning af foremål i tre dimensioner.

Koordinatbegreppet. Några g r u n d t e o r e m angående koni- ska sektioner.

U t v i d g n i n g a r , s a m m a n f a t t n i n g a r och öfningar på alla områden i de föregående klassernas kurser.»

D e t t a a l l t på 4 v e c k o t i m m a r i hvardera klassen! Som man ser läsa de t y s k a grekerna b e t y d l i g t mer m a t e m a t i k än våra realstudenter (det af m i g kursiverade går utöfver vår reallinjes kurs). För a t t visa h v i l k a f o r d r i n g a r m a n ställer

på en helklassisk a b i t u r i e n t s kunskaper i m a t e m a t i k må här

meddelas a b i t u r i e n t s k r i f n i n g a r n e v i d F r i e d r i c h s - G y m n a s i u m i B e r l i n hösten 1 9 0 1 :

» 1 . E t t sfäriskt segment af trä, hvars höjd är h = 7 cm. flyter i v a t t e n m e d den b u k t i g a sidan nedåt och ligger då a = 6 c m . d j u p t . O m det åter s u m m e m e d den plana sidan nedåt, skulle det nå a c m . öfver v a t t e n y t a n . H u r u stor är sfärens radie, h v a d är segmentets v i k t och h u r u stor är träets specifika v i k t ?

2. På en ort som ligger på 52° 3 0 / 3 n o r d l i g l a t i t u d har m a n k l . 5' 5,3'" e. m . den 5 j u n i bestämt solens höjd t i l l 26° 32,'!) och dess a z i m u t t i l l 86° 53'. H u r u stor var solens d e k l i n a t i o n v i d tillfället? H v i l k e n l o n g i t u d har orten?

T i d s e k v a t i o n e n u p p g i c k den 5 j u n i t i l l — 2,4

.

3. För ett hus b j u d e r A 100,000 M k o n t a n t , B 110,000 M på det sätt a t t han betalar 50,000 M k o n t a n t och 60,000 M o m fyra år; C b j u d e r 114,000 M på det sätt a t t 30,000 M betalas k o n t a n t och rasten i s j u årliga afbetalningar å

12,000 M . H v e r n b j u d e r mest? 4 % .

4. Bestäm skärningspunkterna m e l l a n ellipsen

X

+ -

1

100 400 och parabeln

y

= B O X ,

uppställ e k v a t i o n e r n a för de tangenter t i l l de båda k u r v o r n a som gå genom skärningspunkterna samt bestäm de p u n k t e r , i h v i l k a t a n g e n t e r n a skära axlarna.»

I 7:1 och 7:2 läsa hal/realisterna i Preussen:

»Kombinationskalkylen och dess användning på sanno- likhetsberäkning. B i n o m i a l t e o r e m e t för g o d t y c k l i g a exponen- ter samt enklare oändliga serier. Sammanhängande fram- ställning af räknelagarna, kubiska ekvationer. E n k l a r e exem- pel på m a x i m a och m i n i m a .

Sfärisk t r i g o n o m e t r i m e d användning på m a t e m a t i s k geografi och a s t r o n o m i .

G e o m e t r i : Grunddragen af den beskrifvande g e o m e t r i n . De v i k t i g a s t e satserna o m koniska sektioner med elementär syntetisk b e h a n d l i n g .

) P l a n a n a l y t i s k g e o m e t r i .

') Läran om harmoniska punkter och strålar genomgås i 6:2.

U t v i d g n i n g a r , s a m m a n f a t t n i n g a r och öfningar på alla om- . råden af de föregående klassernas kurs.»

På reallinjen t i l l k o m m e r :

»Behandling af de v i k t i g a s t e serierna i den algebraiska analysen. På denna l i n j e k a n efter omständigheterna en ut- v i d g n i n g ske a n t i n g e n af den a r i t m e t i s k a kursen, genom be- h a n d l i n g af allmän ekvationsteori jämte metoder t i l l approxi- m a t i v lösning af numeriska, algebraiska och transcendenta ekvationer, eller af den geometriska kursen genom utförligare b e h a n d l i n g af den beskrifvande, syntetiska eller analytiska geometrin.»

Jag v i l l här meddela s t u d e n t s k r i f n i n g a r n a påsken 1902 vid »Das Dorotheenstädtische Realgymnasium» (motsvarar vår B - l i n j e ) :

1. x

= 1 5 — 8 i .

2. H v i l k e n k u r v a representeras af ekvationen 19x

+ 2 1 6 x y — 4 4 y

+ 1420x + 440y + 2900 = 0?

3. H v i l k e n är den största k o n som k a n inskrifvas i en gifven rotationsellipsoid, så a t t dess axel ligger utefter rota- tionsaxeln? H u r u förhåller sig dess v o l y m t i l l ellipsoidens?

4. H v i l k e n höjd och h v i l k e n a z i m u t har solen i B e r l i n (op = 52° 31') den 14 m a j k l . 4' 10'" e. m . medeleuropeisk t i d ? D e k l i n a t i o n e n är J = + 18° 3 0 ' 58"; t i d s e k v a t i o n e n g = — 3

55

, l o n g i t u d i n a l t i d 1 = 6

28

.

F r i v i l l i g u p p g i f t : Härled f o r m e l n för beräkning af den treaxiga ellipsoidens v o l y m .

I Frankrike läses i högsta klassen på alla fyra l i n j e r n a bl. a. elementen af differential och integralkalkyl m e d enklare tillämpningar på beräkning af y t o r , v o l y m e r , m a x i m a och

m i n i m a m . m .

L ä r o v e r k s k o m m i t t é n s förslag'.

Den successiva afskrifningen af m a t e m a t i k e n som hos

oss förekommit v i d alla ändringar (»reformer») i skolplanen

under senaste halfseklet har ej heller u t e b l i f v i t i läroverks-

kommitténs förslag. För dem som önska utträda i det prak- t i s k a l i f v e t efter a t t hafva genomgått en sexårig realskole- kurs har m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n minskats m e d två vecko- t i m m a r , t y af sjätte klassens u p p g i f n a 5 t i m m a r äro endast 4 anslagna åt m a t e m a t i k m o t den n u v a r a n d e R 6 : l : s 6 t . (den femte är nämligen anslagen åt bokhålleri, som snarare borde räknas t i l l välskrifuing och förläggas t i l l t r e d j e klas- sen). Därtill k o m m e r a t t för dem m a t e m a t i k s k r i f n i n g e n h e l t och hållet b o r t t a g i t s . För gymnasiets alla klasser har kom- mittén dessutom föreslagit en m i n s k n i n g af m a t e m a t i k s k r i f n i n - garna från en s k r i f n i n g h v a r a n n a n vecka t i l l en s k r i f n i n g h v a r t r e d j e vecka — en utmärkt i l l u s t r a t i o n t i l l h u r u k o m - mittén f a t t a r behofvet af ökad själfverksamhet. D e t t a har skett »till lättnad i arbetet för både lärjungar och lä- rare» eller m . a. o. det är lärarnas lättja och leda vid att rätta skrif böcker, som skall vara den bestämmande principen vid skol- reformer i Sverige.

Aritmetik. Kommittén betonar särskildt a t t m a n skall syssla m e d »parentesräkning» (i fjärde klassen) och »sam- m a n s a t t a bråkexempel» (i femte). D e t t a k a n ej tolkas annat än som en d i r e k t u p p m a n i n g t i l l kineseri. D e n på de sista decennierna införda »parentesräkningen» är nämligen icke att b e t r a k t a såsom enkla sifferexempel lämpliga a t t klargöra för eleven vissa räknelagar som eljest först möta i algebran (särskildt teckenändring och u t b r y t n i n g af en gemensam faktor) u t a n det är ett s a m m e l s u r i u m af en massa bråk- streck öfver och under h v a r a n d r a och parenteser i n u t i hvar- a n d r a , a l l t s a m m a n s befolkadt m e d en heterogen b l a n d n i n g af bråk och decimalbråk. Se här ett »sammansatt» bråk- exempel m e d parenteser hämtadt ur den mest använda läro- boken i a r i t m e t i k (Bergs räknelära):

•<;^ + ^0f~ ^ ^{- X 4,5 + ( A + 0,1) : 1,4]}

5

/o X 1,26 + 5,22 : l

/ 7 — 0,9024 : 0,24

*) Det hör t i l l saken att småbarnen ej få använda samma

multiplikationstecken som äldre, utan de få ha ett för dem ensam-

ma konstrueradt tecken, alldeles som skolmatematiken f. ö. delvis

håller sig med en för den säregen terminologi.

Det är sådant kommittén v i l l alldeles särskildt u p p m u n t r a t i l l ! D e t t a exempel är dock b l o t t afsedt a t t för närvarande läsas i tredje klassen, l i v a d blir då icke utseendet af paren- tes- och sammansatta bråkexempel i f e m t e och sjätte klas- serna — t y äfven i realskolans högsta klass skall m a n idissla

»de fyra räknesätten i hela t a l och b r å k » !

Algébra. Här k o m m e r kommittén m e d en alldeles split- ter n y idé som »är så v i d t kommittén har sig bekant ännu icke någonstädes i större utsträckning prof vad.» nämligen att från första början ställa hela algebrau på h u f v u d e t . A l g e b r a n är som b e k a n t en helt n a t u r l i g och omedelbar ut- v e c k l i n g nr a r i t m e t i k e n u p p k o m m e n genom de enkla arit- m e t i s k a räknelagarnas allmängiltighet. Och n a t u r l i g t v i s bör äfven studiet af algebran införas på denna väg. När eleven i tredje klassen b l i f v i t förtrogen m e d bråkläran och den enkla m e n fruktbärande f o r m af parentesräkning, som ofvan a n t y d t s i motsats emot den hos oss n u b r u k l i g a , så b l i r det honom en lätt sak a t t f a t t a innebörden af användningen af bokstäfver. Sedan h a n b l i f v i t uppmärksamgjord på allmän- g i l t i g h e t e n af de a r i t m e t i s k a räkneoperationerna är h a n be- r e d d a t t omedelbart räkna enklare exempel på alla områden af »hela t a l och bråk» i algebran, och d e t t a u t a n någon y t t e r l i g a r e u n d e r v i s n i n g a t t t a l a o m . När så eleven fått en viss vana a t t räkna med bokstäfver i stället för siffror så- som tecken för t a l , n a t u r l i g t v i s m e d ständigt bibehållen kän- n i n g af denna betydelse hos bokstäfverna, så är h a n någor- l u n d a preparerad a t t börja ekvationsläran. Här t i l l k o m m e r n u en n y h e t för honom, nämligen användningen af de E u k l i - deiska a r i t m e t i s k a axiomen på räkning. M e n äro räknela- garua väl inhämtade, så möter ej heller ekvationsläran några större svårigheter. D e t t a a l l t är så t r i v i a l a saker a t t de ej hade behöft omnämnas, o m ej läroverkskommittén v i l l e i n - föra en emot denna n a t u r l i g a lärogång r a k t m o t s a t t , h v i l k e n skulle snedvrida m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n från första början.

Läroverkskommittén v i l l nämligen införa ekvationsläran före

hela t a l och bråk i algebran samt g r u n d a den senare under-

visningen på den förra, så a t t m a n medelst ekvationer skall

införas i bokstafsbeteckningen och dess användning i stället

för tvärtom. Så v i d t j a g f a t t a t kommittén rätt skall m a n

vid svårare ekvationer först förbereda sig genom a t t nätt

och j ä m t räkna så m y c k e t algebra som behöfs för deras lös- n i n g , och så u n d a n för u n d a n . Det hela b l i r då e t t f u l l - ständigt v i r r v a r r för nybörjaren, h a n får nämligen alltför m y c k e t n y t t a t t sätta sig i n i på en gång och d e t t a n y a s k a l l dansa o m i hjärnan på h o n o m g e n o m m e t o d e n : växel- vis ekvationer och algebra, där g r u n d e n r y c k t s u n d a n båda, och h v a r d e r a försöker a t t stödja sig på den andra. A n l e d - ningen t i l l införandet af denna v i r r i g a n y h e t förklaras bero på nybörjarens i allmänhet visade oförmåga a t t förstå alge- bra. M e n v i d närmare undersökning visar det sig, a t t d e t t a onda nästan uteslutande beror på a t t den mest använda

•exempelsamlingen (Haglunds) har alldeles för svåra exempel.

Det k a n därföre godt häfvas h e l t enkelt genom användandet af en l i n d r i g a r e lärobok (t. ex. Möllers) m e n äfven denna med u r s k i l l n i n g .

»Proportionsläran». I Sverige l i d e r m a t e m a t i k u n d e r v i s - . n i n g e n af den black o m foten som heter »proportionslära»

utgörande e t t slags kvasivetenskaplig lära o m allmänna stor- heter m . m . och som h v a r k e n p o j k a r n a eller lärarna själfva förstå, a t t döma af de otaliga felaktiga läroböcker som finnas u t g i f n a i proportionslära. O m m a n håller sig t i l l storheter- nas mätetal och ej t i l l storheterna själfva och sålunda defini- e r a r förhållandet mellan två storheter såsom kvoten mellan

deras mätetal, så har m a n reducerat hela frågan t i l l en alge-

braisk fråga. Och på två å tre lektioner h i n n e r m a n gå

i g e n o m a l l t h v a d m a n u r läran o m proportionella tal behöf-

ver känna t i l l för s t u d i e t af likformighetsläran. Läroverks-

kommittén bibehåller n u proportionsläran i hela dess om-

f a t t n i n g på gymnasiet m e n den anser a t t m a n i realskolans

sjätte klass k a n reda sig m e d likformighetsläran den för-

l i t a n . D e t t a icke därför a t t kommittén anser proportions-

läran obehöflig, u t a n därför a t t den kör med en nyupptäckt

f o r m e l »i realskolan skall endast läsas rationella tal» h v i l k e n

är hopgjord u t a n rhagaste hänsyn t i l l realskoleelevens behof

af a t t känna t i l l områden af m a t e m a t i k e n , där de rationella

talen ej förslå. U t o m det a t t likformighetsläran ovillkorligen

förutsätter kännedom o m i r r a t i o n e l l a förhållanden, så har j u

kommittén själf föreslagit p l a n i m e t r i s k a räkneöfningar i real-

skolan. A r det då meningen a t t läraren t . ex. skall i n b i l l a

eleverna, a t t re är e t t r a t i o n e l l t t a l ( =

/x)?

Geometri. H v a d som här genast faller i ögonen i läro- verkskommitténs förslag är, a t t g e o m e t r i n u t e s l u t i t s ur t r e d j e klassen. A n n a r s är det en erkänd jjedagogisk p r i n c i p , a t t m a n v i d undervisningen j u s t skall börja m e d det åskådli- gare, och a t t det snarare är det abstraktare som bör upp- skjutas t i l l ett senare s t a d i u m . M e n kommittén har gått en alldeles m o t s a t t väg genom a t t u p p s k j u t a geometrin, som j u s t är den åskådligaste formen af m a t e m a t i k e n , ännu ett år, och den har därvid fortsatt på samma väg som m a n förut beträdt, då m a n drog i n den geometriska åskådningslärau (i andra klassen). D e t medges gärna a t t u n d e r v i s n i n g e n i g e o m e t r i på nederstadiet har k u n n a t lämna klena resultat på många ställen, m e n detta beror ej på ämnets n a t u r — som snarare kräfver a t t geometrin börjar redan i första klassen — u t a n därpå a t t de h u m a n i s t i s k a rektorerna tro, att h v e m som hälst duger

• t i l l a t t undervisa på nederstadiet i ett för läraren så svårt ämne som de*första grunderna af geometrien. Och ölägen- heterna afhjälpas sannerligen icke genom a t t u p p s k j u t a äm- net y t t e r l i g a r e ett år, utan genom att öfverlåta a l l under- v i s n i n g i m a t e m a t i k åt kompetenta facklärare. Eljest får m a n snart l i k a stor a n l e d n i n g a t t t a bort g e o m e t r i n äfven nr fjärde klassen -— l i k s o m kommittén redan delvis g j o r t med algebran — och så u n d a n för u n d a n . .Dessutom är kommitténs k u r s p l a n i geometri m y c k e t oredig. Så skall m a n i femte och sjätte klasserna af realskolan syssla m e d

»planimetriska och enklare stereometriska räkneöfningar i

a n s l u t n i n g t i l l den geometriska kursen». Men ser m a n efter

h v a d den geometriska kursen innefattar, så finner m a n alls

ingen stereometri i densamma. L i k a meningslös är själfva

utsöndringen af ämnet »planimetri» — m e d detta ord menar

kommittén antagligen den n u m e r i s k a behandlingen af geome- .

t r i n •— ur ämnet »geometri» och dess förläggande u n d e r

r u b r i k e n »aritmetik och algebra». D e t t a är ej b l o t t en r u b r i k -

fråga, u t a n det innebär i själfva v e r k e t en d i r e k t u p p m a n i n g

t i l l läraren a t t låta barnen förnöta t i d e n med onödiga och

långa sifferräkningar efter formler som de i n t e begripa. K o m -

mittén är missnöjd m e d de geometriska s t u d e n t s k r i f n i n g a r u a

på r e a l l i n j e n , men kan l i k a l i t e t här som förut förbättra an-

o r d n i n g a r n a . Då här clen eljest använda metoden a t t upp-

skjuta saken ett eller annat år icke k a n k o m m a i fråga, så

löser kommittén den gordiska k n u t e n på det enkla sättet, a t t de geometriska s t u d e n t s k r i f n i n g a r n a afsJcaffas.

Stereometri. H v a r k e n i realskolan eller på l a t i n g y m n a siet skall enligt kommitténs förslag läsas stereometri. K o m - mittén t y c k s icke hafva märkt, a t t den tredje dimensionen spelar en viss r o l l i det praktiska l i f v e t .

I förhållande t i l l främmande länder m e d ungefär samma t i m t a l i m a t e m a t i k äro v i sålunda o r i m l i g t långt på efter- kälken. Våra halfrealisters kurs t i l l studentexamen är af ungefär den o m f a t t n i n g som efter utlandets mönster borde sättas för realskoleexamen, och vår realstudentkurs går i c k e u p p m o t kursen på andra länders helklassiska linjer. Och trots d e t t a har läroverkskommittén icke på en enda p u n k t försökt höja m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n , u t a n den har snarare velat försämra densamma t i l l och m e d på r e a l l i n j e n , där den föreslagna minskningen af timantalet i tredje r i n g e n s k a l l delvis uppvägas af »någon lättnad i examensfordringarna».

Men så t y c k s också läroverkskommittén icke hafva t a g i t m i n s t a notis om de kurser m a n anser sig k u n n a h i n n a med i andra länder.

Lärareutbildningen.

Lärareutbildningen i de m a t e m a t i s k a ämnena v i d våra

u n i v e r s i t e t torde i c k e stå efter den i andra länder. Visser

l i g e n k o m m e r den svenske studenten äfven om h a n är rea-

l i s t t i l l universitetet sämre u t r u s t a d med m a t e m a t i s k a för-

kunskaper än exempelvis den tyske b alfrealisten, m e n i all-

mänhet taga de svenska examina i stället en så m y c k e t

längre t i d i anspråk. Skulle m a n i fråga om våra univer-

sitetsstudier ha någon önskan a t t framställa, så vore det a t t

någon större hänsyn t i l l skolan borde tagas v i d uppställandet

af f o r d r i n g a r n a för b e t y g i fllosofiekandidatexamen, så a t t

kursen äfven omfattade en viss fördjupning på alla områden

af skolkursen och de t i l l denna närmast liggande områdena

af m a t e m a t i k e n . Men o m också u n i v e r s i t e t e n sörja för en

r e l a t i v t god lärareutbildning i m a t e m a t i k , så förringas den

goda v e r k a n häraf därigenom a t t s k o l m y n d i g h e t e r n a i stället

v i d tillsättning af lärare för m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n icke

fästa s y n n e r l i g v i k t v i d dessas f a c k u t b i l d n i n g . D e t t a sker

i så hög g r a d , a t t den första u n d e r v i s n i n g e n i a r i t m e t i k och geometri, som meddelas i de t r e å fyra nedersta klasserna, i regel uppdrages åt personer som icke äro fackmän, och a t t detta oskick bedrifves ofta alla de sex nedre klasserna igenom. Följden af a t t sätta personer som sakna sinne för m a t e m a t i k a t t undervisa på så svåra undervisningsområden som de första grunderna af bråkläran, geometrin och alge- b r a n har också visat sig däri, a t t g r u n d e r n a oftast äro dåliga, m e n i n o m i n t e t annat område gäller det i så hög g r a d som på det m a t e m a t i s k a , att det är omöjligt a t t bygga vidare på en dålig g r u n d , h v i l k e t också m e d största skärpa fram- hålles i de n y a preussiska skolplanerna. E t t u t t r y c k härför är kursen i 6 : 1 , som h u f v u d s a k l i g e n består i repetitioner. Här är t y d l i g e n det m e n i n g e n a t t läraren som tar v i d på g y m n a s i e t s k a l l lära eleverna h v a d dessa borde hafva inhämtat i småklassserna.

På d e t t a sätt går ett helt år, s t u n d o m mer förloradt. A t t

e t t d y l i k t system k u n n a t vara möjligt torde hafva sin för-

k l a r i n g däri, a t t l e d n i n g e n af hela vårt undervisningsväsen,

högst uppifrån och ända ner, ständigt legat så godt som

uteslutande i händerna på präster och humanister, och dessa

måtte från sina egna studieämnen hafva hämtat en dålig

erfarenhet, då de a l d r i g visat sig u p p s k a t t a värdet af fack-

bildning. O m det v e r k l i g e n är så, a t t h v e m som hälst k a n

undervisa i h v i l k e t humanistiskt ämne som hälst, äfven om

h a n a l d r i g studerat detsamma, v i l l j a g låta vara osagdt,

men r e n t af v a n v e t t i g t är det a t t tillämpa denna humanis-

t i s k a p r i n c i p på m a t e m a t i k e n och de naturvetenskapliga äm-

nena. T y m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n förutsätter en särskild

m a t e m a t i s k begåfning hos läraren (ej- hos eleverna) som ej

är a l l o m gifven, och u n d e r v i s n i n g e n i naturvetenskaperna

förutsätter en på särskilda laboratorier v u n n e n p r a k t i s k ut-

b i l d n i n g hos läraren. E m o t f o r d r a n på f a c k b i l d n i n g hos

matematikläraren reser sig en a n n a n fördom, nämligen det

i småklasserna och särskildt i första klassen praktiserade

klasslärarsystemet. Visserligen är klasslärarsystemet förklar-

l i g t på motsvarande stadier i folkskolan, där i n g e n fackut-

b i l d n i n g hos läraren ännu förekommer; men detta är i n t e t

skäl för realskolan att upptaga systemet såsom »peda-

gogiskt» .

D e n n u v a r a n d e m a t e m a t i s k a u n d e r v i s n i n g s m e t o d e n . Det är en lätt konstaterad erfarenhetssats a t t j u okun- nigare en lärare är i s i t t fack — sak samma h v i l k e t — desto mer f o r m a l i s t i s k b l i r u n d e r v i s n i n g e n och desto mer tenderar den t i l l utanläsning. Dessa skadliga följder af an- vändandet af dåliga lärare på nederstadiet i skolan hafva ej heller u t e b l i f v i t när det gäller m a t e m a t i k e n . Geometrin har b l i f v i t konsten a t t r a b b l a ett bevis j u s t på det sättet den eller den läraren v i l l hafva det — tänk bara på det rabbel som kallas »bevis på linjen»! — algebran är för ny- börjaren konsten a t t m a n i p u l e r a m e d bokstäfver efter vissa gifna regler, och a r i t m e t i k e n i småklasserna har n e d s j u n k i t t i l l a t t vara ett rent h a n d t v e r k . Och så fortsattes det, hela skolan i g e n o m . Då fackläraren sedan på ett högre s t a d i u m får m o t t a g a på detta sätt preparerade elever känner h a n sig mången gång nödsakad a t t fortsätta i samma anda. T y h a n v i l l ej riskera a t t ej h i u n a m e d kursen, o m h a n skulle börja o m ända från början m e d en n y m e t o d . Eleverna få då lära sig, att den sortens p r o b l e m skall lösas på det sät- tet och den sortens på det sättet. Och när de äro väl pre- parerade och exercerade i användningen af speciella regler för hvarje särskild problemsort, som plägar förekomma i s t u d e n t s k r i f n i n g a r n a , släppas de d i t och s l i n k a i g e n o m u t a n a t t egentligen hafva fått någon m a t e m a t i s k b i l d n i n g . M e n k o m m e r det ett p r o b l e m af annat' slag än de lärt sig eller endast m e d en n y f o r m u l e r i n g , våga de sig icke på det- samma. D e t heter då b l a n d lärarna: »den sortens pro- b l e m ha h i t t i l l s icke hört t i l l kursen». Och så få nästa års s t u d e n t k a n d i d a t e r lära sig den n y a sorten — m e n al- d r i g tänker m a n på a t t lära d e m den enda f u l l t generella

»sorten»: konsten att tänka i hvart fall särskildt. M a t e m a t i -

ken har sålunda u r a r t a t t i l l ett tankedödande m e k a n i s k t i n -

nötande af regler i stället för a t t vara det mest tanke-

u t v e c k l a n d e ämne som finns. L i k s o m m a n förr i världen

och delvis ännu v i d språkundervisningen g i c k t i l l väga så,

som om språket själft endast tjänade t i l l a t t i l l u s t r e r a de

g r a m m a t i s k a reglerna, på samma sätt få de m a t e m a t i s k a

u p p g i f t e r n a endast tjäna som medel a t t innöta vissa mate-

m a t i s k a regler och mer eller m i n d r e obegripna formler.

Men då m a n n u a l l t m e r öfverger den g r a m m a t i s k a metoden i språkstudierna, så bör m a n i ännu högre g r a d öfverge den g r a m m a t i s k a m e t o d e n i m a t e m a t i k e n och där t i l l äfventyrs i stället införa den m a t e m a t i s k a : a t t tänka.

Det finns en annan g a m m a l surdeg i m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n - gen, som också har sin f u l l a m o t s v a r i g h e t i den g a m l a g r a m m a - t i s k a metoden, nämligen en m i s s r i k t a d f o r m af en i och för sig berättigad f o r d r a n på g r u n d l i g h e t i studierna. H v e m återfinner ej b l a n d sina första bekanta från det l a t i n s k a språket orden amussis buris m . f l . , som h a n under det föl- j a n d e långvariga studiet af detta språk a l d r i g har träffat p å ? Och h v e m har ej v i d sin första bekantskap m e d det franska språket måst lära sig p l u r a l f o r m e n på ett ord, som skall betyda »nödspilta» — som h a n i n t e vet h v a d det är ens på svenska? M a n indelar nämligen ämnet i sär- skilda fack, h v a r t och e t t m e d sina särskilda regler, och dessa fack har n u eleven a t t successivt lära sig. »Grundlig- heten» v i d u n d e r v i s n i n g e n fordrar n u , a t t eleven bör f u l l - k o m l i g t behärska reglerna, så a t t h a n k a n tillämpa d e m på de mest invecklade och snärjande exempel, i n n a n han får öfvergå t i l l nästa fack.

Denna mera »kinesiska» än pedagogiska undervisningsme- tod har speciellt på det m a t e m a t i s k a området nått en syn- nerligen hög u t v e c k l i n g . Redan i a r i t m e t i k e n får eleven t i l l lifs den förut omnämnda parentesräkniugen. När h a n se- dan skall börja med algebra får han »inlära» en regel, att h a n i b l a n d skall b y t a o m tecken och i b l a n d icke, och först när h a n är så o k u g g l i g på den konsten, a t t han ej gör f e l när det förekommer två å tre parenteser i n u t i h v a r a n d r a , får h a n öfvergå t i l l reglerna för m u l t i p l i k a t i o n , som natur- l i g t v i s skola innötas l i k a fullständigt i n n a n h a n får öfvergå t i l l nästa a f d e l n i n g m e d dess regler.

Räknegåtor.

Så k o m m e r h a n t i l l ekvationsläran, där h u f v u d v i k t e n

lägges på de s. k . » p r o b l e m e n » . Dessa voro u r s p r u n g l i g e n

afsedda a t t g i f v a eleven en öfning i a t t uppställa ekvatio-

ner u r gifna data för a t t k u n n a lösa p r a k t i s k a uppgifter,

men de ha n u u r a r t a t t i l l en s a m l i n g inkrånglade räkne-

gåtor, som framställas med p r e t e n t i o n på a t t v a r a p r a k t i - ska u p p g i f t e r ocli b o r t t a g a en d r y g t i d , som sannerligen hade k u n n a t användas på bättre sätt. Se här några exem- pel på ekvationslärans »praktiska» tillämpningar:

»En fisk v a r sönderstyckad i t r e delar. Stjärten väg- de 72 gr., h u f v u d e t vägde så m y c k e t som stjärten och half- va k r o p p e n , och k r o p p e n l i k a m y c k e t som h u f v u d e t och stjärten t i l l h o p a . Frågas hela fiskens vikt.» (För nybörjare).

»En hare som förföljes af en j a k t h u n d , är i början 50 språng före densamma. H a r e n tager 4 språng medan h u n - den tager 3, m e n 2 af hundens språng äro i längd l i k a med 3 af harens. H u r u många språng behöfver h u n d e n göra, i n n a n han u p p h i n n e r b a r e n ? »

N u må i n g e n t r o , a t t dessa p r o b l e m k u n n a hafva den n y t t a n , a t t eleven får försöka sina k r a f t e r på o l i k a områ- den — sådana de äro — och därigenom uppöfva sin upp- finningsförmåga när det gäller a t t t a i t u m e d någonting n y t t . Långt därifrån! E l e v e n tränas i h v a r j e särskildt slag af p r o b l e m , h v a r t och e t t m e d sin särskilda m e t o d el- ler r e n t af f o r m e l . D e t k a n j u t . ex. ligga en förnuftig t a n k e i a t t fråga: o m två personer gå så och så f o r t , när träffa de h v a r a n d r a ? M e n denna singla tanke h a r g i f v i t u p p h o f t i l l e t t h e l t system af p r o b l e m , s. k. »rörelsepro- b l e m » ; af dessa äro »harproblemen» (se ofvan) en särskild u n d e r a f d e l n i n g . Dessa p r o b l e m skola n u lösas medelst en f o r m e l »v = h t » , och m e d hjälp af denna s k a l l e t t skema,

v | h t A

B

s t u n d o m två, i f y l l a s , hvarefter e k v a t i o n e n ger sig af sig

själft. A l l t är a n l a g d t på a t t lära eleverna m e k a n i s k t

räkna sig i g e n o m s t u d e n t s k r i f n i n g a r n a u t a n a t t någonsin

hafva behöft tänka en enda l i t e n t a n k e på egen h a n d .

Så h a r en person någon ' g å n g i t i d e n uppställt följande gå-

t a : en person gör e t t arbete färdigt på så och så lång t i d ,

en a n n a n så och så. H u r u länge behöfva de arbeta t i l l -

sammans för a t t få arbetet färdigt? D e n n a i och för sig väl l y c k a d e räknegåta har t y d l i g e n u p p k o m m i t genom en o m k a s t n i n g af de gifna data i en m y c k e t n a t u r l i g p r a k t i s k u p p g i f t : en person gör e t t så och så s t o r t arbete (räknadt i vissa u p p g i f n a enheter) o m dagen, en annan e t t så och så stort, h u r lång t i d behöfva de för a t t t i l l s a m m a n s göra e t t så och så s t o r t arbete ? D e n n a senare u p p g i f t är för enkel, l i k s o m i allmänhet de m e r n a t u r l i g a u p p g i f t e r n a äro, för a t t väcka någon v i d a r e uppmärksamhet; däremot har den förra, som v i d lösningen f o r d r a r e t t » k n e p » , gif- v i t u p p h o f t i l l en säregen kategori af p r o b l e m , »arbetspro- blemen», och för deras lösning får eleven »inlära» en sär- s k i l d m e t o d . Sedan h a r e t t snille h i t t a t på, a t t m a n k a n ersätta arbetarna med rör och därigenom g i f v i t u p p h o f t i l l

»rörproblem». D e t n y a i denna senare sort ligger däri a t t eleven n u k a n gnos m e d sådana »praktiska» uppgifter, som a t t beräkna h u r f o r t e t t kärl fylles m e d några t i l l o p p s - rör, när m a n äfven låter afloppskranen stå öppen. När ele- ven så gått igenom alla de o l i k a sorternas p r o b l e m på förstagradsekvationer, får h a n gå öfver t i l l andragradsekva- tioner. Här får h a n n u t i l l b a k a sina g a m l a problemsorter, men ännu m e r b a k f r a m t vända än förut. E j n o g här- med. O m e k v a t i o n e n t i l l en d y l i k räknegåta lämnar e t t n e g a t i v t värde s k a l l eleven dresseras i k o n s t e n a t t själf stäl- la upp e t t l i k a d u m t p r o b l e m . E t t sådant p r o b l e m skulle l y d a på följande sätt, o m det formuleras såsom en prak- t i s k u p p g i f t a t t lösa:

En herre som v a r m y c k e t disträ, hade glömt h u r

många barn han hade, m e n k u n d e e r i n r a sig, a t t han ha-

de 6 gossar m e r än flickor. För a t t få v e t a h u r u många

gossar och flickor det var, t o g han sin t i l l f l y k t t i l l följande

något kuriösa utväg: H a n delar u t äpplen t i l l dem på det

sätt, a t t alla gossarna få l i k a många äpplen h v a r , och alla

flickorna äfven sins emellan l i k a många. E m e l l e r t i d höll

han ej reda på h u r u många äpplen de fingo hvar, u t a n

b l o t t a t t en gosse och en flicka fingo t i l l s a m m a n s 3 äpp-

len, däremot höll h a n reda på h u r många äpplen han de-

lat u t , det v a r 42 st. — H a n sätte sig n u n e d och skref

upp en a n d r a g r a d s e k v a t i o n och k o m ändtligen t i l l k l a r h e t

om a t t h a n egde 12 flickor och 18 p o j k a r ! ( H a g l u n d

X X V I I I facit). T r o t s a l l t måste m a n erkänna a t t k a r l e n hade t u r . D e t hade l i k a gärna k u n n a t inträffa, a t t h a n fått t i l l svar: antingen 2 gossar och 4 flickor, eller 18 gos- sar och 12 flickor — och så hade h a n stått där l i k a v i l l - rådig.

M a n k a n icke kasta skulden på lärarna och säga, a t t det står dem f r i t t a t t låta b l i sådan g a l l i m a t i a s ; t y m e d tan- ke på s t u d e n t s k r i f n i n g a r n a måste de d r i f v a sånt. Räkne- gåtor k u n n a möjligen användas för nybörjare, om de äro små, för a t t roa dem. De k u n n a v a r a ett medel a t t införa eleven i konsten a t t ställa upp en e k v a t i o n , men det får i n g a l u n d a sättas som mål för m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n i skolan a t t lära barnen lösa o n a t u r l i g t h o p k o m n a räknegåtor.

D e t t a är dock tyvärr f a l l e t hos oss, som m a n k a n öfvertyga sig om genom a t t se på våra s t u d e n t p r o b l e m . Jämför m a n dem sedan m e d utlandets, så märkes s k i l l n a d e n så m y c k e t bättre. Se här e t t exempel af alldeles färskt d a t u m (stu- d e n t s k r i f n i n g e n på l a t i n l i n j e n höstterminen 1 9 0 4 ) :

»Hvarje k i l o g r a m af en vara kostar 12 k r o n o r m i n d r e än det a n t a l k i l o g r a m , hela p a r t i e t innehåller, detta åter kostar 6 k r o n o r m i n d r e än k i l o g r a m t a l e t för 10 gånger dess m e d 5 1 k i l o g r a m ökade v i k t . H u r u m y c k e t väger partiet?»

Men ej nog härmed, dessa p r o b l e m äro ofta f o r m u l e - rade m e d så r i n g a omsorg, a t t ej ens m e n i n g e n är f u l l t k l a r . Läraren nödgas därför afsiktligt ge eleverna otydligt formiderade uppgifter i profskrifningarna, dessa v a n l i g e n häm-

tade u r föregående årgångars s t u d e n t p r o b l e m , för a t t vänja d e m äfven v i d konsten a t t tolka. Se här e t t exempel från s t u d e n t s k r i f n i n g a r n a höstterminen 1 9 0 3 :

»En p e n n i n g s u m m a s k a l l fördelas m e l l a n tre personer, på det sätt, a t t A . får hälften af, B . en t r e d j e d e l af och C. 100 k r . m i n d r e än h v a d de två a n d r a erhållit t i l l h o p a . H u r u m y c k e t får h v a r och e n ? »

Värst af a l l t är dock h v a d som återstår: den ohygg- l i g t d u m m a l o g a r i t m d r i f n i n g e n m e d o l i k a baser, h v a r t i l l lä- raren t v i n g a s af s t u d e n t s k r i f n i n g a r n a , där det a l l t i d före- k o m m e r ett d y l i k t i u t l a n d e t så g o d t som okändt kineseri.

Åtminstone har det ej l y c k a t s m i g a t t få f a t t i en utländsk

exempelsamling, som duger för denna d r i f n i n g . D e t är a t t

hoppas, a t t den n y a läroverksstyrelsen griper i n med k r a f t på denna p u n k t och fordrar, visserligen ej lättare — tvärtom!

— m e n förnuftigare uppgifter t i l l s t u d e n t s k r i f n i n g a r n a .

E n f ö r b ä t t r a d u n d e r v i s n i n g s m e t o d .

1 motsats m o t den n u v a r a n d e »grundligheten» borde ett större område först genomgås m e d enklare exem- pel, m e n sedan v i d r e p e t i t i o n e n k a n m a n använda mer komplicerade, h v i l k a då b l i f v a b e t y d l i g t lättare för ele- v e r n a a t t f a t t a på g r u n d af deras n u v u n n a större m o g n a d . Läraren bör v i d h v a r j e steg se t i l l , a t t alla eleverna fullständigt begripa det n y a , och genom ana- logier och u t v i k n i n g a r åt o l i k a håll orientera dem på det n y a området. D e t t a kräfver n a t u r l i g t v i s a t t läraren är fack- man. T y en icke f a c k m a n k a n omöjligen framställa t . ex.

de första g r u n d e r n a af geometrien och algebran u t a n a t t göra sig s k y l d i g t i l l betänkliga l u c k o r i bevisföringen. De mer begåfvade eleverna k u n n a visserligen s t u n d o m gissa sig t i l l h v i l k e t svar läraren v i l l ha, i s y n n e r h e t o m det så- som v a n l i g e n är fallet gäller en falsk i n d u k t i o n eller ana- logi, m e n de m i n d r e begåfvade, som ha f u l l sysselsättning att följa med steg för steg, fastna ohjälpligt där det l o - g i s k a s a m m a n h a n g e t brister. Tvärt emot h v a d m a n v i l l föreställa sig är således metoden att med vetenskaplig noggrann- het genomgå allt nytt, den lättfattligaste, särskildt med afseende på de mindre begåfvade eleverna, som sakna förmågan a t t

h a l k a öfver svårigheterna.

Vidare bör läraren u n d v i k a a t t ge eleverna några reg-

ler a t t gå efter. I dess ställe böra de k u n n a redogöra för

h v a r t steg de taga u n d e r räkningen. När de räknat t i l l -

räckligt många exempel finna de n o g u t regeln själfva, och

man bör icke beröfva barnet uppfinnarens fröjd. De böra

v i n n a säkerhet i a t t räkna m e d den regel de själfva h i t t a t

på för a t t underlätta s i t t arbete, m e n läraren bör ständigt

k o n t r o l l e r a , a t t de förstå h v a d de göra. På d e t t a sätt få

b a r n e n vänja sig v i d a t t tänka sig för när de räkna, på

s a m m a gång de många exemplen ge d e m tillräcklig räkne-

färdighet. D e t faller af sig själft a t t exemplen böra v a r a

e n k l a och n a t u r l i g a , så a t t inga eller nästan i n g a f o r m l e r

behöfva användas. Först på e t t högre s t a d i u m bör eleven få lära sig a t t använda formler, h v i l k a j u äro a t t b e t r a k t a såsom e t t slags magasinerade m a t e m a t i s k a t a n k a r och där- för svara m o t e t t högre s t a d i u m .

D e n o r d n i n g i h v i l k e n ämnets o l i k a delar skola med- delas, bör o m möjligt v a r a sådan, a t t eleven ständigt har användning för h v a d h a n lärt. Särskildt bör m a t e m a t i k - u n d e r v i s n i n g e n b l i f v a intressegifvande och lätt för eleven a t t tillgodogöra sig, o m den göres lefvande genom ständiga verkligt p r a k t i s k a tillämpningar. Härtill lämpar sig under- v i s n i n g e n i f y s i k och k e m i s y n n e r l i g e n väl, h v a d a n kurs- fördelningen i ämnena m a t e m a t i k , fysik och k e m i ej k a n uppgöras f u l l t oberoende den ena af den andra. S l u t l i g e n bör äfven m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n själf göras så v i d t möj- l i g t åskådlig och äfven e x p e r i m e n t e l l , där detta senare lå- ter sig göra. K e m i n lämnar utmärkt tillfälle t i l l öfning i vissa a r i t m e t i s k a räkningar, särskildt procent- och propor- tionsräkning, fysiken lämnar l i k s o m g e o m e t r i n enkla och n a t u r l i g a tillämpningar på ekvationsläran och ställer genom sina lagar eleven på e t t omedelbart sätt d i r e k t inför v a r i - abelbegreppet och gör honom förtrogen därmed, en förtro- genhet som starkes och utvecklas genom k o n s t r u k t i o n e r af d i a g r a m mer och k u r v o r . E n god öfning i a t t u t v e c k l a för- mågan a t t tillämpa logisk beräkning på v e r k l i g h e t e n , er- b j u d a m e k a n i s k a p r o b l e m , k o n s t r u k t i o n e r och e x p e r i m e n t . M e k a n i k e n står i själfva v e r k e t närmare m a t e m a t i k e n än d e n e x p e r i m e n t e l l a f y s i k e n , och därför bör u n d e r v i s n i n g e n i m e k a n i k meddelas af läraren i m a t e m a t i k och hälst be- handlas såsom e t t särskildt ämne såsom v i d u n i v e r s i t e t e n . D e n utgör i själfva v e r k e t den förmedlande länken m e l l a n geometriska a b s t r a k t i o n e r och v e r k l i g a föremål och e r b j u d e r genom de på e t t n a t u r l i g t sätt f r a m k o m m a n d e m e k a n i s k a k o n s t r u k t i o n s r i t n i n g a r n a s y n n e r l i g e n lämpliga tillämpningar såväl af g e o m e t r i - som t e c k n i n g s u n d e r v i s n i n g e n .

U t k a s t t i l l p l a n för m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n i r e a l s k o l a n .

Målet är a t t meddela den m a t e m a t i s k a b i l d n i n g som

k a n anses vara behöflig för dem som efter afslutad real-

skolekurs ämna sig u t i det p r a k t i s k a l i f v e t . Denna ma-

t e m a t i s k a b i l d n i n g är dels den formella: b l i c k för l o g i s k t s a m m a n h a n g och därpå g r u n d a d t själfförtroende t i l l eget omdöme och t a n k e k r a f t ; dels den reella: i n s i k t e r i räkning samt geometriska (incl. t r i g o n o m e t r i s k a ) och stereometriska beräkningsmetoder och k o n s t r u k t i o n e r samt förmåga a t t förstå och använda enklare m a t e m a t i s k a mätningsinstru- ment, tabeller och d i a g r a m ; dels s l u t l i g e n den tekniska: en viss färdighet a t t snabbt och säkert utföra enklare n a t u r - l i g t f r a m k o m n a beräkningar. Utvecklingsgången sker från det åskådliga, där tankegången är omedelbar och r e l a t i v t förut- sättningslös, så a t t eleven på h v a r j e steg k a n begripa h v a d h a n gör, t i l l det mer abstrakta som förutsätter en viss ma- t e m a t i s k u n d e r b y g g n a d . O l i k a grenar af m a t e m a t i k e n b r i n - gas i ständig växelverkan m e d h v a r a n d r a , i det innehållet ordnas så, a t t eleven på h v a r j e s t a d i u m får den mång- sidigast möjliga användning af h v a d h a n lärt. Däremot bör e t t onödigt systematiserande u n d v i k a s .

Geometrisk åskådningslära. A f dessa g r u n d e r för under- v i s n i n g e n följer, a t t denna bör byggas h u f v u d s a k l i g e n på g r u n d v a l e n af den geometriska åskådningsläran, som alltså bör börja redan i första klassen, m e n också a t t denna måste bedrifvas mei full matematisk exakthet från första början. Den bör å sin sida g r u n d a sig på k o n s t r u k t i o u s - öfningar först med användning af de enklaste i n s t r u m e n t e n , l i n j a l , v i n k e l h a k e och passare, hvarefter transportör (grad- skifva eller ställbar v i n k e l h a k e ) och c i r k e l i n s t r u m e n t succes- s i v t införas. V i d den stereometriska åskådningsläran få k o n s t r u k t i o n s r i t n i n g a r n a delvis ersättas af träslöjd (göra klotsar), byggnadsarbete i papper eller papp, ståltråd och k o r k , ärter och tändstickor etc. Eleven börjar m e d a t t k o n t r o l l e r a sina i n s t r u m e n t : a t t l i n j a l e n är r a k och a t t v i n k e l h a k e n s räta v i n k e l är rät, h v i l k e t sker genom a t t v r i d a i n s t r u m e n t e t e t t hälft h v a r f o m k r i n g två fixa p u n k t e r . Omvändt k a n h a n k o n t r o l l e r a a t t två räta l i n j e r , som stöta i h o p i en p u n k t så a t t de b i l d a räta v i n k l a r m e d samma l i n j e , ligga i rät l i n j e m e d h v a r a n d r a . E n k v a d r a t upp- ritas på det sätt, a t t i ändpunkterna af en rät Hnje dragas två m e d denna l i k a stora vinkelräta l i n j e r åt samma håll.

Den fjärde sidan i k v a d r a t e n erhålles genom a t t samman-

b i n d a de fria ändpunkterna. N u k o n t r o l l e r a s m e d passaren,

a t t denna l i n j e är l i k a lång som de andra, och med v i n k e l - haken, a t t de båda sist erhållna v i n k l a r n a äro räta. D e t t a upprepas m e d o l i k a stora k v a d r a t e r , och r e k t a n g l a r upp- r i t a s och k o n t r o l l e r a s på samma sätt. R e k t a n g l a r u p p r i t a s där sidorna äro uppgifna mångfalder af en g o d t y c k l i g t upp- r i t a d enhet; r u t i n d e l n i n g göres och delarna uppvisas v a r a k v a d r a t e r genom u r k l i p p n i u g af en k v a d r a t som inpassas på de andra. Uppmärksamheten fästes v i d a t t detta ej är e t t generelt b e v i s : passar det i alla fall m a n pröfvat, så vet m a n dock i n g e n t i n g om de återstående fallen a n n a t än gissningsvis (sannolikhet). När behofvet- af bevis sålunda är väckt utföres beviset, på g r u n d af de förut f u n n a egen- skaperna hos räta l i n j e r och räta v i n k l a r jämte de experi- m e n t e l l t f u n n a egenskaperna hos en k v a d r a t , t . ex. på föl- j a n d e sätt: E l e v e n u p p r i t a r först en enkel r a d k v a d r a t e r b r e d v i d h v a r a n d r a på en rät l i n j e , a l l a de motstående si- dorna bevisas v a r a sins e m e l l a n l i k a stora och ligga i rät l i n j e m e d h v a r a n d r a ; m a n k a n således u p p b y g g a en r e k t - angel af flera sådana rader af r u t o r . När m a n gått igenom flera sådana f a l l af r e k t a n g l a r och k v a d r a t e r , för- fares på analogt sätt med k u b e n och paralellepipeden. På så sätt k a n m a n medelst en f u l l t e x a k t m e t o d införa eleven i metersystemet.

Härvid utgår m a n från de g i f n a måttenheterna centi- meter och g r a m — t a l e t o m j o r d k v a d r a n t e n uppskjutes t i l l geo- grafin eller a s t r o n o m i n . E l e v e r n a få n u använda måttband och skalor, rymdmått och v i k t e r för uppmätning och väg- n i n g af h v a r j e h a n d a figurer och föremål, hvarefter beräk- n i n g a r göras af y t - och rymdinnehåll samt v i k t e n pr k u b i k - c e n t i m e t e r af e t t ä m n e : U p p r i t a d e t r i a n g l a r samt gifna rektangulära y t o r (golfvet, väggarna, pärmarna, bordet etc.) k o n t r o l l e r a s vara r e k t a n g l a r , hvarefter deras ytinnehåll be- stämmes; på samma sätt förfares m e d rätvinkliga p a r a l e l l - epipeder af o l i k a ämnen ss trä (olika träslag), papper (böcker), tegel, k a u t s c h u k , g r a n i t , järn, glas, p o r s l i n , is, paraffin m . m . Dessa k r o p p a r vägas och v i k t e n p r c m .

uträknas. G e n o m uppvägning af en viss r y m d t . ex. 1

deciliter af en vätska, ss v a t t e n , sprit, fotogen, mjölk,

grädde, mättad lösning af k o k s a l t , socker m . fl., k a n eleven

taga reda pä h v a d 1 c m .

af vätskan väger. Då h a n n u

v e t h v a d 1 c r n .

v a t t e n väger k a n h a n använda denna kunskap t i l l a t t gradera ett glaskärl t . ex. genom a t t k l i s t r a på en pappersremsa ocli r i t a e t t streck för h v a r experi- m e n t e l t bestämd 25:te c m

.

Nästa steg b l i r a t t konstatera rätvinkliga t r i a n g l a r s k o n - gruens e n l i g t första kongruensfallet genom u r k l i p p n i n g och hoppassning, s a m t a t t pä g r u n d häraf bevisa a t t diagonalen delar en r e k t a n g e l m i d t i t u . Sedan k a n m a n beräkna y t a n af en t r i a n g e l genom a t t draga en höjd och i a k t t a g a , a t t h v a r d e r a delen är hälften af en r e k t a n g e l . S l u t l i g e n k a n j - t a n af en g o d t y c k l i g månghörning uppmätas genom i n d e l - n i n g i t r i a n g l a r . Y t a n af en k r o k l i u i g oregelbunden figur bestäms genom u r k l i p p n i n g och vägning och jämförelse m e d v i k t e n af en d m .

af samma sorts (papper eller) papp. Rätvinkliga pris- mer uppmätas och deras v o l y m beräknas. V o l y m e n af oregelbundna kroppar bestämmes genom uppmätning eller vägning af det v a t t e n de undantränga. S l u t l i g e n får eleven använda g r a d s k i f v a n t i l l k o n s t r u k t i o n e r , där m a n behöfver u p p r i t a en v i n k e l l i k a m e d en gifven v i n k e l och t i l l a t t uppmäta g i f n a v i n k l a r . V i n k e l s u m m a n i en t r i a n g e l upp- mäter. C i r k e l i n s t r u m e n t e t användes t i l l h v a r j e h a n d a k o n - s t r u k t i o n e r , h v i l k a s r i k t i g h e t k o n t r o l l e r a s medelst passaren och g r a d s k i f v a n ss a t t h a l f v e r a en rät l i n j e , en v i n k e l etc.

Förhållandet m e l l a n c i r k e l n s omkrets, och diameter bestäm- mes genom mätningar på c y l i n d r i s k a k r o p p a r . E n upp- r i t a d cirkels omkrets uppmätes medelst en kartmätare.

Kartmätaren användes t i l l uppmätning af h v a r j e h a n d a a n d r a k u r v o r ss ellipser, spiraler, afstånd på k a r t a n längs lands- vägarna. C i r k e l n s y t a erhålles genom sönderklippning i sektorer, som u p p k l i s t r a s så a t t de t i l l s a m m a n s approxima- t i v t b i l d a en r e k t a n g e l , hvars y t a uppmätes på v a n l i g t sätt;

härigenom får m a n äfven en n y bestämning på t a l e t TC.

V o l y m e n af en c y l i n d e r bestämmes genom uppmätning, och

resultatet k o n t r o l l e r a s genom a n d r a metoder ss nedsänkning

i e t t graderadt rör m e d v a t t e n . De c y l i n d r i s k a och koniska

y t o r n a s egenskap a t t k u n n a utvecklas i p l a n e t lägges t i l l

g r u n d för beräkning af de b u k t i g a y t o r n a hos uppmätta

c y l i n d r a r och koner. Allmänna egenskaper hos ett k l o t och

vissa på detsamma dragna l i n j e r studeras på en j o r d g l o b .

Geometri. M e d a n m a n i n o m vetenskapliga kretsar under

det senaste halfseklet börjat fästa en a l l t lifligare uppmärk- samhet v i d de geometriska a x i o m e n , så har m a n i skolan börjat slå i n på en m o t s a t t väg, i det m a n velat a l l - deles lämna de geometriska a x i o m e n å sido; en följd här- af b l i r a t t de geometriska bevisen ofta n o g b l i f v a o t i l l - fredsställande och a t t hela lärobyggnaden k o m m e r a t t sväfva i l u f t e n u t a n fast g r u n d . E m e l l e r t i d k a n som ofvan visats en e x a k t geometrisk u n d e r v i s n i n g byggas på en åskådnings- lära, som går u t på a t t i n o m elevens erfarenhetsområde . i n f l y t t a de r e n t geometriska axiomen såsom e x p e r i m e n t e l l a f a k t a och definitioner. Det visar sig dock, a t t en stor del af satserna i g e o m e t r i n gälla l i k a väl för figurer u p p r i t a d e på k l o t e t (sfärisk geometri) som för plana figurer, h v a d a n geometrin k a n uppbyggas efter en generellare m e t o d , u t a n a t t bevisen b l i väsentligt svårare. Här vinnes också den fördelen a t t eleven, genom a t t tänka sig a t t satserna skola gälla för k l o t e t , lättare k a n hålla isär h v a d som är bevisadt och h v a d som är t i l l s v i d a r e b l o t t skenbart sant; också senteras behofvet af bevis för vissa satser lättare. Geome- t r i u n d e r v i s n i n g e n k a n därför grundas på en elementär

»analysis sitns» och fortgå m e d k l a r t framläggande af h v a r j e antagande angående den ytas (planets, c y l i n d e r y t a n s , könens, klotets) egenskaper, på h v i l k a figurerna äro u p p r i t a d e . De satser som förutsätta det E u k l i d e i s k a p a r a l e l l a x i o m e t och som därföre endast gälla planet ( c y l i n d e r n , könen), genom- gås därefter. E n d a s t lättare och v i k t i g a r e geometriska satser genomgås, och d e t t a h u f v u d s a k l i g e n som öfningssatser.

S t e r e o m e t r i n bör behandlas efter f u l l t e x a k t metod, och eleven bör v i n n a färdighet a t t tänka i t r e dimensioner.

Tillämpningar göras af den sfäriska g e o m e t r i n på läran om hörn.

Aritmetik. Först behandlas läran om hela t a l utförligt m e d

särskild hänsyn t i l l räknelagarna; pareutesräkning m e d enkla

parenteser användes för a t t eleven s k a l l göras förtrogen m e d

lagen om teckenändring och u t b r y t n i n g af faktorer. T i l l -

lämpningar af läran o m hela t a l göras på så många skilda

områden som möjligt m e n så, a t t de ej f o r d r a inlärandet af

några som hälst regler förutom de f y r a räknesätten. I n g a

kombinerade uppgifter få förekomma; i stället vänjes eleven

v i d enkel och direkt tankegång, alltså inga baklängespro-

b l e m m e d karaktären af räknegåtor. Skall en räknegåta någon gång ^förekomma t i l l omväxling, bör den också ha gåtans f o r m , m e n i c k e framställas under p r e t e n t i o n på a t t utgöra en p r a k t i s k tillämpning. U p p g i f t e r n a angående be- nämnda t a l ss priser, storlekar m . m . böra vara hämtade nr det p r a k t i s k a l i f v e t m e d så färska data som möjligt. E n inledande k u r s t i l l bråkläran ansluter sig t i l l d i v i s i o n , då denna ej går jämt u p p . Läran om decimalbråk börjar först när metersystemet är väl inhämtadt, så att detta då k a n tjäna t i l l åskådningsmaterial; räkneoperationerna v i d deci- . malbråk k u n n a då lättare begripas. B a r n e n böra nämligen a l d r i g få använda några formler och metoder, som de icke när som hälst k u n n a nöjaktigt redogöra för. O m de t . ex.

i den a r i t m e t i s k a undervisningen fått lära sig a t t redogöra för den operation de v i d t a g a , när de d i v i d e r a ett h e l t t a l med 100, så k u n n a de u t a n svårighet förvandla 1,700 c r n .

t i l l d m .

ocli reducera 2,532 c m .

t i l l 2,500 c m .

+ 32 c m .

= 25 d m .

+ 32 c m .

etc. a l l t u t a n a t t hafva lärt sig a t t flytta något d e c i m a l k o m m a . Snarare böra de n u k u n n a själfva uppfinna både d e c i m a l k o m m a t och reglerna för dess användande b l o t t för a t t därmed underlätta s i t t eget besvär när de räkna. P r a k t i s k a beräkningar göras som förut m e n med användning af decimalbråk. Härtill k o m m e r enklare f a l l af procenträkning ss tillämpning på bråks för- v a n d l i n g t i l l decimalbråk. På samma sätt förfares sedan, när bråkläran genomgås. Härvid k u n n a tillämpningar dess- u t o m ske på icke-dekadiska sorter m . m .

Algebran grundlägges genom en öfversikt af räknelagarna

och uppvisandet af deras allmängiltighet, h v a r i g e n o m eleven

på ett osökt sätt införes i bokstafsbeteckningen. Tillämp-

n i n g på mekaniska, fysiska och k e m i s k a lagar. H e l a t a l

och bråk genomgås m e d enkla exempel ungefär ss i Möllers

algebra m e d öfverhoppande af d i g n i t e t e r och bokstafsexpo-

nenter, af de exempel som förutsätta kännedom om f o r m -

lerna för (a + b )

, a

+ b

samt en del exempel på dub-

bel- och kedjebråk. I ekvationsläran räknas fler exempel,

m e n större delen af problemen, ss de flesta arbets-, rör- och

rörelseproblem, u n d v i k a s . Däremot har ekvationsläran ut-

märkt användning i geometrin och fysiken, helst o m eleven

så fort som möjligt vänjes v i d a t t handskas m e d enkla

exempel på ekvationer m e d flera obekanta. Det gäller som allmän regel, a t t det är bättre a t t fortgå t i l l n y a områden m e d enkla exempel än a t t stå och stampa på- ett område och där innöta svårare saker; de svårare sakerna k u n n a sparas t i l l r e p e t i t i o n , då eleven h u n n i t b l i f v a mer bekant m e d talserien och räknelagarna; m e n på i n t e t område syn- das så m y c k e t häremot som i fråga o m algebran.

Efter dessa grunder skulle kursplanerna b l i följande:

För inträde fordras de fyra räknesätten m e d hela t a l .

Första k l a s s e n .

Aritmetik: De fyra räknesätten m e d hela t a l repeterade m e d ordentliga definitioner och bevis. Talserien fullstän-' d i g a d . S t u d i u m af taleseriens 1 — 1 0 0 egenskaper m e d särskild hänsyn t i l l talens upplösning i faktorer. Parentes- räkning. Tillämpning af de fyra räknesätten på enkla prak- t i s k a u p p g i f t e r (metersystemet). Hufvudräkning: enkla t y - p i s k a exempel på enkel r e g u l a d e t r i och bolagsräkning (aktier) behandlas h u f v u d s a k l i g e n m e d hufvudräkning; m u l t i p l i k a - tionstabellen utvidgas så småningom något l i t e t genom huf- vudräkning.

Anm. Svårare exempel på de fyra räknesätten m e d hela obenämda t a l må användas, så a t t fullständig säkerhet i räkning vinnes.

Geometrisk åskådningslära: Räta l i n j e n och dess egen- skaper. Jämförelse m e l l a n räta l i n j e r . Räta v i n k e l n , k v a - d r a t e n , r e k t a n g e l n . Planet, r y m d e n . K u b e n , den rätvink- l i g a paralellepipeden.

Metersystemet: Uppmätning af längder, uppmätning och beräkning af r e k t a n g l a r och rätvinkliga paralellepipeder.

V i k t e r och vägningar.

Anm. Undervisningen i geometrisk åskådningslära och metersystemet sker h u f v u d s a k l i g e n genom p r a k t i s k a öfningar, bestående af e x p e r i m e n t och k o n s t r u k t i o n e r , af h v i l k a en del äfven k a n utföras i h e m m e t .

A n d r a k l a s s e n .

Aritmetik: I n l e d n i n g t i l l bråk, decimalbråk, bråks för-

v a n d l i n g t i l l decimalbråk. P r a k t i s k a öfningsexempel ss i

föregående klass, m e n m e d användning af decimalbråk.

Procenträkning. Medelvärden.

Geometrisk åskådningslära och metersystemet: Sneda v i n k - lar, ' deras l i k h e t och olikhet. T r i a n g l a r s kongruens e n l i g t l : s t a kongruensfallet. Beräkning af ytinnehållet af t r i a n g l a r och (oregelbundna) månghörningar. V o l y m e n hos rätvink- l i g t p r i s m a . Konstruktionsöfningar och experiment som i föregående klass. V i d beräkningarna k a n eleven n a äfven betjäna sig af decimalbråk.

T r e d j e k l a s s e n .

Aritmetik: Bråk. Icke-dekadiska sorter; utländska m y n t , engelska mått. Känteräkning. V i d p r a k t i s k a räkningar k a n n u äfven bråk användas.

Geometrisk åskådningslära: Regelbundna månghörniugar, c i r k e l n , c y l i n d e r n , p y r a m i d e n , könen, sfären. Mätningar och konstruktionsöfningar.

Geometri: Egenskaper hos allmännare y t o r och l i n j e r på dem. De geometriska grundbegreppen. Några enklare satser o m geodetiska t r i a n g l a r .

Fjärde k l a s s e n .

Aritmetik och algebra: O f v e r s i k t l i g r e p e t i t i o n af a r i t m e - t i k e n särskildt m e d hänsyn t i l l härledningen af de allmänna a r i t m e t i s k a f u n d a m e n t a l l a g a r n a , åtminstone i fråga o m hela p o s i t i v a t a l ; dessa lagars f o r m u l e r i n g medelst generella sym- boler; uppvisande af räkneoperationernas allmänna g i l t i g h e t . H e l a t a l och bråk i algebra. E k v a t i o n e r af första g r a d e n jämte enklare tillämpningar, h u f v u d s a k l i g e n på ränteräkning, geometri, m e k a n i k , fysik och k e m i . Proportionella t a l .

Geometri: V i k t i g a r e satser i plana g e o m e t r i n an- gående rätliniga figurer och cirklar, som ej förutsätta d e t E u k l i d e i s k a axiomet. Satsernas m o t s v a r i g h e t på k l o t e t på- visas. Geometriska konstruktionsöfningar.

F e m t e k l a s s e n .

Algebra: Ekvationssystem af första graden. K v a d r a t -

rötter u r siffertal. E k v a t i o n e r och lättare ekvationssystem

af andra graden.

Geometri: Euklid.es a x i o m och v i k t i g a r e satser om rätliniga plana figurer och c i r k l a r som förutsätta detta a x i o m . L i k f o r m i g a figurer.

Öfning i användning af räknetabeller af olika slag (ss räntetabeller, d i r e k t a t r i g o n o m e t r i s k a tabeller m . m.). Fält- mätnings- och afvägningsöfningar.

Mekanik: Krafters sammansättning. P l a n a figurers för- f l y t t n i n g a r . Arbete. K o n s t r u k t i o n s r i t n i n g a r .

Sjätte k l a s s e n .

Algebra: L o g a r i t m e r (fyrställiga u t a n i n t e r p o l a t i o n ) , ränta på ränta, rabatträkning. Räknelinjalen och dess an- vändning. Serier. Elementen af sannolikhetskalkylen. Grun- derna för lifförsäkringsväsendet.

Geometri: Stereometri. Geometrin fullständigad och re- peterad. E l e m e n t e n af den beskrifvande geometrin. E l l i p - sens och parablens allmännaste egenskaper i syntetisk f r a m - ställning. Gransk representation. E n s k r i f n i n g h v a r a n n a n vecka.

Mekanik. T y n g d p u n k t e n , jämvikt, hastighet och accele- r a t i o n . C e n t r i f u g a l k r a f t e n och dess användningar. Energi.

Mekanisk kraftöfverföring. K o n s t r u k t i o n s r i t n i n g a r .

Gymnasiet.

Första r i n g e n .

Då den grundläggande m a t e m a t i s k a b i l d n i n g realskolan efter denna p l a n skulle gifva, är af den a r t a t t hvarje b i l - d a d person borde ega en sådan, och då den äfven är af- sedd för fortsatta studier, finns det i n g e n a n l e d n i n g a t t för gymnasiets första r i n g upprätta någon a n n a n k u r s p l a n än den som föreslagits för realskolans sjätte klass.

A n d r a r i n g ' e n .

I gymnasiets andra r i n g sker en repetition af hela den

föregående kursen, då äfven svårare uppgifter må före-

k o m m a . Därvid utvidgas kursen på alla p u n k t e r i olika

r i k t n i n g a r , och sammanhanget m e l l a n de olika delarna be-

tonas. De enkla räkneoperationerna m e d gränsvärden genom- gås, och de i r r a t i o n e l l a talens n a t u r och räknelagar be- handlas i samband därmed. K o n t i n u i t e t s b e g r e p p e t och va- riabelbegreppet påvisas och klargöras genom geometriska och mekaniskt-fysiska satser och lagar. A n a l y t i s k behand- l i n g af räta l i n j e n och planet i två och t r e dimensioner.

På r e a l l i n j e n t i l l k o m m e r : Allmän ekvationslära, koniska sektioner och andragradsytor.

E n s k r i f n i n g h v a r a n n a n vecka (på båda l i n j e r n a ) . Tilllämpad matematik: Sfärisk t r i g o n o m e t r i m e d e n k l a tillämpningar på m a t e m a t i s k geografi och a s t r o n o m i .

T r e d j e o c h fjärde r i n g a r n a .

På l a t i n l i n j e n läses ren och tillämpad m a t e m a t i k såsom e t t ämne. E l e m e n t e n af inflnitesimalräkning m e d tillämp- n i n g på geometri, m e k a n i k samt m a t e m a t i s k f3'sik och k e m i . L i k f o r m i g a f b i l d n i n g m e d tillämpning på t e o r i n för k a r t - r i t n i n g .

På r e a l l i n j e n läses dessutom i n f i n i t e s i m a l k a l k y l fullständi- gare, samt algebraisk analys och elementen af funktionsläran.

En s k r i f n i n g hvarannan vecka (på båda l i n j e r n a ) . S t u d e n t e x a m e n .

L a t i n l i n j e n : E n s k r i f n i n g i ren och tillämpad m a t e m a t i k . R e a l l i n j e n : E n s k r i f n i n g i ren m a t e m a t i k och en skrif- n i n g i tillämpad m a t e m a t i k .

Anm. S k r i f n i n g e n i tillämpad m a t e m a t i k på r e a l l i n j e n är afsedd a t t ersätta den speciella s k r i f n i n g e n i g e o m e t r i . Den r e n t fysiska (eller kemiska) skrifningen k u n d e då be- handla ett mer r e n t experimentelt ämne.

Slutord.

Mången fasar v i d de här uppstälda kursplanerna och

förmenar, a t t de äro omöjliga a t t realisera u t a n att förflacka

hela m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n . De äro dock uppstälda med

hänsyn t i l l h v a d andra länders erfarenhet lärt, a t t döma

af deras kursplaner. D o c k har här förutsatts, att t i m a n t a l e t