Tentamen i Matematisk statistik Ämneskod-linje S0001M Poäng totalt för del 1 Poäng totalt för del 2 25 (8 uppgifter) 30 (3 uppgifter) Tentamensdatum 2010-01-15 Lärare:

(1)

Poäng totalt för del 2 30 (3 uppgifter) Tentamensdatum 2010-01-15 Lärare: Ove Edlund

Adam Jonsson Robert Lundqvist Kerstin Vännman

Skrivtid 09.00-14.00

Jourhavande lärare: Adam Jonsson Tel: ankn 1948

Tillåtna hjälpmedel:

• Räknedosa

• Kursboken Vännman: Matematisk statistik

• Kompletterande kursmaterial till kursen Matematisk statistik (formelblad och kompendiet Regressionsanalys).

Tentamen består av två delar. På den första delen, som är obligatorisk för att kunna bli godkänd, ska enbart svar lämnas in, men lösningar får bifogas. Observera dock att dessa kommer ej att bedömas utan enbart användas vid gränsfall för att avgöra om någon uppgift kan ”rättas upp” på grund av slarvfel. Svaren ska fyllas i på det blad som bifogas ten- tamen. Detta blad måste lämnas in. Lägg detta blad först bland lösningarna. Om inte det ifyllda svarsbladet har lämnats in så bedöms tentamen som underkänd. För godkänt krävs minst 19 poäng. Med 4 extrapoäng från laborationerna och KGB så räcker det med 15 poäng av de 25 möjliga för godkänt.

På den andra delen, som gäller tentamen för överbetyg, ska fullständiga lösningar lämnas in. Tänk på att redovisa dina lösningar på ett klart och tydligt sätt och motivera resone- mangen. Vid bedömningen av lösningarna läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. För betyg 4 krävs godkänt på den första obligatoriska delen samt minst 13 poäng från den andra delen för överbetyg. För betyg 5 krävs godkänt på den första obligatoriska delen samt minst 23 poäng från den andra delen för överbetyg.

OBS! Det går inte att kompensera underkänt på den första korta delen av tentamen med poäng på den andra delen.

Ange på tentamensomslaget om du har lämnat in lösningar på del 2 genom att kryssa för uppgifterna 9, 10 eller 11.

Om du plussar för överbetyg så skriv detta på tentamensomslaget.

LYCKA TILL!

(2)

1. Ett begrepp i statistisk processtyrning är statistisk jämvikt vilket ofta definieras som ett tillstånd i processen där variationen inte har några särskilda orsaker utan kan betraktas som slumpmässig. I tillverkningen av en viss del till bakaxlar till lastbilar ingår två processer, en för pressning av detaljerna och en där axeltappar svetsas fast.

Det har visat sig att pressningen i ett givet ögonblick är i statistisk jämvikt med sannolikheten 7%, att motsvarande sannolikhet för svetsprocessen är 6%. Det har också visat sig att sannolikheten att båda processerna är i statistisk jämvikt är 5%.

a) Hur stor är sannolikheten att ingen av processerna är i statistisk jämvikt? (1p) b) Hur stor är sannolikheten att exakt en av processerna är i statistisk jäm-

vikt? (1p) c) Vid kontroll visar det sig att svetsprocessen är i statistisk jämvikt. Hur stor

är då sannolikheten att pressprocessen också är i statistisk jämvikt? (1p) Ange dina svar i procent med två decimaler.

2. Du är ansvarig för att följa upp olyckor i organisationen. Det har upprättats en definition på vad som avses med olyckor – minst en av följande konsekvenser:

1) person får uppsöka vård; 2) person får lämna arbetet minst en dag; 3) händel- se med påtaglig risk för allvarlig personskada. Med den definitionen har det visat sig att antalet olyckor per månad inom organisationen kan beskrivas med nedanstående (ofullständiga) fördelning, där ξ betecknar antalet olyckor per månad:

k 0 1 2 3

(

^k

Pξ ⁼

)

0.25 0.35 0.25 –

a) Hur stor är sannolikheten att det blir minst 2 olyckor under en månad?

Ange ditt svar i procent med två decimaler. (1p) b) Vad blir standardavvikelsen för antalet olyckor per månad? Ange ditt svar

med två decimaler. (2p)

c) Vad är sannolikheten att det under en period på 6 månader inte är några olyckor under minst 3 av månaderna? Antag att antalet olyckor en viss månad är oberoende av motsvarande antal alla andra månader. Ange ditt

svar i procent med två decimaler. (2p)

3. Anna behöver såga upp 10 plankor som ska läggas ihop efter varandra. Antag att standardavvikelsen för en plankas längd vid sågning är 0.5 cm. Plankornas längder kan också antas vara oberoende av varandra.

a) Vad blir standardavvikelsen för den sammanlagda längden? Ange ditt svar

i centimeter med två decimaler. (2p)

b) Om du antar att längden när en planka kapas är normalfördelad, vad måste då väntevärdet vara för att det ska vara 5% sannolikhet för att en planka

(3)

längd vid sågning är 0.5 cm. Ange ditt svar i centimeter med två decima-

ler. (2p)

4. Havsguden Poseidon strör ut snäckor på havsbotten så att antalet snäckor på en godtycklig yta blir Po(λ)-fördelat, där λ är proportionell mot ytans area. Om det i genomsnitt ligger 0.2 snäckor per kvadratmeter, hur stor är då sannolikheten att det finns minst en snäcka på en slumpmässigt utvald kvadratmeter? Ange ditt

svar i procent med två decimaler. (2p)

5. En forskare mäter 10 slumpmässigt utvalda personers längd före och efter en hormonbehandling. Med de uppmätta längderna bildas sedan differenserna mellan längderna (längd efter – längd före).

Antag att längden före behandling kan beskrivas med en ^N

(

¹^,⁰^.³

)

-fördelning och att längden efter behandling kan beskrivas med en ^N

(

¹^.⁵^,⁰^.³

)

-fördelning.

Antag också att längderna är oberoende av varandra. Hur stor blir sannolikheten att längden ökat efter hormonbehandlingen, d v s för en positiv differens? Ange

ditt svar i procent med två decimaler. (2p)

6. I en studie av hur C-vitaminhalten förändras i sojabönor när de lagras gjordes ett urval av 27 förpackningar. C-vitaminhalten i dessa mättes både direkt innan för- packningarna slöts och fem månader senare. I nedanstående tabell ges resultaten:

Förp nr Färsk Lagrad Förp nr Färsk Lagrad Förp nr Färsk Lagrad 1 44 40 10 45 38 19 39 43 2 50 37 11 32 40 20 52 38 3 48 39 12 47 35 21 45 38 4 44 35 13 40 38 22 37 38 5 42 35 14 38 34 23 38 41 6 47 41 15 41 35 24 44 40 7 49 37 16 43 37 25 43 35 8 50 37 17 40 34 26 39 38 9 39 34 18 37 40 27 44 36

I följande sammanställning ges resultatet från beräkning av några mått på dessa variabler:

Variable N Mean StDev Q1 Median Q3 Range färsk 27 42,852 4,793 39,000 43,000 47,000 20,000 lagrad 27 37,519 2,440 35,000 38,000 40,000 9,000 diff f-l 27 5,33 5,59 2,00 6,00 9,00 22,00

(4)

Bestäm den övre gränsen i ett 98 % konfidensintervall för den förväntade skill- naden i C-vitaminhalt när du jämför halten för färska med lagrade bönor. Du kan anta att C-vitaminhalten är normalfördelad i båda fallen. Ange ditt svar med

två decimaler. (2p)

7. För att se hur ledningsförmågan hos en polymer påverkas av tillsatser av olika metaller görs en serie försök. I ett visst försök med 8 provbitar fick man följande resistanser (enhet: ohm):

55.7 55.8 55.2 54.5 55.4 55.1 55.1 54.9

Enligt teoretiska beräkningar ska ledningsförmågan med den aktuella metallen vara 56 ohm, men du misstänker att den blir lägre än så. För att se om det finns stöd för dessa misstankar ska ett hypotestest utföras där man som testvariabel använder

n s t x

/

−56

= . Vad blir den kritiska gränsen för den testvariabeln om sig- nifikansnivån sätts till 1%? Ange ditt svar med tre decimaler. Du kan utgå från

att resistansen kan beskrivas med en normalfördelning. (1p)

8. I en undersökning av hur underhållskostnaderna för en viss typ av truck beror av åldern har man fått följande resultat:

Ålder (år) 6 4 11 8 13 9 6 3

Kostnader (kr/mån) 64 35 116 92 125 78 72 33

När en analys med hjälp av enkel linjär regressionsanalys görs fås följande resultat:

The regression equation is kostnader = 5,40 + 9,53 ålder

Predictor Coef SE Coef T P Constant 5,396 8,194 ? ? ålder 9,530 1,005 ? ? S = ? R-Sq = ? R-Sq(adj) = ? Analysis of Variance

Source DF SS MS F P Regression ? 7448,1 7448,1 89,95 0,000 Residual Error ? 496,8 82,8

Total ? 7944,9 TSSx = 532

a) Vad blir residualspridningen? Ange ditt svar med tre decimaler. (1p) b) För att testa om variabeln ålder har någon signifikant betydelse för kost-

naderna kan man använda den så kallade t-kvoten. Vad blir värdet på denna t-kvot? Ange ditt svar med två decimaler. (1p)

(5)

c) Bestäm den övre gränsen för ett 99% konfidensintervall för den förvänta- de förändringen av månadskostnaden då åldern ökar med ett år. Ange ditt

svar med tre decimaler. (2p)

d) Det framkom att truckarna var tillverkade i olika länder, och det verkade då rimligt att se om det fanns någon skillnad mellan underhållskostnader- nas beroende av ålder. Därför togs variabeln land med i analysen (land = 0 om land A, land = 1 om land B), vilket gav följande resultat:

The regression equation is

kostnader = 9,43 + 7,83 alder + 17,4 land

Predictor Coef SE Coef T P Constant 9,435 4,647 0,098 alder 7,8300 0,7108 0,000 land 17,430 4,551 0,012

S = ? R-Sq = ? R-Sq(adj) = ?

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P Regression ? 7818,6 3909,3 154,76 0,000 Residual Error ? 126,3 25,3

Total ? 7944,9

Vad blir den justerade förklaringsgraden? Ange ditt svar i procent med två

decimaler. (2p)

Slut på del 1. Glöm inte att bifoga svarsbladet med tentan!

(6)

Tabell för svar till del 1.

Riv ut och lägg svarsbladet först i tentamen!

Namn...

Personnummer ...

Fråga Svar Poäng

a Sannolikhet 92.00% 1

b Sannolikhet 3.00% 1

1

c Sannolikhet 83.33% 1

a Sannolikhet 40.00% 1

b Standardavvikelse 1.00 stycken olyckor 2

2

c Sannolikhet 16.94% 2

a Standardavvikelse 1.58 centimeter 2

3

b Väntevärde 99.68 centimeter 2

4 Sannolikhet 18.13% 2

5 Sannolikhet 88.07% 2

6 Övre gräns 7.997 2

7 Kritisk gräns -2.998 1

a Residualspridning 9.099 1

b Testvariabel 9.48 1

c Övre gräns 13.256 2

8

d Justerad förklaringsgrad 97.77% 2

Totalt antal poäng 25

Lycka till!

(7)

Vid bedömningen av lösningarna av uppgifterna i del 2 läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. Tänk på att noga redovisa införda beteckningar och eventuella antaganden.

9. Ett parti bestående av 10 000 komponenter levereras till köparen, där det kont- rolleras enligt följande provtagningsschema:

Först tas ett slumpmässigt urval av 50 komponenter utan återläggning ut för prövning. Om alla är felfria godkänns hela partiet. Om tre eller fler är defekta så underkänns det. Om en eller två komponenter är defekta så görs ett nytt urval utan återläggning på 25 nya komponenter. Om alla dessa är felfria så godkänns partiet, annars underkänns det. Vad blir sannolikheten att ett parti med 500

defekta komponenter godkänns? (10p)

10. I tillverkningen av tabletter vill läkemedelsföretaget att tabletterna ska ha en bestämd ythårdhet. Den egenskapen bedöms som så viktig att den följs kontinu- erligt i tillverkningsprocessen. Målvärdet för den förväntade hårdheten är 11.5 enheter, men man befarar att det kan bli lägre än den nivån.

Du får i uppgift att bestämma en procedur för övervakning av ythårdheten. Som testvariabel ska du använda medelvärdet av ythårdheten hos några slumpmäs- sigt utvalda tabletter. De krav som ställs är att falsklarm ska ske med (högst) 5% sannolikhet och att det ska vara (högst) 10 % chans att man inte får larm när den förväntade hårdheten är 11.3 enheter.

Hur många enheter är det minsta antal som måste tas ut i varje stickprov för att ovanstående krav ska vara uppfyllda? Du kan utgå från att hårdheten är normal-

fördelad med standardavvikelsen 0.2 enheter. (8p)

11. I en studie av miljöeffekter vid överföring av bensin från cisterner till tankbilar uppmättes följande variabler:

X1= temperatur i cisternen, X₂ = temperatur hos överförd bensin, Ångtryck hos överförd bensin, Y

X3 = =kolväteutsläppets storlek.

Totalt gjordes 32 mätningar.

a) En person, som ansågs insatt i problemet, föreslog att temperaturen i cisternen, X , borde förklara mycket av variationen i kolväteutsläppets ₁ storlek. En regressionsanalys gjordes med X som förklarande variabel. ₁ Resultatet framgår av tabell I. Ange det modellantagande som ligger till grund för analysen i tabell I.

Hur stor andel av den totala Y-variationen förklarar temperaturen i cister- nen? Kan man på 1% signifikansnivå påstå att temperaturen i cisternen påverkar kolväteutsläppets storlek? Den andra frågan ska besvaras med hjälp av ett lämpligt test där hypoteser, testvariabel, beslutsregel samt slutsats tydligt ska framgå.

(8)

b) En annan person ansåg att ångtrycket hos överförd bensin, X , borde ₃ också vara en väsentlig variabel att ta med i en regressionsmodell, varpå denna variabel las till som förklarande variabel. Resultatet framgår av tabell II.

Jämför den effekt som X har på kolväteutsläppets storlek för fixt värde ₁ på X med den effekt som variabeln ₃ X ensamt har på kolväteutsläppets ₁ storlek. Kan man på 1% signifikansnivå påstå att temperaturen i cisternen, för fixt värde på X , påverkar kolväteutsläppets storlek? Ge en tänkbar ₃ förklaring till varför resultaten från den första och andra analysen skiljer sig åt vad gäller variabeln X :s effekt. Beskriv vad du skulle göra för att ₁ få den förklaringen bekräftad.

c) En tredje modell prövades också, där variablerna X och ₂ X användes ₃ som förklarande variabler. Resultatet framgår av tabell III. Ange det modellantagande som ligger till grund för analysen i tabell III. Bör både variablerna X och ₂ X ingå samtidigt i modellen? Bilda ett 99% konfi-₃ densintervall för att uppskatta den effekt som 3 enheters ökning av ång- trycket hos överförd bensin har på kolväteutsläppets storlek, för fixt värde på temperaturen hos överförd bensin.

d) I figur 1 visas ett diagram över så kallade inflytelserika observationer.

Finns det observationer som är inflytelserika enligt figur 1? Motivera

tydligt slutsatsen. (12p)

Tabell I

The regression equation is Y = 8.15 + 0.397 X1

Predictor Coef SE Coef T Constant 8.153 3.015 2.70 X1 0.39670 0.04941 8.03

Source DF SS MS Regression 1 1857.1 1857.1 Residual Error 30 864.4 28.8 Total 31 2721.5

(9)

Tabell II

Regression Analysis: Y versus X1; X3

The regression equation is Y = 4.47 - 0.128 X1 + 7.88 X3

Predictor Coef SE Coef T P Constant 4.473 2.140 2.09 0.045 X1 -0.12841 0.09390 -1.37 0.182 X3 7.884 1.316 5.99 0.000

S = 3.65032 R-Sq = 85.8% R-Sq(adj) = 84.8%

Source DF SS MS F P Regression 2 2335.1 1167.5 87.62 0.000 Residual Error 29 386.4 13.3

Total 31 2721.5

Tabell III

Regression Analysis: Y versus X2; X3

The regression equation is Y = 0.19 + 0.275 X2 + 3.60 X3

Predictor Coef SE Coef T P Constant 0.192 1.903 0.10 0.920 X2 0.27473 0.05989 4.59 0.000 X3 3.6020 0.6771 5.32 0.000

S = 2.86709 R-Sq = 91.2% R-Sq(adj) = 90.6%

Source DF SS MS F P Regression 2 2483.1 1241.6 151.04 0.000 Residual Error 29 238.4 8.2

Total 31 2721.5

(10)

DFIT1 1.5

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

Boxplot of DFIT1

Figur 1. DFITs-värden som hör till den skattade modellen i tabell III

(11)

Lösning till uppgifterna i del 2

9. Låt N beteckna partiets storlek, n₁ storleken på det första urvalet och storleken på det andra urvalet. Den fråga som är ställd, , handlar om en händelse som har flera möjliga orsaker. Ett sätt att ta fram svaret är att summera följande:

n2

(

^parti^godkänns

)

P

(

parti godkänns

) (

parti godkänns direkt

) (

parti godkänns efter andra urval

)

P =P +P

.

Låt ξ = antalet defekta i urval 1. Fördelningen för ξ blir då . Den sannolikhet som ska beräknas är

(

10000, 50, 0.05

Hyp

)

( )

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= ξ =

50 10000

50 9950 0

50 0

P , men den är uppenbarligen lite svår att få fram. Ett

bättre sätt är att approximera fördelningen med en binomialfördelning, närmare bestämt . Med den modellen blir

. )

05 . 0 , 50 ( Bin

(

parti godkänns direkt

) (

0

)

⁵⁰ 0.05 0.95⁰ ⁵⁰ 0.07694

P =P ξ = ≈^{⎛ ⎞}⎜ ⎟0 =

⎝ ⎠

En annan möjlighet att godkänna partiet är att det blir exakt 1 defekt i urval 1 och sedan alla felfria i urval 2. I urval 2 finns det 9950 komponenterna kvar.

Om ηbetecknar antalet defekta i urval 2 efter det att 1 defekt dragits i urval 1 kan den variabeln beskrivas med en hypergeometrisk fördelning

. Om

(

9950, 25, 499 / 9950

)

η∈Hyp ζ på motsvar

)

ande sätt står för antalet defekta i urval 2 efter det att 2 defekta dragits i urval 1 så gäller att

. Båda fördelningarna kan approximeras med

(

9950, 25, 498 / 9950 ζ ∈Hyp

p. avvisas

p. godk (1)

1 def urval 1 2 def urval 1

p. avvisas

p. godk (2)

p. avvisas

p. godk (3)

(12)

binomialfördelningar: Bin

(

25, p

)

där pär antingen 499/9950 eller 498/9950.

(Villkoret för denna approximation, d v s att n/N <0.1, är förstås uppfyllt.) Detta ger att

( ) ( ) ( )

25

1 49

1 0 0 | 1 1

499 50

1 0.05 0.95 0.2763 0.2025 0.0560

1 9950

P ξ = ∩ =η =P η= ξ = P ξ = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= −⎜⎝ ⎟⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ = ⋅ =

På motsvarande sätt blir

( ) ( ) ( )

25

2 48

2 0 0 | 2 2

498 50

1 0.05 .95 0.2770 0.2611 0.0723

2 9950

P ξ = ∩ =ζ =P ζ = ξ = P ξ = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

≤0.10. Detta betyder att

(

^ξ ^<^k^|^μ ⁼¹¹^.⁵

)

⁼⁰^.⁰⁵

P . Detta ger i sin tur att 0.05

/ 2 . 0

5 . 11 ⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ Φ⎛ −

n

k . Eftersom

(

−1.6449

)

=0.05

Φ måste då 1.6449

/ 2 . 0

5 . 11 =−

− n

k . På motsvarande sätt gäller att

2816 . 2 1

. 0

3 11 =.

− n

k . Dessa samband tillsammans ger då att , vilket ger en stickprovsstorlek på 9 tabletter.

56 .

≥8 n

11.

a)

Modellantagande:

(13)

0 1 1 1 2,

1

,där (0, ) 1, 2,...,32.

, ...., är oberoende stokastiska variabler, kolväteutsläppets storlek

temperatur i cisternen

i i i i

n

Y X N

Y X

β β ε ε σ

ε ε ε

= + + ∈ =

=

Temperaturen i cisternen förklarar 1857.1/ 2721.5 68.24%= av den totala Y- variationen. För att testa H₀:β₁=0 mot H₁:β₁ ≠ används T-kvoten = 0

som testvariabel.

1/ _b1

T =b s

Beslutsregel: Förkasta H om ₀ T >t_0.005(30) 2.750= . Eftersom det observerade värdet på T är 8,03 kan man förkasta H₀ på signifikansnivån 1 %.

b) Vi ser att P-värdet för variabeln X1 är 0.182. Direktmetoden ger att hypotesen

0: 1 0 givet att 3 är med i modellen

H β = X inte kan förkastas på 1 % signifikans-

nivå. Det beror antagligen på att det finns ett linjärt samband mellan variablerna X1 och X3. Detta kan man bekräfta med hjälp av enkel linjär regression med X1

som beroende variabel och X3 som oberoende variabel eller genom att beräkna korrelationskoefficienten mellan dessa två variabler.

c)

Modellantagande:

0 2 2 3 3

1 2,

2 3

,där (0, ) 1, 2,...,32.

, ...., är oberoende stokastiska variabler, kolväteutsläppets storlek

temperatur hos överförd bensin, Ångtryck hos överförd bensin,

i i i i i

n

Y X X N

Y X X

β β β ε ε σ

ε ε ε

= + + + ∈ =

=

Direktmetoden ger att båda variablerna bör vara med i modellen eftersom motsvarande P-värden är mycket små.

Vi söker ett 99 % konfidensintervall för 33β₃. Det gäller att

3

3 3 (29)

b

b t

s β

− ∈ . (Se sidan 40 i regressionskompendiet.)

Detta ger att

3

3 3

3 _b (29)

b t

s β

− ∈ och ett 99 % konfidensintervall för 3β₃ges därför

av

3 0.005 3

3b ±t (29) 3⋅ s_b = ⋅3 3.6020 2.756 3 0.6771 10.806 5.598 [5.20,16.41]± ⋅ ⋅ = ± =

d) Här gäller att en observation är inflytelserik om beloppet av DFITS-värdet är större än 0,612. (Se sid. 41 i kompendiet.) Det finns således åtminstone två stycken inflytelserika observationer, vilket gäller även om vi använder kriteriet

|DFITS|>1.