KONTROLLSKRIVNING 3 Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: 11 maj 2017 Skrivtid: 13:15-15:00

Datum: 11 maj 2017 Skrivtid: 13:15-15:00

Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare av vilken typ som helst och formelblad (som delas ut i salen)

Förbjudna hjälpmedel: Telefon, laptop och alla elektroniska medel som kan kopplas till internet.

Inga toabesök eller andra raster.

Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningar.

Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter. För godkänt krävs 4 av max 8 poäng.

Uppgift 1. (2p)

Vi gjorde 5 mätningar av en viss variabel och fick följande resultat:

8.5, 10.4, 7.6, 8.8, 6.2

Normalfördelningen kan antas och standardavvikelse är känt, σ=2.

a) Bestäm ett 95 % konfidensintervall (ett tvåsidigt konfint. av typen [a,b] ) för variabeln.

b) Hur många mätningar behövs för att få ett konfidensintervall (av typen [a,b] ) som har 98 % konfidensgrad och som är hälften så brett?

Uppgift 2. (2p) Ett system har i genomsnitt 4 fel per år. Reparationstiden är exponentialfördelad och systemets reparationstid är i genomsnitt 2 månader. Vid t=0 är systemet i funktion. Vi antar att systemets kan modelleras som en Markovkedja i kontinuerlig tid med två tillstånd E1 (=systemet fungerar) och E2 (=systemet är under reparation) . Vi betecknar

)

1(t

p = sannolikheten för att systemet fungerar vid tidpunkten t och )

2(t

p = sannolikheten för att systemet är under reparation vid tidpunkten t.

a) Bestäm den stationära sannolikhetsvektorn.

b) Bestäm den transienta (=tidsberoende) sannolikhetsvektorn, p(t)(p₁(t),p₂(t)) .

Var god vänd.

2 av 8

Uppgift 3. (2p) Ett kösystem med max 3 kunder kan modelleras som en födelse-dödsprocess vars diagram är

a) Beräkna p , ₀ p₁, p₂ och p . ₃

b) Beräkna medelantalet kunder i systemet.

Uppgift 4. (2p)

Låt X vara Poissonfördelad s.v. med parameter  , dvs X Poi(). Då gäller    e^

p k k X P

k

k !

)

( . Bevisa att E( X).

Lycka till.

0 1 2 3

4 2 3

2 8 10

FACIT

Uppgift Vi gjord 8.5, Normal a) Bestä b) Hur m 98 % ko Lösning

a)

x=8.3

( 



Konfide

[x  

=[6.546 T

t 1. (2p) de 5 mätnin

10.4, 7 fördelninge äm ett 95 % många mätn onfidensgra

g:

.

025

1

.

0



 

ensintervall

2

,

/ x

n







6954919, 1

ngar av en v .6, 8.8, en kan antas

% konfidensi ningar behö ad och som ä

) 96 .

:

2

]

/ n







10.0530450

viss variabe 6.2 s och standa intervall (ett vs för att få är hälften så

]

[ 8 . 3  1

08]

3 av 8 l och fick fö

ardavvikelse t tvåsidigt k å ett konfide

å brett?

5 , 96 2 .

öljande resu

e är känt, σ konfint. av ensintervall

96 . 1 3 . 8 

ultat:

σ=2.

typen [a,b]

(av typen [

5 ] 2

) för variab [a,b] ) som

beln.

m har

4 av 8 Svar a: =[6.546954919, 10.05304508]

b) Längden av intervallet i a-delen är =da=3.506 Längden av intervallet i b-delen db= 

2

da 1.753

För konfidensgraden 98% har vi



 

 2 . 3263

176 , 28

1.753 2 3263 . 2 2

1.753 2 3263 . 2 1.753 2

3263 2 . 2 2 1.753 2

d

2 2

/ b



 



 



  



 

 















n n

n n n





Om vi avrundar uppåt då är n=29.

Svar b: Det behövs 29 mätningar ( 5 gamla +24 nya ).

Rättningsmall: Rätt eller fel: a= 1p. b=1p.

Uppgift 2. (2p) Ett system har i genomsnitt 4 fel per år. Reparationstiden är exponentialfördelad och systemets reparationstid är i genomsnitt 2 månader. Vid t=0 är systemet i funktion. Vi antar att systemets kan modelleras som en Markovkedja i kontinuerlig tid med två tillstånd E1 (=systemet fungerar) och E2 (=systemet är under reparation) . Vi betecknar

)

1(t

p = sannolikheten för att systemet fungerar vid tidpunkten t och )

2(t

p = sannolikheten för att systemet inte fungerar vid tidpunkten t.

a) Bestäm den stationära sannolikhetsvektorn.

b) Bestäm den transienta (=tidsberoende) sannolikhetsvektorn, p(t)(p₁(t),p₂(t)) .

Lösning:

5 av 8

11 2

4

 ,  6 Från diagrammet

har vi Q= 



 









6 6

4

4 .

a) Låt p (p₁,p₂)

vara den sökta sannolikhetsvektorn. Då gäller p Q 0, dvs.

) 0 , 0 6 ( 6

4 ) 4

,

( _{1 2} 



 





 p 

p

Härav :

ekv1: 4p₁6p₂ 0,

ekv2: 4p₁ p6 ₂ 0 och dessutom ekv3: p₁ p₂ 1.

Från ekv1 har vi

2 3 ₂

1

p  p som vi substituerar i ekv 3 och får

5 2 2

5 2 2 3 2 1

3

2 2

2 2

2  p2   p  p   p   p 

p , därmed

5 3

1  p .

Svar a: Den stationära sannolikhetsvektorn är ) 5 ,2 5 (3

 p

. b) Vi substituerar p(t)(p₁(t),p₂(t))

i ekvationen p (t) p(t)Q

  och får





 







 



 6 6

4 )) 4

( ), ( ( )) ( ), (

(p₁ t p₂ t p₁ t p₂ t ) ( 6 ) ( 4 )

( _{1 2}

1 t p t p t

p   (ekv a) )

( 6 ) ( 4 )

( _{1 2}

2 t p t p t

p   (ekv b) samt

1 ) ( )

( ₂

1 t  p t 

p ( ekv c)

6 av 8

(ekv c gäller eftersom (p₁(t),p₂(t) är en sannolikhetsvektor.) Från ekv c får vi

) ( 1 )

( ₁

2 t p t

p  

som vi substituerar i (ekv a) för att få en differential ekvation med 1 obekant funktion p₁(t):

)) ( 1 ( 6 ) ( 4 )

( _{1 1}

1 t p t p t

p   

Efter förenkling har vi följande ekvation med konstanta koefficienter:

6 ) ( 10 )

( ₁

1 t  p t 

p (*)

Motsvarande karakteristiska ekvationen till homogena delen är 10

0

10  

 r

r

och därmed är

t

h Ce

Y  ^10 den allmänna lösningen till den homogena delen.

En partikulär lösning får vi med hjälp av ansatsen A

y_p  ( eftersom högerledet i (*) är 6, dvs en konstant) Substitutionen av y_p  i (*) gör A

5 / 3 10 / 6 6

10

0 A  A 

Alltså y_p 3/5 Därför

5 / 3 )

( ¹⁰

1 t Y_h  y_p Ce^{ t}  p

Begynnelsevillkoret: Enligt antagande är systemet i funktion vid t=0. Därför .

1 ) 0

1(  p

Alltså Ce⁰ 3/51C 2/5 och

5 3 5

) 2

( ¹⁰

1 t  e^{ t}  p

För att få p₂(t) använder vi p₂(t)1 p₁(t) och får p₂ t e ^10t 5 2 5 ) 2

(   ^

7 av 8

Svar b) 



 



  



 p t p t e^{ t} e^{ t}

p _{1 2} ^{10 10}

5 2 5 , 2 5 3 5

)) 2 ( ), (

 (

Rättningsmall: Rätt eller fel: a= 1p. b=1p.

Uppgift 3. (2p) Ett kösystem med max 3 kunder kan modelleras som en födelse-dödsprocess vars diagram är

a) Beräkna p , ₀ p₁, p₂ och p . ₃

b) Beräkna medelantalet kunder i systemet.

Lösning:

0 0 0

1 0

1 2

2

4 p p

p

p   



 (*)

0 0

0 0

2 1

1

2 0 0.5

2 1 8 2

2

4 p p p

p

p  



 

  





0 0

0 3 2 1

2 1

3 0 0.15

10 8 2

3 2

4 p p

p

p 







 

   







Från 1p₀ p₁p₂ p₃  har vi p₀2p₀0.5p₀ 0.15p₀ 1, eller







 3.65

1 1 65 .

3 p₀ p₀ 0.2739726

(alt:

73 1 20

20 73

0

0   p 

p )

0 1 2 3

4 2 3

2 8 10

8 av 8

Härav p₁0.5479452055 , p₂ 0.1369863 , p₃ 0.04109589

Svar a: p₀  0.2739726, p₁0.5479452055 , p₂ 0.1369863 , p₃ 0.04109589 (Alt:

73 20

0 

p ,

73 40

1 p ,

73 10

2 

p ,

73 3

3  p

b) Medelantalet kunder i systemet är N= 0p₀1p₁2p₂ 3p₃=0 .9452 Svar b: N=0 .9452

(alt

73

69

N )

Rättningsmall: Rätt eller fel: a= 1p. b=1p.

Uppgift 4. (2p)

Låt X vara Poissonfördelad s.v. med parameter  , dvs X Poi(). Då gäller    e^

p k k X P

k

k !

)

( . Bevisa att E( X).

Lösning:











 



 





 







1 1

0 ! ! ( 1)!

) (

k k

k k

k k

k k

k e

e k k k k e

k p

x X

E  ^  ^  ^

, ( subst. k-1=j)



 

 ^  ^{ } 

 ^{ }







e

j

j *

0 ! , vilket skulle bevisas.

Anmärkning. I övergången

* har vi använt den kända formeln







0 !

j j

j e

 

.

Rättningsmall: Rätt eller fel.