Verkligheten är en kombination av systematik och slump.

(1)

Statistik

Det finns tre sorters lögner: lögn, förbannad lögn och statistik

Verkligheten är en kombination av systematik och slump.

Råkade Du väga Dig vid ”olycklig” tidpunkt (slumpen), eller har Din vikt förändrats (systematik)?

Statistik betyder ungefär ”sifferkunskap om staten”

Statistik är en gren inom tillämpad matematik som sysslar med insamling, utvärdering, analys och presentation av

data eller information.

(2)

Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 2 Mats Gunnarsson

Fyra syften med statistik

Deskriptiv

– informera, kartlägga

Hypotesprövande

– Verifiera eller förkasta ett antagande (hypotes)

Utredande

– kausala samband, orsakssammanhang

Prognosticerande

– vad händer i framtiden?, vad händer om vi gör så här?

”alltför många försöker spå om framtiden, utan att ens kunna historien”

(3)

Några vanliga begrepp

Total undersökning – hela populationen studeras

Stickprovsundersökning – del av populationen studeras

Stickprov - en del av populationen

Element (individ) - de som information söks om

– Mängden av dessa element kallas ofta population.

– Populationen kan vara ändlig eller oändlig.

Validitet - mäter vi det vi avser att mäta?

Reliabilitet - är de mätningar vi gör tillförlitliga?

(4)

Fler vanliga begrepp

Kvalitativ - icke-numerisk variabel; färg, ogift, god mat, attityd, servicegrad, kundnöjdhet (kan ges

siffervärden)

Kvantitativ - numerisk variabel

– Kontinuerlig - alla (oändligt antal) värden inom ett intervall

– Diskret - vissa (ändligt antal) värden inom ett

intervall

(5)

Något om mätskalor

Variabel

Kvalitativ

(Icke-numerisk)

Kvantitativ

(Numerisk)

Nominalskala

(enbart klassificering)

Ordinalskala

(ordning)

Intervallskala

(ording + differens

)

Kvotskala

(ordning + differens + kvot)

Ex. Betyg Ex. Vikt

Ex. Temp (˚K)

Πx. ↱ωϱϰψ⇀†ω

(6)

En firma tillverkar en typ av mätapparat till vilken det

behövs kretskort. Det blir dyrt om man får in för många defekta kretskort i produktionen varför

underleverantören av kretskorten lovar högst 0,5%

defekta kretskort.

Kretskorten ligger i förpackningar med 10 000 i varje.

Man undersöker 200 på måfå utvalda kort ur varje förpackning. I en sändning på 80 förpackningar fick man följande resultat.

(Detta är ett exempel på diskret variation)

Ett exempel på stickprovsundersökning

(icke-experimentell undersökning)

(7)

Antal defekta kretskort bland 200 utvalda i 80 förpackningar.

Grunddata

1 2 1 0 3 3 4 2 4 7 4 1 1 0 0 1 1 0 0 4 1 2 2 2 2 2 2 5 2 2 3 5 1 2 2 4 0 1 4 1 5 1 3 3 1 1 3 2 1 4 2 1 3 2 1 1 4 3 1 3 5 2 2 4 1 3 3 0 0 1 2 4 3 2 0 3 1 1 1 1

Ett exempel på stickprovsundersökning

(icke-experimentell undersökning)

(8)

Ett exempel på stickprovsundersökning (icke-experimentell undersökning)

Frekvenstabell för antalet defekta kretskort

(9)

Ett exempel på stickprovsundersökning (icke-experimentell undersökning)

Stolpdiagram

(10)

Ett exempel på stickprovsundersökning (icke-experimentell undersökning)

%

Stolpdiagram,

Relativa frekvenser

(11)

Trappstegskurva för antalet defekta kretskort Kumulativ relativ frekvens

Ett exempel på stickprovsundersökning (icke-experimentell undersökning)

%

(12)

Trappstegskurva för antalet defekta kretskort Kumulativ relativ frekvens

Ett exempel på stickprovsundersökning

(icke-experimentell undersökning)

(13)

Ett exempel på stickprovsundersökning (icke-experimentell undersökning)

Totalt valdes 200*80 = 16000 kretskort ut för undersökning.

Stickprovstorlek är på 16000, n = 16000.

Stickprovet valdes ut bland totalt 80*10000 = 800000 kort.

Populationsstorleken är på 800000, N = 800000

Felkvoten i stickprovet var 168/16000 = 0.0105 = 1.05 % dvs något större än den utlovade.

Hur säkra uttalanden kan man göra om felkvoten?

Är det statistiskt säkert att felkvoten överstiger 0.5%?

För att svara på dessa frågor behövs sannolikhetsteori!

(14)

I en järnmalmsgruva gjordes ett fullskaleförsök för att bl.a. studera hur lång tid det tar att fylla en 2 m ³ vagn

med malm. Man noterade tiden från det att lastmaskinen började köra in i berghögen tills att lastaren kopplade

loss vagnen.

Följande resultat erhölls.

(Detta är ett exempel på kontinuerlig variation)

Ett exempel till på stickprovsundersökning

(Experimentell undersökning)

(15)

Ett exempel till på stickprovsundersökning (Experimentell undersökning)

Tidsåtgång vid lastning i sek.

Grunddata

85,80,85,77,101,109,111,109,148,183,153,78,84,80,94,104,96,100

117,112,103,122,155,153,128,172,69,84,99,110,112,181,176,79,94

111,111,118,133,140,80,84,100,101,122,129,73,75,111,96,126,147

90,103,100,96,116,128,86,80,97,118,124,150,96,105,83,99,140,79

78,87,107,134,140,79,87,104,153,134,82,91,104,128,76,108,141

134,117,110,149,119,121,116,114,130,90,97,127,113,96,106,107,

108,128,110,109,85,95,116,118,110,91,126,97,121,107,104,129,

06,112,91,119,118,105

(16)

Ett exempel på stickprovsundersökning (icke-experimentell undersökning)

Frekvenstabell för tidsåtgång vid lastning, Klassindelat material

Tidsåtgång Frekvens Rel.frekvens Kum.frekvens

-75 2 1.60 1.60

75 -85 17 13.6 15.2

85 -95 13 10.4 25.6

95 -105 22 17.6 43.2

105 -115 25 20.0 63.2

115 -125 16 12.8 76.0

125 -135 14 11.2 87.2

135 -145 4 3.20 90.4

145 -155 7 5.60 96.0

155 -165 1 0.800 96.8

165 -175 1 0.800 97.6

175 - 3 2.40 100.

(17)

Histogram tidsåtgång vid lastning

Ett exempel på stickprovsundersökning

(icke-experimentell undersökning)

(18)

Histogram tidsåtgång vid lastning, kumulativ relativ frekvens

Ett exempel på stickprovsundersökning

(icke-experimentell undersökning)

(19)

1) Vad är den genomsnittliga tidsåtgången?

Den genomsnittliga tidsåtgången är 110.2 .

2) Hur mycket varierar det?

Standardavvikelsen i stickprovet är 23.7 .

3) Hur stor andel av vagnarna överstiger 2 min?

Andelen av vagnarna som överstiger 2 min är 28%.

Hur säkra är dessa uttalanden?

För att svara på dessa frågor behövs sannolikhetsteori!

Ett exempel på stickprovsundersökning

(icke-experimentell undersökning)

(20)

Beskrivande statistik

Spridningsmått

Standardavvikelse, s (Varians, s ² )

Kvartilavstånd, Q = Q ₃ - Q ₁

Variationsbredd, R

Lägesmått

Medelvärde,

Median, m,

(2:a kvartil Q ₂ )

Typvärde, T

(21)

Lägesmått

Medelvärde:

∑

”Summan av alla värden delat med antalet värden”

Mathematica: Mean[Data]

Median:

En storleksordnad datamängd kan delas in i 4 kvartiler,

25% av materialet är , % är och 75% är eller 25% är

Matematica: Median[Data], Quartiles[Data]

Typvärde, T

Det värde som förekommer flest gånger.

(22)

Spridningsmått

Standardavvikelse:

∑

”Genomsnittliga kvadratiska skillnaden mot medelvärdet”

Varians:

Mathmatica: Standarddeviation[Data], Variance[Data]

Kvartilavstånd:

50% av materialet !"##$% mellan och Mathmatica:

Quantile[Data,0.75] - Quantile[Data,0.25]

Variationsbred: & '( '

Mathematica: Max[Data]-Min[Data]

(23)

Resultat, kretskort

Medelvärdet, .

Varje förpackning innehåller 2.1 defekta kretskort.

Varians och standardavvikelse

. ) *+, . -.

Medianen, m = 2

50% av förpackningarna innehåller 2 eller fler defekta kretskort.

Typvärdet, T = 1

En ”typisk” förpackning innehåller ett defekt

kretskort.

(24)

Medelvärdet, .

I genomsnitt tog det 110. 2 s. att lasta vagnen.

Varians och standardavvikelse

/. *+, . 0

Medianen, m = 108 s.

50% av ggr. tog det 108 s. att lasta vagnen

1:a kvartil, )- ., 25% av ggr tog det högst 94 s. att lasta vagnen.

3:e kvartil, . ., 75% av ggr tog det högst 122.5 s. att lasta vagnen

Resultat, lastning

(25)

Liten statistisk ordlista

Individ

Undersökningsobjekt i en statistisk undersökning.

Population

En definierad grupp individer med någon gemensam egenskap.

Variabel

En egenskap man studerar hos en individ.

Kvantitativ variabel

En variabel som mäts med numeriska mätvärden.

Kvalitativ variabel

En icke-numerisk variabel. Innebär klassificering.

(26)

Diskret variabel

Kvantitativ variabel som endast kan anta vissa värden, ofta heltalsvärden.

Kontinuerlig variabel

Kvantitativ variabel som i princip kan anta alla värden i ett intervall.

Nominalskala

Lägsta datanivån, klassificering av den studerade variabeln

Ordinalskala

Föreligger då mätvärden kan rangordnas

Intervallskala

Förutom rangordning av data är skillnader mellan mätvärden meningsfulla

Kvotskala

Har intervallskalans egenskaper och en absolut nollpunkt.

Liten statistisk ordlista fortsätter

(27)

Sannolikhetsteori

Sannolikhetsteorin kan ses som teorin om slumpmässiga försök

Def:

Med ett slumpmässigt försök menas ett försök vars resultat inte säkert kan förutsägas.

Klassiska exempel:

Slå en tärning, drag 5 kort ur en kortlek, ta en lott Men det kan också vara:

Antalet defekta kretskort i en förpackning,

Tidsåtgång vid lastning

(28)

Utfallsrum, händelse och komplement

Utfallsrummet, Ω

Händelsen A

Komplementhändelse A

^C

Händelsen A

Grundmängd Delmängd Komplementet till A

Definitioner:

• Resultatet av ett slumpmässigt försök kallas utfall

^.

• Mängden av alla möjliga utfall av ett slumpmässigt försök kallas utfallsrum ( Ω Ω Ω Ω ⁾

• En samling utfall kallas händelse (A, B, C,….)

(29)

Unions-, snitt- och disjunkta händelser

Händelsen A

Händelsen B

Händelsen A

Händelsen B

Händelsen A

Händelsen B Unionshändelse Snitthändelse Disjunkta händelser

Då man undersöker händelser kan man med fördel använda mängdlärans symboler.

Unionshändelse, A∪ ∪ ∪ ∪B Minst en av händelserna A och B inträffar A eller B inträffar

Snitthändelse, A∩ ∩ ∩B ∩ både A och B inträffar

Disjunkta händelser A och B kan ej inträffa samtidigt, A∩ ∩ ∩B = ∅ ∩ ∅ ∅ ∅

(∅ ∅ ∅ = tomma mängden) ∅

(30)

Definition av sannolikhet

Klassiska definitionen, sid 41 i Vännman

Det finns m möjliga utfall med lika sannolikhet.

Om händelse A innefattar g av utfallen blir sannolikheten för händelsen A

1 2 3

(31)

Definition av sannolikhet

Matematisk definition, s.48 i Vännman

En funktion P, som till varje händelse A i

utfallsrummet Ω Ω Ω Ω, ordnar ett reellt tal P(A), är ett

sannolikhetsmått, [P(A) kallas sannolikheten för A], om P har följande egenskaper

(Kolmogorovs axiomsystem):

1. 0 b _P(A) b 1, för alla A 2. P( Ω Ω Ω Ω ) = 1

3. P(A ∪ ∪ ∪ ∪ B) = P(A) + P(B), om A och B är disjunkta

(32)

Sannolikhet som relativ frekvens

1.0

0.5

0.1

(33)

Räkneregler för sannolikheter

Sats 2 B (Komplementsatsen)

P(A ^C ) = 1 - P(A)

Sats 2 C (Additionssatsen 2 händelser)

P(A ∪Β) ∪Β) ∪Β) ∪Β) = P(A) + P(B) - P(A ∩ ∩ ∩ ∩ B)

(Kan utvidgas till flera händelser) ex 3 händelser

P(A ∪Β∪ ∪Β∪ ∪Β∪ ∪Β∪ C) =

= P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ ∩ ∩ ∩ B) - P(A ∩ ∩ ∩ ∩ C) - P(B ∩ ∩ ∩ ∩ C) + P(A ∩ ∩ ∩ ∩ B ∩ ∩ ∩ ∩ C)

(34)

Kombinatorik - Multiplikationsprincipen

Om N stycken operationer (moment) utföras.

Den första operationen kan utföras på n ₁ sätt, den andra på n ₂ sätt och den N:te på n _N sätt.

Då kan de N operationerna kan utföras på n ₁ × n ₂ ×...× n _N

olika sätt.

Operation 1 n

₁

olika sätt

Operation 2 n

₂

olika sätt

Operation k n

_k

olika sätt

...

× × ×

(35)

Kombinatorik - Urval utan återlägg

Välj n element bland N st

Med hänsyn till ordningen:

Antalet möjliga Permutationer är

4 4 4 … 4 4!

4 ! Med Mathematica: 4!/(4− )!

Utan hänsyn till ordningen:

Antalet möjliga Kombinationer är 4 4 4 … 4

! 4!

! 4 ! 4

Med Mathematica: Binomial[N,n]

(36)

Välj n element bland N st

Med hänsyn till ordningen:

Antalet möjliga Permutationer är

Utan hänsyn till ordningen:

Antalet möjliga Kombinationer är 4 7

Kombinatorik - Urval med återlägg

(37)

Betingad sannolikhet

Med den betingade sannolikheten, 8 9|; , menas sannolikheten för händelsen A givet att händelsen B Inträffat och definieras som

1 2|< 12 ∩ <

1<

Det ger följande nyttiga omskrivning:

1 2 ∩ < 1 < 1 2|< 121 <|2

(38)

Betingad sannolikhet

(39)

Satsen om total sannolikhet och Bayes sats (står inte i boken)

sats) (Bayes

t) sannolikhe (total

att händelse

för varje gäller

då

och dvs

hela fyller

s tillsamman

och oförenliga

parvis är

a händelsern Om

1 1 2 1

∑

∑ =

=

∩

n

j j

i i

i

n

i

i i

n

i

i j

i

n

) )P(A|H P(H

) )P(A|H

|A) P(H P(H

) )P(A|H P(H

P(A)

A Ω H

Φ H

H

Ω

,..., H H

, H

U

(40)

Oberoende händelser

Definition

Två händelser sägs vara oberoende av varandra om 12 ∩ < 121<

Om A och B är oberoende gäller

1 2|< 12 ∩ <

1< 1 2 1<

1< 12

Om B har inträffat påverkar detta inte sannolikheten för att A ska inträffa.

OBS!! Förväxla inte oberoende och disjunkta händelser!!

Exempel på oberoende händelser: flera kast med en tärning.

(41)

Oberoende upprepade försök - Sats 2D

Ett försök upprepas n oberoende gånger. A är en händelse som inträffar med sannolikheten p i ett försök.