TENTAMEN TEN2 i HF1006 och HF1008
Moment TEN2 (analys)
Datum 15 april 2019 Tid 8-12
Lärare: Maria Shamoun, Armin Halilovic Examinator: Armin Halilovic
Betygsgränser: För godkänt krävs10 av max 24 poäng. För betyg A, B, C, D, E, Fx krävs 22, 19, 16, 13, 10 respektive 9 poäng.
Hjälpmedel på tentamen TEN2: Utdelad formelblad. Miniräknare ej tillåten.
Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) .
--- Skriv endast på en sida av papperet. Skriv namn och personnummer på varje blad.
Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget. Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter.
Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningarna.
--- Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 1.)
a) (1p) Bestäm definitionsmängden till funktionen ) 8 cos(
) 5 2 sin(
2 10 )
(x =e + − x+ x− + x−
f x .
b) (1p) Beräkna gränsvärdet
2 lim 4
2
2 −
−
→ x
x
x .
c) (1p) Beräkna gränsvärdet xx xx xx
x e
e
8 2 9 3
8 5 5 lim2
⋅ + +
⋅ + +
∞
→ .
d) (1p) Bestäm derivatan till funktionen
) 2 arcsin(
2
) 3 ) sin(
( x
x x
f = + . (Du behöver inte förenkla svaret i frågan d.)
Uppgift 2. (2p) Beräkna följande integraler
a) (1p)
∫
(4x+5)ln(x)dx (Tips: part. int.) b) (1p)∫
(sinx+sin5x+sin10x)cosxdx (Tips: substitution) Uppgift 3. (4p)a) (2p) Bestäm Taylorpolynomet av ordning 2 kring punkten x=1 för funktionen y=ln( x) .
b) (2p) Bestäm approximativt ln(0.2) och uppskatta felet.
Tips: Taylors formel kring punkten x=a är
. och a mellan ligger som ett tal är och ) )! (
1 (
) där (
)
! ( ) ) (
! ( 3
) ) (
! ( 2
) ) (
)(
( ) ( ) (
1 )
1 (
) ( 3
2
x c
a n x
c R f
R a n x
a a f
a x a f
a x a f
x a f a f x f
n n
n n
+ +
+ −
=
+
− +
+
′′′ − +
′′ − +
′ − +
=
Var god vänd.
Sida 1 av 10
Uppgift 4. (2p) Bestäm volymen av den kropp som uppstår då området som definieras av 1
0≤ x≤ , 0≤ y≤sin(x) roterar kring x-axeln .
Uppgift 5. (4p) Vi betraktar differentialekvationen
2 6
2
4 1 y x 1 y
x
y′− − = − .
a) Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen.
b) Ange lösningen på explicit form.
c) Bestäm eventuella singulära lösningar till ekvationen.
Uppgift 6. (4p) Bestäm strömmen i(t) i nedanstående LRC krets
L R C
i(t) U
om induktansen L=1 henry , resistansen R= 40 ohm, kapacitansen C=
400
1 farad och spänningen U = 40 volt. Dessutom gäller följande begynnelsevillkor för strömmen
0 ) 0
( =
i och laddningen q(0)=1.
Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L⋅i′(t).
Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R⋅i(t). Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C (farad) och laddningenq(t) (coulomb) är lika med
C t
q( )/ , där q′(t)=i(t).
Uppgift 7. (4p) Låt
2 1
0 ( )
ln 0
x x
f x x
x x x
+ <
=
>
. a) Bestäm funktionens definitionsmängd.
b) Bestäm funktionens stationära punkter och deras karaktär.
c) Bestäm eventuella asymptoter till f( x). d) Rita funktionens graf.
Lycka till.
Sida 2 av 10
FACIT
Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 1.) a) (1p) Bestäm definitionsmängden till funktionen
) 8 cos(
) 5 2 sin(
2 10 )
(x =e + − x + x− + x−
f x .
b) (1p) Beräkna gränsvärdet
2 lim 4
2
2 −
−
→ x
x
x .
c) (1p) Beräkna gränsvärdet xx xx xx
x e
e
8 2 9 3
8 5 5 lim2
⋅ + +
⋅ + +
∞
→ .
d) (1p) Bestäm derivatan till funktionen
) 2 arcsin(
2
) 3 ) sin(
( x
x x
f = + . (Du behöver inte förenkla svaret i frågan d.)
Lösning:
a)
Notera att ex, sin(2x−5) och cos(x−8) är definierade för alla x.
Från 10− x2 ≥0 har vi x≤5. Svar a: x≤5
b)
2
2 2 2
4 0 2
lim typ , l'H lim lim 4 2 4 2 2 2 0
0 1 2
2 2
x x x
x x
x x x
x
→ → →
−− = = = − = ⋅ − =
− Svar b: 0
c)
2 5 2 0 0
5 0 0 8 2
8 9 3
8 5 8 5 2 lim ) 8 med förkorta
8 ( 2 9 3
8 5 5
lim2 =
+ +
+
= + + +
+
= +
⋅ + +
⋅ + +
∞
→
∞
→
x x x x
x x x x
x x x
x x
x x x
x e
e e
e .
Svar c: 5 2
d) 2 arcsin(2 ) ) 3 ) sin(
( x
x x
f = +
Sida 3 av 10
2
2
)) 2 arcsin(
2 (
4 1 ) 2 3 sin(
)) 2 arcsin(
2 ( ) 3 cos(
3 ) (
' x
x x
x x
x
f ⋅ + + − ⋅ −
=
Svar d: Se ovan
Rättningsmall: 1 p för varje del. Rätt eller fel.
Uppgift 2. (2p) Beräkna följande integraler
a) (1p)
∫
(4x+5)ln(x)dx (Tips: part. int.) b) (1p)∫
(sinx+sin5x+sin10x)cosxdx (Tips: substitution) Lösning:a)
( )
2
2 2
2
2 2
( ) ln( ) , ( ) 4 5
(4 5) ln( ) 1
( ) , ( ) 2 5 (2 5 ) ln( ) 1(2 5 )
(2 5 ) ln( ) 2 5
ln( )(2 5 ) 5
f x x g x x
x x dx
f x g x x x
x
x x x x x dx
x
x x x x dx
x x x x x C
= ′ = +
+ =
′ = = +
= + − + =
= + − +
= + − − +
∫
∫
∫
b) Substitutionen: sinx=v, cosxdx=dv:
v C v dv v
v v v xdx x
x
x+ + =
∫
+ + = + + +∫
(sin sin5 sin10 )cos ( 5 10) 22 66 1111x C x
x+ + +
= 11
sin 6
sin 2
sin2 6 11
Rättningsmall: 1 p för varje del. (Ingen avdrag den här gången om man glömmer konstanten C i svaret.)
Uppgift 3. (4p)
a) (2p) Bestäm Taylorpolynomet av ordning 2 kring punkten x=1 för funktionen y=ln( x) .
b) (2p) Bestäm approximativt ln(0.2) och uppskatta felet.
Tips: Taylors formel kring punkten x=a är
. och a mellan ligger som ett tal är och ) )! (
1 (
) där (
)
! ( ) ) (
! ( 3
) ) (
! ( 2
) ) (
)(
( ) ( ) (
1 )
1 (
) ( 3
2
x c
a n x
c R f
R a n x
a a f
a x a f
a x a f
x a f a f x f
n n
n n
+ +
+ −
=
+
− +
+
′′′ − +
′′ − +
′ − +
=
Lösning:
Sida 4 av 10
Vi beräknar funktionen och derivator i punkten 1.
3 3
2
) 2 ( 2
) (
1 ) 1 ( )
(
1 ) 1 1 (
) (
0 1 ln ) 1 ( ) ln(
) (
c c f x x f
f x
x f
x f x f
f x x
f
′′′ =
′′′ =
−
′′ =
−
′′ =
′ =
′ =
=
=
=
−
−
Värdena substituerar vi i formeln för Taylors polynom (av ordning 2) )
! ( 2
) ) (
( ) ( ) ( ) (
2
4 x a f a
a f a x a f x
T = + − ′ + − ′′
och får
) 1
! ( 2
) 1 1 (
) 1 ( 0 ) (
2
2 − ⋅ −
+
⋅
− +
= x
x x
T .
Detta ger
2 ) 1 ) (
1 ( ) (
2 2
− −
−
= x
x x
T .
b) Med hjälp av a-delen får vi
12 . 1 32 . 0 8 . 2 0
64 . 8 0 . 2 0
) 1 2 . 0 ) ( 1 2 . 0 ( ) 2 . 0 ( ) 2 . 0 ln(
2
2 − =− − =− − =−
−
−
=
≈ T
Felet 3
3 3
3 3
1 )
1 (
3 8 . 8 0
. 2 0 6 ) 1 1 2 . 0
! ( 3
) ) (
)! ( 1 (
) (
c c
c a f
n x c
R f n
n ′′′ − =− ⋅ =−
= + −
= + +
Notera att 0.2< c<1 och därmed
2 . 0
1 1< 1<
c
Därför
3 64 2 . 0
8 . 0 3 1 3
8 .
| 0
| 3
3 3
3 < ⋅ =
= c
R . (Uppenbart måste vi ha större ordning om vi vill ha mer precist resultat.
Svar: a)
2 ) 1 ) (
1 ( ) (
2 2
− −
−
= x
x x
T )
2 2 3 ( 2
2 + −
−
= x x
b) ln(0.2)≈−1.12, med feluppskattning
3
| 64
|R < . Rättningsmall:
a) Korrekta derivator upp till f ′′(x)=−x−2 ger 1p. Allt korrekt =2p.
b) 1p för ln(0.2)≈−1.12 och 1p för en korrekt uppskattning av R.
Sida 5 av 10
Uppgift 4. (2p) Bestäm volymen av den kropp som uppstår då området som definieras av 1
0≤ x≤ , 0≤ y≤sin(x) roterar kring x-axel . Lösning.
0 1 2
) 2 sin(
2 2
) 2 cos(
) 1 ( sin )
(
1
0 1
0 2
2
−
− =
=
=
=
∫
f x dx∫
x dx∫
x dx x xV
b
a x
π π π
π = ]
2 ) 2 1 sin(
2[ −
π .
Svar: ]
2 ) 2 1 sin(
2[ −
=π
Vx .
Rättningsmall: Korrekt till Vx =
∫
1 x dx0
2( )
π sin ger 1p. Allt korrekt=2p.
Uppgift 5. (4p) Vi betraktar differentialekvationen
2 6
2
4 1 y x 1 y
x
y′− − = − .
a) Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen.
b) Ange lösningen på explicit form.
c) Bestäm eventuella singulära lösningar till ekvationen.
Lösning:
a) Vi löser ut y′ och separerar variabler:
2 6
2
4 1 y x 1 y
dx x
dy = − + −
) (
1 y2 x4 x6 dx
dy = − +
Vi delar med 1−y2 (som vi kan göra om 1− y2 ≠0 dvs om y≠±1 ) och får.
dx x x y
dy ( )
1
6 4
2 = +
−
Härav
∫
− =∫
x +x dxy
dy ( )
1
6 4
2 eller
x C y = x + +
7 ) 5
arcsin(
7 5
(den allmänna lösningen på implicit form).
b) Från x x C
y = + +
7 ) 5
arcsin(
7 5
har vi
Sida 6 av 10
7 ) sin( 5
7 5
x C
y= x + + (den allmänna lösningen på explicit form.)
c) Direkt kontroll i den ursprungliga ekvationen visar att y=1och y=−1år också lösningar. Lösningarna y=1och y=−1singulära lösningar eftersom vi inte kan få
dem från den allmänna lösningen )
7 sin( 5
7 5
x C
y= x + + för något C-värde.
Svar: a) x x C
y = + +
7 ) 5
arcsin(
7 5
b) )
7 sin( 5
7 5
x C
y= x + +
c) Två singulära lösningar y=1och y=−1.
Rättningsmall: a=2p. Korrekt variabelseparation=1p. Allt korrekt=2p.
b=+1p, c=+1p.
Uppgift 6. (4p) Bestäm strömmen i(t) i nedanstående LRC krets
L R C
i(t) U
om induktansen L=1 henry , resistansen R= 40 ohm, kapacitansen C=
400
1 farad och spänningen U = 40 volt. Dessutom gäller följande begynnelsevillkor för strömmen
0 ) 0
( =
i och laddningen q(0)=1.
Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L⋅i′(t).
Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R⋅i(t). Spänningsfallet över en kondensator med kapacitansen C (farad) och laddningenq(t) (coulomb) är lika med
C t
q( )/ , där q′(t)=i(t). Lösning:
Från kretsen får vi följande diff. ekv.
) ( ) 1 ( ) ) (
( q t u t
t C dt Ri
t
L⋅di + + =
dvs ⇒( efter subst. L, R och C) 40 ) ( 400 ) ( 40 )
( + + =
′ t i t q t
i (ekv 1) .
Sida 7 av 10
Vi eliminerar q(t) genom att derivera ekvationen (notera attq′(t)=i(t)).
Vi får
0 ) ( 400 ) ( 40 )
( + ′ + =
′′ t i t i t
i (en homogen DE).
Härav i(t)=C1e−20t+C2te−20t.
För att bestämma C och 1 C använder vi begynnelsevillkoren 2 i(0)=0 och q(0)=1. Första villkoret kan vi använda direkt: Vi substituerar i(0)=0i lösningen
t
t C te
e C t
i( )= 1 −20 + 2 −20 och får
1 =0
C (ekv a)
För att få ett villkor som innehåller i′(0) substituerar vi q(0)=1 (och i(0)=0) i startekvationen
40 ) ( 400 ) ( 40 )
( + + =
′ t i t q t
i (ekv 1) .
Vi får i′(0)+40i(0)+400q(0)=40 dvs ′i(0)+40⋅0+400⋅1=40 som ger ′i(0)=−360.
Eftersom i(t)=0⋅e−20t +C2te−20t =C2te−20t har vi
(
C te t)
C e t C te tt
i( ) 2 −20 ′ = 2 −20 −20 2 −20
′ =
som med ′i(0)=−360 ger
2 =−360 C
Alltså gäller i(t)=−360te−20t. Svar: i(t)=−360te−20t.
Allternativ lösningsmetod: Vi kan lösa ekvationen 1 ( ) ( ) )
( )
( q t u t
t C q R t q
L⋅ ′′ + ′ + = ,
där q(t)är en obekant funktion, och därefter bestämma strömmen i(t)=q′(t). Rättningsmall:
Sida 8 av 10
Korrekt till i′(t)+40i(t)+400q(t)=40 (eller till en ekvivalent ekvation med enbart q(t)) ger 1p.
Korrekt till i(t)=C1e−20t +C2te−20t ger totalt 2p.
Korrekt ′i(0)=−360 ger +1p Allt korrekt =4p.
Uppgift 7. (4p) Låt
2 1
0 ( )
ln 0
x x
f x x
x x x
+ <
=
>
. a) Bestäm funktionens definitionsmängd.
b) Bestäm funktionens stationära punkter och deras karaktär.
c) Bestäm eventuella asymptoter till f( x). d) Rita funktionens graf.
Lösning:
a) Funktionen är definierad om x≠0 b) Vi undersöker separat :
b1.
2 1
( ) x 1 , 0
f x x
x
= + <
och
2( ) ln , 0 f x =x x x>
Vi har
2
1 2
( ) x 1=0 om 1.
f x x
′ x− = ±
= Endast x= − ligger i intervallet 1 x< . 0 Med hjälp av andraderivatan 1 ) 23
( f x
x
′′ = har vi f1′′( 1)− = − < dvs punkten 2 0 x= − är en 1 maxpunkt. (Notera att f1( 1)− = −2
b2, f2′( )x =lnx+ = ⇒ =1 0 x e−1 Från 2 ( 1
) f x
x
′′ = har vi f2′′(e−1)= > , dvs punkten e 0 x e 1 1 e
= − = är en minpunkt.
c)
c1) Först undersöker vi delen x< : 0 Funktionen
2 1
1 1
( ) x , 0
f x x x
x x
= + = + <
har en sned asymptot y=x , då x går mot −∞,
och en vertikal (lodrät) asymptot i punkten x= eftersom 0 f x1( )→ −∞ då x→0−. c2)Nu undersöker vi delen x> dvs 0 f x2( )= xln , x x>0.
lim( ln ) =
x x x
→∞ ∞ betyder att funktionen saknar höger horisontell asymptot.
lim( ln ) =
x x x
→∞ ∞ visar att funktionen saknar horisontell asymptot.
Sida 9 av 10
lim( ln ) = lim(ln ) =
x x
x x x x
→∞ →∞ ∞ visar att funktionen saknar höger sned asymptot.
Slutligen
1
1 2
0 0 0 0
lim ( ln ) = lim (ln ) { , l' Hospital} lim ( ) lim ( ) 0.
x x x x
x x
x x typ x
x x
−
− −
→ + → + → + → +
= −∞ = = − =
∞ −
Med andra ord går f x2( )mot 0 om x går mot 0+. d) Från ovanstående analys får vi följande graf:
Rättningsmall: a=1p. b1=b2=c1=c2=0.5p d=1p (poängsumman för uppgiften avrundas uppåt till ett heltal.)
Sida 10 av 10
