School of Mathematics and Systems Engineering Reports from MSI - Rapporter från MSI
Matematikdagbok
- som pedagogiskt redskap för reflektion
Henrik Sandgren
Feb 2008
MSI Report 08010
Växjö University ISSN 1650-2647
SE-351 95 VÄXJÖ ISRN VXU/MSI/MDI/E/--08010/--SE
Examensarbete 10 poäng i Lärarutbildningen Vårterminen 2007 ABSTRAKT
Henrik Sandgren
Matematikdagbok
- som pedagogiskt redskap för reflektion
Diary in mathematics
- as a pedagogical tool for reflection Antal sidor: 32
En drivande kraft i detta arbete har varit reflektionens betydelse för elevers lärande.
Syftet med undersökningen var att studera hur matematikdagboken fungerar som ett pedagogiskt redskap för matematisk reflektion. Syftet var dessutom att beskriva hur elever reflekterar över sin lärandeprocess samt hur de upplever sitt reflekterande i
matematikdagboksform.
Urvalet bestod av en elevgrupp i åk 8 som fick skriva matematikdagböcker under åtta veckor. Dagböckerna analyserades sedan med vägledning av innehållsanalys enligt Burnard.
Eleverna besvarade även en enkät om användandet av matematikdagbok.
Resultatet visar att eleverna beskriver matematiska begrepp i matematikdagboken och de reflekterar över hur de gör uträkningar och löser problem. Eleverna reflekterar även över hur de lär sig nya saker och med enkla ord beskriver eleverna sin egen utveckling och upplevelsen av att lyckas lösa matematiska problem. Matematikdagbok kan användas som ett
kommunikationsmedel där eleverna kan utveckla sitt matematiska kunnande. Matematikdagbok kan vara ett arbetsredskap igenom vilken pedagogen kan få en uppfattning om elevernas status i det matematiska tänkandet. Det eleverna skriver kan dessutom användas som underlag för individuell uppföljning, men även för planering av undervisningens struktur och innehåll.
Sökord: matematikdagbok, metakognition, kommunikation, reflektion, pedagogiskt redskap
Postadress Växjö universitet 351 95 Växjö
Gatuadress Universitetsplatsen
Telefon
0470-70 80 00
INNEHÅLLSFÖRTECKNING
INLEDNING……….4
SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNINGAR .……..……….5
TEORETISK BAKGRUND………5
Metakognition……….5
Metakognitiv förmåga/färdighet………6
Metakognition och begreppsbildning………7
Metakognition genom det skrivna ordet………...8
Metakognitiv utveckling med portfolio………...9
METOD………10
RESULTAT……….…12
Matematiskt innehåll och reflektion i matematikdagböckerna…………...…12
Matematiska begrepp ……….……….12
Negativa tal………13
Förenkling av uttryck………13
Variabler………14
Reflektion över uträkningar och problemlösning………….……….14
Lärandeprocessen……….17
Reflektioner över lärandeprocessen……….…...17
Att tänka själv………17
Att läsa och öva………..…...17
Att hoppa över för att sedan återvända……….18
Att prova sig fram och ibland göra fel………..18
Att fråga och få personlig hjälp………...….18
Att ha gemensamma genomgångar………..19
Reflektion över den egna utvecklingen…….……….…..20
Hur man själv mår………20
Nöjd över att ha förstått och fått en insikt………....21
Tid – brist på tid……….21
Placeringen i klassrummet………..……….….22
Matematikdagboken – ett pedagogiskt arbetsredskap………....22
Matematikdagboken – ett medel för kommunikation………...22
Elevernas upplevelser av matematikdagboken………..23
DISKUSSION……….24
Metoddiskussion………24
Resultatdiskussion………..………...25
Lärandet och metakognition…..………...25
Skillnader i skrivandet ………..………27
Matematikdagboken som ett medel för kommunikation och motivation………28
Konklusion……….29
REFERENSER………...31 BILAGA 1. Information om studien
BILAGA 2. Exempel från Matematikdagboken BILAGA 3. Enkät
BILAGA 4. Exempel på analysarbetet
INLEDNING
Under pågående lärarutbildning har jag allt mer förstått hur centralt begreppet reflektion är i både lärarutbildningen och grundskolans styrdokument. Under min praktik kom jag i kontakt med litteratur som berörde reflektion på olika plan och det som etsades sig fast i mitt inre var det område som benämndes som metakognition, vilket betyder reflektion över det egna lärandet. Jag hade hört talas om portfoliometoden där metakognition är en hörnsten, men ett temanummer i Nämnaren (1996) som handlade om skrivande i matematik i dagboksform fick mig att prova detta arbetssätt i en av mina klasser. Jag har också senare, under några korta perioder, låtit mina elever i åk 7-9 få chansen att reflektera i form av en matematikdagbok, men jag har inte utvärderat dessa försök i någon större utsträckning.
När jag nu skulle välja ämne för mitt examensarbete kändes det helt naturligt att skriva om något som berörde matematikdagboken och dess koppling till metakognition. Kan en dagbok i matematik vara ett sätt att väcka elevens intresse för skrivandet och i förlängningen bli ett redskap till eftertanke och förståelse? Skrivandet kanske skulle kunna stärka elevens förståelse för matematiska termer och begrepp, och genom ett ständigt återkopplande till läraren bli en fruktbar kommunikation där läraren också kan studera elevens förståelse och utveckling på det individuella planet. Frågorna och funderingarna var många, och orden ifrån Läroplanen för det obligatoriska skolväsendet (Lpo94), om att eleverna skall ges rika
möjligheter att samtala, läsa och skriva för att på så sätt kunna utveckla sina möjligheter att kommunicera och därmed få tilltro till sin språkliga förmåga, kändes som en bra grund att utgå ifrån i vidare studier kring matematikdagbok som ett redskap för reflektion.
I mina efterforskningar av vad som skrivits i ämnet fann jag ett examensarbete skrivet av Nordin och Sjödahl (2005), där de tar upp många olika aspekter på skrivande och
reflekterande i matematikdagböcker. I sitt resultat kom de bl.a. fram till att de flesta elever med tiden förändrade sin syn på skrivandet. Motståndet, som till viss del berodde på osäkerhet om hur och vad som skulle skrivas, hade övergått till en mer positiv syn på skrivande där eleven framförallt värderade lärarens fortlöpande respons på det skrivna som något positivt och utvecklande. Deras resultat väckte många frågor och funderingar på om deras resultat är allmängiltigt eller om man kan hitta andra aspekter på dagboksskrivandet.
Jag har genom samtal med kollegor på skolan förstått att många lärare, liksom jag själv, är intresserade av att utveckla undervisningen på olika sätt och hitta nycklar till att få eleverna mer delaktiga i den egna lärprocessen. Därför känns det relevant att studera hur matematikdagboken fungerar som ett pedagogiskt redskap både utifrån lärarens och utifrån elevens perspektiv.
SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNINGAR
Syfte
Syftet med undersökningen är att studera hur matematikdagboken fungerar som ett pedagogiskt redskap för matematisk reflektion. Syftet är dessutom att beskriva hur elever reflekterar över sin lärandeprocess samt hur de upplever sitt reflekterande i
matematikdagboksform.
Frågeställningar
- Vilket matematiskt innehåll finns i matematikdagböckerna?
- Vilka spår av matematisk reflektion kan identifieras i matematikdagböckerna?
- Synliggörs metakognition i elevernas skrivande och i så fall hur beskriver eleverna sin lärandeprocess och sin egen utveckling?
- Hur upplever eleverna att skriva ner sina reflektioner och slutsatser efter genomförd matematiklektion?
TEORETISK BAKGRUND
Metakognition
I takt med att Utvecklingspsykologin på 1970-talet fick fäste blev behovet allt större av att undersöka hur lärandet går till. Detta blev grunden för den moderna forskningen om
metakognition och i sammanhang där lärandet stod i centrum blev begreppet metakognition en del av pedagogiken. De resultat som kom fram i forskningen har med tiden skapat en ökad förståelse för hur individen själv kan kontrollera och reglera sitt lärande i syftet att nå sina mål (Stigmar, 2002). Forskare har sedan dess kunna dra slutsatsen att den metakognitiva förmågan är något som vi alla kan träna upp och utveckla på olika sätt. Det finns flera definitioner av metakognition. Lilja och Larsson (1998) definierar metakognition som förmågan att tänka om sina egna tankar eller att kunna tänka sig in i hur andra tänker.
Taube (1987) menar att metakognition är individens medvetenhet om sina egna
tankeprocesser och om hans förmåga att styra dessa. I Skolverkets rapport Lusten att lära (Skolverket, 2003) menar man att metakognitionen dels handlar om att förstå vad man lärt sig och varför, men också om att vara medveten om sitt egna och andras lärande. Man anser att
yngre elever lär sig genom att först göra, sedan veta och slutligen förstå vad och hur de har lärt (s.9). Lilja & Larsson (1998) delar in metakognition i två delar, dels intern metakognition och dels interpersonell metakognition. Den interna metakognitionen står för en persons antaganden om sina egna kognitioner som exempelvis det egna självförtroendet eller den egna identiteten. Med den interpersonella metakognitionen, ibland kallad för social
metakognition, avses de antaganden som en person gör om en annan persons kognition. Ett exempel på interpersonell metakognition skulle kunna vara det vi i dagligt tal kallar
förutfattade meningar.
Metakognitiv förmåga/färdighet
En elev med goda metakogntiva färdigheter visar detta exempelvis genom de olika strategier som används vid läsning. Färdigheterna framgår genom att eleven först gör klart för sig vilket syftet med läsningen är och sedan tar sig an texten på lämpligt sätt. Strategierna kan vara att skumläsa eller läsa mer noggrant, att uppmärksamma vilka delar av texten som är de
viktigaste och sedan avgöra om man behöver gå tillbaka och repetera vissa delar för att öka förståelsen (Lundberg, 1984). Enligt Lundberg har elever med lässvårigheter ofta en passiv inställning till det lästa och de försöker inte koppla ihop det lästa med tidigare kunskaper. De har dessutom svårt att dra nytta av den information som bilder ger och går inte heller tillbaka till texten i avsikt att hitta relevanta fakta. Lundberg anser att metakognitionen och den egna självbilden har ett nära samband. Elever med lässvårigheter har i allmänhet en svag självbild tvivlar på sin egen förmåga, och saknar det kognitiva mod som behövs för att ta sig an en text. Taube (1987) menar att den metakognitiva förmågan är av kritisk betydelse när det gäller läsning och det är viktigt att man som lärare har detta klart för sig, eftersom just mycket av inlärningen i skolan sker genom skrift. Taube, som är inne på samma tankegångar som Lundberg (1984), skriver att den aktive elevens lässtrategier anpassas efter textens natur och syftet med läsningen. Redan innan läsningen börjar har den aktive eleven ställt sig frågor som rör syftet med läsningen och på vilket sätt det inlästa skall redovisas. Om den aktive läsaren stöter på något obegripligt går han tillbaka, jämför och kontrollerar i syfte att få en bättre förståelse. Den metakognitiva förmågan visar sig också under läsningen i det medvetna utsorterandet av relevanta fakta samt kognitiv bearbetning och strukturering av dessa. Taube (1987) menar att effektiv inlärning kännetecknas av att den som skall lära sig aktivt planerar, styr och utvärderar sin inlärning. Detta mynnar ut i att individen medvetet söker efter hållbara strategier som kan användas för att lättare komma ihåg det inlärda materialet.
Ljungblad (2001) nämner inte ordet metakognition i sitt resonemang om matematisk medvetenhet, men är inne och vidrör begreppets innehåll. Hon ställer sig frågan om medvetenhet om våra kunskaper finns på olika plan och hur den i så fall skulle kunna beskrivas. Hon menar att det kan finnas en skillnad mellan vad en person vet om sin egen kunskap och hur en person kan styra sina egna kognitiva processer som uppmärksamhet och minne, vilket således är en skillnad mellan kunskap och kontroll. Hon fortsätter att resonera kring kognitiva processer och refererar till Lev S. Vygotskij, vilken menade att kognitiv utveckling är en utveckling mot ökad kontroll och styrning av de egna kognitiva processerna.
Förutsättningen för en effektiv självreglering kan dock inte ske innan personen kontrollerar sin egen kognition med hjälp av det Vygotskij kallar inre tal. Förenklat kan man säga att när barnet talar till sig själv och resonerar kring de didaktiska frågorna när, var, hur och varför, så har barnet nått kontroll över sitt tänkande. Ljungblad anser att detta säkert stämmer för det mesta, men hon gör ett tillägg. Hon har i sitt möte med barn kunnat se att de barn som på ett bra sätt talar tyst till sig själv i sitt inre samtidigt inte når ända fram till en kontroll över sitt tänkande eftersom de har för svaga abstrakta inre bilder. Hon sammanfattar detta resonemang med följande ord: När väl barnet fått både ett ”inre tal” och en ”inre bild”, då har de
tankekraft kvar att lägga på tankeprocesser och får då en bättre medvetenhet över matematiken – en bra och reflekterande medvetenhet (s.99).
Metakognition och begreppsbildning
Malmer (1999) skriver om sex olika inlärningsnivåer i matematik. Dessa inlärningsnivåer är alla av stor betydelse i undervisningssituationen för att en förståelse skall kunna ske. Den första nivån, tänka-tala, handlar om att utgå ifrån elevernas verklighet och anpassa undervisningen efter deras förutsättningar. Här poängteras att undervisningen bör vara spännande och intressant för att eleverna skall uppmuntras att undersöka, upptäcka och uppleva. Den andra nivån, göra-pröva, handlar om att skapa delaktighet i inlärningsprocessen genom att eleverna får arbeta mer kreativt och praktiskt. Malmer menar att eleverna kan utveckla sitt inre bildarkiv när de arbetar laborativt. Detta ger dem ett stöd för deras logiska tänkande. Den tredje nivån, synliggöra, innebär att göra det abstrakta synligt. Eleverna får uttrycka sina tankar på olika sätt som exempelvis genom att rita bilder, figurer kartor och mönster. Denna nivå går på djupet i det specifika momentet och ger eleven en tydlig insikt över sin egen roll i inlärningsprocessen. Den fjärde nivån, förstå-formulera, handlar om att ge eleverna en stabil grund av förståelse för orsakerna, vad och varför, till att de gör på det ena eller det andra sättet. Den femte nivån, tillämpning, handlar om på vilket sätt de nyvunna
kunskaperna skall användas och då handlar det mycket om problemlösning och kreativa idéer. Den sjätte nivån, kommunikation, handlar om att eleverna skall få möjlighet till reflektion, tränas i att beskriva och att förklara, argumentera och diskutera för att bland annat stärka sin begreppsbildning. Malmer menar att erfarenheter i kombination med en språklig kompetens är nödvändiga förutsättningar för begreppsbildningen. Det har visat sig att en svag språklig medvetenhet ofta försvårar begreppsbildningen. I mötet med eleverna kan man konstatera att elever, trots språkliga svårigheter och bristfällig begreppsbildning, ändå hittar vägar att lyckas ”hålla sig flytande” genom att ha en god memoreringsförmåga.
Metakognition genom det skrivna ordet
Molloy (1996) presenterar ett metodiskt redskap som hon kallar meta-reflektion. Avsikten med meta-reflektion är att ge eleverna en möjlighet att fundera över hur de lärt sig vad de just lärt sig. En del av meta-reflektionen är att med egna ord formulera de svårigheter de uppfattar när det gäller deras egen inlärning. Syftet är alltså att eleverna skall formulera funderingar och problem kring det egna lärandet för att så småningom finna olika lösningsstrategier som håller. Samtidigt som eleverna både stärker den egna begreppsbildningen och får en insikt om sitt eget lärande, får också läraren en fördjupad kunskap om sina elever. Meta-reflektioner synliggör elevernas utveckling för dem själva och ger dem dessutom en möjlighet att
beskriva utvecklingen med egna ord. När detta sker har eleverna nått den verkliga förståelsen om sitt eget kunskapande. Detta processinriktade skrivande, som ofta dokumenteras i
portfolioform, kan bli ett positivt redskap för elevernas egen självkänsla. En lärare som låter sina elever använda meta-reflektioner kan på ett konkret sätt komma åt en elevs tvivel på sin egen förmåga och tidigt ge uppmuntran och stöd för att få eleven att lita på sina kunskaper.
Enligt Molloy, kan meta-reflektioner vara ett sätt att hitta former för att stärka den egna självbilden. Ett annat sätt att komma åt elevernas tänkande kring kunskap är att använda sig av kunskapsjournaler som ett metodiskt redskap. Eleverna får här genom några minuters riktad skrivning i dagboksform, med egna ord, formulera hur de tolkat t.ex. en uppgift. När elever på detta sätt reflekterar över saker de möter under sin kunskapsinhämtning kan läraren se om och i så fall på vilket sätt de går vidare för att söka svar. Man kan på detta sätt få reda på hur eleverna lärt sig istället för att fråga dem vad de kan.
Att läraren uppmanar sina elever att skriva om den matematik de studerar är positivt ur ett metakognitivt perspektiv (Dysthe, 1996; Withers, 1996). Skrivandet blir på så sätt en möjlighet till reflektion över matematiska samband och begrepp, menar Sterner och
Lundberg (2002). Genom att man skriver ned någonting finns det utanför en själv och blir på
det sättet lättare att betrakta och reflektera över. Sådant skrivande kan tjäna ett syfte på det personliga planet, men kan också vara ett redskap för att kontrollera om ens tankar håller på ett formellt plan som också ska redovisas för andra och eventuellt bedömas av läraren. Pimm (1987) menar dock att det är viktigt att eleverna redan från början har klart för sig om de skriver för att tydliggöra sitt tänkande och sina idéer för sig själva och underlätta sitt lärande, eller om de skriver för läraren skull. Withers (1996) påpekar att genom elevens skrivande kan lärare få information om sina elevers lärande, eventuella svårigheter och på vilka sätt de löser problem. Trots sådana fördelar anser många lärare att uppgiften att skriva om matematik och reflektera över sitt lärande är för svårt för många elever (Sterner & Lundberg, 2002).
Metakognitiv utveckling med portfolio
Portfolio är ett begrepp som funnits i skolans värld i flera decennier. Ellmin (2001) tar i boken ”Portfolio – sätt att arbeta, tänka och lära” upp grundtankarna bakom arbetet med portfolio. Många tankar är inspirerade ifrån Nya Zeeland och den portfoliometodik som spritt sig över världen inte minst med hjälp av rektor Ian S. Fox. De tre byggstenarna i denna metodik har olika syften. Den första byggstenen innebär att portfolion blir ett stöd för elevens metakognitiva utveckling. Eleven utvecklar här sin förmåga att tänka om sitt tänkande, eftersom det i sin tur utvecklar änne mer tänkande. Målet med denna byggsten är att hjälpa eleven att uppnå ökad medvetenhet och självinsikt, eftersom fortlöpande reflektion i
lärsituationen leder till ännu djupare insikter. Den andra byggstenen innebär att portfolion får en roll som bedömnings- och värderingsinstrument. Den tredje byggstenen bidrar den till en ökad kommunikation och ett samarbete mellan hem och skola.
Lärande som inte sammankopplas med elevens reflektion kring hans eget lärande blir bara ytlig och mekanisk, men reflektion är något svårt som måste tränas (Ellmin, 2001).
Ellmin hävdar att arbetet med portfoliometodik kan stödja undervisning eftersom det hjälper eleven att reflektera kring sitt lärande. Det som samlas i portfolion i form av exempel på hur eleven planerat och genomfört ett visst arbete speglar själva lärprocessen och bidrar till reflektion. Det skapar också en kommunikationskanal mellan eleven och läraren. Genom att följa lärprocessen kan eleven skapa sin egen förståelse och begreppsbildningen stärks. Eleven får genom portfolion tillgång till ett verktyg och samtidigt en metodik som underlättar arbetet och med att den har ett naturigt inslag av planering, uppföljning och reflektion. Eleven får aktivt samla in, välja ut och reflektera över sitt arbete och kommer bort ifrån den mer traditionella och passiva mentaliteten som innebär att skriva, lämna in och sedan glömma bort. Det som eleverna lär sig är strategier och processer, att söka och analysera information,
att ställa frågor, att beskriva sina egna observationer och reflektioner samt att dra slutsatser.
Ellmin (2001) menar att eleverna måste övas i att förstå att reflektionen är en viktig del i deras egen lärprocess. Tanken med portfoliometodiken är att den skall underlätta
metakognitionen, alltså att eleven förvärvar kunskaper om sin egen kunskapsprocess. Det handlar om att bli medveten om hur man tänker, vilka strategier man använder samt vilken förmåga man har att följa och själv kontrollera sin egen kunskapsprocess. Reflektionen innebär att man analyserar och bedömer det som hänt i en undervisningssituation och reflekterandet i sig bör, enligt Ellmin (2001), var en integrerad del av undervisningsmiljön.
Eleven blir, i och med portfolion, inte bara en passiv mottagare utan istället delaktig i kunskapsprocessen, vilket ligger väl i linje med de tankar vi finner i läroplanen (Lpo94).
Ellmin (2001) menar att ett viktigt syfte med reflektivt tänkande är att integrera tidigare erfarenheter och kunskaper med nya, så att de på så sätt får en personlig innebörd. Ellmin presenterar de tre olika delarna av begreppet metakognitiv utveckling som ”Lära att lära” – modellen tar upp. De tre delarna är att träna eleven att bygga upp förmåga att formulera mål, skapa olika modeller för tänkande och lärande, samt att bygga upp förmågan till kritisk reflektion (s.96).
METOD
För studien valdes en deskriptiv ansats och en kvalitativ metod, eftersom syftet var att studera hur matematikdagboken fungerar som ett pedagogiskt redskap för matematisk reflektion samt att beskriva elevers reflektion över lärandeprocess och deras upplevelser av
matematikdagbok.
Studien genomfördes på en F-9 skola i en mindre kommun i södra Sverige. Urvalet bestod av 25 elever i åk 8, varav 16 pojkar och 9 flickor. Undersökaren hade varit klassens lärare i matematik i drygt tre terminer när studien startade. I inledningsskedet blev eleverna samt deras målsmän skriftligt informerade om studien och dess syfte (bilaga 1). Det
betonades att deltagandet var frivilligt och att datamaterialet skulle behandlas med försiktighet så att ingens identitet röjdes.
Eleverna fick föra dagbok i matematik (bilaga 2) under varje lektion under två månaders tid. De fick instruktioner att de i dagboken kunde skriva ner det som upplevts viktigt i genomgångarna och diskussionerna i klassen, men även egna funderingar och slutsatser de själva kommit fram till under lektionen. För att eleverna skulle få en direkt återkoppling till det som skrivits, skrev undersökaren (deras lärare) individuella kommentarer i elevernas
dagböcker efter varje avslutad skolvecka. Kommentarerna som undersökaren skrev hade en utgångspunkt i det som eleverna skrivit i matematikdagboken under den gångna veckan.
Ibland kunde t.ex. kommentarerna innehålla ett svar på en fråga som eleven skrivit eller en kommentar där undersökaren bad om ett förtydligande av vad de skrivit.
När eleverna hade fört matematikdagbok under två månader fick de delta i en
enkätundersökning. Syftet med att använda enkäten var att få elevernas egna uppfattningar och upplevelser av att arbeta med matematikdagbok som ett redskap i undervisningen.
Enkäten (bilaga 3) innehöll sex frågor med öppna svarsalternativ, vilket lämpar sig väl då kvalitativt präglade företeelser ska undersökas. Frågorna i enkäten upprättades utifrån studiens syfte och frågeställningar, men även utifrån vissa preliminära kategorier som framkommit vid analysen av innehållet i matematikdagboken.
För att få en struktur och hjälp vid analysen av innehållet i matematikdagböckerna och av enkäterna, användes Burnards innehållsanalys (1991) som en vägledning vid analysarbetet.
Datamaterialet har alltså inte analyserats fullt ut med Burnards innehållsanalys, utan användes som ett redskap vid analysen av matematikdagböckerna och av enkäterna.
Först lästes matematikdagböckerna igenom om och om igen för att kunna bekanta sig med innehållet och få en helhetsbild. Sedan kodades innehållet i alla dagböckerna rad för rad utifrån undersökningens syften, frågeställningarna och den teoretiska bakgrunden. Koderna noterades till höger om texten och kodningen medförde en stor mängd olika koder, s.k.
meningsbärande enheter. Därefter sorterades texten i olika högar utifrån hur texten blivit kodad. De koder som sedan belyste samma sak fördes samman till ett flertal preliminära kategorier. Dessa preliminära kategorier kunde sedan slås samman till s.k. huvudkategorier och huvudkategorierna hade sedan i sin tur ett flertal underkategorier (bilaga 4). Därefter lästes matematikdagböckerna igenom igen i sin helhet för att se om de olika kategorierna avspeglade innehållet i dagböckerna och motsvarade undersökningens syfte. Vissa
korrigeringar av underkategorierna gjordes efter genomläsningen. Eftersom risken finns att helheten försvinner när datamaterialet splittras, måste undersökaren som använder
innehållsanalys med jämna mellanrum återvända till grundmaterialet för att inte förlora helheten. Analysen av enkätsvaren genomfördes på samma sätt som matematikdagböckerna och de kategorierna som framkom under analyserna fördes sedan samman till en helhet, vilket utgör denna undersöknings resultat.
För att uppnå delsyftet som rörde det matematiska innehållet och den matematiska reflektionen, genomfördes även en djupare analys av innehållet i kategorin ”Matematiskt innehåll och reflektion i matematikdagböckerna” och analysens resultat finns invävt under den kategorin.
Validering innebär att det som undersöks är det samma som syftet med undersökningen.
Inom kvalitativ metod innebär det en kontroll av trovärdigheten i studien och att tolkningen är rimlig. Läsaren ska kunna följa resonemanget som en röd tråd genom beskrivningen av studien. Det är även viktigt att undersökaren förhåller sig objektiv till datamaterialet som ska analyseras (Kvale, 1997) och därför har undersökaren försökt att distansera sig till materialet och sedan gå in på djupet igen och utifrån detta kunna se på materialet från flera perspektiv.
Genom användandet av citat i resultatet ökar dessutom trovärdigheten (Kvale, 1997). För att öka validiteten till kodningen och den uppdelning som gjorts i underkategorier och
huvudkategorier fick en annan person läsa igenom datamaterialet. Därefter jämfördes dennes synpunkter med de val av koder och kategorier som undersökaren fått fram, vilket ledde fram till vissa förtydliganden i innehållet i kategorierna.
RESULTAT
Resultatet presenteras utifrån undersökningens syfte; Matematiskt innehåll och reflektion i matematikdagböckerna, Lärandeprocessen samt Matematikdagböcker – ett pedagogiskt arbetsredskap.
Matematiskt innehåll och reflektion i matematikdagböckerna
Det matematiska innehållet i matematikdagböckerna är stort och består främst av begrepp, uträkningar och problemlösning. När eleverna beskriver matematiska begrepp, görs det oftast som en beskrivning av vad begreppet står för och en förklaring att de har förstått begreppet.
När eleverna däremot beskriver matematiska uträkningar och problemlösning, så går eleverna ett steg längre och reflekterar djupare hur de tänker i konkreta matematikuppgifter och de beskriver mer ingående i hur de har löst uppgifterna.
Matematiska begrepp
De matematiska begrepp som eleverna flitigt använder sig av speglar innehållet i de områden som klassen för tillfället arbetar med. Eleverna försöker med egna ord beskriva det
matematiska innehållet samt betydelsen av de begrepp de möter. Eftersom eleverna framför allt arbetat med uttryck med negativa tal samt variabler är det just begreppen negativa tal, uttryck och variabler som eleverna mest frekvent förklarar.
Negativa tal
När ett nytt avsnitt som handlar om negativa tal påbörjas verkar flera elever tycka att det är svårt och en elev skriver: Vi har börjat med negativa tal, jag förstår det inte riktigt bra än, men jag tror att jag kommer att bli bättre snart. En annan elev anser inte att negativa tal är något speciellt utan skriver att man räknar dem som vanligt med plus och minus helt enkelt.
En elev förklarar att ett negativt tal är ett tal som har ett minustecken framför sig. Medan en annan elev formulerar orden att ett negativt tal är ett tal under noll. Om hur man använder negativa tal i uträkningar skriver en elev: negativa tal som man subtraherar kan man tänka att man adderar. En annan elev beskriver hur hon tänker när ett negativt tal adderas med ett positivt tal: ju mer man lägger till desto närmare nollan kommer talet, eftersom det ska bli större.
Förenkling av uttryck
Det framgår i dagböckerna att flera elever känner sig osäkra inför avsnittet med olika uttryck, där eleverna skall lära sig att förenkla uttrycken innan man sätter i variablerna. En elev skriver: Idag har jag jobbat med förenkling av uttryck. Det är svårt. Jag fattar inte så mycket, men du gick igenom lite idag och då fattade jag lite mer. En annan elev avslutar lektionen med att skriva: Idag har jag lärt mig förenkling av uttryck t.ex. a+a+a+a=4a och
4a+3a=7a. Det är lätt! Jag tycker det var krångligt i början, men när jag väl tänker till är det superlätt! När man försöker sig på att förklara begreppet uttryck, så kan det låta:
Ett uttryck är ett sätt hur man räknar ut saker eller som en annan elev skriver: Ett uttryck är en formel för hur man räknar ut något. Flera elever ger exempel på olika uttryck och några kopplar det till exempel som hämtats ifrån vardagen. En elev skriver: Ett uttryck är ett exempel på hur man räknar t.ex. ett uttryck för att köpa 1kg godis som kostar 40kr/kg blir 1kg · 40kr/kg = 40kr.
Man kan också följa hur vissa elever, ifrån att inte har fattat alls, plötsligt har fattat vad förenkling av uttryck med negativa tal innebär. En elev skriver: Idag fick vi ett papper av läraren som handlade om hur man förenklar uttryck. I början fattade jag inte så mycket, men i slutet på lektionen fick jag kläm på det hela. Nästa lektion skriver samma elev:
Idag har jag fattat allt. Det är som en underbar dröm. Förklaring: Om det är ett minus framför parentesen byts alltid tecknet ut, plus blir minus och minus blir plus. Om det står ett plus framför parentesen händer inget! Parentesen skall alltid bort! Halleluja Moment!!!
Ytterligare en lektion senare skriver eleven: Jag hajar detta nu! Stenkoll!! Det är jätteroligt nu när man fattar. Men tungan rätt i mun går vad som helst!
Variabler
När eleverna förklarar begreppet variabler kan det låta på olika sätt. Variabler är siffror som ersatts med bokstäver, förklarar en elev, medan en annan skriver: en variabel är ett okänt tal.
Flera elever använder sig av orden något som kan variera, när de förklarar begreppet variabel. En elev skriver: En variabel är det talet som kan variera i ett uttryck beroende på hur många gånger någon gör något eller hur långt det är. En variabel skrivs med x eller y eller något annat.
Reflektion över uträkningar och problemlösning
I dagböckerna reflekterar eleverna över hur man löser olika typer av uppgifter och ger exempel på olika uträkningar av de olika moment man arbetat med. Eleverna beskriver olika strategier för hur de angriper problemen och eleverna presenterar de olika steg som de använder sig av vid problemlösning och vilka bekymmer de stöter på.
Det finns ganska många exempel på hur eleverna löser olika typer av uppgifter. En elev skriver: Idag har jag jobbat med negativa tal. Om det står t.ex. -9+5 tänker jag 9-5=4 och då blir svaret -4. Om det är -9-5 tänker jag 9+5=14 och då blir svaret -14.
Här gör eleven en form av tankeprocess och tillämpar en viktig matematisk princip även om den inte presenteras fullständigt. Man kan tolka det som att eleven bryter ut ett
minustecken och då får - (9-5). Därefter utförs subtraktionen 9-5=4 och det utbrutna
minustecknet sätts framför fyran. På samma sätt bryts minustecknet ut i - 9-5 och eleven får - (9+5). Därefter utförs additionen och det utbrutna minustecknet sätts framför summan 14.
En annan elev förklarar addition med negativa tal på följande sätt: Jag har kommit på att ifall man har t.ex. -5+22 kan man göra så här. 22-5=17 och då blir svaret alltså 17. Jag har inte tänkt på att man kan vända dom innan. Här har eleven förstått att ordningen inte spelar någon roll i räkneoperationen.
Några elever beskriver hur man räknar uttryck som innehåller parenteser och som har ett minustecken framför parentesen. En elev skriver: Fattat med parenteser och tycker det är ganska lätt. -( ) byt i parentesen! -(-x), -x blir +x och minuset framför försvinner. En beskriver additionen -4+4 som att gå uppför en stege. Man börjar på -4 och vandrar 4 steg uppåt och kommer då fram till 0. Att se additionen som en stege eller som en termometer är vanligt bland eleverna och det är en bild som eleverna känner igen från sin vardag.
En elev beskriver hur hon löst ett tal i olika steg och skriver: Idag har jag jobbat med grader (°C) – och +. Om jag har talet 1-2-3-4, så tar jag 1-2 = -1, sen -1 - 3 = - 4, sen - 4 - 4
= -8. Svaret blir alltså -8°C. Så är det lättaste sättet att tänka. Att göra uträkningen i olika steg är för många elever helt naturligt. När jag frågade eleven varför hon tänkte på detta sätt fick jag till svar att hon först hade tänkt slå in det på miniräknaren men att hon inte visste om det blev rätt om man slog in allt på en gång.
En annan elev skriver: Idag har jag lärt mig hur man räknar ut multiplikation av en parentes.
Ex. 5x(2y+3z) = 5x·2y + 5x·3z = 10xy +15x
För eleven verkar det självklart att man multiplicerar in 5x i parentesen och på provet några dagar senare visade samma elev att detta inte var något bekymmer för henne.
Flera elever beskriver hur de går tillväga när de står inför ett nytt problem. De beskriver de olika steg de går igenom för att till slut komma fram till en lösning som håller. En elev skriver:
För att förstå hur man räknar ut en ny uppgift läser jag först igenom exemplen i boken. Sedan försöker jag lösa uppgiften och sedan kollar jag i facit. Är svaret fel kollar jag igenom uppgiften igen för att försöka komma ihåg hur jag gjorde.
Nästa gång går det bättre!
De bekymmer som eleverna stöter på i problemlösningen beskrivs frekvent i dagböckerna och de sätt som läraren ger respons på kan variera. Ibland påverkas även kommande lektioner av innehållet i elevernas dagböcker. Följande citat är ett bra exempel på detta:
Jag bara blandar ihop allt med negativa tal. Jag fattar nog inte riktigt??? Varför blir det
”–” när ”–” och ”+” kommer efter varandra och varför blir det ”+” när ”–” och ”–”
möts?
För att svara på dessa frågor tänkte jag tillbaka på hur tidigare elever gjort och hur jag själv tänkt när jag försökt förklara detta. Den vanligaste förklaringen som oftast också fungerar bra för de flesta har varit att utgå ifrån hur temperaturen stiger och sjunker. Eftersom just detta är en sak eleverna kan känna igen ifrån vardagen är den lämplig att ha som utgångspunkt för resonemanget. Jag skrev följande svar till eleven:
Ska försöka förklara så gott det går här, men vi kan också ta det muntligt nästa lektion. Det finns flera sätt att svara på din första fråga, men ett sätt är följande:
Du kan tänka dig en termometer som visar –5ºC och blir det 3ºC kallare (se figuren bredvid). När man skall addera temperaturerna för att se hur kallt det blir så skriver man –5ºC+(–3ºC) i matematiken, vilket blir –8ºC.
Eftersom temperaturen sjönk med 3ºC kommer man, trots att man adderar –5ºC med –3ºC, längre ifrån 0ºC och det blir alltså –8ºC. Hur det blir om två minus möts får jag ta på lektionen.
Eftersom det var flera elever som visade osäkerhet hur man skulle agera när två minustecken möts så valde jag, att istället för att ge eleven en personlig förklaring, samtala med klassen och göra en enkel genomgång framme vid tavlan. Som utgångspunkt i samtalet med eleverna använde vi oss av termometern även denna gång. Vi resonerade oss fram till hur man kunde använda sig av termometern som ett redskap för att förstå hur två minustecken kunde bli till plus.
En elev sa att om man vill räkna ut skillnaden på två temperaturer så kan man ibland få två ”minus” som sedan blir ”plus”. Jag frågade hur hon tänkte och då gav hon ett exempel där hon ställde frågan: Hur många grader är det mellan 2ºC och -3ºC? Hon gick fram till tavlan och skrev 2-(-3) = 5 och då en annan elev i klassen protesterade ritade hon för säkerhets skull upp en termometer för att övertyga honom om sitt resonemang. Nu verkade alla överens att skillnaden mellan 2 och -3 var 5 och inte något annat. En annan elev sa att man kunde tänka sig att man var skyldig t.ex. 15 kr och så lånade man 10 kr till. Då blev man ju skyldig 25 kr.
Han fick gå fram och skriva upp uträkningen på tavlan. Han skrev: -15kr-10kr=-25 kr, men ändrade sig snabbt och skrev -15+(-10)=-25. Att han skrev två olika alternativ fick oss att samtala några minuter om hur man kan tänka i den situationen. Lektionen fortsatte och efteråt frågade jag eleven som ställt de ursprungliga frågorna om genomgången hade hjälpt honom och det försäkrade han. När jag ett par dagar senare läste det han skrivit i dagboken så stod det följande: Det där med ”-” och ”-” är inte alltid så svårt. Man får tänka till lite extra när man passerar nollan. Nu vet jag varför ”-” och ”-” blir ”+”.
En av orsakerna att jag inte skrev ett mer utförligt svar till eleven i exemplet ovan var att utrymmet i dagboken var lite väl begränsat för en lång förklaring. Trots att jag bara
förklarade den första delen av frågan fick jag ta lite av elevens utrymme i dagboken i anspråk. Detta blev en lärdom för mig och i dagsläget använder jag mig av vanliga skrivböcker när det är dags för dagboksskrivande.
Lärandeprocessen
Det finns mycket i det eleverna skriver som går att koppla till begreppet metakognition. De reflekterar över sin lärandeprocess och på de olika sätt som de lär sig. Eleverna reflekterar även över den egna utvecklingen och beskriver faktorer som kan påverka utvecklingen i positiv eller negativ riktning.
Reflektioner över lärandeprocessen
Eleverna reflekterar mycket om det egna lärandet i matematikdagböckerna och beskriver sin syn på hur lärandet går till. De sätt man beskriver är varierande och visar att de tänkt till ordentligt. Det kan handla om att tänka och reflektera själv, att läsa, att öva genom att göra samma saker flera gånger, och att lära sig genom de fel man gör. De tar också upp vikten av att fråga läraren eller någon kompis och på så sätt få personlig hjälp när problem uppstår och man kör fast. Att prova sig fram och bakvägen söka efter lösningar är en strategi som leder till bättre lärande, menar vissa elever. Den mer traditionella undervisningen med
genomgångar lyfts också fram som bra metod för det egna lärandet.
Att tänka själv
Det bästa sättet att lära sig är när man tänker lite extra, menar flera elever. Att få reflektera över innehållet i det man gör resulterar också i att man lättare kommer ihåg det man lärt sig längre fram, skriver en elev. Även om en del elever inte rakt ut skriver att de lär sig genom att reflektera, så framgår det tydligt när man följer vad eleverna skriver flera lektioner i följd.
En elev skriver följande: Idag försökte läraren förklara uttryck med parenteser och jag fattade ingenting. Efter att under nästa lektion ha funderat en stund över det vi gjorde dagen innan skriver samma elev: Nu har jag förstått nästan allt hur man räknar med parenteser.
Om det står plus framför parentesen händer det inget. Är det minus framför blir plus till minus och minus till plus. Ytterligare en lektion senare skriver eleven: Idag har jag fortsatt med uttryck och parenteser. Nu har jag förstått det!!! En annan elev skriver: Jag lär mig nya saker genom att först tänka igenom vad det är man ska göra, och sedan vet man ju det.
Uträkningarna är ju ganska logiska.
Att läsa och öva
Flera elever skriver att de lär sig bäst när de läser igenom de lösta exemplen som man hittar i mattebokens blåa rutor. Ibland kan det krävas att man läser igenom exemplen flera gånger för
att man skall förstå dem, men de är oftast lätta att förstå och är till stor hjälp när man skall lära sig något nytt, menar eleverna. Ett antal elever skriver att sammanfattningarna i slutet av varje kapitel är viktigast när man skall lära sig nya saker. Någon elev menar att det absolut bästa är att helt enkelt jobba med boken. Övning ger färdighet, skriver en annan elev när hon förklarar på vilket sätt hon lär sig bäst. Att göra fler uppgifter av samma slag gör att man kommer håg, skriver en annan. Flera elever kopplar ihop genomgångar med själva övningen och menar att övningen blir bäst om man först kunnat gå igenom de olika begreppen och det moment man skall jobba med.
Att hoppa över för att sedan återvända
Ett sätt som nämns när det gäller hur man lär sig nya saker är att tillfälligt hoppa över svårigheter man möter för att lite senare återkomma och då på ett bättre sätt kunna lösa den uppgift man haft svårt med. En elev skriver: Idag har jag fortsatt att jobba med negativa tal.
Det är ganska lätt, men ett tal var klurigt så jag hoppade över det så länge och gör det på fredag istället. Att låta saker sjunka in och bearbetas upplevs som ett bra sätt att lära sig av flera elever.
Att prova sig fram och ibland göra fel
En elev skriver att han först läser igenom sammanfattningen och de exempel som finns i boken. Hjälper inte detta provar han sig fram till rätt svar. När han sedan får fram rätt svar går han tillbaka och försöker att först varför uträkningen skulle vara på just det sättet. Det handlar alltså om att gå bakvägen för att försöka förstå hur han skulle ha gjort. Flera elever skriver att felen man gör när man räknar i boken eller när man gör ett skriftligt prov kan göra att man sedan förstår bättre. Felen gör att man måste fundera lite extra, för att kunna rätta till det som gått fel. En elev menar att det är det enda sättet att lära sig. Gör man inga fel stannar man inte upp och reflekterar och då sker ingen inlärning.
Att fråga och att få personlig hjälp
En återkommande beskrivning om hur man lär sig på bästa sätt är att man frågar. Att det är läraren man frågar är inte det självklara svaret bland alla elever. Det kan lika gärna vara bänkgrannen, eller den som sitter framför eller bakom. En elev berättar:
Idag har jag jobbat MYCKET BRA. Det jag har jobbat med är att förenkla uttryck och det har gått bra, men ibland är det så många bokstäver att min stackars
hjärna exploderar. Men då rycker min kompis in och hjälper den stackars kraken, d.v.s. jag.
Några elever säger att den bästa hjälpen, till alla de frågor man har, får man ifrån någon hemma. En elev skriver: När jag kollar i det nya kapitlet så tar jag och funderar och sedan om jag inte fattar så talar pappa om hur man gör. Flera elever återkommer till den personliga hjälpen på lektionerna och menar att den är en förutsättning för att man skall lära sig något över huvud taget. Visst kan genomgångar på tavlan vara bra, men inget slår den personliga hjälpen. Eleverna uttrycker hur positivt det är att ibland ha två lärare samtidigt i klassrummet eftersom det medför att hjälpen kommer betydligt snabbare. Ofta behöver man då inte alls vänta utan blir hjälpta direkt när något hakat upp sig.
Att ha gemensamma genomgångar
Någon elev menar att den individuella hjälpen inte behöver stå i motsats till genomgångar som man har tillsammans på tavlan. Det kan vara en fördel att först ha en genomgång på det man ska jobba med och sedan jobba mer individuellt och få personlig hjälp när det behövs.
En annan elev skriver: Idag har Läraren visat oss två tal på tavlan. Bra tycker jag, för det var nyttigt för mitt lärande!, 1 Tag bort parenteser, 2 Sortera, 3 Räkna ut. Glöm sedan inte att byta ut tecknen inne i parenteserna om det står ett minus framför.
Samtidigt som gemensamma genomgångar på tavlan av flera elever uppskattas finns det de som ser det som något som påverkar lärandemiljön negativt. Sättet som genomgångarna görs på får en del elever att tappa koncentrationen och detta kan medföra att de inte lär sig lika mycket som det var tänkt. Flera elever tycker att individuellt arbete är att föredra framför lärarledda genomgångar på tavlan. De elever som inte jobbar på samma nivå eller på samma avsnitt som genomgången handlar om, blir mer störda av genomgången än hjälpta, menar någon elev. En elev kopplar ihop genomgångarna med den preliminära planering som eleverna fått, som en hjälp att kunna administrera tiden på ett bra sätt, och hon skriver:
Genomgångar på tavlan tycker jag kan vara bra ibland, men inte när vi har så stressat schema. Eleven uttrycker på ett annat ställe att hon tycker att själva planeringen i sig är stressande eftersom hon aldrig riktigt hinner med att jobba klart med alla de uppgifter hon skulle vilja göra. Planeringen som tillsammans med genomgångar skulle ha varit till elevens nytta har istället uppfattats som stressfaktorer som påverkat lärandemiljön negativt. En elev skriver: Idag hade vi mycket genomgång så jag hann inte jobba så långt. En annan elev anser att individuell hjälp är mycket bättre än genomgångar eftersom genomgångarna kan skapa fler frågor istället för att ge några tydliga svar på de konkreta frågor de själva har. Det kan
också vara svårare att förstå läraren vid tavlan eftersom man kanske inte vågar fråga på samma sätt för att inte framstå som osmart eller dum. Att genomgångarna varit till hjälp finns det också flera exempel på. En elev skriver: Idag gick läraren igenom variabler och
parenteser. Det var svårt ifrån början, men jag börjar fatta det ganska bra nu. Står det ” –”
framför parentesen ändras tecknet inuti. Så är det inte med ”+” framför parentesen.
Reflektioner över den egna utvecklingen
När eleverna reflekterar över den egna utvecklingen konstaterar de att det finns flera faktorer som påverkar i positiv eller negativ riktning. Det egna välbefinnandet är en central punkt men också tiden eller bristen på tid påverkar den egna utvecklingen. Lärandemiljön återkommer eleverna till gång på gång och där nämner de framför allt vikten av att ha en bra bänkgranne för att själv kunna utvecklas i rätt riktning. Tillfredsställelsen av att själv lyckas är också en bidragande orsak till att den egna utvecklingen blir positiv.
Hur man själv mår
Eleverna skriver om hur de själva mår och om hur det påverkar det egna lärandet. Är man deppig, orolig eller trött blir koncentrationen lidande och då jobbar man sämre. En elev med en kronisk sjukdom skriver: Idag har jag inte mått så bra, så jag har inte orkat jobba så mycket. En annan elev tar upp personliga problem som påverkar henne negativt och gjort att hon inte kunnat koncentrera sig på lektionen.
En tjej skriver om det soliga och varma vädret som gör att hon blir glad och positiv och att detta medför att hon jobbar bättre. En annan har svårt att jobba eftersom hennes bästa kompis inte kommit utan säkert försovit sig igen. När mattelektionen ligger precis innan lunch påverkas innehållet i dagböckerna. Hungern hos vissa elever gör att koncentrationen blir sämre och därmed försämras lärandet och innehållet i det eleverna skriver i dagboken förändras. Ifrån att innehållet i dagboken handlat om lärandet och det matematiska innehåll man arbetat med, så skriver vissa elever om vad det är på menyn i skolmatsalen.
Flera elever säger att de lär sig bäst när de är på ”mattehumör” och någon nämner att det är omöjligt att lära sig om man sitter och är hungrig. En elev skriver: Jag lär mig bäst när talen är lätta och jag är lycklig och glad! En annan elev skriver: Bäst lär jag mig när jag är på mattehumör, då kan jag allt!
Nöjd över att ha förstått och fått en insikt
Det finns många olika orsaker till varför en elev känner sig nöjd när hon eller han, med egna ord, sammanfattar lektionen. Det kan handla om att man känner sig nöjd över att ha jobbat bra, varit koncentrerad eller tagit vara på tiden. En elev skriver: Jag är mycket nöjd över lektionen. Jag jobbade aktivt och engagerat. Tyvärr var det två ”miffotal” som satte käppar i mitt rullande nyoljade hjul! Jag fick ändå mycket gjort och det var roligt att räkna! En annan elev skriver: Jag har jobbat med förenkling av uttryck. Jag har jobbat på bra och fått mycket gjort! Bland de många exemplen hittar vi också en elev som skriver: Det gick mycket bra med räkningen. Det löpte på som en räls. Nu har jag börjat med uttryck och variabler! Ett positivt provresultat får en elev att utbrista: Jag fick 21,5 p av 25p på provet. Jag är nöjd över att det gick så bra trots att jag inte gjort klart kapitlet! Vilket snille! (Det har jag efter
morfar).
När elever upplever att de fått kunskap leder det många gånger till att de känner sig nöjda.
Att plötsligt inse något man inte förstått innan beskriver flera elever som något mycket positivt. En elev skriver: Idag kom jag underfund med att negativa tal är minustal. Det visste jag inte innan, men nu vet jag det! En elev som vanligtvis inte brukar klara de svårare
avsnitten i matematiken skriver glatt: Idag har jag lärt mig hur man räknar ut ett MVG-tal!
Den sista dagen vi använder matematikdagboken skriver en elev: Sista dagen jag skriver i denna mattedagbok, sista lektionen innan matteprov. Jag har fått kläm på multiplikation med parenteser, det är en stor lättnad! En annan elev formulerar orden: Jag har jobbat jättebra idag och lärt mig uttryck med variabler.
Att klara av de svårigheter man möter kan också vara en orsak till att vara nöjd och en elev formulerar detta: Idag är jag riktigt nöjd med lektionen. Det är ganska svårt, men man fattar efter hand. En annan elev utbrister stolt: Idag har jag gjort ett cirkeldiagram! För första gången i livet!
Andra orsaker som ger en känsla av tillfredsställelse är när man kunnat hjälpa en
bänkgranne som inte förstått en uppgift. Flera elever påpekar att tillfredsställelsen av att vara nöjd, gör att matematiken blir roligare.
Tid – brist på tid
Tiden är en tydlig faktor som påverkar lärandet och då är det inte bara genomgångarna som upplevs som något som stjäl tid utan andra saker inverkar också negativt. Den mest
framträdande faktorn bland elevernas svar är att de ofta upplever att de får sitta utan att få hjälp under långa stunder, vilket resulterar i färre gjorda uppgifter, mer prat och mer stress.
Eftersom läraren oftast är själv på lektionerna blir hjälpkön lång och ibland får man gå ifrån
lektionen utan att ha fått den hjälp man ville ha. En elev skriver: Just NU behöver jag hjälp, men jag är uppskriven på tavlan. Istället för att fortsätta med andra uppgifter upplever vissa elever frustrationen att inte förstå och det skapar en handlingsförlamning och inget blir gjort.
Andra elever gör någon konstruktivt medan de väntar på hjälp: Idag har jag räknat typ 2 tal, sen kunde jag inte och jag hann inte få någon hjälp, så jag hjälpte min kompis lite.
Placering i klassrummet
Att sitta jämte samma klasskompis lektion efter lektion kan både vara positivt och negativt konstaterar flera elever. Några få elever menar att det är svårt att jobba på den plats de just nu sitter på. Detta kan enligt eleverna bero på flera olika saker. Jobbar man inte med samma område i matteboken kan det vara svårt att hjälpa varandra och diskutera de svårigheter man möter. Man kan på så sätt inte samarbeta lika lätt och detta resulterar i fler frågor till läraren, vilken ofta är upptagen med att hjälpa någon annan elev.
Matematikdagbok – som ett pedagogiskt arbetsredskap
Elevernas egna tankar om matematikdagboken varierar, men det står helt klart att många elever uppfattar dagboken som ett bra redskap för kommunikation, både om rent matematiska ting men också om frågor av mer allmän karaktär. Vad kommunikationen sedan har utmynnat i konkret för varje enskild elev har eleverna skilda åsikter om. Möjligheten att reflektera i skriftlig form har dock skapat en ny arena i det pedagogiska arbetet där elever och lärare möts.
Matematikdagbok som ett medel för kommunikation
Att eleverna använder sig av matematikdagboken som ett medel för kommunikation mellan sig själva och läraren blir tydligt gång på gång. Flera elever skriver i enkäten att de använt dagboken som ett sätt att kommunicera med sin lärare. Jag har skrivit frågor till läraren och sagt till om jag behöver någon hjälp, skriver en elev. En annan elev skriver: Jag har skrivit talen som jag inte fattar och då har läraren hjälpt mig. Några elever berättar att man också har förklarat vilka svårigheter man haft. En elev uttrycker att hon skriver om vilka tal hon börjat förstå och vilka tal som varit svårare.
Kommunikationen kan också handla om att önska en trevlig helg, att skoja lite om det som sagts på lektionen eller bara kommentera någon om innehållet på lektionen eller vad man vill förändra på lektionen för att den skall fungera bättre. En elev påminner lite diskret:
Jag fyller år imorgon!!!, och en annan skriver: Jag hann nästan färdigt allt idag, men resten ta jag hemma. Lita på mig! Ibland kan man inte hålla sig för skratt när man läser: Idag skämtade läraren, riktigt kul! Han drev med oss framme på tavlan. Han babblade och babblade och ingen fattade något. Men helt plötsligt skrek han ”April, april” och började dansa hula-hula. Jag önskar att det vore så… I själva verket skämtade han inte och han dansade absolut inte hula-hula… synd. En annan elev uttrycker sin glädje över att ha blivit uppmärksammad och skriver: Idag hände något fantastiskt. Läraren sa att jag var smart!
Ytterligare en elev skriver några uppmuntrande ord till läraren: Du gick igenom det bra på tavlan idag!
Elevernas upplevelser av matematikdagboksskrivandet
Eleverna har olika uppfattningar om vad matematikdagboksskrivandet egentligen har betytt för dem. Några understryker att de tycker det är roligt att skriva och att det betytt mycket, medan andra tycker det känns meningslöst, att det har tagit tid av den ordinarie lektionstiden och att de gör det bara för att läraren sagt att de skulle skriva.
Flera elever uttrycker klart att matematikdagboken gjort att man fått extra hjälp i form av förklaringar och att de i och med skrivandet dagboken reflekterat mer än tidigare om det matematiska innehållet samt om det egna lärandet (metakognitionen). Det finns samtidigt andra elever inte tror sig ha reflekterat i större utsträckning är tidigare och har svårt att se själva dagboksskrivandet som ett led i inlärningen och reflektionen. Men en elev uttrycker att hon nu i efterhand kan se att det varit nyttigt för hennes eget lärande att skriva och att hon inte riktigt insett detta i början. Dagboken har gjort matematiklektionerna roligare, påpekar en elev, och den har även gjort att man jobbat bättre på lektionerna, menar samma elev.
Någon menar att dagboken varit nyttig för lärandet och att man fått samla ihop sina tankar i slutet av varje lektion. En elev skriver: Jag har lärt mig ganska mycket. Mattedagboken har gjort att man lättare kommer ihåg hur man räknar ut olika saker och den har gjort att man tänker igenom allt lite mera. En annan elev menar att mattedagboken gjort att hon fått tänka tillbaka och repetera vad hon gjort. En elev påpekar att mattedagboken gjort att han fått tänka annorlunda i och med att han nu skulle formulera sig skriftligt om det matematiska
innehållet. Många elever skriver om att dagboken medfört en kontinuerlig utvärdering av lektionerna och menar det är positivt. En elev skriver: Det är bra för då vet du vad vi tycker om lektionerna. Läraren har dessutom fått klart för sig vilka svårigheter eleverna haft och detta har bland annat inneburit att genomgångarna på tavlan blivit fler sedan dagboken infördes. Vi har fått fler genomgångar på tavlan efter att vi infört dagboken och det är bra,
menar en elev. Dagboksskrivandet har gjort läraren medveten om problemen och det har kunnat åtgärdas snabbare än tidigare. En elev konstaterar: Att skriva har varit bra för läraren förstår oss bättre nu. Det har blivit ytterligare ett sätt att be om hjälp och lärarens
kommentarer har varit värdefulla. Jag får kontakt med läraren. Jag har fått extra hjälp på det sättet, skriver en elev.
En elev konstaterar att det egna humöret påverkar om dagboksskrivandet ska vara till någon nytta, för ibland känns det jobbigt att skriva och ibland är det med nöje. Det
framkommer också att eleverna ibland haft svårt att veta vad de skulle skriva. Men de flesta eleverna har dock inte funnit något negativt med skrivandet utan vill istället se en
fortsättning.
DISKUSSION
Metoddiskussion
Eftersom syftet var att studera hur matematikdagboken fungerar som ett pedagogiskt redskap för matematisk reflektion samt att beskriva elevernas reflektion över lärandeprocess och deras upplevelser av reflektion, var kvalitativ metod ett bra val. Studiens analys genomfördes med vägledning av Burnards innehållsanalys (1991), men om analysen av datamaterialet hade analyserats fullt ut enligt Burnards innehållsanalys skulle resultatet vara mer djupgående beskrivet och med mer variation. Burnard innehållsanalys användes alltså endast som ett redskap för att skapa en struktur vid analysen av datamaterialet.
Den tydliga introduktionen av dagboken vid studiens början, då eleverna blev
informerade om att studien skulle göras under ett par månaders tid, kan ha påverkat eleverna.
Det positiva kan ha varit att eleverna inte sett dagboksskrivandet som något betygsgrundande utan helt enkelt som en studie i syfte att undersöka dagboksskrivandet. Det negativa kan ha varit att eleverna genom introduktionen fått en förutfattad mening för vad
matematikdagboken skulle innebära, men det faktum att eleverna redan under förra läsåret, under en period på fyra veckor provat på dagboksskrivandet talar emot detta.
Trots den relativt korta tidsperioden på 8 veckor som eleverna skrivit i dagboken har ett stort datamaterial erhållits som möjliggjort att syftet har uppnåtts. I slutet av
datainsamlingsperioden uppstod en mättnad, s.k. saturation, där allt färre nya dimensioner av elevernas reflektion i dagboksskrivandet framträdde. Därför är det inte säkert att man skulle ha fått fram mer ingående beskrivningar av innehållet och elevernas reflektioner om de hade
fått skriva dagbok under en hel termin. Men om kompletterande intervjuer med elever från klassen hade gjorts, skulle man troligen ha fått fram fler tankar och mer djupgående reflektioner om deras upplevelser av dagboksskrivandet.
Att låta sina egna elever skriva dagbok kan vara både till fördel och till nackdel för studiens trovärdighet. Fördelarna att studera sin egen klass är att läraren har en
bakgrundskunskap om eleverna, vet vad de tidigare haft för svårigheter och kan jämföra och studera elevernas utveckling som annars skulle vara omöjligt för en utomstående
undersökare. Nackdelen är det faktum att eleverna redan innan har en relation till den som genomför studien som bl.a. innebär att undersökaren, i detta fall läraren, också har en bedömande funktion när det gäller elevernas kunskaper inför t.ex. betygssättning. Detta kan medföra att eleverna skriver det läraren vill höra och att de försöker utnyttja sin relation för egen vinnings skull. Att pojkar var överrepresenterade i urvalet jämfört med flickor verkar inte ha påverkat resultatet. Det vore intressant att genomföra en jämförande studie mellan olika klasser och olika skolor, för att se om det finns någon skillnad mellan könen när det gäller reflektion i matematikdagböcker.
Utformningen av enkäten, dess svarsalternativ och öppna frågor kan diskuteras. Vissa av frågorna skulle kunna omformuleras om studien upprepas igen, detta för att undvika
missförstånd och därmed öka enkätens validitet. När syftet är att beskriva elevers upplevelser kan kvalitativa intervjuer ibland ge mer uttömmande information än enkäter.
Resultatdiskussion
Lärandet och metakognition
Matematikdagböckerna har i studien fungerat som ett metodiskt redskap för reflektion om det egna lärandet. Mycket av det som eleverna reflekterar över speglar innehållet i de områden klassen arbetat med under de två månader de provat på skrivandet. När innehållet i
dagböckerna analyseras med utgångspunkt ifrån elevernas redan uppnådda mål kan man urskilja ett samband mellan det som skrivits och de mål som eleverna uppnått. Eleverna har flera intressanta reflektioner om hur man lär sig bäst. Förutom de mer förväntade tankarna, som att repetition ger färdighet och att den individuella hjälpen är viktig, så återkommer funderingar över vad den egna reflektionen har för betydelse för hur man lär sig bäst.
Eleverna verkar ibland sakna ord för hur de skall uttrycka sig om det egna lärandet, men studien visar att de ändå reflekterar en hel del över lärandet och de faktorer som påverkar lärandet även om inte begreppet metakognition används. Personligen trodde jag att det skulle vara svårt att kunna se detta på grund av studiens relativt korta tidsperiod, men det har varit
glädjande att se att eleverna verkligen skriver om sitt eget lärande. Att de skrivit så mycket om sitt lärande kan bero på flera saker, dels har dagbokens utformning och den introduktion som de fick av läraren säkert gjort sitt till, men också den kontinuerliga uppföljning som skett i utbytet av tankar mellan läraren och eleven har säkert påverkat. Eleverna framhåller att själva uppdraget att formulera sina tankar i dagboken, har lett till att de reflekterar mer än tidigare. Lundberg (1984) anser att självbilden och metakognitionen har ett tydligt samband och detta framkommer även i denna studies analys av elevernas dagböcker. Det framkommer att de elever som tvivlar på sin egen förmåga efter att ha varit lågpresterande under lång tid visar tydliga tecken på att ha svårt att skriva om sitt eget lärande. Ahlberg (2001) menar, med stöd av kursplanen i matematik (Skolverket, 2000), att lärarens huvuduppgift bör vara att just stärka elevens självtillit och tro på den egna förmågan.
I inledningsskedet kan det vara svårt för eleverna att se den pedagogiska poängen med att återvända till något man tidigare arbetat med. Trots att en del elever verkligen upplever repetition som något tråkigt är det ändå påfallande många som ändå inser värdet av repetition i sitt eget lärande. Att återvända till en fråga handlar inte i första taget om att repetera
kunskaper utan kan istället handla om reflektion och den kan innebära en utveckling i såväl den egna kunskapen som det egna tänkandet. Detta är något som Molloy (1996) framhåller som viktigt. Att elever själva noterat att de återvänder till vissa uppgifter efter en tid för att förstå dem bättre är ett intressant resultat i studien. Eftersom dagboken är ett levande dokument där eleverna kan återvända och läsa igenom det som skrivits innan liknar användandet till viss del portfolio metodiken (Ellmin, 2001).
Att som lärare, kontinuerligt läsa dagböckerna och skriva kommentarer, har både varit tidskrävande och givande. Detta ligger väl i linje med det Hoel (2001) anser och det Sjödahl och Nordin (2005) har kunnat konstatera i sin studie av användandet av matematikdagbok.
Den kunskap, den förståelse och den insyn i hur eleverna reflekterar och var de står rent kunskapsmässigt som man som lärare får genom dagboken, är dock långt mera värd är den tid det tar att kommentera. I förlängningen bidrar den troligtvis dessutom till en bättre bedömning av elevers färdigheter samt en mindre arbetsbörda för läraren.
När det gäller den matematiska reflektionen så var det till en början svårt för eleverna att formulera sina tankar i dagboken. Med tiden kunde man se att de började ta vara på tillfället att uttrycka sin tankar och bekymmer kring specifika uppgifter. Med den återkoppling som eleven fick kunde man som undersökare få en bild av hur eleven resonerade och med
dagbokens hjälp kunde en fruktbar kommunikation inledas. En del elever insåg med tiden att deras matematiska reflektioner i dagboken togs på allvar av läraren och att den återkoppling som följde gjorde att de själva fick svar på sina funderingar och kunde utvecklas.
För lärandet och för reflektionen är lärandemiljön viktig. Eleverna har insett att miljön påverkar dem och eleverna är snabba att ge sina synpunkter på missförhållanden och saker som de vill se en förändring på. Att miljön på matematiklektionerna kommenteras i så hög grad av eleverna i denna studie verkar inte vara något unikt, utan stämmer väl överens med Skolverkets rapport (2006) om elevers generella upplevelse av matematikundervisningen i klassrumsmiljön. Maltén (1995) anser att det är viktigt att läraren har förmågan att
tillsammans med eleverna skapa ett arbetsklimat som är gynnsamt för lärandet. Detta är något som också går att ana i elevernas reflektioner och som stämmer överens med min egen
personliga uppfattning.
Samtidigt som elever insett att reflektion är viktigt för lärandet är det många som visar oro över att inte hinna med allt de borde och detta skapar stress som är negativt för lärandet.
De negativa kommentarerna om matematikdagboken grundar sig just i den stress de känner i och med att skrivandet tar av tiden som annars skulle ha gått till räkning i boken. Tidsfaktorn är således något som påverkar det egna lärandet och är dessutom något som kan hindra eleverna att uppfatta de positiva sidorna av att reflektera i dagboken om sitt eget lärande.
Flera elever påpekar att lektionens placering på dagen, t.ex. innan lunch påverkar inlärningen.
Detta är något som lärarna bör ta i större beaktning i planering av innehåll och struktur på lektionerna.
Det egna välbefinnandet påverkar lärandet. Eleverna skriver om att deras humör påverkar lärandet och detta ligger väl i linje med de tankar som återfinns hos Ahlberg (2001). I studien framkommer att orsakerna till varför man inte mår bra kan variera mycket och detta ställer stora krav på läraren att vara lyhörd i mötet med eleven. Det är således inte bara det
matematiska innehållet eller upplägget på lektionen som avgör om lärandet ska fungera, utan ofta helt andra saker. Läraren blir här inte bara en traditionell kunskapsförmedlare utan en lyssnande pedagog som möter eleven i den situation hon eller han befinner sig i.
Skillnader i skrivandet
Skrivandet i dagböckerna skiljer sig generellt både mellan könen och mellan låg- och
högpresterande elever. Flickorna skriver betydligt mer omfattande redogörelser, har ett rikare språkbruk och använder fler matematiska begrepp i sina reflektioner jämfört med pojkarna.
Flickorna är också generellt sett är mer positiva till dagboksskrivandet än vad pojkarna är.
Medan pojkarna skriver vad de arbetat med, väver flickorna in mer social kommunikation och mer reflektioner över sitt eget lärande i sina formuleringar i dagboken. Att det finns skillnad mellan könen kan bero på flera orsaker, där en orsak kan vara skillnader i mognad mellan flickor och pojkar. Högpresterande elever skriver generellt mer och är mer varierande
