Inga hjälpmedel tillåtna.

(1)

Sida 1 av 6 TENTAMEN

Introduktionskurs i Matematik HF1009 (1.5 hp) Datum: 21 aug 2020

Tentamen på DISTANS genom programmet ZOOM Skrivtid: 8:00-10:00 ( +15 min för uppladdning)

Tentamen ger maximalt 12p. För godkänd tentamen krävs 6p.

Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar!

Inga hjälpmedel tillåtna.

Skriv din klass på omslaget (TIBYH1A, TIBYH1B eller TIBYH1C; TIDAA, TIELA, TIMEL, TITEH).

Du kan göra flera uppgifter på samma sida.

Viktigt: Använd papper och penna för att lösa dina uppgifter.

Under hela skrivningen ska du vara synlig i Zoom.

Du får inte lämna zoom innan kl 10.

Tiden 10 -10:15 använder du för att fotografera och ladda upp dina lösningar i i mappen (för din klass) :

Byggprogrammet Campus Stockholm:

https://kth.instructure.com/courses/19941/assignments TEN_HF1009 TIBYH A,

TEN_HF1009 TIBYH B, TEN_HF1009 TIBYH C,

(TITEH på bygg väljer en av ovanstående klasser) ---

Campus Flemingsberg:

https://kth.instructure.com/courses/19942/assignments TEN_HF1009 TIDAA,

TEN_HF1009 TIMEL TEN_HF1009 TIELA

(TITEH i Flemingsberg väljer en av ovanstående klasser) ---

OMREGISTRERADE (Alla klasser Stockholm, Flemingsberg) https://kth.instructure.com/courses/24138/assignments

TEN_HF1009_omregistrerade (alla klasser)

Format: PDF, JPG, JPEG, HEIC eller PNG filer är OK,

men vi föredrar PDF-format och gärna alla uppgifter i EN pdf-fil.

Efter kl 10:15 är mappen stäng för uppladdning.

Efter uppladdningen meddelar du (genom chat) till tentavakten att du lämnar Zoom-tenta.

Därefter får du inte komma tillbacka till Zoom-rummet och göra ändringar i dina lösningar.

Parametrarna p och q i nedanstående uppgifter är sista två siffror i ditt personnummer.

T ex: Om ditt personnummer är 751332 2248 så är p= 4 och q=8.

Du substituerar värdena på p och q i en uppgift och därefter löser uppgiften.

(2)

Sida 2 av 6

==================================================================

Uppgift 1. (1p) Låt A={4,5,6,7,8} till B={5,7,9} och C={p,10,11}

Bestäm (A B∪ )\ (A C∩ ).

Uppgift 2. (2p). Beräkna och förenkla nedanstående uttryck, så långt som möjligt

2 2

2 2 / 2p 6 2p 6

a b a b

+ +

 +   − 

   

    .

Uppgift 3. (2p) Bestäm alla lösningar till följande ekvationer:

a) sin(( 2) ) 1

3 2

q+ x+π = − . b) tan ( 3) 2

2 2

p x π

 + + = −

 

  .

a) 4 ³ 8 1 16

p+ ⋅ x = . b) log (₃ x q+ + = −1) 2 log (10)₃

Uppgift 5. (2p) Lös olikheten − +x² (q+3)x−(2q+2) 0> .

Uppgift 6. (1p)

Rita följande punktmängd i xy-planet {( , )x y R x∈ ²: ² +y²−(10− p y) = . 0}

Uppgift 7. (2p).

Bevisa med hjälp av den matematiska induktionen att

2 1

(4 ) 2 (2 )

n k

k p n p n

=

− = + −

∑

(där n ≥1 är ett heltal)

(Man får 0 poäng om man inte använder den matematiska induktionen utan bevisar påståendet på ett annat sätt.)

Lycka till!

=============================

FACIT

Uppgift 1. (1p) Låt A={4,5,6,7,8} till B={5,7,9} och C={p,10,11}

Bestäm (A B∪ )\ (A C∩ ). Lösning:

Variant 1: Om p är 1,2 3, eller 9 så är (A C∩ )= ∅. Då är (A B∪ )\ (A C∩ )=(A B∪ )={4,5,6,7,8,9}

Variant2: Om p är 4,5,6,7 eller 8 så är (A C∩ ) { }= p . Då är (A B∪ )\ (A C∩ )=(A B∪ )={4,5,6,7,8,9}

(3)

Sida 3 av 6 och (A B∪ )\ (A C∩ )= {4,5,6,7,8,9}\{p} .

T ex om p=5 så är (A B∪ )\ (A C∩ )= {4, 6,7,8,9} . Rättningsmall: Rätt eller fel.

Uppgift 2. (2p). Beräkna och förenkla nedanstående uttryck, så långt som möjligt

2 2

2 2 / 2p 6 2p 6

a b a b

+ +

 +   − 

   

    .

Lösning:

2 2

2 2 2 6 2a b 6

p p

a b

 + 

 

 

+ +

 − 

 

 

Förläng det stora bråket med a b : ^{2 2}

2 2 2 2

2 2

2 6 2 6 (2 6) (2 6)

a b a b ab a b

p p b p a p

a b a b

 

⋅ +  = + =

+ + ⋅ + − ⋅ +

 

⋅ − 

2 2

2 ( ) 2 ( ) 2

( ) (2 6) ( ) ( ) (2 6) ( ) (2 6) ( ) ( 3)

ab b a ab b a ab ab

b a p b a b a p b a p b a p

⋅ + ⋅ +

= = = =

− ⋅ + − ⋅ + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ +

Svar:

( ) ( 3) ab

b a− ⋅ p+ , där p är en parameter mellan 0 och 9.

Rättningsmall: 1 poäng för korrekt till ² ⁽ ⁾ ( ) ( ) (2 6)

ab b a b a b a p

⋅ +

− ⋅ + ⋅ + . 2p om allt är korrekt

a) sin(( 2) ) 1

3 2

q+ x+π = − . b) tan ( 3) 2

2 2

p x π

 + + = −

 

  .

Lösningsförslag:

a) (𝑞𝑞 + 2)𝑥𝑥 +^𝜋𝜋₃ = arcsin �−¹₂� + 𝑛𝑛 ∙ 2𝜋𝜋 och (𝑞𝑞 + 2)𝑥𝑥 +^𝜋𝜋₃ = 𝜋𝜋 − arcsin �−¹₂� + 𝑛𝑛 ∙ 2𝜋𝜋 (𝑞𝑞 + 2)𝑥𝑥 +^𝜋𝜋₃ = −^𝜋𝜋₆+ 𝑛𝑛 ∙ 2𝜋𝜋 och (𝑞𝑞 + 2)𝑥𝑥 +^𝜋𝜋₃ = 𝜋𝜋 − �−^𝜋𝜋₆� + 𝑛𝑛 ∙ 2𝜋𝜋

(𝑞𝑞 + 2)𝑥𝑥 = −^𝜋𝜋₂ + 𝑛𝑛 ∙ 2𝜋𝜋 och (𝑞𝑞 + 2)𝑥𝑥 =^5𝜋𝜋₆ + 𝑛𝑛 ∙ 2𝜋𝜋 𝑥𝑥 = −_{2(𝑞𝑞+2)}^𝜋𝜋 +_𝑞𝑞+2^{2𝑛𝑛𝜋𝜋} och 𝑥𝑥 = _{6(𝑞𝑞+2)}^5𝜋𝜋 +^{2𝑛𝑛𝜋𝜋}_𝑞𝑞+2

b) (𝑝𝑝 + 3)𝑥𝑥 +^𝜋𝜋₂ = arctan �−^√2₂� + 𝑛𝑛 ∙ 𝜋𝜋 ⇒ (𝑝𝑝 + 3)𝑥𝑥 = −^𝜋𝜋₂+ arctan �−^√2₂� + 𝑛𝑛 ∙ 𝜋𝜋 ⇒

(4)

Sida 4 av 6

⇒ 𝑥𝑥 = − 𝜋𝜋 (𝑝𝑝 + 3) +

1

(𝑝𝑝 + 3) arctan �−

√2 2 � +

𝑛𝑛𝜋𝜋 (𝑝𝑝 + 3)

Rättningsmall: 1p för varje del (rätt eller fel)

a) 4 ³ 8 1 16

p+ ⋅ x = . b) log (3 x q+ + = −1) 2 log (10)3

Lösning:

a)

( )

³

( ) ( )

¹ ^{2 6} ³

3 1 2 2 1 2 6 3 2 4 2 4

4 8 2 8 16 2 2 2 2 2

3 16 20 4

2 6 4

2 3

x x p x

p x p p

x p

p x

+ +

+ −

+ ⋅ = ⇔ ⋅ = − ⇔ + ⋅ = ⇔ = − ⇒

+ + = − ⇔ = − −

b)

( ( ) )

( )

3 3 3 3 3 3 2

log ( 1) 2 log (10) log ( 1) log (10) 2 log 10 1 log 3

10 1 9 1

10

x q x q x q

x q x q

+ + = − ⇔ + + + = ⇔ + + = ⇒

+ + = ⇔ = − −

(notera att x ligger i ekvationens definitionsmängd: x > –q–1) Rättningsmall: 1p för varje del (rätt eller fel)

Uppgift 5. (2p) Lös olikheten − +x² (q+3)x−(2q+2) 0> .

Lösning:

Först löser vi ekvationen − +x² (q+3)x−(2q+2) 0= (använd den kända formeln) som ger 2 och q +1.

Vi ritar parabeln y= − +x² (q+3)x−(2q+2) och därefter bestämmer svaret.

Fall 1. Om q ≠1 har vi två olika lösningar x₁ och x₂. ( Låt x₁<x₂)

I detta fall är svaret ( , )x x₁ ₂ dvs läsningsmängden består av alla x sådana att x₁< <x x₂.

(5)

Sida 5 av 6

Fall 2. Om q =1 har vi två lika lösningar x1=x2=2. motsvarande parabel har grafen

Olikheten saknar lösning.

Uppgift 6. (1p)

Rita följande punktmängd i xy-planet {( , )x y R x∈ ²: ² +y²−(10− p y) = . 0}

Lösning:

Med hjälp av kvadratkomplettering kan vi skriva ekvationen

2 2 (10 ) 0

x + y − − p y= som

2 ( 10 )2 (10 )2 0

2 2

p p

x y − −

+ − − = eller ² ( ¹⁰ )² (¹⁰ )²

2 2

p p

x y − −

+ − =

Detta är en ekvation för cirkeln med centrum i punkten C=(0,¹⁰ ) 2

p

− och radien

R= ¹⁰ 2

p

− .

Exempelvis, om i fallet p=5 har vi en cirkel med centrum i C=(0, )⁵

2 och radien R= ⁵ 2

Rättningsmall: Rätt eller fel.

(6)

Sida 6 av 6 Uppgift 7. (2p).

Bevisa med hjälp av den matematiska induktionen att

2 1

(4 ) 2 (2 )

n

k k p n p n

=

− = + −

∑

(där n ≥1 är ett heltal)

(Man får 0 poäng om man inte använder den matematiska induktionen utan bevisar påståendet på ett annat sätt.)

Bevis.

Vi bevisar påståendet i fall p=5. På liknande sätt gör vi för andra värden på p.

Alltså, vi ska visa att

2 1

(4 5) 2 3

n k

k n n

=

− = −

∑

a) (Induktionsbas)

Då n=1 har vi VL= –1 och HL= –1 dvs. VL=HL.

Alltså gäller påståendet för n = 1.

b) (Induktionssteg)

Antag att det för givet n gäller påståendet, P(n),

2 1

(4 5) 2 3

n k

k n n

=

− = −

∑

(*)

Vi vill visa att då gäller P(n+1) d v s att

1 2

1

(4 5) 2( 1) 3( 1)

n k

k n n

+

=

− = + − +

∑

eller ( om vi utvecklar högerledet)

¹ ²

1

(4 5) 2 1

n

k⁺ k n n

=

− = + −

∑

^{(**) .}

Vi startar med (*) och lägger 4(n + − till båda leden av likheten: 1) 5

2 1

(4 5) 4( 1) 5 2 3 4( 1) 5

n k

k n n n n

=

− + + − = − + + − ⇒

∑

1 2

1

(4 5) 2 1

n k

k n n

+

=

− = + −

∑

(Detta är P(n+1). ) Alltså P(n)⇒P(n+1).

Från a) och b) får vi, enligt den matematiska induktionen, att påståendet gäller för alla heltal 1

n≥ .

Rättningsmall: 1p om man kommer till korrekt uttryck för P(n+1) dvs till:

”Vi vill visa att då gäller P(n+1) d v s att ¹ ²

1

(4 5) 2( 1) 3( 1)

n k

k n n

+

=

− = + − +

∑

^”

2p om allt är korrekt.