/
DB MOTU LIQUIDORUM IN YASIS
»
OBSERVATIONES
QVAS
VENIA AMPL. FACULT. PHILOS. UPSAL.
p. p.
MAG. BICHS EDLUND
ET
ERICUS GUSTAVUS LUNDBLAD
SUDEKII. NERICII
IN AUDIT. GUSTAV. DIE X DEC. MDCCCXLV.
H. A. M. S.
I.
UPS ALIJE WAHLSTRÖM ET C.
T77 r 7 ; —-
KONUNGENS
TROMAN, MAJOREN OCH RIDDAREN AF KONGL. SVÄRDS-ORDEN HÖGVÄLBORNE HERR GREFVE
AXEL LEWENHAUPT
SA.MT
HÖGVÄLBORNA FRÖKEN
CHARLOTTE LEWENHAUPT
med djupaste vördnad egnadt
af
ER. G. LUNDBLAD.
Me Huldaste Föräldrar
\
egnas dessa bIad
af
sonlig vördnad, kärlek och tacksamhet.
DE MOTU LIQUIDORUM IN YASIS OBSERVATIONES.
i®iqiiationes generales, quae aequilibrium liquidorum expri-
rnunt, Cel. Clairaut in dissertatione, quam ad figuram Terrae
determinandam conscripsit, primus indicavit*). Omnes enim, qui ante eum res hydrostatieas pertractaverunt, Geometrae ex
principiis partialibus aut secundariis profecti sunt. Quibus sequationibus constitutis Cel. D'Alembert ad aequationes gene¬
rales, ex quibus motus liquidorum pendet, priricipium suum notissimum adbibendo postea pervenitj quae tarnen, ut inter
omnes constat, ejusmodi sunt, ut earum integrale facile in-
veniri non possit. Arbitrarias autem functiones, quae inte- grando inferuntur, Cel. Lagrange auxilio earum aequalionwm
determinare conatus est, quae ex hac prodeunt bypotbesi:
omnes particulas liquidi, in vase quolibet inclusi, quae initio
motus in ipsa superficie vasis aut in superficie libera sita4 fuerint, sub motu in iisdem superficiebus Semper permanere.
Quae quidem liypotbesis, licet maxiini videatur momenti, quum
et insignem liquidi, quod in motu est, proprietatem adumbret
*) Vide MécLanique analytique par Lagrange. Paris 1788.
2
et methodum arbitrarias functiones determinandi praebeat, omni tarnen, quantum seiamus, caruit demonstratione, priusquam
Gel. Professor A. F. Svanberg eam auxilio aequationis, quam continuitatis dicunt, in eo casu demonstravit, quum liquidum
ex vase quodam, superficie revolutionis circa axem verticalem
determinato, per foramen in fundo ejus horizontali factum ef-
fluitj omnibus prasterea circa axem revolutionis symmetricis
Hanc proprietatem liquidorum viam, quam Gel. Svanberg ape-
ruit, sequentes in hoc opusculo demonstrare studebimus, quae-
cumque est superficies vasis, in quo liquidum continetur.
§. 4.
De motu parlicularum, quae initio motus liquidi in su-
perficie vasis sitae sunt.
1. Si particula liquidi quaelibet Semper secundurn super- ficiem vasis movelur, sequitur, ut normalis superficiei ad li-
neam, quae direclionem motüs particulae indicat, Semper sit perpendicularis. Si igitur L — o aequatio est superficiei, ad
axes orthogonales relatae, et m, u, w velocitatem particulae
secundum axes coordinatarum denotant, aequationem, cui suf-
ficit satisfieri, habebimus
dL dL dL
-—u+-rv+-—w =o; (1)
dx dy dz
quae quidem aequatio, si loco axium orthogonalium coordina-
tas polares adhibemus, quae, praecipue quum de motu] parti-
*) Vide Iiongl. Wetenskaps-Academiens Handlingar fö*- år 1851).
t
>1
cularum in superficie libera agilur, multo orthogonalibus sunt aptioresj hoc modo transformatur:
Pro particulis, in superficie positis, vel pro ipsa super¬
ficie in genere habemus
x — BCos6$ y = B Sinöj (2)
et si particulam quamlibet inträ superficiem sitam respicimus
x — rCosöj y — rSinöj (3)
ö denotante angulum, quem cum linea, ad avaxem parallela?
facit radius vestor B vel r.
In genere sunt:
dL dx
*
# dy
dLdB dL dB dB dx + dB dx
dLdR dL då dR dy dB dy
...(i)
Si autem in aequ. (2) y constans ponitur, differentiatione
obtinemus
1 — CosÖ
o = Sinö
BSinB
d&
dx
dB
+ B CosÖ—:
dx dx?
dB
dx'
dB
).
unde
dB
dx Cosöj
JIl
dB dx
Sinö
~Ä~'
t dXr.L T ~
eodemque modo, si x constantem ponimus,
dR dO Cos6
= Sinöj — = —
dy dy R
Quibus valoribus ipsorum -~j—, — etc. in aeqqu. (4) Substitu¬
ts, habebimus
dL dL 1 dL
— = —— CosÖ — — —- Sin0:
dx dR R de 1
dL dL i dL
— — —— Sin 0 + — —Cosö.
dy dR R dB
(5)
Si velocitas particulae secundum radium vectorem p et
velocitas angularis » appellatur, easdemque velocitates ad ipsam superficieua ^R, eR significant, et si eodem modo tvH va¬
lorem ipsius w ad superficiem denotat, ex jeqqu. (2) facillime
obtinemus
dx
m = — =
(*R Cos9 — Rbr Sind,
dy . ,
v =
-j- == pr Sme + Rvr Cos».
dt
(6)
Hoc modo fit
dL dL dL /*_ dL
te" =^dRC0S'6 ~ 8RHdRC0Se Sia9 ~RM C0S° SinÖ
dL +»b t*Sin d:
de 7
s
-~rv—Fr tJiSin*0+8*R %j7Sin# Cos0 4- —■ — Cos 0 Sin0
dy dR dli R dB
dL „ ,
4- a«"— Cos 0.
d»
iEquatio (i) igitur liac induitur forma
dL dl dL , .
Iii * +1»8"+ T* Wr = 0 ( )
Si autem aequationem superficiei differentiamus? et z et 0 eon-
stans successive ponitur, invenimus
dL n dL ,
_di« + -d9_o;
unde
dL
dit de
de dL
dR
dL dL
et — dR + —~ dz — o
dli dz
unde
dL
dR dz
dz dL
dR
Hoc modo sequatio, cui suflicit satisfieri, ut particula quae- libet liquidi, quae initio niolus in superficie sita fuerii, Sem¬
per in ea sit permansura? fiet
dR dR
-Ma + ^+U.,—=0 (8)
6
2. iEquatio continuitatis, si axibus coordinataruni rectun-
gulis utimur, förmana habet notissimam
V \
dg d.gii d.ov d.giv
—+ + —1_ +.—— — oj
dt dx dy dz
(o denotante liquidi densitatem).
Qua? quidem aequatio, si liquidum, cujus de motu quserilur5 ubique eandem habet densitatem, in sequentem abit
du dv dw .
— + — + — — o (0)
dx dy dz
In genere sunt
du du dr du dd dx dr dx dd dx '
dv dv dr dv dB
dy dr dy dB dy
(10)
Ex aeqqu. (3) obtinemus
dx
— ii ~ yCosB — erSin0, dt
dy
—• = v — /iSinö + erCos0$
f«/£/
et differentiatione iterata
du dy . dv
3s: CosB-?- —r rSinö- «Sin0.
dr dr dr
du
_ dy dv _
— = —ySmB + CosB *• rSmö erCosö:
dB dB dB
7
N
eodemque modo
dv du ds
—
— S111Ö-—i- rCosö H eCosö,
dr dr dr
dv du „ ds
— = Sin6 — + wCosö + rCosÖ reSind.
de de de
\ -
Itaque aequatio (9) in sequentem transformator
sive
dfi (i ds div
dr r dd dz
1 d.rfi ds dm
-Jr ) -J- — O»
r dr dB d
5. Si q quantitas est liquidi, cjuoe ad tempus t per fora-
men quodlibet, in superficie vasis factum, effluxit, differentiale
ejus dq sequale esse debet quantitati, quae per tempus dt pla¬
num quoddam, ad s-axem perpendiculare, perfluit.
Obtinemus igitur
2n
dq = — dt* jo J\wrdrdO0 (12)
Qiium autem dq baud ex piano, quod consideremus, pen- deat, necesse est, ut derivata ipsius dq ratione habita ad z
nihiio sit aequalis.
Habemus igitur
271
r
d.j*"o %jivrdrdB
dz °'7
8
aut, qiuim H 111 genere sit functio ipsius s,
2n B
i»\
Jrdr + R dB = O (15)
in i
M
Si valör ipsius —(lz ex aequatione (11) in aßqu. (15) sub-
stituitur, fit
271 a h
('(—/ dr — / -yrdr + wB It dB = o. . (14)
■\ \ dr "- o </9 dzj '
Seil
d Jrdrfäs , „da
~W~ =d +n m'
fdfldro «(' = a,B.
Quare aequatio (14) scribi polest
/7 r><,fl „ da\ /"
■ i R^ + 3*RM+w»RYjd9='{—-d^d6 ■ ^
In genere est a =/(r, 0, 2, t)5 quse quidem functio, cu- juseunque sit formae, ea tarnen necessario est, ut ad 0 = o et 0 =2jt, si r, 2, < non varient, idem functionis respondeat
valör. Quod quum ita sit, faeillime intelligi polest, integrale
R
definiturn Jsrdr pro valoribus ipsius 0 supra dictis eundem
