Funktioner och linjära modeller Funktioner och linjära modeller
1
ff(x) (x)
f(x) utläses f av x
f är en funktion av x
Men det går lika bra att säga y
f(x) = y
Symbolen Symbolen ff(x) (x)
3
Funktionsmaskin Funktionsmaskin
IN = 1 UT = 3 IN = 2 UT = 5 IN = 3 UT = 7 IN = 4 UT = 9 IN = 5 UT = 11
Vad gör funktionsmaskinen?
Vilken funktion har den?
Hur kan man skriva funktionen?
JO!
UTvärdet = INvärdet gånger 2 plus ett
f(x) = 2x + 1
f(x) = 2x + 1 kan också skrivas y = 2x + 1 Med andra ord y = f(x)
x
F(x) = y 2x + 1
NÄR ÄR Y EN FUNKTION AV X NÄR ÄR Y EN FUNKTION AV X
y
x X = 2 Y = 3
(2,3)
X = 5 Y = 6 (5,6)
•
•
2 3
5
Funktion eller inte funktion?
Funktion eller inte funktion?
JA!
JA!
Nej!
Definitions
Definitions-- och och värdemängd värdemängd
7
VÄRDE OCH DEFINITION VÄRDE OCH DEFINITION
y
x X = 2 Y = 3
(2,3)
X = 5 Y = 6 (5,6)
•
•
2 3
När definitionen är 2, så är värdet 3 När definitionen är 5, så är värdet 6
Definitions
Definitions-- och och värdemängd värdemängd
Y = värdeaxel
X = definitionsaxel
9
LINJERS LUTNING(1) LINJERS LUTNING(1)
•
•
(1,5)
(0,3)
2 steg i y-led
1 steg i x-led
LINJERS LUTNING(2) LINJERS LUTNING(2)
•
•
(1,5)
(0,3)
∆y = 2
∆x = 1
Linjens lutning =
1 2 2 =
∆ =
∆ x y
11
RÄTA LINJENS EKVATION(1) RÄTA LINJENS EKVATION(1)
Linjens lutning
x k
y = = =
∆
∆ 2
1 2
Linjens ekvation
2 + 3
= x y
Några punkter på linjen
x 2x+3 (y)
-1 1
0 3
1 5
•
•
•
m kx
y = +
RÄTA LINJENS EKVATION(2) RÄTA LINJENS EKVATION(2)
m kx
y = +
k = linjens lutning
m = var linjen skär y-axeln
13
LINJEN
LINJEN y = 2x + 3 y = 2x + 3
VAD HETER DENNA LINJE?
VAD HETER DENNA LINJE?
2 2 3 −
= x y
2 5
,
1 −
= x
y
∆y = 3
∆x = 2
15
•
•
2
= 3
∆
= ∆ x k y
− 2
= m
PARALLELLA LINJER PARALLELLA LINJER
y = 2x + 1 y = 2x - 1
Parallella linjer har samma k-värde
VINKELRÄTA LINJER VINKELRÄTA LINJER
2 1 1 −
−
= x
y
2 +1
= x y
Om man multiplicerar k-värdena för två vinkelräta linjer får man alltid produkten -1
1 2)
( 1
2⋅ − =−
17
K
K--VÄRDEN FÖR VINKELRÄTA LINJER VÄRDEN FÖR VINKELRÄTA LINJER
2 1 1 −
−
= x
y
2 −1
= x y
1 2 2
1
= =
k 2
1
2
= −
k
2 1 ) 2
2 ( 1 1
2 ⋅ − = − = −
ATT INVERTERA ETT BRÅK ATT INVERTERA ETT BRÅK
2 3 3 2
19
ATT INVERTERA ETT HELTAL ATT INVERTERA ETT HELTAL
1 7 = 7
7
1
INVERTERADE TAL INVERTERADE TAL
28 1 28 4
7 7
4 ⋅ = = 1
13 9 9
13 ⋅ = 1
7 7 ⋅ 1 =
Om man multiplicerar ett tal med dess inverterade värde får man alltid produkten 1 (ett).
21
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Y=2x+2
VAD MENAS MED EN LÖSNING?Svar: x = -1, y = 0
•
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Y=2x+2
Y=-x-1
•
−
−
= +
=
1 2 2
x y
x y
=
−
= 0
1 y x
23
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
−
−
= +
=
1 2 2
x y
x y
=
−
= 0
1 y x
Vi testar om lösningen är exakt:
0 2
) 1 (
2 ⋅ − + =
Första ekvationen
0 1
) 1
( − − =
−
Andra ekvationen
Det stämmer!
Om lösningen stämmer i båda ekvationerna så är lösningen exakt.
TRE LÖSNINGSMETODER TRE LÖSNINGSMETODER
(AV EKVATIONSSYSTEM) (AV EKVATIONSSYSTEM)
GRAFISK LÖSNING
SUBSTITUTIONSMETODEN
ADDITIONSMETODEN
25
GRAFISK LÖSNING AV EKVATIONSSYSTEM GRAFISK LÖSNING AV EKVATIONSSYSTEM
≈
≈ 3 , 2
7
,
0
y
x
SUBSTITUTIONSMETODEN SUBSTITUTIONSMETODEN
27
ADDITIONSMETODEN
ADDITIONSMETODEN
ENKLA OLIKHETER ENKLA OLIKHETER
2 <3
2 3 2 2× < ×
1 3 1 2− < −
2 3 2 2+ < +
2 3 2 2 <
) 2 ( 3 ) 2 (
2× − > × −
) 2 (
3 ) 2 (
2
> −
−
Om båda leden i en olikhet multipliceraseller dividerasmed ett negativt tal, så måste olikhetstecknet vändas.
[2 är mindre än 3]
29
LINJÄRA OLIKHETER(1) LINJÄRA OLIKHETER(1)
y = x - 3
y = -2x + 5 x – 3 >-2x + 5 x – 3 <-2x + 5
LINJÄRA OLIKHETER(2) LINJÄRA OLIKHETER(2)
x – 3 <-2x + 5
x – 3 + 2x<-2x + 2x + 5 3x – 3 <5
3x – 3 + 3 <5 + 3 3x <8
3 22 3
8⇒ <
< x
x
31
UPPGIFT 2417 UPPGIFT 2417
y = x – 1
y = 0,25x + 0,5
−2
>
x 5 ,
<0 x
>2 x
