L¨ osningsskiss: Christian Forss´ en.

Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM234 eller FFM232)

Tid och plats: M˚ andagen den 7 januari 2019 klockan 08.30- 12.30 i SB.

L¨ osningsskiss: Christian Forss´ en.

Detta ¨ ar enbart en skiss av den fullst¨ andiga l¨ osningen. Det kan inneb¨ ara att vissa mellansteg i utr¨ akningarna, som egentligen ¨ ar n¨ odv¨ andiga f¨ or en komplett l¨ osning, inte redovisas.

1. Svara p˚ a f¨ oljande tre delfr˚ agor (endast svar skall ges):

(a) Skissa niv˚ aytor och f¨ altlinjer f¨ or en linjek¨ alla ~ F = _2πρ ¹ ρ ˆ (b) Ber¨ akna integralen R ∞

−∞ sin(x)δ(−2x − π)dx.

(c) Teckna f¨ oljande tre uttryck med indexnotation: (i) ~a · (~b × ~c), (ii) M~a, (iii) MN, d¨ ar ~a, ~b, ~c ¨ ar vektorer och M, N ¨ ar 3 × 3 matriser.

(3 po¨ ang per korrekt besvarad deluppgift, 10 po¨ ang f¨ or alla tre.) L¨ osning:

(a) Niv˚ aytorna blir cylindrar med z-axeln som symmetriaxel. F¨ altlinjerna

¨

ar r¨ ata linjer i xy-planen, riktade radiellt ut fr˚ an z-axeln.

(b) −1/2

(c) (i) ~a · (~b × ~c) = a _i ε _ijk b _j c _k , (ii) M~a = M _ij a _j , (iii) MN = M _ik N _kj .

2. Ett koordinatsystem uvz ¨ ar definerat genom

x = a cosh u cos v; y = λ sinh u sin v; z = z,

d¨ ar a > 0, u ≥ 0, 0 ≤ v < 2π, −∞ < z < ∞ . Best¨ am konstanten λ s˚ a att koordinatsystemet blir ortogonalt och ber¨ akna systemets skalfak- torer. Visa ocks˚ a om systemet ¨ ar ett h¨ oger- eller ett v¨ anstersystem.

(10 po¨ ang) L¨ osning:

Tangenttbasvektorerna blir

∂~ r

∂u = (a sinh u cos v, λ cosh u sin v, 0) ,

∂~ r

∂v = (−a cosh u sin v, λ sinh u cos v, 0) ,

∂~ r

∂z = (0, 0, 1) . (1)

L¨ osningsskiss, tenatmen FFM234, FFM232 2019-01-07

F¨ or att dessa basvektorer skall vara ortogonala f¨ oljer att λ = ±a. Sys- temet ¨ ar ett h¨ ogersystem om λ = +a (v¨ anstersystem om λ = −a).

Dessutom f˚ ar vi skalfaktorerna: h _u = h _v = a p

cosh ² u − cos ² v, h _z = 1.

3. H¨ arled kontinuitetsekvationen f¨ or elektrisk laddningst¨ athet ρ(~ r, t) och elektrisk str¨ omt¨ athet ~(~ r, t). Anv¨ and denna f¨ or att motivera f¨ orskjut- ningsstr¨ ommen i Amperes lag med tidsberoende f¨ alt

∇ × ~ B = µ ₀ ~ (elektrostatik) ⇒ ∇ × ~ B −  ₀ µ ₀ ∂ ~ E

∂t = µ ₀ ~.

(10 po¨ ang) L¨ osning:

Kontinuitetsekvationen f¨ or elektrisk laddning

∂ρ

∂t = −∇ · ~,

h¨ arleds f¨ orslagsvis med hj¨ alp av Gauss sats (se avsnitt 4.2 i kompendiet med den konserverade storheten laddning ist¨ allet f¨ or massa).

Fr˚ an Amperes lag (utan tidsberoende) har vi

∇ · ~ = 1 µ ₀ ∇ · 

∇ × ~ B



= 0,

enligt r¨ aknereglerna f¨ or vektoroperatorerna. Detta skulle betyda att

∂ρ

∂t = 0,

vilket ¨ ar orimligt, f¨ or det betyder att det inte g˚ ar att flytta en elektrisk laddning.

Med ytterligare en term (f¨ orskjutningsstr¨ ommen) i Amperes lag

∇ × ~ B − µ ₀  ₀ ∂ ~ E

∂t = µ ₀ ~,

st¨ ammer kontinuitetsekvationen vilket man ser efter ins¨ attning.

4. Ber¨ akna normalytintegralen av F = F ~ ₀ a ²

(x ² + y ² + z ² ) ^3/2



xˆ x + y ˆ y +

 z + z

a

(x ² + y ² + z ² ) ^3/2 a ²

 ˆ z



Fysik, Chalmers Page 2 Examinator: C. Forss´ en

L¨ osningsskiss, tenatmen FFM234, FFM232 2019-01-07

¨

over ytan S : x ² + y ² = (z − 3a) ² , 0 ≤ z ≤ 3a. F ₀ och a ¨ ar konstanter.

(10 po¨ ang) L¨ osning:

F¨ altet kan skrivas ~ F = F 0 a ^{2 ˆ} _r ^r

+ ^F _a

^z z. Den f¨ ˆ orsta termen motsvarar en punktk¨ alla i origo med styrka 4πF 0 a ² . Den andra termen, ~ F 1 ≡ ^F _a

^z z, ˆ

¨

ar inte singul¨ ar och har divergensen ~ ∇ · ~ F 1 = F 0 /a. Ytan ¨ ar en kon med spetsen i z = 3a som ¨ ar ¨ oppen i planet z = 0. Bidraget fr˚ an punktk¨ allan blir d¨ arf¨ or lika med halva dess styrka: 2πF ₀ a ² (eftersom ytan upptar rymdvinkeln 2π).

Vi anv¨ ander Gauss sats f¨ or att r¨ akna ut bidraget fr˚ an den icke-singul¨ ara delen. Slut ytan med en bottenplatta vid z = 0, p˚ a vilken ~ F ₁ (z = 0) = 0. Detta ger bidraget π9a ² F ₀ .

Totalt f˚ ar vi R

S F · d ~ ~ S = 11πa ² F ₀ .

5. L¨ os Laplaces ekvation ∆T = 0 f¨ or ett temperaturf¨ alt inuti omr˚ adet V : r ≤ a med randvillkoret T | _r=a = T ₀ + T ₁ cos θ, d¨ ar T ₀ , T ₁ ¨ ar positiva konstanter med enhet [T ₀ ] = [T ₁ ] = K. (10 po¨ ang)

L¨ osning:

Ansatsen T (~ r) = T ₀ + f (r) cos θ ger Laplaces ekvation

∆T = cos θ

r ² r ² f ⁰⁰ (r) + 2rf ⁰ (r) − 2f (r) = 0,

med l¨ osningar f ₁ (r) = A ₁ r och f ₂ (r) = A ₂ r ⁻² (ans¨ att f (r) = Ar ^p ).

Den andra l¨ osningen motsvarra en punktk¨ alla i origo, dvs den l¨ oser egentligen Poissons ekvation ∆T = qδ ³ (~ r), och ¨ ar d¨ arf¨ or inte relevant i v˚ ar situation. Den f¨ orsta l¨ osningen uppfyller RV om A ₁ = T ₁ /a s˚ a vi f˚ ar svaret:

T (~ r) = T ₀ + T ₁ r a cos θ.

6. En elektrisk punktladdning q befinner sig avst˚ andet a fr˚ an en plan met- allyta (som kan betraktas som o¨ andlig). Hur stor blir ytladdningen p˚ a metallytan? Hur stor blir den totala laddningen p˚ a ytan? (F¨ altet ¨ ar noll inuti metallen.) (10 po¨ ang)

L¨ osning:

Fysik, Chalmers Page 3 Examinator: C. Forss´ en

L¨ osningsskiss, tenatmen FFM234, FFM232 2019-01-07

• Vektorf¨ altet ¨ ar noll inuti metallen, vilket inneb¨ ar att potentialen

¨

ar konstant. Vi v¨ aljer att s¨ atta φ = 0, vilket g¨ or att ytan (z = 0) blir en ekvipotentialyta med φ = 0.

• Detta Dirichlet randvillkor kan uppfyllas genom att inf¨ ora en spegelladdning −q i punkten −aˆ z. Den elektriska potentialen (f¨ or z > 0) ges av

φ(~ r) = q

4π ₀ |~r − aˆ z| − q 4π ₀ |~r + aˆ z| .

• Det elektriska f¨ altet ges av E = −∇φ(~ ~ r) = q

4π ₀

 ~ r − aˆ z

|~r − aˆ z| ³ − ~ r + aˆ z

|~r + aˆ z| ³

 .

• Vid ytan ¨ ar ~ r = ρ ˆ ρ och |~ r − aˆ z| = |~ r + aˆ z| = pa ² + ρ ² . D¨ arf¨ or blir vektorf¨ altet vid ytan ~ E ₊ = _4π ^q

0

−2aˆ z (a

+ρ

)

.

• Ytladdningen motsvaras av en diskontinuitet i f¨ altet σ =  ₀ ˆ n · ( ~ E ₊ − ~ E − ).

H¨ ar ¨ ar ˆ n = ˆ z och ~ E ₋ = 0 vilket ger σ = _2π(ρ

^−qa _+a

₎

.

• Den totala inducerade laddningen f˚ as genom att integrera ¨ over ytan

Q = Z 2π

ϕ=0

dϕ Z ∞

ρ=0

σρdρ = . . . = −q,

vilket man egentligen kan inse fr˚ an det givna randvillkoret.

Fysik, Chalmers Page 4 Examinator: C. Forss´ en