Best¨am den allm¨anna l¨osningen till differentialekvationen y0− y tan x = −y2cos x

Matematiska institutionen 2005-05-25 Julia Viro

TENTAMEN

Inget hj¨alpmedel. F¨or betygen 3, 4 och 5 kr¨avs minst 18, 25 resp. 32 po¨ang. Maxpo¨ang f¨or varje uppgift anges inom parantes.

1. En kurvfamilj best˚ar av ellipser med gemensam axel av l¨angd 2. Best¨am ekvation f¨or den ortogonala kurvfamiljen (3p). Rita b˚ada familjer p˚a en bild (2p). (3+2) 2. Best¨am den allm¨anna l¨osningen till differentialekvationen

y⁰− y tan x = −y²cos x. (5)

3. Best¨am en homogen linj¨ar differentialekvation vars fundamentalsystem ¨ar e^x, e^x2/2. (5) 4. Best¨am den allm¨anna l¨osningen till differentialekvationen

y⁽⁵⁾+ y⁰⁰⁰ = x + 2e^−x. (5)

5. L¨os begynnelsev¨ardesproblemet







x²y⁰⁰− 2xy⁰+ 2y = x³cos x y(π) = π²

y⁰(π) = π.

(5) 6. En elektrisk krets styrs av differentialekvationen

Ld²Q

dt² + RdQ dt +Q

C = 0,

d¨ar L, R och C ¨ar positiva konstanter. Best¨am ett ekvivalent linj¨art system av f¨orsta ordningens ekvationer (1p). Best¨am alla kritiska punkter till systemet och avg¨or om deras typ och stabilitet (3p). Ange den allm¨anna l¨osningen till ekvationen (1p).

(1+3+1) 7. Best¨am alla kritiska punkter till systemet





 dx

dt = 4 − xy dy

dt = x − y,

unders¨ok deras typ och stabilitet (3p). Rita fasportr¨att till systemet (2p). (3+2) 8. Best¨am alla extremaler till funktionalen

Z1

0

6y⁰²− y⁰⁴+ yy⁰dx.

S¨ok en station¨ar funktion som uppfyller randvillkoren y(0) = 0, y(1) = 1. (5)

L ¨OSNINGAR TILL TENTAMEN 2005-05-25

1. En kurvfamilj best˚ar av ellipser med gemensam axel av l¨angd 2. Best¨am ekvation f¨or den ortogonala kurvfamiljen. Rita b˚ada familjer p˚a en bild.

L¨osning.

Ekvation f¨or kurvfamiljen av ellipser ¨ar x²+y²

b² = 1. Man l¨oser ut konstanten b² fr˚an ekvationen: b² = y²

1 − x² och s¨atter ϕ(x, y) = y²

1 − x². Ekvationen f¨or kurvfamiljen av ellipser blir d˚a ϕ(x, y) = b².

L˚at ψ(x, y) = C vara en ekvation f¨or den ortogonala kurvfamiljen (ψ(x, y) ¨ar obekant funktion att finna). Differentialekvationen att best¨amma funktion ψ(x, y) ¨ar

∇ψ(x, y) · (dx, dy) = 0, d¨ar gradienten ∇ψ ¨ar vinkelr¨at mot gradienten ∇ϕ.

Man ber¨aknar ∇ϕ =

µ 2xy²

(1 − x)², 2y 1 − x²

¶

och f˚ar ∇ψ = µ

− 2y

1 − x², 2xy² (1 − x)²

¶

. Allts˚a differentialekvationen att best¨amma funktion ψ(x, y) ¨ar

µ

− 2y

1 − x², 2xy² (1 − x)²

¶

· (dx, dy) = 0 eller

−(1 − x²) dx + xy dy = 0, som ger efter variabelseparation

(1

x − x) dx = y dy, dvs ln |x| −x²

2 = y² 2 + C₁,

Snyggare omskriven, blir ekvationen f¨or den ortogonala kurvfamiljen x²+ y²− ln x²= C

2. Best¨am den allm¨anna l¨osningen till differentialekvationen y⁰− y tan x = −y²cos x.

L¨osning.

Detta ¨ar en Bernoullis ekvation. Efter division med −y² f˚ar man

−y⁰ y² +1

ytan x = cos x.

Det ¨ar naturligt h¨ar att inf¨ora ny variabel z = 1/y. I s˚a fall z⁰ = −y⁰/y²och ekvationen f¨orvandlas till en linj¨ar ekvation

z⁰+ z tan x = cos x, som l¨osas med integregande faktor e^{Rtan x dx}= 1/ cos x :

z⁰ 1

cos x+ z sin x

cos²x = 1, eller µ

z 1 cos x

¶₀

= 1, som ger z = (x + C) cos x.

Man kommer tillbaka till y = 1/z och f˚ar den allm¨anna l¨osningen till ekvationen

y(x) = 1

(C + x) cos x, C ∈ R

3. Best¨am en linj¨ar differentialekvation vars fundamentalsystem ¨ar e^x, e^x2/2. L¨osning.

En godtycklig l¨osning y(x) till den obekanta differentialekvationen ¨ar en linj¨ar kom- bination av funktioner e^x och e^x2/2. Detta inneb¨ar att de tre funktionerna y(x), e^x och e^x2/2¨ar linj¨art beroende. Det h¨ander om och endast om deras Wronskianen ¨ar lika med 0.

W (y, e^x, e^x2) =

¯¯

¯¯

¯¯

y e^x e^x2/2 y⁰ e^x xe^x2/2 y⁰⁰ e^x (1 + x²)e^x2/2

¯¯

¯¯

¯¯= 0.

Utveckling efter f¨orsta kolumnen ger y e^x+x2/2

¯¯

¯¯1 x 1 1 + x²

¯¯

¯¯ − y⁰e^x+x2/2

¯¯

¯¯1 1 1 1 + x²

¯¯

¯¯ + y⁰⁰e^x+x2/2

¯¯

¯¯1 1 1 x

¯¯

¯¯ = 0.

Efter f¨orkortning med e^x+x2/2 och ber¨akning av determinanterna f˚ar man differen- tialekvationen

(x − 1)y⁰⁰− x²y⁰+ (x²− x + 1)y = 0

4. Best¨am den allm¨anna l¨osningen till differentialekvationen y⁽⁵⁾+ y⁰⁰⁰ = x + 2e^−x. L¨osning.

Den allm¨anna l¨osningen till ekvationen ¨ar summan av den allm¨anna l¨osningen till ho- mogen ekvation y⁽⁵⁾ + y⁰⁰⁰ = 0 och en partikul¨ar till icke-homogen ekvation y⁽⁵⁾ + y⁰⁰⁰ = x + 2e^−x. Homogena ekvationen l¨osas med hj¨alp av karakteristiska ekvationen λ⁵+ λ³ = 0 ⇐⇒ λ³(λ²+ 1) = 0, som har r¨otterna λ₁ = λ₂ = λ₃ = 0, λ_4,5 = ±i.

Allm¨anna l¨osningen till homogena ekvationen ¨ar s˚aledes C₁+ C₂x + C₃x²+ C₄cos x + C₅sin x.

En partikul¨ar l¨osning best¨ams enklast med obest¨amda koefficienter-metod. En par- tikul¨ar l¨osning till y⁽⁵⁾ + y⁰⁰⁰ = x + 2e^−x s¨oker man i formen y_p1 + y_p2, d¨ar y_p1

¨ar en partikul¨ar l¨osning till y⁽⁵⁾ + y⁰⁰⁰ = x och y_p2 ¨ar en partikul¨ar l¨osning till y⁽⁵⁾ + y⁰⁰⁰ = 2e^−x. En l¨amplig ansats f¨or y_p1 ¨ar x³(ax + b) (d¨ar a och b ¨ar obest¨amda koefficienter att finna), f¨or att h¨ogerledet ¨ar xe^0x och 0 ¨ar en trippel rot till karakteristiska polynomet. Efter derivering och ers¨attning i ekvationen f˚ar man y_p1 = x⁴/24. En l¨osning y_p2 s¨oker man i formen ce^−x. Konstanten c ber¨aknas genom derivering av y_p2 och ers¨attning den i ekvationen: c = −1. Allts˚a y_p2 = −e^−x och y_p = y_p1 + y_p2 = x⁴/24 − e^−x. Slutligen skriver man allm¨anna l¨osningen till den ursprungliga ekvationen:

C₁+ C₂x + C₃x²+ C₄cos x + C₅sin x + x⁴/24 − e^−x , d¨ar C₁, C₂, C₃, C₄, C₅ ¨ar godtyckliga konstanter.

5. L¨os begynnelsev¨ardesproblemet







x²y⁰⁰− 2xy⁰+ 2y = x³cos x y(π) = π²

y⁰(π) = π.

L¨osning.

Detta ¨ar ett begynnelsev¨ardesproblem f¨or icke-homogen Euler (ekvidimensionell) ek- vation. Man s¨oker l¨osningar till motsvarande homogen ekvation i formen y = x^λ. Derivering av y och ers¨attning i den homogena ekvationen leder till karakteristiska ekvationen

λ(λ − 1) − 2λ + 2 = 0,

som har r¨otter λ₁ = 1 och λ₂ = 2. Allts˚a y₁ = x^λ1 = x och y₂= x^λ2 = x² utg¨or ett fundamentalsystem till homogena ekvationen.

En partikul¨ar l¨osning till den ursprungliga icke-homogena ekvationen y⁰⁰− 2

xy⁰+ 2

x² y = x cos x

s¨oker vi med parametrar variationsmetod. Observera att ekvationen ska skrivas p˚a standardform.

L˚at y_p = v₁y₁+ v₂y₂, d˚a best¨ams obekanta funktioner v₁ och v₂ av systemet µx x²

1 2x

¶ µv⁰₁ v⁰₂

¶

=

µ 0

x cos x

¶

, h¨arav

v₁ = −

Z x cos x

x² x²dx = −x sin x − cos x, v₂=

Z x cos x

x² x dx = sin x.

Allts˚a y_p = (−x sin x − cos x)x + x²sin x = −x cos x och allm¨anna l¨osningen till icke- homogen Eulers ekvation ¨ar

y(x) = C₁y₁+ C₂y₂+ y_p = C₁x + C₂x²− x cos x.

Att l¨osa begynnelsev¨ardesproblemet, best¨ammer man konstanterna C₁ och C₂ fr˚an begynnelsevillkorna:

(

π² = y(π) = C₁π + C₂π²+ π

π = y⁰(π) = C₁+ 2C₂π + 1 ⇐⇒

(

π = C₁+ C₂π + 1

π = C₁+ 2C₂π + 1 ⇐⇒

(

C₁= π − 1 C₂= 0.

L¨osningen till begynnelsev¨ardesproblemet ¨ar

y(x) = (π − 1)x − x cos x

6. En elektrisk krets styrs av differentialekvationen Ld²Q

dt² + RdQ dt +Q

C = 0,

d¨ar L, R och C ¨ar positiva konstanter. Best¨am ett ekvivalent linj¨art system av f¨orsta ordningens ekvationer. Best¨am alla kritiska punkter till systemet och avg¨or om deras typ och stabilitet. Ange den allm¨anna l¨osningen till ekvationen.

L¨osning.

Man s¨atter dQ

dt = I(t) och f¨orvandlar ekvationen till LdI

dt + RI + Q

C = 0 dvs dI

dt = − 1

LCQ − R LI.

Ett ekvivalent linj¨art system av f¨orsta ordningens ekvationer med konstanta koefficien-

ter ¨ar 



 dQ

dt = I dI

dt = − 1

LCQ − R LI, eller, i ”traditionella” beteckningar,

( x⁰ = y

y⁰ = −ax − by, d¨ar x = Q, y = I, a = 1

LC, b = R L.

Systemetsmatris Ã

0 1

− 1

LC −R L

!

har noll-skild determinanten, allts˚a den enda kritiska punkten till systemet ¨ar (Q, I) = (0, 0).

F¨or att best¨amma typ av den kritiska punkten (0, 0), l¨oser man karakteristiska ekva-

tionen: ¯

¯¯

¯¯

−λ 1

− 1

LC −R L − λ

¯¯

¯¯

¯= 0 ⇐⇒ λ²+R Lλ + 1

LC = 0.

R¨otterna ¨ar λ_1,2 = −R 2L±

r R² 4L² − 1

LC. Man ser att tre olika fall f¨orekommer beroende p˚a tecken av R²

4L² − 1 LC. Fall 1 R²

4L² > 1

LC dvs R > 2 rL

C. Detta ger reella och negativa λ₁ och λ₂. Kritiska punkten ¨ar i s˚a fall en asymptotiskt stabil nod.

Allm¨anna l¨osningen ¨ar Q(t) = C₁e



−_2L^R−q

R2 4L2−_LC¹



t+ C₂e



−_2L^R+q

R2 4L2−_LC¹

 t.

Fall 2 R² 4L² = 1

LC dvs R = 2 rL

C. Detta ger en dubbelrot λ_1,2 = −R

2L = − 1

√LC. Nu kollar vi dimension av egenrummet genom att best¨amma rangen till matrisen







√1

LC 1

− 1

LC − 1

√LC





 ∼





√1 LC 1

0 0



 .

Vi ser att dimension av egenrummet ¨ar 1, och detta medf¨or att den kritiska punkten (0, 0) ¨ar en asymptotiskt stabil degenererad nod.

Allm¨anna l¨osningen ¨ar Q(t) = C₁e^−t/√LC+ C₂te^−t/√LC Fall 3 R²

4L² < 1

LC dvs R < 2 rL

C. Detta ger λ_1,2= − R 2L± i

r 1

LC − R²

4L². I s˚a fall

¨ar (0, 0) en asymptotiskt stabil fokus.

Allm¨anna l¨osningen ¨ar Q(t) = e^−2LRt µ

C₁cos q

LC1 −_4L^R22t + C₂sin q

LC1 −_4L^R22t

¶ . Anm¨arkning. Fr˚an fall 1 till fall 3 minskas resistansen R och j¨amnviktsl¨aget f¨orvandlas fr˚an en nod genom en degenererad nod till en fokus och det f¨orblir asymptotiskt stabilt hela tiden. Den asymptotiska stabiliteten av j¨amnviktsl¨aget ¨ar klar fr˚an fysikaliska egenskaper av kretsen: str¨ommen f¨orsvinner med tiden om resistansen ¨ar positiv.

7. Best¨am alla kritiska punkter till systemet





 dx

dt = 4 − xy dy

dt = x − y,

unders¨ok deras typ och stabilitet. Rita fasportr¨att till systemet.

L¨osning.

Kritiska punkter (x, y) till systemet definieras som l¨osningar till f¨oljande system (

4 − xy = 0

x − y = 0 ⇐⇒

(

4 − x² = 0

x = y ⇐⇒ x = 2, y = 2 eller x = −2, y = −2.

Allts˚a finns det tv˚a kritiska punkter: (2, 2) och (−2, −2).

Jacobis matiris till systemet ¨ar

J(x, y) =

µ−y −x

1 −1

¶ .

Jacobianen ¨ar skild fr˚an 0 i kritiska punkter (2, 2) och (−2, −2). Allts˚a unders¨oker vi systemet med hj¨alp av linearisering.

Linearisering n¨ara (2, 2) ¨ar µx⁰

y⁰

¶

=

µ−2 −2 1 −1

¶ µx y

¶ .

Karakteristiska polynomet λ² + 3λ + 4 till matrisen har nollst¨allena −3 2 ± i

√7 2 . Detta inneb¨ar att (0, 0) ¨ar en asymptotiskt stabil fokus till linearisering och (2, 2) ¨ar en asymptotiskt stabil fokus till ursprungliga systemet.

Linearisering n¨ara (−2, −2) ¨ar µx⁰

y⁰

¶

=

µ2 2 1 −1

¶ µx y

¶ .

Karakteristiska polynomet λ²− λ − 4 till matrisen har nollst¨allena λ_1,2 = 1 ±√ 17

2 .

Detta inneb¨ar att (0, 0) ¨ar en sadel kritisk punkt (som ¨ar alltid instabil) till linearisering och (−2, −2) ¨ar en sadel kritisk punkt till ursprungliga systemet.

Att rita fasportr¨att, best¨ammer vi separatrisserna genom punkten (−2, −2) som ges av egenvektorer X₁ till λ₁= ^1+√₂¹⁷ och X₂ till λ₂= ^1−√₂¹⁷ :

X₁= µ3+√

17

12

¶

, X₂= µ3−√

17

12

¶ .

Svar: (2, 2) ¨ar en asymptotiskt stabil fokus och (−2, −2) ¨ar en sadel kritisk punkt

8. Best¨am alla extremaler till funktionalen Z1

0

6y⁰²− y⁰⁴+ yy⁰dx.

S¨ok en station¨ar funktion som uppfyller randvillkoren y(0) = 0, y(1) = 1.

L¨osning.

Extermaler till funktionalen ¨ar l¨osningar till Eulers ekvation d

dxF_y⁰0 − F_y⁰ = 0,

d¨ar F (x, y, y⁰) = 6y⁰²−y⁰⁴+yy⁰. Allts˚a en differentialekvation att best¨amma extremaler

¨ar d

dx(12y⁰− 4y⁰³+ y) − y⁰ = 0 12y⁰⁰− 12y⁰²y⁰⁰+ y⁰− y⁰ = 0

y⁰⁰(1 − y⁰²) = 0

H¨arav y⁰⁰ = 0 eller y⁰²= 1. L¨osningar y = C₁x + C₂ ¨ar extremaler till funktionalen.

En station¨ar funktion som uppfyller randvillkoren y(0) = 0, y(1) = 1 ¨ar en extremal y = C₁x + C₂ som g˚ar genom punkter (0, 0) och (1, 1). Detta ¨ar r¨ata linjen y(x) = x.

Svar: Extremaler till funktionalen ¨ar r¨ata linjer y = C₁x + C₂, en station¨ar funktion som uppfyller randvillkoren ¨ar y(x) = x.