RISKPREFERENSER PÅ AKTIEMARKNADEN

NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN UPPSALA 2006-06-10 Uppsala universitet

Examensarbete C

Författare: Filip Sundstedt och Göran Österholm ( g@herrg.se ) Handledare: Lennart Berg

VT 2006

RISKPREFERENSER PÅ

AKTIEMARKNADEN

SKATTAT UR PRISER PÅ OMXS30-OPTIONER

SAMMANFATTNING

I denna uppsats studeras optionsmarknaden som en försäkringsmarknad för aktieinvesterare.

Med den utgångspunkten är det möjligt att skatta vilka riskpreferenser den genomsnittliga investeraren har. I studien framkommer att genomsnittsinvesteraren tenderar vara något risksökande inför framtida kurssvängningar som är relativt små, medan riskaversionen är påtagligt stor inför stora kurssvängningar (prischocker).

I uppsatsen beskrivs den bakomliggande, och omfattande, teorin för att kunna skatta riskaversion på aktiemarknaden med hjälp av observationer på optionsmarknaden.

I samband med studien utvecklades också en metod för att göra skattningar av

riskaversionsfunktioner. Metoden lämpar sig särskilt för behandling av stora mängder optionsdata.

INNEHÅLLSFÖRTECKNING

SAMMANFATTNING...3

INNEHÅLLSFÖRTECKNING ...4

1 INLEDNING...6

1.1 Bakgrund...6

1.2 Definition av problem och mål...7

1.3 Avgränsning ...7

1.4 Nyttan med studiens resultat ...8

1.5 Disposition ...8

2 TEORI ...9

2.1 Derivat – Optioner - Europeiska köpoptioner ...9

2.2 Finansiella begrepp...12

2.2.1 Den riskfria investeringen, aktien och en europeisk köpoption = komplett marknad ...13

2.2.2 Binominalträd och Black-Scholes formel...14

2.3 Binominalmodellen – Diskret tid ...14

2.3.1 Bestämma pris på en europeisk köpoption med hjälp av binominalträd ...15

2.3.2 Vad gör vi – egentligen − när vi prissätter med binominalmodellen? ...17

2.4 Från diskret tid till kontinuerlig tid ...22

2.5 Nyttofunktioner och koefficienten för absolut riskaversion ...24

2.6 Implicit riskaversion över tillstånden ...25

2.6.1 Optionspriset som försäkringspremie...25

2.6.2 Absolut riskaversion över tillstånden – Teoretisk beskrivning ...27

3 METOD ...30

3.1 Data...30

3.2 Beräkningsmetoder ...31

3.2.1 Subjektiva täthetsfunktionen...31

3.2.2 Implicita täthetsfunktionen och implicit riskaversion ...32

4 RESULTAT...33

4.1 Presentation av resultat ...33

4.2 Slutsatser ...40

4.3 Framtida forskning ...41

REFERENSER...42

APPENDIX I ... I APPENDIX II...II APPENDIX III ... VII Black & Scholes formel... vii

Wiener Processer... viii

Geometric Brownian motion...x

APPENDIX IV... XVII Volatility Smile – Volatility Skewness ... xvii

Att skatta volatility smile ... xviii

APPENDIX V ...XIX Andraderivatan av prisfunktionen ger täthetsfunktionen ... xix

Att skatta implicita täthetsfunktioner ... xx

APPENDIX VI... XXII Härledning av metod för skattning av absolut riskaversion ur optionspriser ... xxii

Sammanfattning av ansatsen... xxii

En titt på σ i funktion av K... xxii

Beräkning av implicita täthetsfunktionen ^ϕ

( )

^x ... xxiii

Byte av variabel K →x... xxviii

Beräkning av ^ϕ′

( )

^x ... xxviii

Beräkning av d₁′, d₁′′, d₂′ och d₂′′ ... xxix

Kvoten

( )

( )

^xx ϕ ϕ′ ... xxxiii

Kvoten

( )

( )

^xx ψ ψ ′ ... xxxiv

Absolut riskaversion α

( )

^x ... xxxvii

Sammanfattning av beräkningsmetod ... xxxix APPENDIX VII ... XLII Resultattabeller... xlii

1 INLEDNING

1.1 Bakgrund

Denna uppsats är en studie av riskpreferenser på aktiemarknaden med hjälp av prisobservationer på OMXS30-optioner, där optionsmarknaden ses som en försäkringsmarknad för aktieinvesterare.

Under de fyra senaste decennierna har teoretiska och matematiska verktyg utvecklats som gör det möjligt att studera riskpreferenser på aktiemarknader med hjälp av prisobservationer från optionsmarknaden.¹ Först år 2000 gjordes en empirisk studie på det amerikanska börsindexet S&P 500. ² Vi har, under våra källstudier, inte funnit någon liknande studie gjord på

OMXS30-index och OMXS30-optioner.

Genom att studera marknadens inställning till risk, i en aggregerad mening, ges utgivare och köpare av optioner en bild av hur deras egen inställning till risk överensstämmer, eller inte, med den övriga marknaden. Informationen ger en fingervisning om optioner är över- eller underprissatta ur investerarens egen synvinkel. Exempelvis är en säljoption överprissatt för en riskneutral investerare som agerar på en marknad med riskaversion inbakat i priserna. En köpoption är då underprissatt i investerarens ögon. På en riskavert marknad bör den riskneutrale alltså ge ut säljoptioner och/eller köpa köpoptioner.

Motsvarande om marknaden i aggregerad mening är risksökande, så är priserna på säljoptioner underprissatta för den riskneutrala investeraren, medan köpoptionerna är överprissatta. Den riskneutrale ska då köpa säljoptioner och/eller ge ut köpoptioner.

De amerikanska studier som gjorts tidigare är baserade på analyser vid ett fåtal tillfällen men under en mycket lång period.³ Vår önskan är istället att studera riskpreferensers förändring löpande (på minutdata). Därför har vi i appendix VI till uppsatsen utvecklat en metod som lämpar sig bättre vid skattningar av många, så kallade, riskaversionsfunktioner.⁴

1 Några intressanta i raden är: Black, m.fl. (1973); Breeden, m.fl. (1978); Leland (1980); Rubinstein (1994).

2 Jackwerth (2000).

3 Exempelvis Jackwerth (2000).

4 Riskaversionsfunktioner: Se fig. 4.3, fig. 4.4 och fig. 4.5 i uppsatsens kapitel 4.1

Som huvudsaklig grund till vår metod ligger tidigare studier gjorda i Breeden, m.fl., (1978), Leland (1980) och Jackwerth (2000). Vår metod gör det möjligt att direkt från regressioner av implicita volatiliteter beräkna koefficienten för absolut riskaversion över tillstånden (i

uppsatsen kallat riskaversionsfunktioner).

Ambitionen i förlängningen är att göra studier som täcker en omfattande tidsperiod och ger möjlighet att dra långtgående slutsatser av investerares riskbeteende, och riskpreferenser, på den svenska aktie- och optionsmarknaden. Den här uppsatsen får bli första steget.

1.2 Definition av problem och mål

Givet förutsättningarna ovan ställer vi följande frågor:

• Vilken inställning till risk har investerare i allmänhet på den svenska aktiemarknaden?

• Vilka riskpreferenser har investerare när det gäller prischocker (stora och hastiga prisförändringar) på aktiemarknaden?

• Ser investerare långt tillbaks i tiden för att bedöma de framtida riskerna med sina investeringar, eller har de ett kort perspektiv bakåt?

1.3 Avgränsning

I uppsatsen studeras OMXS30-optioner under perioden mellan 2005-04-01 och 2005-05-27, med lösendag fjärde fredagen i maj 2005 (2005-05-27).

OMXS30-indexet på stockholmsbörsen korrigeras bara i vissa fall för utdelningar.¹ För att komma runt detta problem använder vi OMXS30 terminskurser istället för indexet i sig. Detta i likhet med andra studier gjorda på OMX- och OMXS30-index.²

För att få en bild av om investerare tittar långt eller kort tillbaks i tiden när de bedömer framtida risker, görs här två skattningar av framtida risker. En görs med terminskurser ett år tillbaks i tiden, 2004-04-01 t.o.m. 2005-04-01. Och en skattning görs med terminskurser drygt tio år tillbaks, 1995-01-02 t.o.m. 2005-04-01. De här skattningarna kan alltså betraktas som

1 http://domino.omgroup.com

2 Exempelvis Aguilar, m.fl. (1999).

information som investerare hade tillgång till när de tog investeringsbeslut under den studerade perioden, 2005-04-01 t.o.m. 2005-05-27.

1.4 Nyttan med studiens resultat

Resultaten från studien ger köpare och utgivare av OMXS30-optioner en fingervisning om deras riskpreferenser överensstämmer med den övriga marknadens riskpreferenser. För respektive investerare blir det enklare att bedöma om optioner är över eller underprissatta ur deras egen synvinkel.

Exempel: För en investerare som är riskneutral och tänker ställa ut säljoptioner, är det bättre ju större riskaversion övriga marknaden har. I investerarens ögon är då säljoptionen

överprissatt.

1.5 Disposition

I uppsatsens kapitel 2 beskrivs begrepp och den teori som ligger till grund för metoderna vi använder i studien. Den teoretiska apparaten är rätt omfattan de, så i kapitel 2 strävar vi efter att ge läsaren en förståelse för hur helheten ser ut. Intresserade läsare som vill veta mer, hänvisas i första hand till appendix.

I kapitel 3 redovisas vilka data som legat till grund för studien, samt en kortfattad bes krivning av beräkningsmetoderna. På grund av den, ibland svårttillgängliga, matematik som krävs för att skatta riskaversionsfunktioner, har merparten av beräkningsmetoderna beskrivits i appendix istället för i uppsatsen.

I kapitel 4 redovisas resultatet av studien och förslag av vidare forskning på området.

2 TEORI

2.1 Derivat – Optioner - Europeiska köpoptioner

Derivat (derivative asset) eller villkorad fordran (contingent claim) är samlingsnamn för en hel klass med tillgångar på finansmarknaden, vars värde uttryckligen är beroende av en eller flera underliggande tillgångar (underlying assets).

Derivatet är i praktiken ett kontrakt mellan två parter, utfärdaren och innehavaren.

Parternas respektive skyldigheter och rättigheter är reglerat i derivatet och kan se olika ut för olika typer av derivat.

Köp- och säljoption är derivat, där innehavaren har rätten, men inte skyldighet, att antingen köpa eller sälja den underliggande tillgången till ett förutbestämt pris, lösenpris (exercise price eller strike price). En option som ger innehavaren rätten att köpa den underliggande tillgången, kallas köpoption (call option), och en option som ger innehavaren rätten att sälja den underliggande tillgången, kallas säljoption (put option).

Löptiden för köp- och säljoptioner är reglerad i optionen med en förfallodag, lösendag (time of maturity eller exercise date).

Utfärdaren av en köpoption är, till skillnad från innehavaren, skyldig att sälja den

underliggande tillgången för det avtalade lösenpriset till innehavaren av köpoptionen, om innehavaren väljer att utnyttja sin rätt.

Motsvarande är utfärdaren av en säljoption skyldig att köpa den underliggande tillgången från innehavaren av säljoptionen för det överkomna lösenpriset.

Som en direkt följd av köp- respektive säljoptionens utformning kan deras värde, vid tillfället då de inlöses, beskrivas som en funktion beroende av värdet på den underliggande tillgången och lösenpriset.

För innehavaren av en köpoption kan förhållandet vid inlösningstillfället beskrivas matematiskt med

(

^,0

)

max S K

C= − , (2.1.1)

där C avser värdet på köpoptionen, S värdet på den underliggande tillgången vid inlösningstillfället och K är lösenpriset.

Fig. 2.1.1 : Innehavarens syn på värdet av en köpoption i förhållande till underliggande

tillgångens värde vid inlösen

För utfärdaren blir köpoptionens värde istället negativt,

(

^,0

)

max S K

C=− −

− . (2.1.2)

Fig. 2.1.2 : Utfärdarens syn på värdet av en köpoption i förhållande till underliggande

tillgångens värde vid inlösen

Motsvarande för säljoptionen, är värdet för innehavaren vid inlösen

^P=max

(

^{K −S,0}

)

^{, (2.1.3)}

där P avser värdet på säljoptionen, S och K som tidigare.

Fig. 2.1.3 : Innehavarens syn på värdet av en säljoption i förhållande till underliggande

tillgångens värde vid inlösen

Likaså blir värdet på säljoptionen negativt för utfärdaren,

^−P=−max

(

^{K −S,0}

)

^{. (2.1.4)}

Fig. 2.1.4 : Utfärdarens syn på värdet av en säljoption i förhållande till underliggande

tillgångens värde vid inlösen

Det förekommer i huvudsak två typer av köp- och säljoptioner, amerikanska och europeiska.

En amerikansk option kan innehavaren välja att lösa in (kräva sin avtalade rätt för) när som helst fram till och med lösendagen. För en europeisk option gäller att den bara kan lösas in på lösendagen.

I och med att vi i förväg vet när den europeiska köp- eller säljoptionen kommer lösas in, vet vi också att värdet på respektive option, just på lösendagen, kommer ha värdet enligt (2.1.1) och (2.1.2) eller (2.1.3) och (2.1.4). För amerikanska optioner vet vi inte i förväg den exakta tidpunkten när förhållandena (2.1.1) och (2.1.2) eller (2.1.3) och (2.1.4) kommer gälla.

Optioner som handlas på finansmarknaderna kan naturligtvis köpas och säljas under tiden fram till lösendagen oberoende om de är av typen amerikanska eller europeiska men de europeiska kan alltså inte lösas in annat än på lösendagen.

’Amerikanska’ och ’europeiska’ har inget att göra med på vilka marknader i världen som optionerna handlas. Det är bara ett konventionellt sätt att beteckna huruvida optionen kan lösas in före lösendagen eller enkom på lösendagen.

2.2 Finansiella begrepp

Arbitrage möjliggörs när priset på en tillgång är olika på olika marknader, eller när fullt likvärdiga tillgångar på en marknad har olika priser.

I denna uppsats förekommer endast arbitrage sådana att fullt likvärdiga finansiella tillgångar på en marknad har olika priser.

Portfölj används här som en allmän benämning på en samling tillgångar. En portfölj som exempelvis består av en aktie och en riskfri investering, ska tolkas som x andelar aktiebrev gällande för ett aktiebolag och y andelar pengar inlånat/utlånat till riskfri ränta. Andelarna kan vara både positiva och negativa, men summan x+y ska alltid vara lika med ett.

Om andelen, x, av aktien är negativ ska det ses som att aktier har lånats och sålts, för att senare köpas tillbaka och återlämnas – så kallad kort position i aktien. Om x är positiv, är det att betrakta som ett reguljärt innehav – så kallad lång position i aktien.

Om andelen, y, av de riskfria investeringarna är negativ ska detta ses som att portföljinnehavaren lånar pengar, medan positivt y motsvarar utlåning.

Innehåller portföljen fler tillgångar ska, precis som ovan, summan av alla andelar vara lika med ett.

En portfölj av tillgångar som med sannolikheten ett har samma värde i framtiden som ett derivat kallas hedge mot, eller replikering mot, derivatet. Om det är möjligt att replikera ett derivat, så sägs derivatet vara uppnåeligt (reachable) eller överflödigt (redundant).

Om alla derivat på en marknad är uppnåeliga kallas marknaden för komplett (complete market).

För att alla derivat på en marknad ska kunna vara uppnåeliga måste marknaden vara sådan att den underliggande tillgången och den riskfria investeringen kan bilda en hedge mot derivaten.

På en sådan marknad kan det uppstå arbitrage mellan den underliggande tillgången, den riskfria investeringen och ett derivat.

Om marknaden inte är komplett sägs den vara ofullständig (incomplete) eller fri från arbitrage. På en sådan marknad kan det inte uppstå arbitrage mellan underliggande

tillgången, den riskfria investeringen och ett derivat. Däremot kan det uppstå arbitrage mellan derivaten, men det är en annan historia som inte avhandlas här alls.

Det är viktigt att hålla isär begreppen här.

På kompletta marknader kan det uppstå arbitrage, men i investeringsteori antas det normalt att arbitrage inte uppstår. Marknaden antas vara effektiv, i meningen att om arbitrage uppstår så korrigeras det omedelbart och prisfelet elimineras.

På ofullständiga marknader kan det inte uppstå arbitrage alls (mellan underliggande tillgången, den riskfria investeringen och ett derivat).

Härav är det lätt att blanda samman uttryck som ’ett pris fritt från arbitrage’ eller ’inga möjligheter till arbitrage förekommer’ med benämningen ’en marknad fri från arbitrage’, där det senare avser en ofullständig marknad och de två tidigare avser en komplett marknad där arbitrage teoretiskt kan uppstå men gör det inte på grund av effektiviteten i marknaden.

2.2.1 Den riskfria investeringen, aktien och en europeisk köpoption = komplett marknad

I denna uppsats avhandlas huvudsakligen europeiska köpoptioner med aktier som underliggande tillgång.

En marknad som innehåller en riskfri investering, en aktie och en köpoption är komplett.

Köpoptionen är uppnåelig. Det går att replikera köpoptionen med en portfölj bestående av aktien och en riskfri investering.¹

Med ’en aktie’, på marknaden, avses här naturligtvis aktier i ett bolag, och inte att det bara finns ett aktiebrev att köpa. På liknande sätt innebär ’en köpoption’ på marknaden att det finns flera köpoptioner men att alla har samma underliggande tillgång (aktien), samma lösendag och samma lösenpris.

1 Björk (1998); följer av definition 7.1 sid 99

2.2.2 Binominalträd och Black-Scholes formel

Binominalträd och Black-Schoels formel är två matematiska verktyg för att bestämma priset på europeiska köpoptioner. Black-Scholes formel bygger på principen att marknaden är komplett och under antagandet att det inte förekommer arbitrage.¹

Det specifika fall, med binominalträd, som redovisas i nästa kapitel bygger också det på att marknaden är komplett och under antagandet att möjligheter till arbitrage inte förekommer.

Dock går det att använda binominalträd även för ofullständiga marknader, men tekniken blir en aning annorlunda.²

2.3 Binominalmodellen – Diskret tid

Binominalträd är en enkel modell för att beskriva oförutsägbara värdeförändringar på tillgångar, så som t.ex. avkastningen på en aktie.

Binominalträdet beskriver bara tillvaron vid diskreta, från varandra avskilda, tidpunkter.

Mellan dessa tidpunkter finns, så att säga, ingenting, till skillnad från i modeller med

kontinuerlig tid, där det alltid finns oändligt många tidpunkter mellan två tidpunkter som inte är exakt lika.³

Med binominalträdet som modell för verkligheten kan vi beräkna arbitragefria priser på europeiska köp- och säljoptioner. Det är vanligt att dessa arbitragefria priser också benämns riskneutrala. Detta är en rent teoretisk konstruktion som inte har något med marknadens riskpreferenser att göra.⁴

Hur binominalträd används för att beräkna arbitragefria priser på optioner är beskrivet utförligt och pedagogiskt i en rad kursböcker och artiklar.⁵ Men för sammanhanget i uppsatsen är det viktigt att läsaren har god förståelse för vad detta riskneutrala verkligen innebär.

Låt oss därför börja med att kort gå igenom hur binominalmodellen används i praktiken, för att i nästkommande avsnitt titta närmare på innebörden av ’riskneutralt pris’.

1 Björk (1998) sid. 100-101.

2 Cerny (2004) kap. 2.1.

3 Rudin (1976) theorem 2.20.

4 Björk (1998) sid. 13.

5 Exempelvis Björk (1998) kap. 2.

2.3.1 Bestämma pris på en europeisk köpoption med hjälp av binominalträd¹

Vi tänker oss här en marknad bestående av en riskfri investering, aktien och en europeisk köpoption.

Till att börja med konstaterar vi hur den riskfria investeringen är beskaffad.

Om vi sätter in beloppet B på ett bankkonto med riskfri ränta vid t = 0, så vet vi med ₀ säkerhet att vi om ett år (t=1) kommer att ha beloppet B1 =

( )

1+r B0 på kontot, det insatta beloppet plus räntan.

Lånar vi istället beloppet till riskfri ränta B ska vi om ett år betala tillbaks ₀ B1 =

( )

1+r B0

Låt oss nu säga att vi ska bestämma priset på en europeisk köpoption med inlösen om ett år och med lösenpriset K.

Med S avses priset på den underliggande aktien vid tiden t, _t C avser priset på optionen vid _t tiden t, och r är riskfri årlig ränta. Ingen utdelning förekommer under perioden. Anta vidare att vi befinner oss vid tiden noll. Priset på aktien idag är alltså S . Ytterligare antar vi att ₀ fördelningen för S (aktiens värde om ett år) är känd, där utfallsrummet har två tillstånd ₁ (states) enligt följande:

( )





−

=

= =

p dS

S

p uS

S S

d u

1 ten sannolikhe med

ten sannolikhe med

0 ,

1

0 ,

1

1 . (2.3.1)

Faktorerna u och d i (2.3.1) beskriver med vilken faktor aktien kommer att öka respektive minska under året, beroende på om aktien går upp eller ner.

Aktiens värde om ett år kan alltså i den här modellen bara ha två utfall, S_1,u eller S_1,d. Fördelningen beskriven i (2.3.1) ska i teoretisk mening betraktas som den verkliga, eller sanna, fördelningen av S . Låt oss kalla denna för den objektiva fördelningen av ₁ S . ₁

Vi skapar nu ett binominalträd som beskriver aktiens möjliga tillstånd enligt (2.3.1), samt ett tillstånd för dagens värde på aktien. Vi kallar rutorna i binominalträdet för noder. Varje möjligt tillstånd symboliseras alltså med en nod. Binominalträdet kommer här att innehålla en period, motsvarande ett år (se fig. 2.3.1).

1 Exempelvis Björk (1998) kap. 2.

Fig 2.3.1 : En-periods binominalträd beskrivande aktien

Vi ska nu bygga upp ett liknande binominalträd för köpoptionen.

C , d.v.s. optionens arbitragefria pris idag, känner vi inte. Det är vad vi söker. Däremot vet vi 0

vad köpoptionen är värd i de olika tillstånden vid t = 1, då köpoptionen förfaller och värdet helt beror på priset på aktien och lösenpriset. Som vi sett i (2.1.1) kan värdet på köpoptionen vid tiden t = 1 uttryckas som

(

^,0

)

max ₁

1 S K

C = − . (2.3.2)

Vi börjar nu bakifrån i köpoptionens binominalträd, vid tiden t = 1. Där skriver vi in vad vi vet från (2.3.1) och (2.3.2), så att vi får som i fig. 2.3.2.

Fig 2.3.2 : En-periods binominalträd beskrivande en europeisk köpoption med lösenpris K, före arbitragefritt

pris (för tiden t = 0) är beräknat

Om vi i detta skede beräknar väntevärdet med sannolikheterna,

( )



( )







− +

= −

−

−

= +

d u

r q u

d u

d q r

d u

1 1

, (2.3.3)

och sedan diskonterar väntevärdet med

1+r 1 ,

så får vi ett arbitragefritt pris, C , på köpoptionen. ₀

Vi skriver in det diskonterade väntevärdet, beräknat med sannolikheterna i (2.3.3), i noden som representerar tillståndet vid tiden t = 0, d.v.s. idag, och får då det fullständiga

binominalträdet över köpoptionen:

Fig 2.3.3 : En-periods binominalträd beskrivande en europeisk köpoption, med lösenpris K, efter att arbitragefritt pris är beräknat

Priset C ovan benämns vanligen riskneutralt pris fritt från arbitrage. ₀

2.3.2 Vad gör vi – egentligen −−−− när vi prissätter med binominalmodellen?

Låt oss för förståelsens skull titta närmare på vad vi exakt gör när vi prissätter den europeiska köpoptionen med binominalmodellen i föregående avsnitt.

Vi ska nu teoretiskt skapa en portfölj som har värdet noll idag, innehållandes alla tre

tillgångar, underliggande aktien, den riskfria investeringen och köpoptionen. Och sedan se till att priset på köpoptionen är sådant att det inte uppstår arbitrage.

Notationen är densamma här som i det föregående avsnittet.

Antag att S₀ >0. Priset på aktien idag antas alltså vara större än noll.

Känt är att C1,_u =^max

(

uS0 −K^,0

)

och C1,_d =^max

(

dS0 −K^,0

)

. Värdet på köpoptionen vid lösendagen är ju direkt beroende av värdet på aktien och lösenpriset, därmed är värdet på köpoptionen känt i båda tillstånden vid tiden t = 1.

Låt V vara värdet på en portfölj h vid tiden t. Låt vidare värdet på portföljen vid t = 0 vara _t^h V₀^h =S₀x₁ +C₀x₂ +x₃.

Portföljen h innehåller alltså x andelar aktier, ₁ x andelar köpoptioner och ₂ x andelar kronor ₃ (andelar av en krona) i en riskfri investering, eller lånade till riskfri ränta beroende på om x ₃ är positiv eller negativ.

Definitionen på arbitrage är:¹

( )







=

>

=

1 0 0

1 0

h h

V P

V (2.3.4)

D.v.s. om värdet på portföljen h är noll vid tiden t = 0 och värdet på portföljen helt säkert (med sannolikheten ett) är större än noll vid tiden t = 1, så har vi ett arbitrage.

Härav följer att om ^{d ≤}

( )

^{1+r ≤u}, så kan inte lösningen bli någon annan än:²

[

^{quC u qdC d}

]

C₀ r _{1, 1,}

1

1 +

= + , (2.3.5)

där

( )

d u

d q_u r

−

−

= 1+

,

( )

d u

r q_d u

− +

= − 1 .

I appendix II har vi bevisat att C , på en komplett och arbitragefri marknad, inte kan ha något ₀ annat värde än det vi räknade fram i föregående avsnitt (i binominalträdet).

I appendix II framgår också, att om vi vill utrycka formeln (2.3.5) uppdelade i något som kan kallas sannolikheter så måste sannolikheterna se ut som i (2.3.3) med en faktor som motsvarar en diskontering med riskfria räntan. Att uttrycka (2.3.5) i form av sannolikheter och en

diskonteringsfaktor är absolut inte nödvändigt. Vi får ett arbitragefritt pris även fast vi inte delar upp uttrycket som i (2.3.5). Men som vi strax ska se är det dock mer praktiskt att

1 Björk (1998) sid 8 definition 2.2

2 Se appendix II

presentera prisformeln som i (2.3.5). Studerar vi ämnet djupare matematisk kommer det också visa sig att det ger en principiellt mer täckande beskrivning av det arbitragefria priset.¹

Lägg märke till att sannolikheterna p och (1 – p) i (2.3.1), som gäller för den underliggande aktien, inte har ett dyft med värdet på C att göra. Därmed har heller inte väntevärdet för₀ S ₁ något att göra med priset på köpoptionen.

Låt oss kalla sannolikheterna från den objektiva fördelningen i (2.3.1) för p-sannolikheter och de beräknade sannolikheterna i (2.3.3) för q-sannolikheter.

Låt oss vidare särskilja väntevärden som beräknas med p-sannolikheter respektive q- sannolikheter. Vi skriver därför

[ ]

S1

E^P och E^P

[ ]

C1

om vi avser väntevärden beräknade med p-sannolikheter.

Följdriktigt skriver vi

E^Q

[ ]

S1 respektive E^Q

[ ]

C1

om vi beräknat väntevärdena med q-sannolikheter.

Vi kan då enkelt uttrycka prissättningen med binominalmodellen med att

C₀

[ ]

1

1

1 E C

r

Q

= + , (2.3.6)

vilket alltså är det samma som uttrycket i (2.3.5).

Beräknar vi istället väntevärdet för köpoptionen med p-sannolikheter, och diskonterar, kan vi teoretiskt få antingen att

C₀

[ ]

1

1

1 E C

r

Q

= +

[ ]

1

1

1 E C

r

P

> + (risksökande marknad) (2.3.7) eller

C0

[ ]

1

1

1 E C

r

Q

= +

[ ]

1

1

1 E C

r

P

< + (risk avert marknad) (2.3.8) eller

C0

[ ]

1

1

1 E C

r

Q

= +

[ ]

1

1

1 E C

r

P

= + (riskneutral marknad). (2.3.9)

1 Björk (1998) kap. 2 och kap. 6.

Beräknar vi väntevärdet på aktien med hjälp av q-sannolikheter och diskonterar det, visar det sig, att vi på motsvarande sätt som i (2.3.6) får dagens pris på aktien¹

S ₀

[ ]

1

1

1 E S

r

Q

= + . (2.3.10)

Med p-sannolikheter kan vi för S , liksom i fallet med ₀ C , teoretiskt få förhållandena ₀

S0

[ ]

1

1

1 E S

r

Q

= +

[ ]

1

1

1 E S

r

P

> + (risksökande marknad) (2.3.11) eller

S0

[ ]

1

1

1 E S

r

Q

= +

[ ]

1

1

1 E S

r

P

< + (risk avert marknad) (2.3.12) eller

S0

[ ]

1

1

1 E S

r

Q

= +

[ ]

1

1

1 E S

r

P

= + (riskneutral marknad). (2.3.13)

Med (2.3.6), (2.3.10) och tillhörande bevis i appendix I och appendix II, skulle vi kunna föra följande teoretiska resonemang kring arbitragefri prissättning på köpoptioner med

binominalmodellen.

För att få ett pris på köpoptionen som inte ger upphov till arbitrage, så måste vi ändra sannolikheterna så att, i teoretisk mening, avkastningen på aktien i ”genomsnitt” ger samma avkastning som om vi sätter in pengarna på banken.

Gör vi denna förändring av sannolikheterna kommer också den, i teoretisk mening, ”genomsnittliga” avkastningen på köpoptionen att motsvara avkastningen på ett bankkonto.

Påståendet är, som sagt, helt teoretiskt. Om aktier och optioner i verkligheten ger högre, lägre eller samma avkastning som ett bankkonto spelar ingen roll för q-sannolikheterna, eller för det arbitragefria priset på köpoptionen.²

Låt oss säga att både aktien och köpoptionen i vårt resonemang ger bättre avkastning än en riskfri investering. Med andra ord skulle förhållandena i (2.3.8) och (2.3.12) gälla. Då är

1 Se Appendix I

2 Framgår av beviset i appendix II.

marknaden risk avert. Agenterna kräver en riskpremie för att köpa aktien eller köpoptionen.

Ändå måste priset på köpoptionen fortfarande vara som i (2.3.6), annars uppkommer möjligheten till ett arbitrage… Och någon snabbfotad typ på marknaden kan gå in och tjäna pengar utan att ta risker och utan att skjuta till egna medel.

Så begreppet, i föregående avsnitt, riskneutralt pris på köpoptionen, ska inte misstolkas.

Marknaden antas inte vara riskneutral. Den kan vara det, men huruvida den är det eller inte påverkar inte det arbitragefria priset på köpoptionen.¹

Däremot är priset riskneutralt i det teoretiska sammanhanget, när vi använder q-sannolikheter.

I figuren nedan ser vi utritat exempel på sannolikhetsfunktioner där p-sannolikheterna och q-sannolikheterna inte är lika.

Fig. 2.3.4 : Samma som fig. 2.3.1 men med exempel på q-sannolikheter utritat som inte är lika som p-sannolikheterna

Sannolikheter (q-sannolikheterna ovan) som har den här egenskapen, att göra väntevärden riskneutrala, kallas riskjusterat (sannolikhets-)mått (risk adjusted measure), riskneutralt mått (risk neutral measure), eller martingale mått (martingale measure).²

1 Björk (1998) sid 9.

2 Björk (1998) sid 9.

2.4 Från diskret tid till kontinuerlig tid¹

Binominalträden som vi byggde i kapitel 2.3.1 (fig 2.3.1) hade endast en period (ett år) och endast två sluttillstånd (tillstånden vid tiden t = 1). Vi kan, utan att rucka på teorin, föra in fler tidsperioder i binominalträdet.² Om vi ändrar förändringsfaktorerna u och d och anger räntan r i halvårsränta istället, kan vi tillföra en tidsperiod. Då har vi två tidsperioder som avser sex månader istället för en som avser ett år. Vi får då tre sluttillstånd istället för, som tidigare, två (se fig. 2.4.1).

Fig 2.4.1 : Två-periods binominalträd beskrivande aktien

Vi använder det här trädet på samma sätt som vi gjorde med en-periodsträdet. Först bygger vi upp binominalträdet för aktien. Sedan bygger vi binominalträdet för köpoptionen bakifrån som tidigare, fast här har vi fler väntevärden med q-sannolikheter som ska beräknas och diskonteras. Men principen är den samma som i kapitel 2.3.1.

För vi in ytterligare tidsperioder i binominalträdet, så varje tidsperiod avser en månad, får vi tolv tidsperioder och tretton sluttillstånd. Binominalträdet ser nu ut något i stil med fig. 2.4.2.

1 Idén till den här övergången, från en modell i diskret tid till en modell i kontinuerlig tid, är hämtad från Cerny (2004).

2 Björk (1998) kap 2.2

Fig 2.4.2 : Tolv-perioders binominalträd beskrivande aktien

Bygger vi in oändligt många tidsperioder i binominalträdet får vi oändligt små tidsperioder (men vi håller oss fortfarande mellan t = 0 och t = 1). I ett sådant, tänkt, binominalträd har vi kontinuerlig tid. D.v.s. var vi än går in på tidsaxeln (reella tallinjen) mellan t = 0 och t = 1, så finns det noder i binominalträdet som representerar just den tidpunkten.

Den objektiva fördelningens täthetsfunktion (motsvarar p-sannolikheterna från tidigare) och den riskjusterade fördelningens täthetsfunktion (motsvarar q-sannolikheterna) skulle då kunna se ut som i fig. 2.4.3.

Vi kommer också att ha noder, eller möjliga tillstånd som vi kan hoppa till, överallt i grafen till vänster i fig. 2.4.3, närmare bestämt i området {[0,1] × [0,∞)}.

Fig 2.4.3 : Ett tänkt binominalträd med oändligt många tidsperioder mellan tiden 0 och 1. Till höger ett exempel på objektiv täthetsfunktion (svart kurva) och riskjusterad täthetsfunktion (grå kurva)

Syftet med den här uppsatsen är att utifrån prisobservationer på optionsmarknaden skatta den riskjusterade täthetsfunktionen (grå kurvan i fig. 2.4.3) och den objektiva täthetsfunktionen (svarta kurvan i fig. 2.4.3) och utifrån dessa beräkna marknadens riskpreferenser, i en aggregerad mening. En skattad riskjusterad täthetsfunktion benämner vi implicit

täthetsfunktion (motsvarar den grå kurvan i figuren) och skattad objektiv täthetsfunktion kallar vi för subjektiv täthetsfunktion (motsvarar den svarta kurvan). Den objektiva

täthetsfunktionen är en rent teoretisk konstruktion som vi inte känner i verkligheten, så det är inte rimligt att kalla den för objektiv längre. Däremot är det möjligt för agenterna på

marknaden att göra som oss, skatta täthetsfunktionen ur historiska kursdata och använda som en subjektiv bedömning. Därav benämningen.¹

Vidare i uppsatsen kommer implicit täthetsfunktioner betecknas ϕ i matematiska uttryck och subjektiv täthetsfunktion betecknas ψ .

2.5 Nyttofunktioner och koefficienten för absolut riskaversion

För att kunna läsa av marknadens riskpreferenser med hjälp av subjektiva och implicita täthetsfunktioner måste vi först ha ett lämpligt mått på riskaversion.

En investerares subjektiva syn på sin förmögenhet kan beskrivas med en nyttofunktion (utility function). Nyttofunktionens utseende ger oss en bild av vilka riskpreferenser

investeraren har. Är nyttofunktionen konkav så sägs investeraren ogilla risk (risk avert) och föredra säkra investeringar före riskfyllda. Är nyttofunktionen konvex sägs investeraren vara risksökande. Om risknivån på en investering inte har någon betydelse för investeraren är nyttofunktionen linjär, enligt fig. 2.5.1, och investeraren sägs vara riskneutral.

Fig 2.5.1 : Nyttan i funktion av förmögenheten. Krökningen och lutningen ger oss en indikation på vilka riskpreferenser individen i fråga har

1 Vi följer här benämningarna i Jackwerth (2000)

Ett sätt att mäta en investerares inställning till risk, är att titta på förhållandet mellan

krökningen av nyttofunktionen och dess lutning. Detta mått kallas koefficienten för absolut riskaversion och beräknas, ¹

( ) ( )

( )

^W

U W W U

′

− ′′

α = . (2.5.1)

D.v.s. om α

( )

^W i (2.5.1) är positiv så ogillar investeraren risk och föredrar säkra

investeringar. Är α

( )

^W negativ är investeraren risksökande och om α

( )

^W är lika med noll så har investeraren en riskneutral inställning.

2.6 Implicit riskaversion över tillstånden

Nu har vi ett lämpligt mått på riskaversion och ska teoretisk binda ihop subjektiva och implicita täthetsfunktionerna med koefficienten för absolut riskaversion.

2.6.1 Optionspriset som försäkringspremie²

En investerare som äger en aktie kan genom att köpa en säljoption, med lösenpris motsvarande aktiens värde, f örsäkra sig mot en eventuell kursnedgång.

Fig. 2.6.1 : Avkastningskurva för innehavare av en aktie och en säljoption

1 Först publicerad i Pratt (1964); Finns beskriven i bl.a. Cerny (2004) sid 57 eller kursboken Nicholson (2005) sid 541.

2 Leland (1980) sid 583-585

En sådan portfölj, innehållande aktien och en försäkring (säljoptionen), har en

avkastningskurva, vid lösendagen, motsvarande den i fig. 2.6.1. Denna avkastningskurva kan lika väl åstadkommas genom att köpa en köpoption och sätta in pengar på banken.

En avkastningskurva som i fig. 2.6.1 behöver nödvändigtvis inte vara det optimala för en investerare. Det kan vara av större intresse att successivt öka skyddet ju större den eventuella nedgången kan tänkas bli. Exempelvis kan vi köpa en femtedel av fem säljoptioner med fem olika lösenpriser, istället för en säljoption som ovan. Detta förfarande ger en mjukare konvex avkastningskurva.

Fig. 2.6.2 : Avkastningskurva för innehavare av en aktie och 1/5-del av fem säljoptioner med olika

lösenpriser

Även denna avkastningskurva går att åstadkomma med en riskfri investering och köpoptioner.

Faktum är att alla konvexa avkastningskurvor som är två gånger deriverbara går att

åstadkommas genom den underliggande aktien, en riskfri investering och en avpassad portfölj med säljoptioner. Likväl som i fallen tidigare är det fullt möjligt att åstadkomma detta med köpoptioner i portföljen istället för säljoptioner.

Investerare har alltså möjlighet att reglera vilka risker de vill ta för olika tillstånd med hjälp av optionsmarknaden (S-axeln i figurerna ovan utgör aktiens möjliga tillstånd, utfall, vid

lösendagen T). Detta gör att optionens pris kan ses som en försäkringspremie för investerare.

Som antytts i föregående kapitel, kan vi genom marknadspriserna på optioner skatta implicita täthetsfunktionen (i binominalträdet skulle det motsvara skattade q-sannolikheter). Denna

innehåller alltså resultatet av marknadens, i en aggregerad mening, syn på risk och

förväntningar. Den implicita täthetsfunktionen vill vi nu, i någon mening, ”jämföra” med det vi här kallar subjektiva täthetsfunktionen, vilket alltså är att tolka som praktikens svar på teorins objektiva täthetsfunktion (p-sannolikheterna i binominalträdet). Den subjektiva täthetsfunktionen skattar vi ur historiska aktiekursdata och är, så att säga, den ”verkliga”

täthetsfunktionen.

Här ovan har enbart en underliggande aktie nämnts, men resonemanget gäller även för portföljer innehållande flera olika aktier – då naturligtvis med mer komplexa

sammansättningar av optioner. Följaktligen gäller resonemanget också vid innehav av marknadsportföljen.¹

Vi kallar en options (eller en sammansättning av optioners) underliggande portfölj med tillgångar för optionens referensportfölj.

2.6.2 Absolut riskaversion över tillstånden – Teoretisk beskrivning²

Vi antar nu att en investerare väljer en för honom optimal avkastningskurva, Y(x), med hjälp av en portfölj, – innehållandes aktier, en riskfri investering och försäkringar (optioner) – sådan att investeraren maximerar nyttan i (2.6.1), begränsat av budgetkravet i (2.6.2):

Maximera

( )W

∫ ( ) ( )

^{W U}

(

^{Y W}

)

^dW

Y ψ

max (2.6.1)

med budgetrestrektionen

( )

∫ ( ) ( )

⁼

− W Y W dW I

e ^tτ ϕ , (2.6.2)

där

W = utfallsrummet beskrivet som framtida förmögenhet, Y(W) = Investerarens portföljval (avkastningskurvan),

1 Marknadsportföljen: se Luenberger (1998) sid. 174 eller Bodie (2005) sid. 283-284 eller kursboken Nicholson (2005) sid. 556-559.

2 Jackwerth (2000) sid. 435-436; Leland (1980) sid. 585-588

( )

^W

ψ = subjektiv täthetsfunktion över tillstånden, U(W) = nyttofunktion över tillstånden,

λ= skuggpris för bivillkoret, r = riskfri ränta,

τ = tidsomfånget, T – t,

I = initial investering (vid tiden t),

( )

^W

ϕ = implicit täthetsfunktion över tillstånden.

Ur (2.6.1) och (2.6.2) får vi Lagrange uttryck

L =

∫

^∞

( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( )

∞

−

∞

∞

−

− 



−

− e W Y W dW I

dW W Y U

W λ ^r ϕ

ψ ^τ .

Deriverar vi så med avseende på ^Y

( )

^W får vi första ordningens villkor gällande för respektive tillstånd,

ψ

( )

^{W U}′

(

^Y

( )

^W

)

=λ^e−rτϕ

( )

^W . (2.6.3) Förhållande i (2.6.3) måste gälla i jämvikt.

Vi deriverar (2.6.3) med avseende på W och får då att

( )

^{W U}

(

^Y

( )

^W

) ( )

^{ψ W U}

(

^Y

( )

^W

) ( )

^{Y W λe r ϕ}

( )

^W

ψ′ ′ + ′′ ′ = ^−τ ′ . (2.6.4)

Dividera nu (2.6.4) med (2.6.3)

( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( )

( ) ( ( ) ) ( )

( )

^W

e

W e

W Y U W

W Y W Y U W W

Y U W

r r

ϕ λ

ϕ λ ψ

ψ ψ

τ τ

−

− ′

′ =

′ + ′′

′

′ .

Delar vi så upp bråket i vänsterledet i två bråk och förkortar både i höger- och vänsterledet får vi

( )

( ) ( ( ) ) ( )

( )

( ) ( )

( )

^WW

W Y U

W Y W Y U W

W

ϕ ϕ ψ

ψ ′

′ =

′ + ′′

′ ,

vilket är ekvivalent med

( ( ) ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

^WW

W W W

Y U

W Y W Y U

ϕ ϕ ψ

ψ ′

′ −

′ =

′

− ′′ . (2.6.5)

Substituera in koefficienten för absolut riskaversion, (2.5.1), i (2.6.5) och vi får att

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

^WW

W W W

Y

W ϕ

ϕ ψ

α ′ =ψ′ − ′ . (2.6.6)

Om vi nu betraktar investeraren ovan som den genomsnittliga investeraren på marknaden, så äger investeraren enbart marknadsportföljen. Marknadsportföljen är linjär i W med

lutningskoefficienten lika med ett, d.v.s. ^Y′

( )

^{W =1.}

Aggregerat är marknadens absoluta riskaversion över tillstånden därmed

( ) ( )

( ) ( )

( )

^WW

W W W

ϕ ϕ ψ

α ψ ′

′ −

= . (2.6.7)

Vi har här ett matematiskt förhållande mellan implicit täthetsfunktionen, subjektiva täthetsfunktionen och koefficienten för absolut riskaversion.

Nu är det bara att gå till handgripligheter.

Skattar vi implicita täthetsfunktionen, ^ϕ

( )

^W , ur optionspriser, på en marknad där referensportföljen kan betraktas som marknadsportföljen, och sedan skattar

referensportföljens subjektiva täthetsfunktion, ^ψ

( )

^W , samt beräknar täthetsfunktionernas respektive derivator, så kan vi med (2.6.7) beräkna implicit riskaversion över tillstånden.

3 METOD

3.1 Data

Betalkurser på OMXS30-optioner samt terminskurser för OMXS30-index är hämtade från Stockholmsbörsen.

Observationer som ligger till grund för skattningen av implicita täthetsfunktionen

(motsvarande q-sannolikheterna i binominalmodellen) är minutdata. D.v.s. observationer gjorda en gång per minut av senast betalt pris för köp- respektive säljoptioner. Vid samma tillfälle har terminskursen för OMXS30-idexet noterats, samt räntenoteringen för en-månaders statsskuldväxeln (SSV-01M).

Studien avser perioden 2005-04-01 t.o.m. 2005-05-27. Det är alltså från den perioden som optionspriserna är hämtade. Optionerna vi observerat är OMXS30 -optioner med lösendag 2005-05-27.

För skattning av subjektiva täthetsfunktionen (motsvarande p-sannolikheterna i binominalmodellen) har betalkurser från dagsavslut på OMXS30-terminer används.

Vi använder i studien terminskurser för OMXS30-indexet och inte OMXS30-indexet i sig.

Det beror på att i OMXS30-indexet tas inte alltid hänsyn till utdelningar.¹ För att komma runt problemet är det smidigare att använda terminskurserna än att i efterhand korrigera OMXS30- indexet för utdelningar.

Metoden att använda terminskurser istället för underliggande index, eller underliggande aktiekurser, förekommer i flera vetenskapliga studier. Det krävs då att marknaden är effektiv, i meningen att arbitrage inte förekommer. ²

En studie gjord på Göteborgs Universitet avhandlar e ffektiviteten på options- och

terminsmarknaderna, för OMXS30-index. Studiens resultat gör gällande att marknaderna är effektiv. ³ Vi tar det som garant för att metoden, att använda terminskurser istället för indexnoteringar, är användbar här.

Skattningar av subjektiva täthetsfunktionen görs både på kort sikt (ett år tillbaks från 2005-04- 01) och på lång sikt (tio år tillbaks från 2005-04-01).

1 http://domino.omgroup.com.

2 Syrdal (2002) sid. 9.

3 Hou (2004).

3.2 Beräkningsmetoder

3.2.1 Subjektiva täthetsfunktionen

Subjektiva täthetsfunktionen har skattats i enlighet med Black-Scholes modell, där OMXS30- indexet antas utgöra en Geometric Brownian Motion (GBM). Att närmare gå in på vad GBM innebär kräver matematik som ligger utanför nivån på den här uppsatsen.¹ Vi konstaterar här bara kort att OMXS30-indexet antas kunna beskrivas med:

Y

T se

S = ,

där S är det framtida indexvärdet, s är dagens indexvärde, Y är en stokastisk variabel som är _T normalfördelad och har väntevärde

(

^{T t}

)

a −





− 2 ˆ ˆ

σ2

, och standardavvikelse

t T − σˆ . σ kallas vanligen volatilitet.

I studien längre fram i uppsatsen är det värdena på aˆ och σˆ vi skattar ur historiska

terminskurser, dels på kort sikt (ett år tillbaks från 2005-04-01) men också på lång sikt (tio år tillbaks från 2005-04-01).

Skattningen av aˆ och σˆ går till på följande sätt:²

Om en ekvidistant sekvens av diskonterade terminskurserna (dagsavslut) betecknas S

( )

ti , där

n i t ,t , ,t

t = _{0 1} , så logaritmeras avkastningen från det ena tillfället till nästa enligt

( ) ( )

_^



=

−1

ln

i i

i S t

t

ξ S .

Vi har då en ny sekvens, ξ_i =ξ₁,ξ₂, ,ξ_n. Ur denna beräknas först det aritmetiska medelvärdet,

∑

=

= ⁿ

i

n 1 i

1 ξ

ξ .

Sedan beräknas skattningen av volatiliteten,

( )

t n

n

i i

∆

− −

=

∑

1 =1

1 ˆ

ξ ξ

σ ,

1 För teoretisk beskrivning av Black-Scholes formel och GBM hänvisas i första hand till appendix III.

2 Björk (1998) sid. 93.

där t∆ är avståndet i tiden (i år räknat) mellan varje observation, sådan att

−1

−

=

∆t ti ti .

När det är gjort beräknas skattningen av aˆ ut med hjälp av σˆ , ξ och t∆ enligt

2 ˆ ˆ

σ2

∆ξ +

= t

a .

Den här metoden är inte särskilt precis. För att den ska vara det, ska förändringen av

OMXS30-indexet vara lognormalfördelad med konstant volatilitet. Så ser det tyvärr inte ut i verkligheten.¹

En bättre metod, att skatta subjektiva täthetsfunktionen, är att använda kernel densities.² Men för att hålla en teoretiskt rimlig nivå i uppsatsen har vi valt att inte använda kernel densities här. Men naturligtvis gör detta att våra resultat inte uppnår den ackuratess vi önskat.

3.2.2 Implicita täthetsfunktionen och implicit riskaversion

Att skatta implicita täthetsfunktionen är mer avancerat än att skatt subjektiva

täthetsfunktionen och det går också att göra på flera olika sätt. Vi valde en metod som enkelt uttryckt går till som följer:

1) Med hjälp av observerade priser på OMXS30-optioner, räntenoteringar och terminskurser beräknas implicit volatitlitet för respektive option.³

2) Med regression skattas en linje, som beskriver implicita volatiliteterna beroende av lösenpriser.⁴

3) Linjen (regressionslinjen) sätts in i Black-Scholes formel, som deriveras två gånger med avseende på lösenpriset, och vi får implicita täthetsfunktionen.⁵

För att metoden skulle bli mer effektivt, vidareutvecklade vi den så att koefficienten för absolut riskaversion direkt kunde uttryckas i funktion av den skattade linjen. För att få en fullständig inblick i detta – och en god dos matematik – hänvisas läsaren till appendix VI.

1 Jackwerth, m.fl., (1996) sid 1611-1614

2 När uppsatsen skrevs så fanns en rätt behändig introduktion av skattning med kernel densities på internet:

http://www.stat.mq.edu.au/staff/tduong/seminars/intro2kde/

3 Implicit volatilitet: Se appendix IV.

4 Se appendix IV.

5 Se appendix V och VI.

4 RESULTAT

I den här studien analyserar vi OMXS30-marknadens inställning till risk under perioden 2005-04-01 t.o.m. 2005-05-27. D.v.s. knappt två månader under våren 2005.

Som beskrivs i uppsatsen ses här optionsmarknaden som en försäkringsmarknad för aktieinvesterare, vilket gör det möjligt att skatta koefficienten för absolut riskaversion för olika framtida kurser på OMXS30-indexet (här kallat tillstånden).

4.1 Presentation av resultat

Två skattningar av subjektiva täthetsfunktionen (i viss mening motsvarande p-sannolikheterna i binominalmodellen) gjordes ur historiska noteringar av terminskurser, en på kort sikt, från perioden 2004-04-01 t.o.m 2005-04-01, och en på lång sikt, från perioden 1995-01-02 t.o.m 2005-04-01. Terminskurserna diskonterades med kort (1-månaders) ränta, för att approximera OMXS30-indexet korrigerat för utdelningar. Resultaten från de två skattningarna redovisas i

tabell 4.1 nedan.

Resultaten i tabellen kan betrakta som information som var tillgänglig på marknaden under de två månader vi studerat (2005-04-01 t.o.m. 2005-05-27).

Om en investerare på marknaden tog ett investeringsbeslut, baserade på sina egna riskpreferenser, så skulle investeraren kunnat använda informationen som redovisats i tabellen.

Skattning: OMXS30-index Årlig avkastning αˆ Volatilitet σˆ

Kort sikt (1 år) 0.1373 0.1781

Lång sikt (10 år) 0.1863 0.3004

Tabell 4.1 : Resultat av skattningar av driftstermen (årlig avkastning) och diffusionstermen (volatiliteten) under antagandet att OMXS30-terminernas kursnoteringar förändrade sig enligt GBM.

För att lättare se kopplingen mellan den teoretiska beskrivningen i kapitel 2 och resultatens innebörd, redovisar vi först skattningen från ett enskilt tillfälle, från de två observerade månaderna, mer detaljerat. Därefter redovisar vi riskaversionsfunktioner för hela perioden samlat.

Klockan 09:24 den 10 maj 2005 kunde vi observera implicita volatiliteter enligt punkterna i

fig. 4.1, beräknade med hjälp av Black-Scholes formel. I figuren är observationerna utritade i

funktion av respektive options lösenpris (K). Med minsta kvadratmetoden skattades regressionslinjen, ^σ

( )

^{K =0,8545-9,2531⋅10-4 ⋅K} (utritad i fig. 4.1 ).

Fig. 4.1 : Linjär regression av implicita volatiliteter beräknat från observationer av priser på OMXS30-optioner den 2005-05-10 klockan 09:24. Optionerna hade lösendag den 27 maj 2005

Med hjälp av skattningen i fig. 4.1 kan vi beräkna implicita täthetsfunktionen. Den är redovisad som en grå kurva i Fig. 4.2 .

Fig. 4.2 : Den grå kurvan är implicita täthetsfunktionen beräknat, med volatilitet som regressionen i Fig. 4.1 visar. Den svarta kurvan är subjektiva täthetsfunktionen (kort sikt) beräknad med årlig avkastning

skattad till 0.1373 och volatiliteten lika med 0.1781.

Om K är större än 923,5 blir σ

( )

^K här mindre än noll, så σ

( )

^K är inte definierad för K större än 923,5. Negativ volatilitet finns inte, helt enkelt.

Den svarta kurvan i Fig. 4.2 är den subjektiva täthetsfunktionen (kort sikt), med αˆ = 0.1373 och σˆ = 0.1781.

Använder vi täthetsfunktionerna i fig. 4.2 och beräknar koefficienten för absolut riskaversion (för respektive tillstånd), får vi risk aversionsfunktionen i fig. 4.3.

Fig. 4.3 : Absolut riskaversion över tillstånden beräknat på täthetsfunktionerna i fig. 4.2.

S0 är OMXS30-terminens kursnotering diskonterad med kort ränta gällande vid tillfället.

Fig. 4.3 ska tolkas så här:

I en aggregerad mening är marknaden nära nog riskneutral, men något

risksökande, för små förändringar på OMXS30-indexet (för tillstånd som ligger i närheten av indexets senaste notering), men riskaversionen är större för stora nedgångar och stora uppgångar.

På grund av att vi här använder linjär regression vid skattning av implicita volatiliteter, så blir våra skattningar av riskaversionen snabbt irrelevanta inför kursuppgångar. Skattade

volatiliteten går mot noll (se fig. 4.1). Effekten blir att den kraftiga ökningen av riskaversionen inför kursuppgångar i fig. 4.3 bör se på med en viss skepsis. Av den här anledningen beräknas inte riskaversionsfunktionen längre ovanförS än att ₀ ^σ

( )

^K är större än 0.08.

Det kan överhuvudtaget tyckas märkligt att det finns en risk avert inställning till stora uppgångar, men lägg då på minnet att vi här ser på optionsmarknaden som en

försäkringsmarknad och att köp- respektive säljoptioners priser måste samverka i enlighet med put-call parity.¹

1 Put-Call Parity: Se exempelvis kursboken Bodie (2005) sid. 719-721.

På en risk avert marknad är säljoptioner överprissatta, i ett riskneutralt perspektiv, och köpoptioner är underprissatta. Så av fig. 4.3 kan vi utläsa att just det förhållandet gäller för optioner som handlas med lösenpriser långt från S . Medan priserna för optioner med ₀ lösenpriser närmare S mer överensstämmer med den riskneutrale investerarens syn på ₀

optionernas nuvarande värde. Dock är marknaden något risksökande allra närmast S och där ₀ gäller alltså att säljoptionerna är underprissatta och köpoptioner överprissatta, ur ett

riskneutralt perspektiv. En riskneutral investerare på marknaden bör alltså ge ut säljoptioner och köpa köpoptioner med höga och låga lösenpriser. Möjligen bör den riskneutrale också köpa säljoptioner och ge ut köpoptioner med lösenpriser nära S , men värdena på ₀

riskaversionen är så lite under noll där, så i praktiken är det senare troligen inte ekonomiskt försvarbart.

För hela tvåmånadersperioden redovisas bara riskaversionsfunktionerna och inte de implicita täthetsfunktionerna. Vitsen med metoden vi utvecklat i appendix VI, är att vi ska slippa skatta implicita täthetsfunktioner över huvud taget och istället direkt (från regressionslinjer av implicita volatiliteter) kunna beräkna riskaversionsfunktioner.

I fig. 4.4 och fig. 4.5 visas riskaversionsfunktioner från perioden mellan 2005-04-01 och 2005- 05-27, där aversionsfunktionerna, så att säga, längst in i bilderna är från 2005 -04-01 och de närmast betraktaren är från 2005-05-27. De ”veckade grå banden” i mitten på graferna representerar OMXS30-indexets nivå korrigerat för utdelningar (egentligen diskonterade terminskursen) för tillfället som respektive aversionsfunktion avser. OMXS30-indexets värde läses av på den främre axeln (Tillstånd S) med skala från 500 till 1000. Höjden på banden är till för att hjälpa läsaren att jämföra resultatet i fig. 4.4 med resultatet i fig. 4.5. Båda banden är i absoluta värden lika höga och går från riskaversion –0.2 till +0.2.

I fig. 4.4 är subjektiva täthetsfunktionen skattad med kursdata ett år tillbaks i tiden (från 2004- 04-01 t.o.m. 2005-04-01), d.v.s. med ett kort perspektiv (enligt tabell 4.1 ovan). Resultaten som återfinns i fig. 4.4 är sammanställda i tabell A.1 appendix VII, med värden på riskaversion vid ändpunkterna, vid S₀ och max- och minimum värden.

I fig. 4.5 är subjektiva täthetsfunktionen skattad med kursdata drygt tio år tillbaks i tiden (från 1995-01-02 t.o.m. 2005-04-01), d.v.s. med ett långt perspektiv (se tabell 4.1). Resultaten som återfinns i fig. 4.5 är sammanställda i tabell A.2 appendix VII.

Som vi kan se i fig. 4.4, fig. 4.5 och i tabell A.1 och tabell A.2 tenderar marknaden att vara risksökande inför mindre kursförändringar på OMXS30-indexet (i närheten av de grå