KONTROLLSKRIVNING 1
version A
Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: Måndag 31 mars 2014 Skrivtid: 13:15-15:00
Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare av vilken typ som helst.
Förbjudna hjälpmedel: Telefon, laptop och alla elektroniska medel som kan kopplas till internet.
Inga toabesök eller andra raster.
Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningar. Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter. För godkänt krävs 4 av max 8 poäng.
Uppgift 1. (2p)
För de två händelserna A och B gäller att
P ( A ∪ B ) = 0 . 7
,P ( A ∩ B
C) = 0 . 3
ochP ( A ) = 0 . 5
a) Rita mängddiagram och bestämP ( A ∩ B )
.b) Bestäm ( och förklara) om A och B är oberoende händelser .
Uppgift 2. (2p)
En kortlek med 52 kort består av fyra färger ( 13 hjärter, 13 spader, 13 klöver,13 ruter) och valörer: ess, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, knekt, dam, kung (4 st av varje).
a) Man väljer slumpvis 5 kort. Vad är sannolikheten för ett par och ett triss x,x,y,y,y ( t ex 5,5, 7,7,7 eller 8,8,3,3,3 och liknande)
b) Man väljer slumpvis 7 kort. Vad är sannolikheten att alla kort är i samma färg ( t ex 7 hjärter eller 7 spader)
Du svarar med binomiska koefficienter
k n
!Var god vänd!
Sida 1 av 5
Uppgift 3. (2p) Komponenter K1, K2, K3 och K4 fungerar oberoende av varandra med följande sannolikheter 0.5, 0.6,0.7 och 0.8. Bestäm sannolikheten att systemet fungerar. ( Vi anser att systemet fungerar om det finns minst en fungerande väg mellan punkterna A och B)
Uppgift 4. (2p)
De sex sidorna på en tärning är märkta med 1,2,3, 4,5 och 6. Man kastar två tärningar samtidigt och beräknar summan av erhållna tal.
Bestäm sannolikheten att a) summan är 4.
b) summan är mindre än 6.
Lycka till!
Sida 2 av 5
FACIT
Uppgift 1. (2p)
För de två händelserna A och B gäller att
P ( A ∪ B ) = 0 . 7
,P ( A ∩ B
C) = 0 . 3
ochP ( A ) = 0 . 5
a) Rita mängddiagram och bestämP ( A ∩ B )
.b) Bestäm ( och förklara) om A och B är oberoende händelser . Lösning:
a)
´ Från
P ( A ) = P ( A ∩ B
C) + P ( A ∩ B )
har vi2 . 0 ) (
) (
3 . 0 5 .
0 = +P A∩B ⇒P A∩B =
b) Vi säger att A och B är oberoende händelser om
)
( ) ( )
( A B P A P B
P ∩ = ⋅
Från
) (
) ( ) ( )
( A B P A P B P A B
P ∪ = + − ∩
har vi 0.7=0.5+P(B)−0.2⇒P(B)=0.4. Eftersom
P ( A ∩ B ) = 0 . 2
och2 . 0 4 . 0 5 . 0 ) ( )
( A ⋅ P B = ⋅ = P
ser vi att A och B är oberoende händelser.
Svar. a) P(A∩ B)=0.2 b) A och B är oberoende händelser Sida 3 av 5
Uppgift 2. (2p)
En kortlek med 52 kort består av fyra färger ( 13 hjärter, 13 spader, 13 klöver,13 ruter) och valörer: ess, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, knekt, dam, kung (4 st av varje).
a) Man väljer slumpvis 5 kort. Vad är sannolikheten för ett par och ett triss x,x,y,y,y ( t ex 5,5, 7,7,7 eller 8,8,3,3,3 och liknande)
b) Man väljer slumpvis 7 kort. Vad är sannolikheten att alla kort är i samma färg ( t ex 7 hjärter eller 7 spader)
Du svarar med binomiska koefficienter
k n
!Svar.
a)
=
5 52
3 12 4 2 13 4
Pa
b)
= 7 52
7 4 13
Pb
Uppgift 3. (2p) Komponenter K1, K2, K3 och K4 fungerar oberoende av varandra med följande sannolikheter 0.5, 0.6,0.7 och 0.8. Bestäm sannolikheten att systemet fungerar. ( Vi anser att systemet fungerar om det finns minst en fungerande väg mellan punkterna A och B)
Lösning:
Bock 1 (Första blocket), fungerar med sannolikheten b1= K1+K3-K1*K3= 0.85
Sida 4 av 5
Bock 2 fungerar med sannolikheten b2= K2+K4-K2*K4= 0.92 Systemet fungerar med sannolikheten b1*b2= 0.782 Svar. 0.782
Uppgift 4. (2p)
De sex sidorna på en tärning är märkta med 1,2,3, 4,5 och 6. Man kastar två tärningar samtidigt och beräknar summan av resultat.
Bestäm sannolikheten att a) summan är 4.
b) summan är mindre än 6.
Lösning:
När man kastar två tärningar samtidigt kan man få följande 36 fall:
(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)
a) Summan är 4 i följande 3 fall (3,1), (2,2) och ( 1,3) Sannolikheten Pa= g/n= 3/36=1/12
b) Summan är mindre än 6 i följande 10 fall (1,1), (1,2), (1,3), (1,4),
(2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1)
Sannolikheten Pb= g/n= 10/36=5/18 Svar a) 1/12 b) 5/18
Sida 5 av 5
