1 av 8
ATT LÖSA DIFFERENTIALEKVATIONER, SYSTEM AV DE OCH
INTEGRALEKVATIONER MED HJÄLP AV LAPLACETRANSFORMER
Linjära DE med konstanta koefficienter, system av sådana DE och några integralekvationer kan vi lösa på ett relativt enkelt sätt med hjälp av Laplacetransformer
För att lösa en DE med hjälp av Laplacetransformer använder vi följande tre steg:
Steg 1. Först transformerar vi båda leden och förenklar därefter (vi får en enkel algebraisk ekvation på Y(s)).
Steg 2. Vi löser ut Y(s).
Steg 3.Slutligen inverstransformerar vi Y(s).
På liknande sätt hanterar vi system av DE och integralekvationer.
Viktiga formler:
7 y(t) sY(s) y(0)
8 y (t) s2Y(s)sy(0)y(0)
9 y (t) s3Y(s)s2y(0)sy(0)y(0)
10
t f x dx0
)
( 1 ( )
s sF
11
t f tx g x dx0
) ( )
( F(s)G(s)
Anmärkning: Om man har Diracs deltafunktion i uppgiften då ersätts formlerna 7,8,9 med
7’ y(t) sY(s) y(0)
8’ y (t) s2Y(s)sy(0)y(0)
9’ y (t) s3Y(s)s2y(0)sy(0)y(0)
2 av 8 ÖVNINGAR:
Uppgift 1. Använd Laplacetransformer för att lösa följande DE a) y(t)3y(t)e2t, y(0)1.
b) y(t)6y(t)9y(t)t2e3t, y(0)2, y(0)6
Lösning.
a)
Steg1. Först transformerar vi båda leden och förenklar :
2 ) 1
( 3 ) 0 ( )
(
s s Y y
s
sY
2 ) 1
( 3 1 )
(
s s Y s
sY
Steg 2. Vi löser ut Y(s).
2 1 1 ) ( 3 )
(
s s Y s sY
) 3 )(
2 (
1 )
3 ( ) 1 (
2 1 1
) 3 )(
(
s s s s
Y s s s Y
Steg 3.Slutligen inverstransformerar vi Y(s) (Använd BETA eller partialbråksuppdelning)
t t
t t t
e e t y
e e e t y
2 3
2 3 3
2 ) (
) (
Svary(t)2e3t e2t
b) y(t)6y(t)9y(t)t2e3t, y(0)2, y(0)6 Steg1. Först transformerar vi båda leden och förenklar :
3 2
) 3 (
! ) 2
( 9 )) 0 ( ) ( ( 6 )) 0 ( ' ) 0 ( ) (
(
s s Y y
s sY y
sy s Y s
3 2
3 2
) 3 ( ) 2 ( 9 12 ) ( 6 6 2 ) (
) 3 ( ) 2 ( 9 ) 2 ) ( ( 6 ) 6 2 ) ( (
s s Y s
sY s
s Y s
s s Y s
sY s
s Y s
3 av 8
3 2
) 3 ( 6 2 2 ) ( 9 ) ( 6 )
(
s s s Y s sY s Y s
Steg 2. Vi löser ut Y(s).
5 5 2
5 2
3 2
3 2
) 3 (
2 3
) 2 (
) 3 (
2 )
3 (
) 3 ( ) 2 (
) 3 (
2 )
3 (
6 ) 2
(
) 3 ( 6 2 2 ) 3 )(
(
) 3 ( 6 2 2 ) ( 9 ) ( 6 ) (
s s s Y
s s
s s Y
s s
s s Y
s s s
s Y
s s s Y s sY s Y s
Steg 3. Slutligen inverstransformerar vi
t t
t t
t e e t y
t e e t y
3 4 3
3 4 3
2 12 ) (
! 24 2 ) (
Svar t t e t
e t
y 3
4 3
2 12 )
(
Uppgift 2. Använd Laplacetransformer för att lösa följande DE
a) y(t)3y(t)e2t, y(0)1. b) y t ( ) y t( )sint 0, y(0) 0
Svar: a) y(t)e2t 2e3t b) 1 1
( ) (cos sin )
2 2
y t et t t
Uppgift 3. Använd Laplacetransformer för att lösa följande DE
a) y(t)4y(t)U(t2), y(0)1. b) y(t)5y(t)(t), y(0)0 c) y(t)5y(t)6y(t)(t), y(0)0,y(0)0
d) y(t)4y(t)4y(t)(t), y(0)0,y(0)0
Svar: a)
) 4 ( 4 ) 1
(
2
s s
e s s
Y
s
och därmed ( 1) ( 2)
4 ) 1
(t e4 e4(2) U t
y t t
4 av 8
b) 5
) 1
(
s s
Y och därmed y(t)e5t.
c) ( 2)( 3)
1 6
5 ) 1
( 2
s s s
s s
Y och därmed y(t)e2te3t.
d) 2 2
) 2 (
1 4
4 ) 1
(
s s
s s
Y och därmed y(t)te2t.
Uppgift 4. Använd Laplacetransformer för att lösa följande DE a) 6y(t)6y(t)9y(t)t2e3t, y(0)2, y(0)
b) y t( )6 ( )y t 13 ( )y t , y(0)0, y(0) 3 Svar a) y t e3t t4e3t
12 2 1
)
( b) 3 3 sin 2 2
et t
Uppgift 5. Använd Laplacetransformer för att lösa följande integralekvationer
a) y t t
t e y t d0
) ( )
cos(
)
( b)
0
( ) 2 ( )
t
y t t
y t d =0Lösning a) Laplacetransformering ger )
1 ( 1 ) 1
( 2 Y s
s s
s s
Y
.
Härav
1 ) 1
1 ( 1)
1 1 ( ) 1 (
) 1 ( ) 1
( 2 2 2
s
s s
s s s Y
s s s
s Y s s s Y s Y
och 1
1 1 1
) 1
( 2 2 2
s s
s s
s s Y
Inverstransformering ger y(t)costsint. Svar: a) y(t)costsint. b) ( )y t 2 sint
Uppgift 6. Lös följande integralekvation
0 ) 0 ( , ) ( 9 ) ( 6 1 )
(
t y t
y d yy
t
o
.
5 av 8 Svar: y(t)te3t.
Uppgift 7. Använd Laplacetransformer för att lösa följande system:
1 ) ( ) (
5 4 ) ( 2 ) (
t t y t x
t t y t
x
, 0 ) 0 (
x y(0)2 Lösning:
) 2 (
2 ) 2
( 2 2
2
s s
s s s
X
som vi delar i partiella bråk:
) 2
( 2 2
s
D cs s B s s A
X som ger
2 1
) 1
( 2 2
s
s s s s
X ,
Därför x(t)t1cosh(t 2) (BETA)
) 2 (
4 4 ) 2
( 2 2
2 3
s s
s s s s
Y ,
eller
2 1 2 ) 2
( 2 2
s s s
s Y
så att
) 2 sinh(
2 2 2 2 )
(t t t
y
Uppgift 8. Använd Laplacetransformer för att lösa följande system:
a) b)
. 0 ) 0 ( , 1 ) 0 (
, 2 2 ) ( ) ( 2
2 )
( ) (
y x
t e t y t x
e t y t x
t t
( ) ( ) cos 3 ( ) ( ) 3cos 1,
(0) 0, (0) 1.
x t y t t
x t y t t
x y
6 av 8
Svar: a) x(t)et, y(t)2t b) ( )x t sin ,t y t( ) 1
Uppgift 9. Använd Laplacetransformer för att lösa följande system:
. 0 ) 0 ( , 1 ) 0 (
3 2 ) ( ) ( 2
3 )
( ) (
y x
t e t y t x
e t y t x
t t
Lösning:
2
3 1 ) 2 ( )) 0 ( ) ( ( 2
3 1 ) 1 0 ( ) ( ) 0 ( ) (
s s s
Y x
s sX
s y s
s sY x
s sX
(*)
eller
2
3 1 2 2
) ( ) ( 2
3 1 1 1 ) ( ) (
s s s
Y s sX
s s s
sY s sX
(**)
–2 *(ekv1) + (ekv 2) ger
2
2 2 2
) 3 (
) 2 1 ( ) 3 ( ) 2 1 (
6 ) 3
( ) 2 1 (
6 ) 3
( ) 2 1 (
s s Y
s s s
Y s
s s s Y s
s s s
Y s
Vi substituerar 32 ) (s s
Y i (**) och får
7 av 8 1
) 1 (
1 ) 2 ( 2
1 2 2
) ( 2
3 1 2 2 ) 3
(
2 2 2
s s X
s s s sX
s s sX
s s
s s sX
Nu har vi 32 ) (s s
Y och
1 ) 1
(
s s
X .
Inverstransformering ger et
t
x( ) och y(t) . 3t Svar: x(t)et , y(t) 3t
Uppgift 10.
Lös DE
) ( ) ( 7 ) ( 8 )
(t y t y t U t
y ,
där 0y(0) , 0y(0) . Lösning:
Laplacetransformering ger
) 7 )(
1 ( ) 1 (
1 7 8 ) 1
(
) 1 ( 7 ) ( 8 ) (
2 2
s s s s Y
s s s s
Y
s s Y s sY s Y s
(Partialbråksuppdelning eller BETA)
) 7 ( 42
1 )
1 ( 6
1 7
) 1
(
s s s
s Y
t
t e
e t
y 6 7
42 1 6
1 7 ) 1
( Svar: y t e 6t e 7t
42 1 6
1 7 ) 1
(
8 av 8 Uppgift 11.
Lös integro-differentialekvationen
10 )
( 100 ) ( 20 ) (
0
t i t
ti x dxi , i(0)=0.
Lösning:
Laplacetransformering ger:
10 ) ( 100 ) ( 20 ) (
10 ) 100 ( ) ( 20 ) (
2
s Y s
sY s
Y s
s s
s s Y
Y s
sY
100 20 ) 10
( 2
s s s
Y
2
) 10 ( ) 10 (s s Y
te t
t
i( )10 10 Svar: i(t)10te10t
