TMA970 Inledande matematisk analys F/TM, ht 2020

TMA970 Inledande matematisk analys F/TM, ht 2020

Föreläsning 29: Repetition: kontinuitet, deriverbarhet. Alternativ definition för

deriverbarhet. Kedjeregeln (bevis).

Kontinuitet

𝑓𝑓: 𝐷𝐷_𝑓𝑓 → ℝ

def Låt 𝑥𝑥₀ ∈ 𝐷𝐷_𝑓𝑓. Funktionen 𝑓𝑓 kallas kontinuerlig i 𝑥𝑥₀ om ∃ lim_{𝑥𝑥→𝑥𝑥}

0 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥₀) def Låt 𝐷𝐷 ⸦ 𝐷𝐷_𝑓𝑓. Funktionen 𝑓𝑓 kallas

kontinuerlig i 𝐷𝐷 om 𝑓𝑓 är kontinuerlig i 𝑥𝑥 för varje 𝑥𝑥 ∈ 𝐷𝐷.

Kontinuitet (forts.)

De elementära funktionerna är kontinuerliga i sina respektive definitionsintervall.

Räkneregler: följer ur dessa för gränsvärden.

Polynom: följer ur rälnereglerna.

Exponentialfunktioner: per definition sin är kontinuerlig (visat)

cos: förskjuten sin; tan och cot: kvoter log, arcusfunktioner: inversa

Satser om kontinuerliga funktioner

Satsen om mellanliggande värden (Bolzano).

𝑓𝑓: 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 → ℝ, 𝑓𝑓 kontinuerlig

𝜇𝜇 ett tal (strikt) mellan 𝑓𝑓 𝑎𝑎 och 𝑓𝑓(𝑏𝑏)

__________________________________________________________________________________________________________________________________________

⇒ ∃ ξ ∈ (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) ∶ 𝑓𝑓 ξ = 𝜇𝜇 Det finns ett = det finns minst ett

Att det finns betyder inte att vi kan sätta fingret på det.

Satser om kontinuerliga funktioner

Sats (Weierstraß). En funktion som är kontinuerlig på ett slutet och begränsat

intervall har ett största och ett minsta värde.

𝑓𝑓: 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 → ℝ, 𝑓𝑓 kontinuerlig

______________________________________________________________________________________________________________________________________

⇒ ∃ 𝑥𝑥₁, 𝑥𝑥₂ ∈ 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∶ 𝑓𝑓 𝑥𝑥₁ = max_{𝑥𝑥∈ 𝑎𝑎,𝑏𝑏} 𝑓𝑓 𝑥𝑥 , 𝑓𝑓 𝑥𝑥₂ = min_{𝑥𝑥∈ 𝑎𝑎,𝑏𝑏} 𝑓𝑓 𝑥𝑥

Kontinuitet (forts.)

OBS! ’’Värde’’ betyder att det antas.

Om funktionen är begränsad så finns ändliga sup 𝑓𝑓, inf 𝑓𝑓

på intervallet, men de behöver inte antas som

värden. Man kan komma hur nära dem som helst, men det behöver inte vara funktionsvärden.

Om det finns max 𝑓𝑓, så gäller sup 𝑓𝑓 = max 𝑓𝑓.

Kontinuitet (forts.)

Exempel: Vi tittar på funktionerna (𝑛𝑛 ∈ ℕ ∪ {0}) 𝑓𝑓_𝑛𝑛(𝑥𝑥) = �𝑥𝑥^𝑛𝑛 sin 1

𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 ≠ 0

0, 𝑥𝑥 = 0

Alla är kontinuerliga i 0 för 𝑛𝑛 ≥ 1:

𝑥𝑥→0lim 𝑥𝑥^𝑛𝑛 sin 1

𝑥𝑥 = 0 = 𝑓𝑓^𝑛𝑛(0),

som produkt av funktion som går mot 0 och begränsad funktion.

Kontinuitet (forts.)

𝑛𝑛 = 0: saknar gränsvärde i 0

𝑛𝑛 = 1: 𝑛𝑛 = 2:

För 𝑛𝑛 ≥ 2 är funktionerna även deriverbara.

Deriverbarhet

def 𝑓𝑓: 𝐷𝐷_𝑓𝑓 → ℝ, 𝑥𝑥₀ inre punkt i 𝐷𝐷_𝑓𝑓

𝑓𝑓 kallas deriverbar i 𝑥𝑥₀ om (det ändliga) gränsvärdet lim_{𝑥𝑥→𝑥𝑥}

0

𝑓𝑓 𝑥𝑥 −𝑓𝑓(𝑥𝑥₀)

𝑥𝑥−𝑥𝑥₀ finns. Om

gränsvärdet finns kallas det f:s derivata i 𝑥𝑥₀, och betecknas 𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥₀).

Deriverbarhet implicerar kontinuitet, men ej omvänt!

Egenskaper: räknelagar, kedjeregeln, invers funktion

Derivatan av arctan x

Arctan är inversen till tan ∶ − ^𝜋𝜋₂ , ^𝜋𝜋₂ → ℝ;

kontinuerlig; tan 𝑦𝑦 𝑓 ≠ 0

arctan 𝑥𝑥 ^′ = 1 �

tan 𝑦𝑦 𝑓 𝑦𝑦=arctan 𝑥𝑥

=

= cos 𝑦𝑦 ²�

𝑦𝑦=arctan 𝑥𝑥 = cos arctan 𝑥𝑥 ² = 1

1 + 𝑥𝑥² tan arctan 𝑥𝑥 ² = 𝑥𝑥² = 1 − cos arctan 𝑥𝑥 ²

Alternativ definition för deriverbarhet

𝑓𝑓: 𝐷𝐷_𝑓𝑓 → ℝ, 𝑥𝑥₀ inre punkt i 𝐷𝐷_𝑓𝑓

def 1 𝑓𝑓 kallas deriverbar i 𝑥𝑥₀ om (det ändliga)

gränsvärdet lim_ℎ→0 ^{𝑓𝑓(𝑥𝑥0+ℎ)−𝑓𝑓(𝑥𝑥}_ℎ ⁰⁾ finns = 𝑓𝑓^′ 𝑥𝑥₀

def 2 𝑓𝑓 kallas deriverbar i 𝑥𝑥₀ om det finns 𝐴𝐴 ∈ ℝ s.a.

𝑓𝑓 𝑥𝑥₀ + ℎ = 𝑓𝑓 𝑥𝑥₀ + 𝐴𝐴ℎ + ℎ𝜀𝜀 𝑥𝑥₀, ℎ , där 𝜀𝜀 𝑥𝑥₀, ℎ _ℎ→0 0; 𝐴𝐴 = 𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥₀)

Alternativ definition för deriverbarhet (forts.)

Vi ska visa att de två definitionerna är ekvivalenta.

Fördelar med den andra:

(1) Man kan gå fram med likhetstecken, inga gränsvärden.

(2) Ingen division, funkar även när ℎ = 0

(3) Ingen division, låter sig generaliseras för ℎ vektor, matris etc

Alternativ definition för deriverbarhet (forts.)

def 1 ?⇒ def 2

ℎ→0lim

𝑓𝑓(𝑥𝑥₀+ℎ) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥₀)

ℎ = 𝑓𝑓^′ 𝑥𝑥₀

⇔ lim_ℎ→0 𝑓𝑓(𝑥𝑥₀+ℎ) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥₀) − 𝑓𝑓^′ 𝑥𝑥₀ ℎ

ℎ = 0

Sätt 𝜀𝜀 𝑥𝑥₀, ℎ = ^{𝑓𝑓(𝑥𝑥0+ℎ)−𝑓𝑓(𝑥𝑥}_ℎ ^{0)−𝑓𝑓′ 𝑥𝑥0 ℎ}; då gäller 𝑓𝑓 𝑥𝑥₀ + ℎ = 𝑓𝑓 𝑥𝑥₀ + 𝐴𝐴ℎ + ℎ𝜀𝜀 𝑥𝑥₀, ℎ

med 𝜀𝜀 𝑥𝑥₀, ℎ 0 och 𝐴𝐴 = 𝑓𝑓^′ 𝑥𝑥₀ .

Alternativ definition för deriverbarhet (forts.)

def 2 ?⇒ def 1

𝑓𝑓 𝑥𝑥₀ + ℎ = 𝑓𝑓 𝑥𝑥₀ + 𝐴𝐴ℎ + ℎ𝜀𝜀 𝑥𝑥₀, ℎ

⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥₀+ℎ) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥₀) − 𝐴𝐴ℎ

ℎ = 𝜀𝜀 𝑥𝑥₀, ℎ ∀ ℎ ≠ 0

⇒ lim_ℎ→0 𝑓𝑓(𝑥𝑥₀+ℎ) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥₀)

ℎ − 𝐴𝐴 = 0

⇒ ∃ lim_ℎ→0 𝑓𝑓(𝑥𝑥₀+ℎ) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥₀)

ℎ = 𝐴𝐴

Kedjeregeln med bevis

Sats. Om 𝑔𝑔 är deriverbar i 𝑥𝑥₀ och 𝑓𝑓 är deriverbar i 𝑦𝑦₀ = 𝑔𝑔(𝑥𝑥₀), så är 𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔 deriverbar i 𝑥𝑥₀, och 𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔 ^′ 𝑥𝑥₀ = 𝑓𝑓 𝑔𝑔(𝑥𝑥) ^′�

𝑥𝑥=𝑥𝑥₀ = 𝑓𝑓𝑓 𝑔𝑔 𝑥𝑥₀ � 𝑔𝑔𝑓(𝑥𝑥₀) Bevis. Vi använder den alternativa definitionen av derivata.

Eftersom 𝑔𝑔 är deriverbar i 𝑥𝑥₀ och 𝑓𝑓 är deriverbar i 𝑦𝑦₀ = 𝑔𝑔(𝑥𝑥₀), så vet vi att

𝑓𝑓 𝑦𝑦₀ + 𝑘𝑘 = 𝑓𝑓 𝑦𝑦₀ + 𝐴𝐴𝑘𝑘 + 𝑘𝑘𝜀𝜀₁ 𝑦𝑦₀, 𝑘𝑘 , 𝜀𝜀₁ 𝑦𝑦₀, 𝑘𝑘 _𝑘𝑘→0 0 𝑔𝑔 𝑥𝑥 + ℎ = 𝑔𝑔 𝑥𝑥 + 𝐵𝐵ℎ + ℎ𝜀𝜀 𝑥𝑥 , ℎ , 𝜀𝜀 𝑥𝑥 , ℎ 0

Kedjeregeln med bevis (forts.)

𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔 𝑥𝑥₀ + ℎ = 𝑓𝑓 𝑔𝑔 𝑥𝑥₀ + ℎ =

= 𝑓𝑓 𝑔𝑔 𝑥𝑥₀ + 𝐵𝐵ℎ + ℎ𝜀𝜀₂ = 𝑘𝑘 = 𝐵𝐵ℎ + ℎ𝜀𝜀₂

= 𝑓𝑓 𝑔𝑔 𝑥𝑥₀ + 𝐴𝐴 𝐵𝐵ℎ + ℎ𝜀𝜀₂ + 𝐵𝐵ℎ + ℎ𝜀𝜀₂ 𝜀𝜀₁ =

= 𝑓𝑓 𝑔𝑔 𝑥𝑥₀ + 𝐴𝐴𝐵𝐵ℎ + ℎ 𝐴𝐴𝜀𝜀₂ + 𝐵𝐵𝜀𝜀₁ + 𝜀𝜀₁𝜀𝜀₂ Dessutom,

𝑘𝑘 = 𝐵𝐵ℎ + ℎ𝜀𝜀_{2 ℎ→0} 0,

så att 𝜀𝜀_{1 ℎ→0} 0, och därmed 𝐴𝐴𝜀𝜀₂ + 𝐵𝐵𝜀𝜀₁ + 𝜀𝜀₁𝜀𝜀_{2 ℎ→0} 0 Återstår att notera att 𝐴𝐴 = 𝑓𝑓𝑓 𝑔𝑔 𝑥𝑥 , 𝐵𝐵 = 𝑔𝑔𝑓 𝑥𝑥 .