Efternamn ……… Namn……… pnr:………
___________________________________________________________________________________________
Sida 1 av 4
Lösningsförslag KS1, 1 april 2020
Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2020
Skrivtid (tillsammans med uppladdning) är 120 minuter.
Parametrarna p och q i nedanstående uppgifter är sista två siffror i ditt personnummer.
T ex: Om ditt personnummer är 751332 2248 så är p= 4 och q=8.
--- Nedan finns lösningsförslag för ett fall p=5, q=4.
1. (3p)
a) (1p) Låt A={2,3,4,5}, B={3, 4, 5, 6, p, p+1, p–1, q, q+1}
Bestäm (A B∪ ) \ (A B∩ ) (Dvs. ange alla element i den sökta mängden.) Lösning för ett fall: p=5, q=4.
A={2,3,4,5}, B={3, 4, 5, 6, 5, 6, 4, 4, 5}={3, 4, 5, 6 }.
Härav A B∪ ={2, 3, 4, 5, 6 } och A B∩ ={3,4,5}
och därför (A B∪ ) \ (A B∩ )= {2, 6 } Svar 1a) {2, 6 } (Om p=5 och q=4)
b) (1p) Bestäm största gemensamma delare för talen a och b där a=50+p och b=60+q.
Lösning för ett fall: p=5, q=4.
a=55 och b=64.
Vi använder Euklides algoritm:
64 = 1 * 55 + 9 55 = 6 * 9 + 1 9 = 9 * 1 + 0 Därmed är SGD(55,64)= 1.
Svar 1b) 1 (Om p=5 och q=4)
c) (1p) Bestäm
(
23 (+ p+5) mod(4)
p+ . 3)Lösning för ett fall: p=5
Efternamn ……… Namn……… pnr:………
___________________________________________________________________________________________
Sida 2 av 4 Vi ska bestämma
(
23 10 mod8+ 4)
.Först 23mod8 7= .
Eftersom 10mod8 2= har vi 10 mod8 2 mod8 04 = 4 = . Därför
(
23 10 mod8+ 4)
=(7+0)mod 8= 7.Svar 1c) 7
Rättningsmall: 1a) Korrekt metod och svar ger 1p. 1b) Korrekt metod och svar ger 1p.
1c) Korrekt metod och svar ger 1p.
2. (3p) Bestäm heltalslösningar x,y till ekvationen (p+1)x q+( +2)y=2pq+4p+2q+ . 4
OBS. En komplett lösning med fullständiga motiveringar skall ges.
Lösning för ett fall: p=5, q=4.
För p=5,q=4 har vi ekvationen 6x+6y=72.
Euklides algoritm ger 6=1*6+0
Alltså är d=SGD(6,6)=6 ( som vi kan inse direkt) Eftersom d| 72 är ekvationen lösbart.
Vi kan uppenbart ( i det här fallet) skriva 6*1+6*0=6.
Multiplikationen med 12 ger 6*10+6*0=72.
En lösning är därför x0= 12 och y0=0.
Alla lösningar till en lösbar diofantisk ekvationen ax+by=c får vi med med följande formel d k
x b
x= 0 + , k
d y a
y= 0 − , (*) ,
där d SGD a b= ( , ). (Alternativ: x x0 bk
= −d , y y0 ak
= +d ) .
Efternamn ……… Namn……… pnr:………
___________________________________________________________________________________________
Sida 3 av 4 Därför är den allmänna lösningen
x=12+ , k y= − , (*) , där k är ett heltal. 0 k (Alternativ: x=12− , k y= + ) 0 k
Svar: x=12+ , k y= − , (Alternativ: k x=12− , k y k= ) , där k är ett heltal.
Anmärkning: För start värde x0, y 0 kan vi använda vilken som lösning till ekvationen.
Till exempel x0=22, y 0= –10 är en slösning till ekvationen och därmed är också 22
x= +k , y= − − , ett korrekt svar. 10 k
Rättningsmall: Korrekt en lösning t ex x0=22, y 0= –10 ger +1p +1p för korrekt x=12+ k
+1p för korrekt y= −k
3. (3p)
Bevisa, med hjälp av den matematiska induktionen, att n2 +(2p+1)n är delbart med 2 för alla heltal n≥0.
OBS. Du får 0 poäng om du inte använder induktionsbevis.
Lösning för ett fall: p=5, q=4.
Vi ska bevisa att n2+11n är delbart med 2 för alla heltal n≥0. i) Induktionsbas:
För n=0 har vi n2+11n=0 som är delbart med 2.
Med andra ord är påstående sant för n=0.
ii) Induktionssteg
Antag att det för givet n gäller påståendet P(n), dvs
2 11
n + n=2c (*) , där c är ett helt tal.
Vi vill visa att då gäller P(n+1) d v s att (n+1) 11(2+ n+1) = 2d för ett heltal d.
Vi utvecklar (n+1) 11(2+ n+1)
=(n2+2n+ +1) (11 11)n+
Efternamn ……… Namn……… pnr:………
___________________________________________________________________________________________
Sida 4 av 4
2 11 2 12
n + n+ n+ (enligt (*) gäller n2+11n=2c ) 2c 2n 12
= + +
2(c n 6) 2d
= + + = (där d c n= + + är uppenbart ett heltal). 6 Detta betyder att (n+1) 11(2 + n+1) är delbart med 2
Alltså P(n)⇒P(n+1).
Från i) och ii) får vi, enligt den matematiska induktionen, att påståendet gäller för alla heltal n≥0.
Rättningsmall: i) Korrekt induktionsbas =1p:
ii) Korrekt induktionssteg=+2p: –1p för dåligt förklaring ( i annars korrekt induktionssteg)
