Datum: 17 maj 2016 Skrivtid: 8:15-10:00
Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare av vilken typ som helst och formelblad (som delas ut i salen)
Förbjudna hjälpmedel: Telefon, laptop och alla elektroniska medel som kan kopplas till internet.
Inga toabesök eller andra raster.
Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningar.
Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter. För godkänt krävs 4 av max 9 poäng.
Uppgift 1. (2p) Låt P=
5 . 0 5 . 0
6 . 0 4 .
0 vara övergångsmatrisen för en Markovkedja i diskret tid
med tillstånd E1, E2. Bestäm den stationära sannolikhetsvektorn.
Uppgift 2. (3p) Ett system har i genomsnitt λ=8 fel per år. Reparationstiden är exponentialfördelad och systemets reparationstid är i genomsnitt 1 månad. Vid t=0 är systemet i funktion. Vi betecknar
)
1(t
p = sannolikheten för att system fungerar vid tidpunkten t och )
2(t
p = sannolikheten för att system inte fungerar vid tidpunkten t.
a) Bestäm Q-matrisen.
b) Bestäm den transienta sannolikhetsvektorn, dvs lös systemet p′(t)= p(t)Q med avseende på p(t)=(p1(t),p2(t))
Var god vänd.
Uppgift 3. (2p) Ett kösystem med max 3 kunder kan modelleras som en födelse-dödsprocess vars diagram är
a) Beräkna p , 0 p , 1 p , 2 p . 3
b)Beräkna medelantal kunder i systemet.
Uppgift 4. (2p) Ett system kan modelleras som M/M/2/2. Ankomstintensiteten är 40 kunder/minut och betjäningsintensiteten för en betjänare är µ=20 kunder/minut.
a) Bestäm sannolikheterna p0, p1, p2, p3, p4.
b) Beräkna λspärr (= spärrad ankomstintensitet ).
Lycka till.
0 1 2 3
8 4 1
2 5 10
2 av 9
FACIT
Uppgift 1. (2p) Låt P=
5 . 0 5 . 0
6 . 0 4 .
0 vara övergångsmatrisen för en Markovkedja i diskret tid med tillstånd E1, E2. Bestäm den stationära sannolikhetsvektorn.
Lösning:
Låt q =(x,y) vara en stationär sannolikhetsvektor.
Då gäller
q =P q och x+ y =1
Vi skriver q =P q på komponent form:
y y x
x y y x
x y
x + =
=
⇒ +
=
5 . 0 6 . 0
5 . 0 4 . ) 0 , 5 ( . 0 5 . 0
6 . 0 4 . ) 0 , (
och lägger till ekvationen
x+ y=1 ( q är en sannolikhetsvektor) Därmed har vi systemet:
= +
=
−
= +
−
⇒
= +
= +
= +
1
0 5 . 0 6 . 0
0 5 . 0 6 . 0 1
5 . 0 6 . 0
5 . 0 4 . 0
y x
y x
y x
y x
y y x
x y x
Andra ekvationen är samma som första. Från första ekvationen har vi 5
y= 6x som vi substituerar i tredje ekvationen och får
11 1 5
5 1 11 5
6 = ⇒ = ⇒ =
+ x x x
x .
Från 5
y =6x har vi 11
= 6
y . (Alternativ:
11 6 11 1 5
1− = − =
= x
y )
Svar: q=(5/11, 6/11)=(0.454545, 0.545454)
Rättningsmall: Korrekt metod och en koordinat i q ger 1p. Allt korrekt =2p
3 av 9
Uppgift 2. (3p) Ett system har i genomsnitt λ=8 fel per år. Reparationstiden är exponentialfördelad och systemets reparationstid är i genomsnitt 1 månad. Vid t=0 är systemet i funktion. Vi betecknar
)
1(t
p = sannolikheten för att system fungerar vid tidpunkten t och )
2(t
p = sannolikheten för att system inte fungerar vid tidpunkten t.
a) Bestäm Q-matrisen.
b) Bestäm den transienta sannolikhetsvektorn, dvs lös systemet p′(t)= p(t)Q med avseende på p(t)=(p1(t),p2(t))
Lösning:
a)
=8
λ , µ =12 Från diagrammet
har vi Q=
−
−
12 12
8
8 .
b) Vi substituerar p(t)=(p1(t),p2(t))
i ekvationen p′(t)= p(t)Qoch får
⇒
−
= −
′
′ 12 12
8 )) 8
( ), ( ( )) ( ), (
(p1 t p2 t p1 t p2 t ) ( 12 ) ( 8 )
( 1 2
1 t p t p t
p′ =− + (ekv a) )
( 12 ) ( 8 )
( 1 2
2 t p t p t
p′ = − (ekv b) samt
1 ) ( )
( 2
1 t + p t =
p ( ekv c)
(ekv c gäller eftersom (p1(t),p2(t) är en sannolikhetsvektor.) Från ekv c får vi
) ( 1 )
( 1
2 t p t
p = −
som vi substituerar i (ekv a) för att få en differential ekvation med 1 obekant funktion p1(t):
)) ( 1 ( 12 ) ( 8 )
( 1 1
1 t p t p t
p′ =− + −
Efter förenkling har vi följande ekvation med konstanta koefficienter:
12 ) ( 20 )
( 1
1′ t + p t =
p (*)
Motsvarande karakteristiska ekvationen till homogena delen är
20 0
20= ⇒ =−
+ r
r
och därmed är
t
h Ce
Y = −20 den allmänna lösningen till det homogena delen.
En partikulär lösning får vi med hjälp av ansatsen A
yp = ( eftersom högerledet i (*) är 12, dvs en konstant) Substitutionen av yp = i (*) gör A
5 / 3 20 / 12 12
20
0+ A= ⇐A= =
Alltså yp =3/5 Därför
5 / 3 )
( 20
1 t =Yh + yp =Ce− t + p
Begynnelsevillkoret: Enligt antagande är systemet i funktion vid t=0. Därför .
1 ) 0
1( =
p
Alltså Ce0 +3/5=1⇒C =2/5 och
5 3 5
) 2
( 20
1 t = e− t + p
För att få p2(t) använder vi p2(t)=1−p1(t) och får p2 t e 20t 5 2 5 ) 2
( = − −
Svar b)
+ −
=
= p t p t e− t e− t
p 1 2 20 20
5 2 5 , 2 5 3 5
)) 2 ( ), (
(
Rättningsmall: a= 1p. En koordinat i p
ger +1p. Allt korrekt =3p.
5 av 9
Uppgift 3. (2p) Ett kösystem med max 3 kunder kan modelleras som en födelse-dödsprocess vars diagram är
a) Beräkna p , 0 p , 1 p , 2 p . 3
b)Beräkna medelantal kunder i systemet.
Lösning:
Först uttrycker vi p , 1 p , 2 p som funktioner av 3 p : 0
0 0 0
1 0
1 4
2
8 p p
p
p = = =
µ
λ (*)
0 0
0 2 1
1 0
2 3.2
5 2
4
8 p p
p
p =
⋅
= ⋅
= µ µ λ
λ
0 0
0 3 2 1
2 1 0
3 0.32
10 5 2
1 4
8 p p
p
p =
⋅
⋅
⋅
= ⋅
= µ µ µ λ λ λ
För att bestämmap0substituerar vi (*) i villkoret p0+ p1+ p2+ p3 =1. Vi får p0 +4p0+3.2p0 +0.32p0 =1 .
Härav 8.52p0 =1 och därför = = 52 . 8
1
p0 0.1173708920.
Vi har beräknat p0 =0.1173708920. Med hjälp av (*) är det nu enkelt att beräkna alla andra sannolikheterp : k
0
1 4 p
p = =0 .4694835681
0 1 2 3
8 4 1
2 5 10
6 av 9
0 2 3 p.2
p = =0 .3755868545
0 3 0.32p
p = =0. 03755868545
Medelantal kunder i systemet N= 0⋅p0+1⋅ p1+2⋅p2 +3⋅p3= 1.333333333 Svar:
a) p0 =0.1173708920, p1=0 .4694835681 p2=0 .3755868545, p =0. 03755868545 3 b) N= 1.333333333
Rättningsmall: a=1p, b=1p.
Uppgift 4. (2p) Ett system kan modelleras som M/M/2/2. Ankomstintensiteten är 40 kunder/minut och betjäningsintensiteten för en betjänare är µ=20 kunder/minut.
a) Bestäm sannolikheterna p0, p1, p2, p3, p4.
b) Beräkna λspärr (= spärrad ankomstintensitet ).
Lösning:
a) För att rita tillståndsgraf tar vi hänsyn till följande:
i) Totalantal platser i systemet är kmax=(antalet betjänare)+(antalet köplatser)=m+k=2+2=4 ii) Ankomstintensitet är konstant λ =40 kunder per minut.
ii) Betjäningsintensiteten för en betjänare är µ=20 kunder/minut. Om två betjänare jobbar samtidigt (det händer när vi har exakt två kunder i systemet ) då är systemets
betjäningsintensitet =2µ=40 kunder/minut. Om vi har 3 eller fyra kunder i systemet så jobbar två betjänare och därmed blir systemets betjäningsintensitet =2µ=40 kunder/minut.
Därför har vi följande tillståndsgraf
7 av 9
Med hjälp av teorin för födelsedödsprocesser har vi följande relationer mellan de stationära sannolikheterna pk och p0:
0 1 0
1 p
p µ
=λ ,
0 2 1
1 0
2 p
p µ µ
λ
= λ ,
0 3 2 1
2 1 0
3 p
p µ µ µ λ λ
= λ
0 4 3 2 1
3 2 1 0
4 p
p µ µ µ µ λ λ λ
= λ
Vi har 0 0 0
1 0
1 2
20
40 p p
p
p = = =
µ
λ ,
0 0 0
2 1
1 0
2 2
40 20
40
40 p p
p
p =
⋅
= ⋅
= µ µ λ
λ
på liknande sätt 0
3 2 1
2 1 0
3 p
p µ µ µ λ λ
= λ =2 p0,
och p4 =2 p0,
För att bestämma p substituerar vi ovanstående relationer i ekvationen 0
4 1
3 2 1
0 +p + p +p + p =
p och får
1 9p0 =
⇒ p =1/9=0.1111111 0
Nu är det enkelt att beräkna alla andra stationära sannolikheter. Vi helt enkelt substituerar p i ovanstående relationer och får: 0
8 av 9
p1=2 p0=2/9=0.2222222, p2 =0.2222222, p = 0.2222222, 3 p4=0.2222222,
b) Medelantal kunder per minut som avvisas från systemet är 888888
. 9 8 80 9 40 2
max = ⋅ = =
⋅
= k
spärr λ p
λ kunder/min
Rättningsmall: a=1p, b=1p.
9 av 9
