TENTAMEN TEN2 i HF1006 och HF1008

TENTAMEN TEN2 i HF1006 och HF1008

Moment TEN2 (analys)

Datum 20 aug 2019 Tid 8-12

Lärare: Maria Shamoun, Armin Halilovic Examinator: Armin Halilovic

Betygsgränser: För godkänt krävs10 av max 24 poäng. För betyg A, B, C, D, E, Fx krävs 22, 19, 16, 13, 10 respektive 9 poäng.

Hjälpmedel på tentamen TEN2: Utdelad formelblad. Miniräknare ej tillåten.

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) .

--- Skriv endast på en sida av papperet. Skriv namn och personnummer på varje blad.

Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget. Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter.

Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningarna.

--- Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 1.)

a) (1p) Bestäm definitionsmängden till funktionen f(x)=e^x+3+ln(3−6x)+cos(2x−8). b) (1p) Beräkna gränsvärdet

) 6 2 sin(

lim 9

2

3 −

−

→ x

x

x .

c) (1p) Beräkna gränsvärdet ₁₄¹⁴ ₁₂¹⁰ 2 5

9 lim 3

x x

x x

x + ⋅

⋅

−

−∞

→ .

d) (1p) Bestäm derivatan till funktionen f(x)=3+x⁵sin[3x+ln(2x+2)]. (Du behöver inte förenkla svaret i frågan d.)

Uppgift 2. (3p) Beräkna följande integraler

a) (1p)

∫

^{(4x+5)cos(x)dx} (Tips: partiell integration) b) (1p)

∫

^lnx+ln15_x^x+ln20xdx (Tips: substitution)

c) (1p)

∫

_x^2x₊² ₄^dx

Uppgift 3. (4p) Låt

3 2 6 6

( ) 1

x x

f x x

+ +

= + .

a) (2p) Bestäm funktionens stationära punkter och deras typ.

b) (1p) Bestäm eventuella asymptoter till f( x). c) (1p) Rita funktionens graf.

Var god vänd.

Sida 1 av 10

på x-axeln mellan x=acm och x=b cm. Kroppens densitetρ är en kontinuerlig funktion av en variabel x , dvs ρ =ρ(x) g/ cm³. Trådens massa kan beräknas med formeln

∫

^⋅

=^b

a

dx x A

m ρ( ) . Beräkna trådens massa om

x 50+1

ρ= g/ cm³, A=0.5 cm², a=1cm och b=e²cm.

Uppgift 5. (3p) Vi betraktar differentialekvationen y′=x²(1+y²)+3x⁵(1+y²). a) Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen.

b) Ange lösningen på explicit form.

c) Bestäm om ekvationen har några singulära lösningar.

Uppgift 6. (3p) Bestäm den lösning till ekvationen y′′+4y′+5y=3 som uppfyller 0

) 0 ( =

y , y′(0)=1.

Uppgift 7. (4p) Bestäm den allmänna lösningen för strömmen i(t) i nedanstående LRC krets

om induktansen L=1 henry , resistansen R= 20 ohm, kapacitansen C=

100

1 farad och spänningen U =50 volt. Begynnelse villkor: i(0)=2 ampere, q(0)=0 coulomb , Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L⋅i′(t).

Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R⋅i(t). Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C (farad) och laddningenq(t) (coulomb) är lika med

C t

q( )/ , där q′(t)=i(t).

Uppgift 8. (1p) Ange om följande påstående är sanna eller falska :

P1: Om en funktion f är kontinuerlig i en punkt a så är f också deriverbar i a.

P2: Om en funktion f är deriverbar i en punkt a så är f också kontinuerlig i a.

P3: En funktion f är deriverbar i en punkt a om och endast om f är kontinuerlig i a.

(Det räcker att ange korrekta svar: sant eller falskt.)

Lycka till.

Sida 2 av 10

FACIT

Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 1.)

a) (1p) Bestäm definitionsmängden till funktionen f(x)=e^x+3+ln(3−6x)+cos(2x−8). b) (1p) Beräkna gränsvärdet

) 6 2 sin(

lim 9

2

3 −

−

→ x

x

x .

c) (1p) Beräkna gränsvärdet _{14 12}

10 14

2 5

9 lim 3

x x

x x

x + ⋅

⋅

−

−∞

→ .

d) (1p) Bestäm derivatan till funktionen f(x)=3+x⁵sin[3x+ln(2x+2)]. (Du behöver inte förenkla svaret i frågan d.)

Lösning:

a) e^x+3 är definierad för alla x∈ ,

ln(3 6 )− x är definierad för om 1

3 6 0

x x 2

− > ⇔ < , cos(2x− är definierad för alla 8) x∈ .

Svar a: Funktionen är definierad om 1

x< . Alltså 2 1

{ : }

f 2

D = x∈ x< eller Df = 1 ( , )

−∞ 2 . b)

2

3 3

9 0 2 3

lim , ' lim 3

sin(2 6) 0 2 cos(2 6) cos 0

x x

x x

x l H x

→ →

−− = = − = =

c)

14

14 10 4 4

14 12

14

2 2

9 9

3 3

3 9 3

lim lim lim

2 2

5 2 5 5 5

x x x

x x x x x

x x

x x x

→−∞ →−∞ →−∞

 −  −

 

− ⋅ =  = =

+ ⋅  +  +

d) ^{'( ) 5 4 sin}

(

3 ln(2 2)

)

^5cos

(

3 ln⁽2 2⁾

)

3 ²

2 2

f x x x x x x x

x

 

= ⋅ + + + + + ⋅ + + 

Rättningsmall a-d: Rätt eller fel.

Uppgift 2. (3p) Beräkna följande integraler

a) (1p)

∫

^{(4x+5)cos(x)dx} (Tips: partiell integration) b) (1p)

∫

^lnx+ln15_x^x+ln20xdx (Tips: substitution)

c) (1p)

∫

_x^2x₊² ₄^dx

Lösning:

a)

( )

( ) 4 5 '( ) 4

(4 5) cos( ) 4 5 sin( ) 4 sin( )

( ) cos( ) ( ) sin( )

f x x f x

x x dx x x x dx

g x x G x x

= + =

 

+ = = ⇒ = = + − =

∫ ∫

Sida 3 av 10

b) ^{ln ln15 ln20 ln}1

(

^{15 20}

)

^{2 16 21}

2 16 21

u x

x x x u u u

dx u u u du C

x du dx

x

 = 

+ + = = = + + = + + + =

 

∫ ∫

2 16 21

ln ln ln

2 16 21

x x x

= + + +C

c) ₂ ²

[ ]

1 ₂⁴

4 4

x dx polynomdivision dx

x x

 

= =  − 

+  + 

∫ ∫

(formelblad)

4 1arctan 2 arctan

2 2 2

x x

x C x C

= − ⋅ + = − +

Rättningsmall a-c: Rätt eller fel.

Uppgift 3. (4p) Låt

3 2 6 6

( ) 1

x x

f x x

+ +

= + .

a) (2p) Bestäm funktionens stationära punkter och deras typ.

b) (1p) Bestäm eventuella asymptoter till f( x). c) (1p) Rita funktionens graf.

Lösning:

a) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2

3 6 3 ( 2)

6 6 1 3 6 6

'( )

1 1 1

x x x x

x x x x

f x

x x x

− + +

+ + + +

= = =

+ + +

stationära punkter bestäms med hjälp av förstaderivatans nollställen.

( )

2

1 2

2

3 6

'( ) 0 0 3 ( 2) 0 0 2

1

x x

f x x x x x

x

= ⇒ + = ⇒ + = ⇔ = ∧ = −

+

Bestämmer vilken typ genom teckenstudium av förstaderivatan . (Alternativ: Vi kan använda andraderivatan)

för x< −2 gäller f x'( )> 0 för − < <2 x 0 gäller f x'( )< 0 för x>0 gäller f x'( )> 0

Svar a: x= −2 är en maximipunkt och x=0 är en minimipunkt.

b) Vertikala asymptoten är x= −1

Det finns en sned asymptot, y=kx+ eftersom polynomet i täljaren har ett gradtal högre än m nämnaren.

Sida 4 av 10

( )

2

2 2

2

2

2

6 6

( ) 3 6 6 3 3

lim lim lim 3

1 1

1

3 6

3 6 6

lim ( ) lim 3 lim 3

1 1

x x x

x x x

f x x x x x x

k x x x

x x

x x x

m f x kx x

x x

→∞ →∞ →∞

→∞ →∞ →∞

 + + 

 

+ +  

= = = = =

+  + 

+

 + +   

= − =  + − =  + =

Alternativ: Polynomdivision ger

3 2 6 6 3

( ) 3 3

1 1

x x

f x x

x x

+ +

= = + +

+ + som visar att

3 3

y= x+ är en sned asymptot.

Svar: Vertikala asymptoten är x= −1 och den sneda asymptoten är y=3x+ 3 c) Se grafen nedan

Rättningsmall: a) 1p för korrekta 2 stationära punkter. Alternativ En korrekt stationärpunkt och punktens typ ger 1p. Allt korrekt =2p

b) 1p om båda asymptoter är korrekta.

c)Korrekt funktionens graf = 1p

Uppgift 4. (2p) Vi betraktar en tunn metalltråd som har den konstanta snittarean A cm² ligger på x-axeln mellan x=acm och x=b cm. Kroppens densitetρ är en kontinuerlig funktion av en variabel x , dvs ρ =ρ(x) g/ cm³. Trådens massa kan beräknas med formeln

Sida 5 av 10

∫

a ρ x =

och b=e²cm.

Lösning:

[ ]

[ ] [ ]

(

^{50 ln( ) 50 ln(1)}

)

^0.5

( [

^{50 2)}

] [

^{50 0}

] )

^0.5

(

^{50 48}

)

^{25 24}

5 . 0

ln 50 5 . 1 0

50 5 . 0 )

(

2 2

2 2

2

1 1

2 2

−

=

−

⋅

= +

− +

⋅

= +

− +

⋅

=

+

⋅

 =



 



 +

⋅

=

⋅

=

∫ ∫

e e

e e

e

x x x dx

dx x A

m ^e

e b

a

ρ

Svar: m=25e²−24 gram.

Rättningsmall: Korrekt till m=0.5⋅

[

50x+lnx

]

1^e2ger 1p.

Allt korrekt, dvs m=25e² −24 ger 2p.

Uppgift 5. (3p) Vi betraktar differentialekvationen y′=x²(1+y²)+3x⁵(1+y²). a) Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen.

b) Ange lösningen på explicit form.

c) Bestäm om ekvationen har några singulära lösningar.

a) Vi separerar variabler:

) 1 ( 3 ) 1

( ^{2 5 2}

2 y x y

dx x

dy = + + +

) 3 )(

1

( y² x² x⁵ dx

dy = + +

Vi delar med (1+y²) (Notera att 1+ y² ≠0 för alla y ) och får dx

x y x

dy ( 3 )

1

5 2

2 = +

+

Härav

∫

₁₊^dy_y^{2 =}

∫

^{(x2 +3x5)dx eller}

x C y = x + +

2 ) 3

arctan(

6 3

(den allmänna lösningen på implicit form).

b) Från x x C

y = + +

2 ) 3

arctan(

6 3

har vi

2 ) tan( 3

6 3

x C

y= x + + (den allmänna lösningen på explicit form.)

Sida 6 av 10

c) Ekvationen saknar singulära lösningar.

Svar: Se ovan.

Rättningsmall: 1p för varje del.

Uppgift 6. (3p) Bestäm den lösning till ekvationen y′′+4y′+5y=3 som uppfyller 0

) 0 ( =

y , y′(0)=1. Lösning:

Först löser vi tillhörande homogena ekvationy′′+4y′+5y=0.

Från den karakteristiska ekvationen r² + r4 +5=0får vi r_1,2 = 2− ±i och därmed )

cos sin

( cos

sin ₂ ^{2 2} _{1 2}

2

1e x C e x e C x C x

C

y_H = ^{− x} + ^{− x} = ^{− x} + (lösningen till den homogena delen).

En partikulär lösning får vi med ansatsen y_p = (som ger A y_p′ =0, y_p′′ =0).

Vi har

5 3 3

5 0 4

0+ ⋅ + A= ⇒ A= dvs 5

= 3 yp . Därmed är

5 ) 3 cos sin

( _{1 2}

2 + +

= +

= y y e⁻ C x C x

y _{H p} ^x den allmänna lösningen.

Kvar står att bestämma konstanterna.

Först substituerar vi y(0)=0 i

5 ) 3 cos sin

( _{1 2}

2 + +

=e⁻ C x C x

y ^x och får

5 0 3

5 3

2

2 + = ⇒C =−

C .

Nu substituerar vi y′(0)=1 i

) sin cos

( )

cos sin

(

2e ² C₁ x C₂ x e ² C₁ x C₂ x

y′=− ^{− x} + + ^{− x} − och får

1 ) ( 1 ) 0 (

2 + ₂ + ₁ =

− C C eller

5 1 5 1 6 2

1 ₂

1 = + C = − =−

C .

Därmed

5 ) 3 5cos sin 3

5 ( 1

2 − − +

=e⁻ x x

y ^x är den sökta lösningen.

Svar:

5 ) 3 5cos sin 3

5 ( 1

2 − − +

=e⁻ x x

y ^x

Sida 7 av 10

Korrekt

5

=3

yp ger +1p.

Allt korrekt, ger 3p.

Uppgift 7. (4p) Bestäm den allmänna lösningen för strömmen i(t) i nedanstående LRC krets

om induktansen L=1 henry , resistansen R= 20 ohm, kapacitansen C=

100

1 farad och spänningen U =50 volt. Begynnelse villkor: i(0)=2 ampere, q(0)=0 coulomb , Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L⋅i′(t).

Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R⋅i(t). Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C (farad) och laddningenq(t) (coulomb) är lika med

C t

q( )/ , där q′(t)=i(t). Lösning:

Från kretsen får vi följande diff. ekv.

) ( ) 1 ( ) ) (

( q t u t

t C dt Ri

t

L⋅di + + =

dvs ⇒( efter subst. L, R och C) 50 ) ( 100 ) ( 20 )

( + + =

′ t i t q t

i (ekv 1) .

Vi eliminerar q(t) genom att derivera ekvationen (notera attq′(t)=i(t)).

Vi får

0 ) ( 100 ) ( 20 )

( + ′ + =

′′ t i t i t

i (en homogen DE).

Härav i(t)=C₁e^−10t+C₂te^−10t.

För att bestämma C och ₁ C använder vi begynnelsevillkoren ₂ i(0)=2 och q(0)=0.

Sida 8 av 10

Första villkoret kan vi använda direkt: Vi substituerar i(0)=2 i lösningen

t

t C te

e C t

i( )= ₁ ⁻¹⁰ + ₂ ⁻¹⁰ och får

1 =2

C (ekv a)

För att få ett villkor som innehåller i′(0) substituerar vi q(0)=0 (och i(0)=2) i startekvationen

50 ) ( 100 ) ( 20 )

( + + =

′ t i t q t

i (ekv 1) .

Vi får i′(0)+20i(0)+100q(0)=50 dvs ′i(0)+20⋅2=50

som ger ′i(0)=10.

Eftersom i(t)=C₁e^−10t +C₂te^−10t =2e^−10t +C₂te^−10t har vi i′(t)=−20e^−10t +C₂e^−10t−10C₂te^−10t

som med ′i(0)=10 ger 10=−20+C₂ och därför C₂ =30. Alltså gäller i(t)=2e^−10t +30te^−10t.

Svar: i(t)=2e^−10t +30te^−10t.

Allternativ lösningsmetod: Vi kan lösa ekvationen 1 ( ) ( ) )

( )

( q t u t

t C q R t q

L⋅ ′′ + ′ + = ,

där q(t)är en obekant funktion, och därefter bestämma strömmen i(t)=q′(t). Rättningsmall:

Korrekt till i′′(t)+20i′(t)+100i(t)=0 (eller till en ekvivalent ekvation med enbart q(t)) ger 1p.

Korrekt till i(t)=C₁e^−10t +C₂te^−10t ger totalt 2p.

Korrekt ′i(0)=10 ger +1p Allt korrekt =4p.

Uppgift 8. (1p) Ange om följande påstående är sanna eller falska :

P1: Om en funktion f är kontinuerlig i en punkt a så är f också deriverbar i a.

P2: Om en funktion f är deriverbar i en punkt a så är f också kontinuerlig i a.

P3: En funktion f är deriverbar i en punkt a om och endast om f är kontinuerlig i a.

Sida 9 av 10

Svar: P1: falskt , P2: sant P3: falskt , Rättnings mall:

1p om alla tre svar är korrekta, annars 0 p.

Sida 10 av 10