Diagnostiskt test 1 M0029M-HT14
Betygsgr¨anser: 0-12 U, 13–17 3, 18-21 4, 22-26 5 Skrivtid: 240 min
Inga hj¨alpmedel till˚atna.
1. Anv¨and induktion f¨or att bevisa
n
X
k=1
k3−k = 3
4− 2n + 3
4 · 3n , n ≥ 1.
(5 p) 2. Ber¨akna f¨oljande gr¨ansv¨arden om de existerar, i de fall gr¨ansv¨ardena inte
existerar motivera varf¨or.
a)
limx→2
|x − 2|
x3− 8
(2 p) b)
x→−∞lim
√
x6+ 4x3+ x3
(2 p) c)
x→0lim
x + x2+ sin(3x) tan(2x) + 3x
(2 p) 3. Trigonometriska funktioner.
a) L˚at u = tan(x/2). Beskriv cos x med hj¨alp av u. Ledning: cos x =
cos(x/2 + x/2) = . . . (3 p)
b) H¨arled en formel f¨or tan(u + v) endast inneh˚allande tan u och tan v. (2 p)
0Svar: 2. a) Existerar ej. b) −2, c) 4/5, 3. a) (1 − u2)/(1 + u2) b) (tan u + tan v)/(1 − tan u tan v) 4. a) x/√
x2+ 1 b) y = 3π(π − x)/(π + 1)
1
4. Derivata.
a) Ber¨akna
d dx
√ x2+ 1
med hj¨alp av derivatans definition. Derivera ”som vanligt” och j¨amf¨or. (3 p) b) L˚at
f (x) = x sin(3x) x + cos2x.
Best¨am tangenten till y = f (x) i den punkt d¨ar x = π. (2 p) 5. L¨os en (och endast en) av f¨oljande uppgifter:
I) L˚at f vara en funktion som ¨ar deriverbar i punkten x0. Visa att f ¨ar kontinuerlig i x0. G¨aller omv¨andningen? bevisa eller ge ett motexem- pel.
II) Definiera vad som menas med att f ¨ar deriverbar i en punkt x0. Antag att f ¨ar deriverbar i x0och best¨am, med hj¨alp av derivatans definition,
d
dx(f (x))2 x=x0
III) Bevisa att dxd cos x = − sin x. Man f˚ar utnyttja k¨anda gr¨ansv¨arden f¨or sin och cos.
(5 p)
2
