Ex. r Ex.

Ex.

h r

h r V V r

c k

2 2

3 1

3 4 π π

=

=

3 2 6

4 ) 2 ( 3 4 2

3 3 2

3 1 2 1

=

⎟ =

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⇒

=

=

=

r r r

r r

V V

r h

R r r

c k

π π π

π

Ex.

Visa att cosv=sin(90°−v)

v c x

b

a

v x

v

x+ +90°=180°⇔ =90°−

) 90 sin(

cos )

90 sin(

cos

. v v

c v b c v b

Def ⇒ = °−

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

−

°

=

Ex.

För en vinkel gäller att = :0°< <90° 5

cosv 1 v

Bestäm det exakta värdet av a)sinv b)tan v

a)

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

5 arccos1 sin

v

=

=

5 arccos1

5 cos 1

v

c

a

b v

°

=

=

=

=

±

=

⇔

=

⇔

= +

45 cos 2 1

6 2 2

* 3

* 4 2

* 12

24 24

5

1^{2 2 2}

2

x

x x

x

Ex.

Visa att: x

x

x ₂

2 2

tan sin 1

tan =

+

HL x

x x x

x x x

x x x

x x

x x x

x x x

x x x x

x VL x

x x x

x x

x x x

x x x

=

=

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ +⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ +⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + =

=

=

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

=

=

2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2

sin

cos

* 1

cos

* sin cos

1 cos sin

cos sin cos

cos sin

cos sin cos

cos cos sin

cos 1 sin

cos sin tan

1 tan

cos sin )

(cos ) (sin cos

) sin (tan tan

cos tan sin

Ex.

I den rätvinkliga triangeln ABC är DE pararell med AC, EB är 4cm, AC är 7cm och CE är 6cm.

Beräkna längden av AD

A 7

C 6 E 4

B

D

Pythagoras sats ger:

149 10

7 )

(AB ² + ² = ² ⇔ AB=±

Likformighet ger:

5 149 2 10

149 4

* 149 4

* ⇔10 ⇔ DB= =

DB DB

AB EB CB

AD sökes d.v.s:

5 149 3 5

149 2 149 5 5 149

149 2 + =

=

−

=

−

= AB DB AD

Ex.

Den längsta käpp som får plats i en kubisk låda är 1m lång. Hur stor volym har denna låda?

m a 1

a x

y

Pythagoras sats ger

2 2

2 a y

a + = y² +a² =1² ⇔ y² =1−a² 1

3

1 ^{2 2}

2

2 +a = −a ⇔ a =

a

3 1 3

2 =1 ⇔a =±

a Pythagoras sats ger:

2 2

2 2

2 a 1 y a a

y + = ⇔ = −

Volymen blir då:

3

3 3

1 3

* 1 3

* 1 3

* 1

*a a m

a

V = = =