Lösningar till tentan i Automationsteknik FK

L¨ osningar till tentan i Automationsteknik FK 2016-01-15

1.

a. Systemet kan skrivas p˚a formen ˙x = Ax + Bu, y = Cx d¨ar A =−2 0

1 1



, B =2 1



, C = 0 1
Overf¨¨ oringsfunktionen kan nu ber¨aknas:

G(s) = C(sI − A)⁻¹B = 0 1
s + 2 0

−1 s − 1

−1

2 1



=

= 0 1
1

(s + 2)(s − 1)

s − 1 0 1 s + 2

 2 1



= 1

(s + 2)(s − 1) 0 1
2s − 2 s + 4



=

= s + 4

(s + 2)(s − 1) = s + 4 s²+ s − 2

Polerna till systemet ¨ar −2 och 1 medan nollst¨allet ¨ar −4 (systemet ¨ar allts˚a instabilt pga polen i 1).

b. Utg˚aende fr˚an ¨overf¨oringsfunktionen ber¨aknad i (a) kan systemet skrivas (s²+ s − 2)Y (s) = (s + 4)U (s)

vilket efter invers laplacetransformation blir d²y

dt² +dy

dt − 2y = du dt + 4u

c. Tillst˚ands˚aterkoppling ℓrr(t) − ℓ1x1(t) − ℓ2x2(t) = ℓrr(t) − Lx(t) ger dx

dt = Ax + B(ℓrr − Lx) = (A − BL)x + ℓrBr Polerna till det slutna systemet (r → y) utg¨ors av l¨osningarna till

0 = det(sI − (A − BL)) = det(sI − A + BL) =

= dets 0 0 s



−−2 0

1 1

 +2

1

 ℓ1 ℓ2



=

=    

s + 2 + 2ℓ¹ 2ℓ²

−1 + ℓ¹ s − 1 + ℓ²    

= s²+ (1 + 2ℓ1+ ℓ2)s − 2 − 2ℓ1+ 4ℓ2

Polerna −1 och −4 ger karakteristiska ekvationen (s + 1)(s + 4) = s²+ 5s + 4.

J¨amf¨orelse mellan koefficienterna mellan de b˚ada polynomen ger ekvationssys- temet

(1 + 2ℓ¹+ ℓ² = 5

−2 − 2ℓ1+ 4ℓ2 = 4

vilket ger l¨osningen ℓ¹= 1, ℓ²= 2.

2.

a. ¨Overf¨oringsfunktionen blir

H(z) = 1.8z⁻¹

1 − 0.7z⁻¹ = 1.8 z − 0.7

Polen ¨ar 0.7 och statiska f¨orst¨arkningen ¨ar H(1) = 1.8/(1 − 0.7) = 6 b. Stegsvarets Z-transform ges av

Y (z) = H(z)Z[se(k)] = H(z) · z

z − 1 = 1.8 z

(z − 0.7)(z − 1)=

= 6

z − 1− 4.2

z − 0.7 = z⁻¹

 6z

z − 1− 4.2z z − 0.7



Efter invers Z-transformation erh˚alles

y(k) = Z⁻¹[Y (z)] = q⁻¹(6se(k) − 4.2 · 0.7^kse(k)) =

= 6se(k − 1) − 4.2 · 0.7^k−1se(k − 1) = 6(1 − 0.7^k)se(k − 1)

d¨ar q⁻¹ ¨ar bak˚atskiftoperatorn (q⁻¹f (k) = f (k − 1)) och se(k) betecknar en- hetsstegfunktionen (se(k) = 0 f¨or k < 0 och 1 f¨or k ≥ 0).

c. Slutna systemets ¨overf¨oringsfunktion blir Hslutet(z) = KH(z)

1 + KH(z)= 1.8K z − 0.7 + 1.8K

vilken har en pol i z = 0.7 − 1.8K. Stabilitet uppn˚as d˚a |0.7 − 1.8K| < 1 vilket ocks˚a kan skrivas −1 < 0.7 − 1.8K < 1. Detta inneb¨ar att −0.3/1.8 = −1/6 <

K < 1.7/1.8 = 17/18.

3.

a. Efter laplacetransformering kan ¨overf¨oringsfunktionen ber¨aknas G(s) = 2

4s + 1 = 0.5 s + 0.25

Ur tabellen f¨or ZOH-diskretisering erh˚alles sen (f¨or h = 0.42 s)

H(z) =2(1 − e^−h/4)

z − e^−h/4 = 2(1 − e^−0.105)

z − e^−0.105 ≈ 0.2

z − 0.9 = 0.2z⁻¹ 1 − 0.9z⁻¹

b. Med B(z) = 0.2 z⁻¹ och A(z) = 1 − 0.9z⁻¹ blir nC = nB − 1 = 0 och nD= nA−1 = 0 s˚a att C(z) = 1 och D(z) = d⁰. Regulatorn ¨ar d˚a i sj¨alva verket en helt vanlig P-regulator. Med ¨onskad pol i z = 0.1 blir P (z) = 1 − 0.1z⁻¹och polynomekvationen A(z)C(z) + B(z)D(z) = P (z) blir d˚a med aktuella polynom (i z⁻¹) insatta

(1 − 0.9z⁻¹) · 1 + 0.2 z⁻¹d⁰= 1 − 0.1z⁻¹

vilket omedelbart ger d⁰ = 4. F¨orst¨arkningen Kr blir P (1)/B(1) = 0.9/0.2 = 4.5.

c. Med integralverkan i regulatorn blir nC = nB = 1 och nD = nA = 1 vilket inneb¨ar att C(z) = 1 − z⁻¹ (pol fixerad till z = 1 pga integralverkan) och D(z) = d⁰+ d¹z⁻¹. Polynomekvationen blir i detta fall

(1 − 0.9z⁻¹)(1 − z⁻¹) + 0.2z⁻¹(d⁰+ d¹z⁻¹) = (1 − 0z⁻¹)²

Detta kan se lite konstigt ut eftersom P (z) = 1 s˚a att P inte blir n˚agot polynom i z⁻¹ av grad 2 som man skulle f¨orv¨anta sig. Detta fenomen upptr¨ader dock endast f¨or det fall d˚a alla poler placeras i z = 0 (dead-beat) som i det h¨ar fallet.

Efter f¨orenkling kan polynomekvationen skrivas

1 + (0.2 d0− 1.9)z⁻¹+ (0.9 + 0.2 d1)z⁻²= 1

vilket resulterar i att d⁰= 1.9/0.2 = 9.5 och d¹= −0.9/0.2 = −4.5. F¨orst¨arkningen Krblir P (1)/B(1) = 1/0.2 = 5.

4.

a. Med u(t) = (u1(t) u2(t))^T och y(t) = (y1(t) y2(t))^T kan systemet skrivas dy

dt = Ay + Bu d¨ar

A =−1 1

3 1



, B =1 2 0 1



Overf¨oringsfunktionen blir¨

G(s) = (sI−A)⁻¹B =s + 1 −1

−3 s − 1

−1

1 2 0 1



= 1

s²− 4

s − 1 1 3 s + 1

 1 2 0 1



=

= 1

s²− 4

s − 1 2s − 1 3 s + 7



= 1

(s − 2)(s + 2)

s − 1 2s − 1 3 s + 7



Polerna ¨ar 2 och −2 (systemet instabilt).

b. En statisk s¨arkoppling P (s) = P⁰ ges av

P⁰= (G(0))⁻¹= 1/4 1/4

−3/4 −7/4

−1

= 1

1/4 · (−7/4) − 1/4 · (−3/4)

−7/4 −1/4 3/4 1/4



=

= −4−7/4 −1/4 3/4 1/4



= 7 1

−3 −1



c. B¨ast ¨ar att undvika att anv¨anda G(s) vid ber¨akningen. Slutna systemet kan skrivas

dy

dt = Ay + Bu = Ay + B(r − Ky) = (A − BK)y + Br d¨ar

A − BK =−1 1

3 1



−1 2 0 1

 1 2 3 4



=−8 −9 0 −3



Karaktersitiska ekvationen f¨or slutna systemet blir d¨armed 0 = det(sI − (A − BK)) =

s + 8 9 0 s + 3

= (s + 8)(s + 3) s˚a att polerna till slutna systemet blir −3 och −8.

5.

a. F¨or β = 0 kan f¨orsta tillst˚andet inte n˚as fr˚an de andra tillst˚anden. Om α = 1 blir andra tillst˚andet absorberande och kan inte l¨amnas. D¨arf¨or m˚aste α 6= 1 och β 6= 0 f¨or att alla tillst˚and skall kunna kommunicera med varandra dvs s˚a att markovkedjan blir irrdeucibel.

b. Med α = 1/2 och β = 1/3 blir ¨overg˚angsmatrisen

P =





0 1/2 1/2 0 1/2 1/2 1/3 2/3 0





Den station¨ara f¨ordelningen ¯a = (¯a¹¯a²a¯³) m˚aste d˚a uppfylla ekvationen

¯ a = ¯aP vilket ger det underbest¨amda ekvationssystemet

¯ a¹=1

3¯a³

¯ a²=1

2¯a¹+1 2a¯²+2

3a¯³

¯ a³=1

2¯a¹+1 2a¯²

med parametrisk l¨osning ¯a = (1 5 3)¯a¹. Med villkoret ¯a¹+ ¯a²+ ¯a³= 1 erh˚alles l¨osningen ¯a = (1 5 3)/9 = (1/9 5/9 1/3).

c. Villkoret kan skrivas

(1/3 1/3 1/3) = (1/3 1/3 1/3) P Multiplikation med 3 p˚a b˚ada sidor ger

(1 1 1) = (1 1 1) P vilket ger

1 = β

1 = 1/2 + α + 1 − β 1 = 1/2 + 1 − α

som i sin tur ger den entydiga l¨osningen α = 1/2 och β = 1.

d. I detta fall ¨ar ¨overg˚angsmatrisen

P =





0 1/2 1/2

0 0 1

1 0 0





Eftersom inga av tillst˚anden ¨ar transienta s˚a ¨ar alla best¨andiga och d¨armed ocks˚a positivt best¨andiga eftersom markovkedjan ¨ar ¨andlig. Inget tillst˚and kan

˚aterv¨anda efter ett steg, vilket skulle kunna skapa en oro f¨or att det skulle kunna finnas periodiska tillst˚and. En stunds eftertanke ger dock att det alltid g˚ar att

˚aterv¨anda efter n steg f¨or varje n > 1 varf¨or villkoret p˚a periodicitet inte ¨ar uppfyllt. D¨arf¨or ¨ar alla tillst˚and i markovkedjan varken periodiska eller tran- sienta (dvs aperiodiska och positivt best¨andiga) vilket garanterar en station¨ar f¨ordelning. Ekvationen ¯a = ¯aP ger ¯a¹= ¯a³och ¯a²= 1/2 · ¯a¹vilket tillsammans med ¯a¹+ ¯a²+ ¯a³= 1 ger l¨osningen ¯a = (2/5 1/5 2/5).

e. F¨or att markovkedjan inte skall vara ergodisk kr¨avs att den varken ¨ar har n˚agot periodiskt tillst˚and eller att den har n˚agot transient tillst˚and. Enda kandi- daten till periodicitet var α = 0 och β = 1 men det utreddes i f¨orra deluppgiften att detta inte gav n˚agot periodiskt tillst˚and. D¨aremot kan n˚agot tillst˚and vara transient och detta intr¨affar f¨or kombinationen α = 1 och β = 0. F¨orsta och tredje tillst˚andet blir d˚a transienta (mest uppenbart det tredje). Dessutom blir det andra tillst˚andet absorberande. Svaret blir allts˚a α = 1 och β = 0.

6.

a. Parametervektorn definieras som θ =a

b



vilket inneb¨ar att regressionsmatrisen Φ m˚aste definieras enligt

Φ =











y(0) u(0) y(1) u(1)

... ... y(4) u(4)











Observera avvikelsen fr˚an formelsamlingens definition. Matrisen Y definieras som

Y =









 y(1) y(2) ... y(5)











(liksom i formelsamlingen). Detta ger i det aktuella fallet

Y =











 2.97 5.08 0.54 3.43 2.35













Φ =













0 1

2.97 1 5.08 −1 0.54 1 3.43 0













L¨osningen (skattningen) kan nu skrivas

θ = (Φ^TΦ)⁻¹Φ^TY =

=













0 2.97 5.08 0.54 3.43

1 1 −1 1 0















0 1

2.97 1 5.08 −1 0.54 1 3.43 0

























−1

0 2.97 5.08 0.54 3.43

1 1 −1 1 0













 2.97 5.08 0.54 3.43 2.35













≈

≈ 46.68 −1.57

−1.57 4

−1

27.74 10.94



≈0.6954 3.008



b. Med Φ, θ och Y fr˚an f¨oreg˚aende deluppgift kan den kvadratiska felfunktio- nens v¨arde ber¨aknas som

(Y − Φθ)^T(Y − Φθ) ≈ 0.005126