L¨ osningsskiss: Christian Forss´ en

L¨ osningsskiss f¨ or tentamen – Vektorf¨alt och klassisk fysik (FFM234 och FFM232)

Tid och plats: Tisdagen den 19 december 2017 klockan 08.00- 12.00 i SB.

L¨ osningsskiss: Christian Forss´ en

Detta ¨ ar enbart en skiss av den fullst¨ andiga l¨ osningen. Det kan inneb¨ ara att vissa mellansteg i utr¨ akningarna, som egentligen ¨ ar n¨ odv¨ andiga f¨ or en komplett l¨ osning, inte redovisas.

1. Svara p˚ a f¨ oljande tre delfr˚ agor (endast svar skall ges):

(a) Vad blir divergensen av vektorf¨ altet ~ F = sin θˆ e θ (givet i sf¨ ariska koordinater)?

(b) Best¨ am konstanten C s˚ a att distributionen h  (x) ≡ C exp(−x ² / ² )

 ,

blir en korrekt normaliserad deltafunktion i gr¨ ansen  → 0 ⁺ . (c) N¨ ar man anv¨ ander indexnotation f¨ or att bevisa vektoridentiteten

∇ × ( ~ ~ ∇ × ~ F ) = ~ ∇( ~ ∇ · ~ F ) − ∆ ~ F st¨ oter man p˚ a termen ∂ _m ∂ _i F _m , d¨ ar indexen i, m l¨ oper ¨ over kartesiska koordinater. Vilket/vilka av f¨ oljande p˚ ast˚ aenden st¨ ammer?

(A) ∂ _m ∂ _i F _m = ∂ _i ∂ _m F _m (B) ∂ _m ∂ _i F _m = ∂ _m F _m ∂ _i (C) ∂ _m ∂ _i F _m = F _m ∂ _m ∂ _i (D) ingetdera (3 po¨ ang per korrekt besvarad deluppgift, 10 po¨ ang f¨ or alla tre.) L¨ osning:

(a) 2 cos θ/r (b) C = 1/ √

π (c) (A)

2. Ett koordinatsystem uvz ¨ ar definerat genom

x = u ² + λv ² ; y = uv; z = z,

d¨ ar u ≥ 0. Best¨ am konstanten λ s˚ a att koordinatsystemet blir ortogo-

nalt och ber¨ akna systemets skalfaktorer. Visa ocks˚ a om systemet ¨ ar ett

h¨ oger- eller ett v¨ anstersystem. (10 po¨ ang)

L¨ osningsskiss, tentamen FFM234/FFM232 2017-12-19

L¨ osning:

Enhetsriktningar (ej normaliserade) skapas genom ∂~ r/∂u i . Detta ger

~ e _u = (2u, v, 0), ~ e _v = (2λv, u, 0), ~ e _z = (0, 0, 1).

Ortogonalitet erh˚ alls omm λ = −1/4.

Skalfaktorerna ¨ ar h _i = |∂~ r/∂u _i |, vilket ger h _u = √

4u ² + v ² , h _v =

√ 4u ² + v ² /2, h _z = 1.

Systemet ¨ ar ett h¨ ogersystem eftersom ˆ e _i × ˆ e _j = ˆ e _k , d¨ ar ijk ¨ ar cykliska permutationer av uvz. Visa t.ex. med

ˆ

e _u × ˆ e _v = 2 4u ² + v ²

ˆ

x y ˆ z ˆ 2u v 0

−v/2 u 0      

= ˆ e _z

3. Ytan till en (o¨ andligt) l˚ ang cylindrisk kavitet med radien a h˚ alls vid den elektriska potentialen φ(ρ = a, α, z) = φ 0 cos 2α, d¨ ar (ρ, α, z) ¨ ar cylindriska koordinater och d¨ ar φ ₀ > 0. Best¨ am den statiska elektis- ka potentialen i kaviteten och skissa n˚ agra ekvipotentialytor. Markera speciellt ekvipotentialytan f¨ or φ = 0 (om den existerar i omr˚ adet) och ange i vilka omr˚ aden som potentialen ¨ ar positiv respektive negativ.

(cylindrisk kavitet = en ih˚ alig cylinder.) (10 po¨ ang) L¨ osning:

Vi har inget z-beroende och g¨ or ansatsen φ = φ(ρ, α) = f (ρ) cos 2α.

Detta uppfyller RV om f (a) = φ ₀ och ger en separabel diff.ekv.

∆φ = . . . = cos 2α  1

ρ ∂ _ρ (ρf ⁰ (ρ)) − 4 ρ ² f (ρ)



= 0.

Ansatsen f (ρ) = Aρ ^p ger l¨ osningarna p = ±2 men vi eliminerar den negativa exponenten eftersom den ger en singularitet som vi inte har.

RV ger A s˚ a att

φ = φ ₀ ρ ²

a ² cos 2α = φ ₀ x ² − y ² a ² .

H¨ ar b¨ or man rita en figur, f¨ orslagsvis p˚ a ett snitt av cylindern. Ekvi- potentialytorna blir hyperbler x ² − y ² = konstant. Ytorna y = x samt y = −x ger φ = 0 och potentialen ¨ ar positiv (negativ) i den h¨ ogra och v¨ anstra (¨ ovre och nedre) kvadranten.

Fysik, Chalmers Page 2 Examinator: C. Forss´ en

L¨ osningsskiss, tentamen FFM234/FFM232 2017-12-19

4. Antag att vi har ett vektorf¨ alt ~ F som ¨ ar kontinuerligt och (dubbelt) deriverbart p˚ a en volym V . Utg˚ a fr˚ an Gauss sats f¨ or att visa att Stokes sats,

Z

S

( ~ ∇ × ~ F ) · d ~ S = Z

∂S

F · d~ ~ r,

g¨ aller f¨ or alla ytor S med rand ∂S som ligger p˚ a ytan ∂V (dvs randen ligger p˚ a den yta som innesluter volymen V ). (10 po¨ ang)

L¨ osning:

V¨ alj tv˚ a ytor S ₁ och S ₂ som har samma rand ∂S och som tillsammans innesluter en volym p˚ a vilken man kan till¨ ampa Gauss sats. Se t.ex.

kursboken avsnitt 4.3.

Denna uppgift visade sig dock vara otydligt formulerad (den avsedda uppgiften var att visa att valet av yta inte spelar n˚ agon roll f¨ or upp- fyllandet av Stokes sats givet att de har samma rand).

5. Betrakta en kropp med volymen V . P˚ a randen till kroppen g¨ aller Neu- manns homogena randvillkor f¨ or temperaturen. Initialt g¨ aller T = T 0

i hela kroppen. Vid tiden t = 0 sl˚ as en v¨ armek¨ alla p˚ a med v¨ arme- k¨ allt¨ atheten s = P δ ³ (~ r − ~ r ₀ ), d¨ ar P ¨ ar en konstant och ~ r ₀ ortsvek- torn f¨ or en punkt i kroppen. Denna v¨ armek¨ alla f¨ orblir sedan p˚ aslagen.

Best¨ am v¨ ardet av R

V T (~ r, t)dV f¨ or alla tider t > 0. Materialet har v¨ armeledningsf¨ orm˚ aga λ, densitet ρ och v¨ armekapacitivitet c. (10 po¨ ang) L¨ osning:

Randvillkoret ger att kroppen ¨ ar v¨ armeisolerad. Detta inneb¨ ar att ingen v¨ armeenergi kommer att fl¨ oda genom kroppens rand. N¨ ar v¨ armek¨ allan sl˚ as p˚ a ¨ okar f¨ oljdaktligen den totala v¨ armeenergin linj¨ art med tiden. Vi f˚ ar att

Z

V

T (~ r, t)dV = T 0 V + P t cρ .

6. Betrakta Poissons ekvation ∆φ = −ρ i det endimensionella omr˚ adet {x : 0 ≤ x ≤ L} med Dirichlets homogena randvillkor. F¨or detta problem ¨ ar Greensfunktionen

G(x, x ⁰ ) =

 1 − ^x _L

x 0 ≤ x < x ⁰ , 1 − ^x _L
x ⁰ x ⁰ ≤ x ≤ L.

Anv¨ and denna Greensfunktion f¨ or att ber¨ akna potentialen f¨ or en punkt- laddning +q i punkten L/4 (med de givna randvillkoren). Skissa denna potential. Ber¨ akna ocks˚ a det motsvarande kraftf¨ altet och skissa detta i

Fysik, Chalmers Page 3 Examinator: C. Forss´ en

L¨ osningsskiss, tentamen FFM234/FFM232 2017-12-19

en figur. Ge slutligen en fysikalisk tolkning av de diskontinuiteter som uppvisas i kraftf¨ altet. (10 po¨ ang)

L¨ osning:

Laddningsf¨ ordelning kan skrivas

ρ(x ⁰ ) = +qδ(x ⁰ − L/4),

och l¨ osningen kan skrivas i termer av den givna Greensfunktionen φ(x) =

Z L 0

G(x, x ⁰ )ρ(x ⁰ )dx ⁰ .

Pga Greensfunktionens utseende f˚ ar vi betrakta tv˚ a separata omr˚ aden:

F¨ or x < L/4: H¨ ar ¨ ar G = (1 − x ⁰ /L)x och vi f˚ ar φ(x) = +q



1 − L/4 L



x = q 3x 4 . F¨ or x > L/4: H¨ ar ¨ ar G = (1 − x/L)x ⁰ och vi f˚ ar

φ(x) = q

 1 − x

L

 L

4 = q L − x 4 .

Potentialen skissas upp. D˚ a ser man att den ¨ okar linj¨ art fr˚ an noll vid x = 0 till 3qL/16 vid x = L/4 f¨ or att sedan avta linj¨ art till noll igen vid x = L.

Kraftf¨ altet blir

F (x) = − ~ ~ ∇φ = −ˆ x dφ

dx =  − ^3q ₄ x, 0 < x < L/4 ˆ + ^q ₄ x ˆ L/4 < x < L.

Vi finner tre diskontinuiteter i kraftf¨ altet vilka vi tolkar som endimen- sionella ytladdningar (dvs punktladdningar). Ekvationen ˆ x · ( ~ F ₊ − ~ F − ) ger oss styrkan hos yt-(punkt-)laddningen. +q i punkten L/4 ¨ ar den givna laddningen i problemet. Punktladdningarna −3q/4 vid x = 0 och −q/4 vid x = L kan tolkas som inducerade laddningar pga rand- villkoret. De summerar till −q som f¨ orv¨ antat.

Fysik, Chalmers Page 4 Examinator: C. Forss´ en