Beräkna avståndet mellan punkterna (1;2) och (2;3) Lösning; Ex. Avståndsformeln

Avståndsformeln

d ) (x₂ x₁

P= − Q=(x₁− y₂)

1 1; y x

2 2; y x

(

) (

)

d = − + −

Ex.

Beräkna avståndet mellan punkterna (1;2) och (2;3) Lösning;

(

) (

)

= d

Ex.

Bestäm avståndet från punkterna (1;1) och linjen y= x3 +2. Lösning:

2 3 +

= x y

( )

L1

Vi vet enligt sats:

3 1 1

1

2 =− =−

k k

Vi har punkten (1;1) ligger på L₂ Insättning i enpunktsformeln:

3 4 3 ) 1

1 3(

1= 1 − ⇔ =− +

− x y x

y

Vi vill få fram skärningspunkten mellan L₁och L₂. Vi löser därmed följande ekvationssystem:

5 1 5

3 3 5 2

3 7

5 7 10 14

14 10

2 3

12 9 3

2 ] 3

3 4 [ 3

2 3

4 3

2 ] 3

3 [ 3 4 3 1

2 3

−

=

⇔

−

=

⇔

−

=

=

=

⇔

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧

=

= +

⇔ −

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧

= +

= +

⇔ −

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧

= +

= +

⇔ −

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧

+

−

= +

⇔ =

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+

−

= +

=

x x

x y

y y x y

x y x y

x y x x

y x y x

y x y

Sökt punkt:

( )

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

= 5

;7 5

; y 1 x

Avståndsformeln ger:

5 10 2 5

10

* 4 25 40 25

40 25 36 5

2 5

6 5

1 7 5

1 1

2 2

2 2

=

=

= +

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

= d

Kap 8.

Kvadreringsreglerna:

1)

(

)

(

) (

)

VL= + = + + = + + + = + + + = + +

2)

(

)

Bevis:

2 2

2 2

2

2 ( ( )) 2 ( ) ( ) 2

)

(a b a b a a b b a ab b

VL= − = + − = + − + − = − +

3)

HL b

a b a b

a a

b VL

b a a b

=

−

=

−

−

=

−

−

=

−

=

−

=

−

2 2

2 2

2 2 2

) ( ) (

* ) 1 ( )) )(

1 ((

) (

) ( ) (

Ex.

Utveckla:

(

)

(

)

Kuberingsreglerna

1)(a+b)³ =a³ +3a²b+3ab² +b³ Bevis:

HL b

ab b a a

b ab b a ab b a a b ab a

b a b a b a b a VL

= + +

+

= + +

+ + +

= + + +

= + +

= +

=

3 2 2

3

3 2 2

2 2

3 2 2

2 3

3 3

2 2

) 2

)(

( ) )(

( ) (

2)(a−b)³ =a³−3a²b+3ab² −b³ Bevis:

HL b

ab b a a b b

a b a a b a b a

VL=( − )³ =( +(− ))³ = ³ +3 ²(− )+3 (− )² +(− )³ = ³ −3 ² +3 ² − ³ = Ex.

Utveckla:

3 2 2

3 3

2 2

3

3 (3 ) 3(3 ) (2 ) 3(3 )(2 ) (2 ) 27 54 36 8

) 2 3

( x+ y = x + x y + x y + y = x + x y+ xy + y

Pascals triangel

Utveckling av

(

)

1 5 10 10

5 1 5

1 4 6 4 1 4

1 3 3

1 3

1 2 1 2

1 1

1

1 0

=

=

=

=

=

=

n n n n n n

Ex.

5 4 2

2 2

3 4

5

5 4 4 1 3 2 2

3 1

4 0 5

5

5 10

10 5

1 5

10 10

* 5

*

* 1

) (

b ab b

a b

a b a a

b a b a b a b

a b a b a

b a

+ +

+ +

+

= +

+ +

+ +

= +

Konjugatregeln

2

) 2

)(

(a+b a−b =a −b Bevis:

HL b

a b ba ab a b a b a

VL=( + )( − )= ² − + − ² = ² − ² = Ex.

Skriv uttrycket:

1 3

1 3

−

+ med heltalnämnare Lösning:

Förläng med nämnarens konjugat:

( )( )

( )( ) ( )

( )

1 3 1 3

1 3 1 1] 3

3 [ 1 3

1 3

2 2 2

+ + =

+ =

− = +

= +

−

= + +

−

+

= +

− + +