Varje korrekt l¨osning ger 10 po¨ang

TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 25:E OKTOBER 2017 KL 08.00–13.00.

Examinator: Thomas ¨Onskog, 08 – 790 84 55.

Till˚atna hj¨alpmedel : Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, Mathematics Handbook (Beta), minir¨aknare.

Inf¨orda beteckningar skall f¨orklaras och definieras. Resonemang och utr¨akningar skall vara s˚a utf¨orliga och v¨al motiverade att de ¨ar l¨atta att f¨olja. Numeriska svar skall anges med minst tv˚a siffrors noggrannhet. Tentamen best˚ar av 6 uppgifter. Varje korrekt l¨osning ger 10 po¨ang.

Gr¨ansen f¨or godk¨ant ¨ar prelimin¨art 24 po¨ang. M¨ojlighet att komplettera ges f¨or tentander med, prelimin¨art, 22–23 po¨ang. Tid och plats f¨or komplettering kommer att anges p˚a kursens hemsida.

Det ankommer p˚a dig sj¨alv att ta reda p˚a om du har r¨att att komplettera.

Po¨ang fr˚an kontrollskrivning och laborationer under innevarande kursomg˚ang (period 4, VT2017) f˚ar tillgodor¨aknas under f¨oruts¨attning att tentanden erh˚allit minst 20 po¨ang p˚a denna tentamen.

Tentamen kommer att vara r¨attad inom tre arbetsveckor fr˚an skrivningstillf¨allet och kommer att finnas tillg¨anglig p˚a studentexpeditionen minst sju veckor efter skrivningstillf¨allet.

Uppgift 1

P˚a en viss sorts artiklar kan tre slags fel uppkomma: A, B respektive C. Fel av typ A uppkommer oberoende av fel av typ B och C. Vidare g¨aller att sannolikheterna att fel A, B respektive C uppkommer ¨ar 0.05, 0.02 respektive 0.03. En artikel som har fel av typ B har dessutom med sannolikhet 0.5 fel av typ C. En artikel klassas som felaktig om den har minst ett av felen. Vad

¨ar sannolikheten att en p˚a m˚af˚a vald artikel ¨ar felaktig? (10 p) Uppgift 2

Belysningssystemet i en stor v¨anthall best˚ar av en stor m¨angd belysningsenheter som g˚ar s¨onder oberoende av varandra. Tiden fr˚an att en belysningsenhet g˚ar s¨onder till dess att n¨asta belys- ningsenhet g˚ar s¨onder ¨ar exponentialf¨ordelad med v¨antev¨ardet 0.5 dagar.

a) Antag att 6 belysningsenheter har g˚att s¨onder. Best¨am sannolikheten f¨or att det dr¨ojer mer

¨

an en dag innan ytterligare en belysningsenhet har g˚att s¨onder, dvs tills det finns 7 trasiga

belysningsenheter i belysningssystemet. (2 p)

b) F¨oretaget som ansvarar f¨or belysningen i v¨anthallen byter trasiga belysningsenheter f¨orst n¨ar 100 belysningsenheter har g˚att s¨onder. Best¨am sannolikheten f¨or att det dr¨ojer minst 45 dagar innan byte av trasiga belysningsenheter sker. (8 p)

Var god v¨and!

forts tentamen i SF1901 2017-10-25 2

Uppgift 3

Overlevnadsfunktionen f¨¨ or en stokastisk variabel X definieras som S_X(x) = 1 − P (X ≤ x). L˚at x₁, . . . , x_nvara utfall av de oberoende stokastiska variablerna X₁, . . . , X_nsom alla har ¨overlevnads- funktionen SX(x) = 1 − x^θ+1, d¨ar 0 ≤ x ≤ 1 och θ > −1. Best¨am minsta-kvadratskattningen av

den ok¨anda parametern θ. (10 p)

Uppgift 4

En forskare p˚a en lantbruksh¨ogskola vill unders¨oka om halten av quercetin, en antioxidant som anses motverka uppkomsten av bl. a. cancer, skiljer sig ˚at mellan tv˚a olika ¨appelsorter. Hen m¨ater d¨arf¨or upp halten quercetin (i mg/100 g) i 8 ¨applen av den f¨orsta sorten (x₁, . . . , x₈) och i 10 ¨applen av den andra sorten (y₁, . . . , y₁₀) och r¨aknar ut att x = ¹₈ P8

i=1x_i = 4.4723,P8

i=1(x_i−x)² = 0.1277, y = ₁₀¹ P10

i=1y_i = 4.6266, och P10

i=1(y_i − y)² = 0.1997. M¨atv¨ardena kan antas vara observationer av oberoende stokastiska variabler X₁, . . . , X₈ och Y₁, . . . , Y₁₀. Vidare antas att X_i ∈ N (µ₁, σ), i = 1, ..., 8, samt att Y_i ∈ N (µ₂, σ), i = 1, ..., 10, d¨ar parametrarna µ₁, µ₂ och σ ¨ar ok¨anda.

a) Best¨am ett 95 % konfidensintervall f¨or µ₁ − µ₂ och testa p˚a signifikansniv˚an 5% hypotesen

H₀: µ₁ = µ₂. Slutsatsen ska klart framg˚a. (5 p)

b) Antag nu, till skillnad fr˚an i (a)-delen, att det ¨ar k¨ant fr˚an tidigare studier att σ = 0.16.

Best¨am ett 95% konfidensintervall f¨or µ1− µ2, och testa p˚a signifikansniv˚an 5% hypotesen

H₀: µ₁ = µ₂. Slutsatsen ska klart framg˚a. (5 p)

Uppgift 5

Sm˚att & gott ¨ar en chokladkonfektyr som best˚ar av mj¨olkchoklad med ett skal av f¨argad soc- kerkaramell. F¨oretaget som tillverkar dem h¨avdar att f¨orekomsten av de olika f¨argerna ges enligt tabellen nedan:

Brun Gul R¨od Orange Bl˚a Gr¨on

30% 20% 20% 10% 10% 10%

En stor p˚ase med Sm˚att & gott-konfektyrer valdes ut slumpm¨assigt och den visade sig inneh˚alla 58 bruna, 45 gula, 27 r¨oda, 14 orangea, 12 gr¨ona och 13 bl˚aa konfektyrer. Genomf¨or ett l¨ampligt test som pr¨ovar om detta resultat st¨oder f¨oretagets p˚ast˚aende. Var noga med att ange dina hypoteser och motivera dina slutsatser. Anv¨and 5% signifikansniv˚a. (10 p)

Uppgift 6

En astronom i Sverige ska m¨ata avst˚andet µ till en ljusstark stj¨arna. Hen utf¨or n₁ m¨atningar, x₁, . . . , x_n1, som antas vara utfall av oberoende stokastiska variabler X₁, . . . , X_n1. En kollega i Chile vill m¨ata samma avst˚and och utf¨or n₂ m¨atningar, y₁, . . . , y_n2, som antas vara utfall av oberoende stokastiska variabler Y₁, . . . , Y_n2. M¨atresultatet f¨or det svenska instrumentet har standardavvikelse σ₁ och m¨atresultatet f¨or det chilenska instrumentet har standardavvikelse σ₂. Inget av de b˚ada instrumenten har n˚agra systematiska fel. Nu vill astronomerna kombinera sina b˚ada skattningar av avst˚andet, ¯x och ¯y, genom att bilda linj¨arkombinationen µ^∗_obs = c₁· ¯x + c₂· ¯y, d¨ar c₁ och c₂ ¨ar tv˚a konstanter. Ange det villkor p˚a konstanterna c₁ och c₂ som g¨or skattningen µ^∗ v¨antev¨ardesriktig.

Antag vidare att n₁ = n₂ och att σ₁ = 2 · σ₂. Vilka v¨arden p˚a konstanterna c₁ och c₂ ger den mest effektiva skattningen µ^∗_obs = c₁· ¯x + c₂· ¯y? (10 p)

Lycka till!

L ¨OSNINGSF ¨ORSLAG TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK.

ONSDAGEN DEN 25 AUGUSTI 2017 KL 08.00–13.00 Uppgift 1

Det ¨ar givet att P (A) = 0.05, P (B) = 0.02 och P (C) = 0.03 samt att P (C | B) = 0.5. Vi f˚ar P (B ∩ C) = P (B)P (C | B) = 0.02 · 0.5 = 0.01.

Den s¨okta sannolikheten ¨ar

P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B ∪ C) − P (A ∩ (B ∪ C))

= P (A) + P (B ∪ C) − P (A)P (B ∪ C), ty A ¨ar oberoende av B och C. Vidare ¨ar

P (B ∪ C) = P (B) + P (C) − P (B ∩ C) = 0.02 + 0.03 − 0.01 = 0.04 och vi f˚ar allts˚a

P (A ∪ B ∪ C) = 0.05 + 0.04 − 0.05 · 0.04 = 0.088.

Svar: Sannolikheten att en godtyckligt vald artikel ¨ar defekt ¨ar 0.088.

Uppgift 2

L˚at Xi vara en stokastisk variabel som betecknar tid mellan att belysningsenhet i − 1 och att belysningsenhet i g˚ar s¨onder. Vi vet att X_i ∈ Exp(2) f¨or alla positiva heltal i, eftersom v¨antev¨ardet f¨or en Exp(λ)-f¨ordelat stokastisk variabel ¨ar 1/λ.

a) Vi s¨oker sannolikheten P (X7 > 1) och f˚ar med hj¨alp av t¨athetsfunktionen f¨or exponenti- alf¨ordelningen

P (X₇ > 1) = Z ∞

1

p_X7(x)dx = Z ∞

1

2e^−2xdx = [−e^−2x]^∞₁ = e⁻².

Svar: Sannolikheten att det dr¨ojer mer ¨an en dag ¨ar 0.135.

b) L˚at Y = P100

i=1X_i vara en stokastisk variabel som betecknar tiden som det tar innan 100 belysningsenheter har g˚att s¨onder. Vi vill best¨amma sannolikheten P (Y ≥ 45). Eftersom Y ¨ar en summa av ett stort antal oberoende och likaf¨ordelade stokastiska variabler, s˚a ger Centrala Gr¨ansv¨ardessatsen att Y ¨ar approximativt normalf¨ordelad. Eftersom E(X_i) = 0.5 och D(X_i) = 0.5, s˚a g¨aller

Y ∼ N (100 · 0.5,√

100 · 0.5) = N (50, 5).

forts tentamen i SF1901 2017-10-25 2

F¨or att kunna anv¨anda kvantiler f¨or den standardiserade normalf¨ordelningen, s˚a g¨or vi om- skrivningen

P (Y ≥ 45) = P Y − 50

5 ≥ 45 − 50 5



= P (Z ≥ −1), d¨ar Z ∈ N (0, 1). P˚a grund av symmetri g¨aller det att

P (Z ≥ −1) = P (Z ≤ 1) = Φ(1) = 0.841.

Svar: Sannolikheten att det dr¨ojer minst 45 dagar ¨ar 0.841.

Uppgift 3

F¨or att kunna best¨amma minsta-kvadratskattningen beh¨over vi best¨amma v¨antev¨ardet av de stokastiska variablerna X_i. F¨ordelningsfunktionen f¨or X_i ges, enligt definitionen och den givna informationen i uppgiftsformuleringen, av

F_Xi(x) = P (X_i ≤ x) = 1 − S_X(x) = 1 − (1 − x^θ+1) = x^θ+1.

Fr˚an sambandet mellan t¨athets- och f¨ordelningsfunktionen f¨or en kontinuerlig stokastisk variabel f˚as vidare

E(X_i) = Z 1

0

xp_Xi(x)dx = Z 1

0

xF_X⁰

i(x)dx = Z 1

0

x(θ + 1)x^θdx = Z 1

0

(θ + 1)x^θ+1dx

=  (θ + 1)x^θ+2 θ + 2

¹

0

= θ + 1 θ + 2.

Minsta-kvadratskattningen av den ok¨anda parametern θ minimerar kvadratsumman

Q(θ) =

n

X

i=1

(x_i− E(X_i))² =

n

X

i=1



x_i− θ + 1 θ + 2

2

.

Derivering med avseende p˚a θ ger dQ

dθ = 2

n

X

i=1



x_i− θ + 1 θ + 2

 

−1(θ + 2) − 1(θ + 1) (θ + 2)²



= − 2

(θ + 2)²

n

X

i=1

x_i−n(θ + 1) θ + 2

! .

S¨atter vi derivatan till noll, s˚a f˚ar vi, med notationen ¯x = ¹_nPn

i=1x_i, ekvationen dQ

dθ = 0 ⇒

n

X

i=1

x_i− n(θ + 1)

θ + 2 = 0 ⇒ x =¯ θ + 1

θ + 2 ⇒ (θ + 2)¯x = θ + 1

⇒ θ(¯x − 1) = 1 − 2¯x ⇒ θ = 1 − 2¯x

¯ x − 1 . Svar: Minsta-kvadratskattningen av θ ¨ar θ_obs^∗ = ^2¯_1−¯^x−1_x.

Uppgift 4

a) Vi har tv˚a normalf¨ordelade stickprov med samma ok¨anda varians. Vi best¨ammer f¨orst ett konfidensintervall f¨or differensen µ₁ − µ₂ av de b˚ada v¨antev¨ardena. Enligt avsnitt 11.2 i formelsamlingen g¨aller det att

X − Y − (µ₁− µ₂) Sq

1 n1 + _n¹

2

∼ t(n₁+ n₂− 2),

d¨ar

S² = (n₁− 1)S₁²+ (n₂− 1)S₂²

n₁+ n₂− 2 = 1 n₁+ n₂ − 2

n1

X

i=1

(X_i− X)²+

n2

X

i=1

(Y_i− Y )²
.

Fr˚an definitionen av t-f¨ordelningens kvantiler och det faktum att n₁ = 8 och n₁ = 10 g¨aller det d¨armed att

P



−t0.025(16) ≤ X − Y − (µ₁− µ₂) S

q9 40

≤ t0.025(16)



= 0.95,

vilket efter omskrivningar av de b˚ada olikheterna ger P

X − Y − t_0.025(16)S r 9

40 ≤ µ₁− µ₂ ≤ X − Y + t_0.025(16)S r 9

40



= 0.95.

Ett konfidensintervall med konfidensgrad 95% f¨or µ₁− µ₂ ges d¨armed av

I_µ1−µ₂ = x − y ± t_0.025(16)s r 9

40 = −0.1543 ± 2.12

r0.1277 + 0.1997 16

r 9 40

= −0.1543 ± 0.1438 = (−0.2981, −0.0105).

Eftersom 0 /∈ I_µ1−µ₂, s˚a avvisas H₀ (p˚a signifikansniv˚an 5%).

Svar: P˚a signifikansniv˚an 5% finns det en skillnad mellan halterna av quercetin hos de b˚ada

¨appelsorterna.

b) Vi har tv˚a normalf¨ordelade stickprov med samma k¨anda varians σ = 0.16. Vi best¨ammer f¨orst ett konfidensintervall f¨or differensen µ₁ − µ₂ av de b˚ada v¨antev¨ardena. Enligt avsnitt 11.2 i formelsamlingen g¨aller det att

X − Y − (µ₁ − µ₂) σq

1 n1 +_n¹

2

∼ N (0, 1).

Fr˚an definitionen av normalf¨ordelningens kvantiler och det faktum att n₁ = 8 och n₁ = 10 g¨aller det d¨armed att

P

−λ_0.025≤ X − Y − (µ1− µ2) σ

q9 40

≤ λ_0.025

= 0.95,

forts tentamen i SF1901 2017-10-25 4

och genom omskrivning av de b˚ada olikheterna f˚as P

X − Y − λ_0.025σ r 9

40 ≤ µ₁− µ₂ ≤ X − Y + λ_0.025σ r 9

40



= 0.95, vilket ger konfidensintervallet

I_µ1−µ₂ = x − y ± λ_0.025σ r 9

40 = −0.1543 ± 1.96 · 0.16 r 9

40 = −0.1543 ± 0.1488

= (−0.3031, −0.0055).

Eftersom 0 /∈ I_µ1−µ2, s˚a avvisas H₀ (p˚a signifikansniv˚an 5%).

Svar: P˚a signifikansniv˚an 5% finns det en skillnad mellan halterna av quercetin hos de b˚ada

¨appelsorterna.

Uppgift 5

Vi g¨or h¨ar ett test av given f¨ordelning (avsnitt 14.3 i formelsamlingen). Som nollhypotes H0 v¨aljer vi att f¨ordelningen av f¨argerna ¨ar s˚asom godistillverkaren p˚ast˚ar, dvs att

P (Brun) = p₁ = 0.3, P (Gul) = p₂ = 0.2, P (R¨od) = p₃ = 0.2, P (Orange) = p₄ = 0.1, P (Bl˚a) = p₅ = 0.1, P (Gr¨on) = p₆ = 0.1.

Mothypotesen H₁ ¨ar att minst en av sannolikheterna ovan avviker fr˚an det givna v¨ardet p_j. L˚at x_j beteckna antalet konfektyrer av f¨arg j i den unders¨okta p˚asen och l˚at n = P6

j=1x_j = 166.

Teststorheten blir Q =

6

X

j=1

(x_j− np_j)²

np_j = (58 − 169 · 0.3)²

169 · 0.3 +(45 − 169 · 0.2²

169 · 0.2 + (27 − 169 · 0.2)² 169 · 0.2 + (14 − 169 · 0.1)²

169 · 0.1 +(12 − 169 · 0.1)²

169 · 0.1 +(13 − 169 · 0.1)²

169 · 0.1 = 8.95.

Om H₀ ¨ar sann och np_j ≥ 5 s˚a ¨ar 8.95 ett utfall fr˚an en stokastisk variabel som approximativt har en χ²-f¨ordelning med 6 − 1 = 5 frihetsgrader. Eftersom np_j ≥ 16.6 > 5 i detta fall s˚a ¨ar villkoret uppfyllt. Eftersom χ²_0.05(5) = 11.1 > 8.95, s˚a kan H₀ inte f¨orkastas p˚a niv˚an 5%. Alternativt kan vi ber¨akna sannolikheten att en χ²(5)-variabel ¨ar st¨orre ¨an eller lika med 8.95 (X2cdf p˚a en TI-r¨aknare). Denna sannolikhet, dvs p-v¨ardet f¨or testet, ¨ar 0.111. Detta p-v¨arde ¨ar s˚a h¨ogt att vi inte kan f¨orkasta H₀ p˚a riskniv˚an 5%. B˚ade teststorheten och p-v¨ardet f˚as direkt med funktionen X2-Test p˚a en TI-r¨aknare.

Svar: P˚a riskniv˚an 5% st¨ammer f¨oretagets p˚ast˚aende om f¨ordelningen av f¨argerna.

Uppgift 6

Skattningen µ^∗ ¨ar v¨antev¨ardesriktig om E(µ^∗) = µ. Eftersom µ^∗ = c₁X + c¯ ₂Y , s˚¯ a g¨aller E(µ^∗) = E(c₁X + c¯ ₂Y ) = c¯ ₁E( ¯X) + c₂E( ¯Y ) = c₁

n₁

n1

X

i=1

E(X_i) + c₂ n₂

n2

X

j=1

E(Y_j)

= c1

n₁n₁µ + c2

n₂n₂µ = (c₁+ c₂)µ.

Skattningen ¨ar allts˚a v¨antev¨ardesriktig om c₁+ c₂ = 1. Den mest effektiva skattningen erh˚alls om c₁ och c₂ v¨aljs s˚a att variansen av skattningen minimeras. Variansen av skattningen ges av

V (µ^∗) = V (c₁X + c¯ ₂Y ) = c¯ ₁²V ( ¯X) + c²₂V ( ¯Y ) = c²₁ n²₁

n1

X

i=1

V (X_i) + c²₂ n²₂

n2

X

j=1

V (Y_j)

= c²₁

n₁σ₁²+ c²₂ n₂σ²₂.

Ins¨attning av antagandena n₁ = n₂ och σ₁ = 2 · σ₂ samt villkoret c₁+ c₂ = 1 ger vidare V (µ^∗) = c²₁

n₁(2σ2)²+ c²₂

n₁σ₂² = σ₂²

n₁(4c²₁+ c²₂) = σ²₂

n₁(4c²₁+ (1 − c1)²) = σ₂²

n₁(5c²₁− 2c1+ 1).

F¨or att best¨amma minimum av variansen, s˚a deriverar vi detta uttryck med avseende p˚a c₁ och s¨atter derivatan till noll.

0 = dV (µ^∗) dc₁ = σ₂²

n₁(10c1− 2) ⇒ 10c1− 2 = 0 ⇒ c1 = 1 5.

Teckenstudium av andraderivatan visar att detta v¨arde p˚a c₁ motsvarar ett minimum. Det opti- mala v¨ardet p˚a c₂ blir vidare c₂ = 1 − c₁ = 1 − ¹₅ = ⁴₅.

Svar: Den linj¨arkombination av m¨atningarna som ger den mest effektiva v¨antev¨ardesriktiga skattningen ¨ar µ^∗_obs = (¯x + 4¯y)/5.