VEKTORER BAS OCH KOORDINATER. Föreläsning 3. Vektorer och koordinatsystem. Anna-Maria Persson Lunds universitet. 3 februari 2020.

Föreläsning 3

Vektorer och koordinatsystem

Anna-Maria Persson Lunds universitet

3 februari 2020

VEKTORER

Definition Operationer

BAS OCH KOORDINATER

Bas för en linje Bas för ett plan Bas för rummet Koordinatsystem

R

(

)

Riktade sträckor

PQ och SR ekvivalenta riktade sträckor

P och Q är två punkter i rummet, betrakta den riktade sträckan PQ från P till Q.

Två riktade sträckor PQ och RS kallas ekvivalenta om:

I de ligger på parallella linjer

I är lika långa

I är riktade åt samma håll.

Man använder beteckningen PQ eller ~PQ för att markera riktningen (från P till Q).

V

(

)

Vektor

vektor u associerad till PQ (och SR)

En vektor

är mängden (ekvivalensklassen) av alla riktade sträckor ekvivalenta med en given riktad sträcka.

En vektor har

I riktning

I längd

I ingen bestämd utgångspunkt.

Man använder beteckningen PQ eller ~PQ för vektorn

associerad till PQ. Andra beteckningar: u, v (alt. ~u, ~v) etc. . Specialfall: nollvektorn, svarar mot att P = Q, betecknas 0.

A

(

)

Summan u + v av två vektorer u och v definieras som följer:

summan u + v

I välj en riktad sträcka PQ till u

I välj en riktad sträcka QS till v

I u + v definieras som vektorn associerad till PS

Alternativt: Avsätt u och v från samma punkt och betrakta den parallellogram som spänns upp av u och v. Summan u + v är vektorn associerad till den riktade diagonalensom utgår från samma punkt som u och v.

V

–

Vektoraddition är

I kommutativ:

u + v = v + u

I associativ:

(u + v) + w = u + (v + w) Subtraktion:

Den vektor som är lika lång som u och motsatt riktad kallas −u.

Om u associeras till PQ så associeras −u till QP.

Vi har att

u + (−u) = 0

u − v = u + (−v) (definition) u + v = w ⇐⇒ u = w − v.

M

(

FÖRELÄSNINGEN

)

För s ∈ R och u vektor, definieras vektorn su på följande sätt:

I vektorn lika riktad som u men s gånger så lång, om s > 0

I −|s|u om s < 0

I 0 om s = 0.

Egenskaper:

I s(tu) = (st)u

I (s + t)u = su + tu

I s(u + v) = su + sv

där s, t ∈ R och u, v vektorer.

E

O, P, Q tre punkter i rummet Sätt u = OP, v = OQ.

M är mittpunkten på sträckan PQ.

Då gäller att

OM = 1

2(u + v).

I Bevis

I Följd: diagonalerna i en parallellogram skär varandra mitt itu.

E

Medianerna i en triangel skär varandra i en punkt som kallas triangelns tyngdpunkt:

O, P, Q, R är punkter i rummet.

Sätt u = OP, v = OQ, w = OR.

Låt punkten N definieras av ON = 1

3(u + v + w).

B

Låt L vara en linje i rummet.

En vektor ligger på L om den kan representeras av en riktad sträcka på L.

Låt e 6= 0 vara vektor på L.

För varje vektor u på L finns det ett unikt tal x ∈ R så att u = xe.

I e kallas en bas för L och

I x är koordinaten för u med avseende på basen e.

B

Låt M vara ett plan i rummet.

En vektor säges ligga i M om den kan representeras av riktad sträcka i M.

Låt e₁, e₂ 6= 0

vara två icke-parallella vektorer i M.

För varje vektor u i M finns det entydiga tal x₁, x₂ ∈ R så att u = x₁e₁ +x₂e₂.

(u = u₁ + u₂ där u₁ = x₁e₁ och u₂ = x₂e₂)

B

Låt e₁, e₂, e₃ 6= 0 vara tre vektorer i rummet som inte ligger i samma plan.

Låt M vara plan innehållande e₁, e₂. Låt L vara en linje innehållande e₃. Varje vektor u i rummet kan skrivas u = u⁰ +u⁰⁰, u⁰ i M, u⁰⁰ på L.

Det finns entydigt bestämda tal x₁, x₂, x₃ ∈ R så att

u = x₁e₁ + x₂e₂ + x₃e₃.

(u⁰ = x₁e₁ + x₂e₂ och u⁰⁰ = x₃e₃)

I e₁, e₂, e₃ kallas en bas för rummet och

I x , x , x är koordinaterna för u m. a. p. basen e , e , e .

P

Låt M, L och u vara som ovan.

I uppdelningen

u = u⁰ +u⁰⁰, u⁰ i M, u⁰⁰ på L kallar vi

u⁰ projektionen av u på M parallellt med L.

u⁰⁰ projektionen av u på L parallellt med M.

Följande gäller för två vektorer u och v:

I u + v = (u + v)⁰ + (u + v)⁰⁰ = (u⁰ +v⁰) + (u⁰⁰ + v⁰⁰)

I (u + v)⁰ = u⁰ +v⁰ och (u + v)⁰⁰ = u⁰⁰ +v⁰⁰

R

Låt e₁, e₂, e₃ vara en bas för rummet, u en vektor i rummet och x₁, x₂, x₃ koordinaterna för u m. a. p. denna bas, dvs.

u = x₁e₁ + x₂e₂ + x₃e₃.

Vi betecknar koordinattrippeln med (x₁,x₂,x₃)och skriver:

u = (x₁,x₂,x₃) Följande räknelagar gäller:

I vektoraddition:

(x₁,x₂,x₃) + (y₁,y₂,y₃) = (x₁ + y₁,x₂ +y₂,x₃ + y₃)

I multiplikation med skalär s ∈ R:

s(x₁,x₂,x₃) = (sx₁,sx₂,sx₃)

K

Låt e₁, e₂, e₃ vara en given bas för rummet och O (origo) en fixerad punkt i rummet.

För en godtycklig punkt P i rummet kallar vi OP för ortsvektorn för P.

Det finns det tal x₁, x₂, x₃ ∈ R så att OP = x₁e₁ + x₂e₂ + x₃e₃.

Vi identifierar P med hjälp av ortsvektorn OP och skriver P = (x₁,x₂,x₃).

I Oe e e kallas ett koordinatsystem för rummet och