df ( x ) = f ′ ( x ) dx

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Differentialer

DIFFERENTIALER

============================================================

1. DIFFERENTIALER

df ( x ) = f ′ ( x ) dx

Vi betraktar en reell funktion y = f (x) av en oberoende variabel x.

Differensen mellan två x-värden och x2 – x1 betecknas ofta med Δx, Δx= x2 – x1 .

På samma sätt betecknas y₂ – y₁,

Δy= y2 – y₁= f (x₂) – f (x₁)

Definition: Uttrycket f′(x₁)(x₂ −x₁) kallas differential till f (x) i punkten x₁ och betecknas df(x₁). Alltså

df(x₁)= f′(x₁)(x₂ −x₁)

Anmärkning: Låt y= f(x). Eftersom ( ) ( ) ( )

lim ₁

1 2

1 2

1

x x f

x

x f x f

x

x = ′

−

−

→ , har vi

) ( )

)(

( ) ( ) ( )

) ( ( ) (

1 2 1 1

2 1

1 2

1

2

f x f x f x f x x x df x

x x

x f x

f ≈ ′ ⇒ − ≈ ′ − =

−

−

Alltså , ∆f(x)≈df(x) eller kortare ∆y≈dy_.

Uppgift 1. Låt f(x)=x³, x₁ =1x₂ =1.1. Bestäm differentialen i punkten x₁. Lösning: Δx= x2 – x1 = 0.1, f′(x)=3x² _och f′ x( ₁)=3

Därför df(x₁)= f′(x₁)(x₂ −x₁)= 3⋅0.1=0.3 Andra beteckningar:

i) Om vi betecknar Δx= x2 – x1 då är differentialen

= ) (x₁

df f′ )(x₁ ∆x ii) Vi betraktar oftast en godtycklig men fixt punkt x, då är

= ) (x

df f′ )(x ∆x differentialen i punkten x.

1 av 2

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Differentialer

iii) Om vi betraktar funktionen f(x)=x då är differentialen df(x)= f′(x)∆x=1∆x=∆x.

Därmed kan vi, om x är en oberoende variabel, skriva x dx=∆ och därför kan en differential skrivas som

= ) (x

df f′(x)dx.

Uppgift 2. Låt f(x)=arctanx, Bestäm ett uttryck för differentialen i en godtycklig punkt x då ∆x=0.2.

Lösning: df(x)=

1 2 . 2 0 . 10 ) 1

( _{2 2}

= +

= +

′ ∆

x x x

x f

Uppgift 3. Låt f(x)=x⁵, Bestäm ett uttryck för differentialen i en godtycklig ( men fixt) punkt x och godtyckligt ∆x.

Lösning: df(x)= f′(x)∆x=5x⁴∆x (=5x⁴dx)

Uppgift 4. Bestäm ett uttryck för differentialen till f(x) i en godtycklig ( men fixt) punkt x om

a) f(x)=sinx b) f(x)=sin(x² +4x+5)

c) f(x)=ln(x⁵ +4x+3) _d) f(x)=arcsin(x³ +8) e) f(x)=arctan(x² +4x+5) e) f(x)=xe^x

Svar: a) df(x)=cosxdx b) df(x)=(2x+4)cos(x² +4x+5)dx

c) dx

x x x x

df 4 3

4 ) 5

( ₅

4

+ +

= + d) dx

x x x

df

2 3

2

) 8 ( 1 ) 3

( = − +

e) dx

x x x x

df _{2 2}

) 5 4 ( 1

1 ) 2

( + + +

= + f) df(x)=(1+x)e^xdx

2 av 2