Tentamen i Matematik 3. M0031M.
Datum: 2008-12-20 Skrivtid: 09:00–14:00
Antal uppgifter: 6 ( 30 po¨ang ).
Jourhavande l¨arare: Marianna Euler. Telefon: 0920-492871.
Till˚atna hj¨alpmedel: Inga
Till alla uppgifterna skall fullst¨andiga l¨osningar l¨amnas.
Resonemang och utr¨akningar ska vara tydligt presenterade.
Aven endast delvis l¨¨ osta problem kan ge po¨ang.
Enbart svar ger 0 po¨ang.
Uppgift 1.
a) Best¨am det reela talet a s˚a at
Im
4 − 3i a+ i
= 1 2
b) Rita den figur i komplexa planet som best¨ams av |z + i| = |z + 2|
c) Ber¨akna (1 + i)100 p˚a formen a + ib, d¨ar a och b ¨ar reela.
[5 po¨ang]
Uppgift 2.
L¨os randv¨ardesproblemet
x2y′′+ xy′+ y = 0, y(eπ4) = √
2, y(eπ3) =√ 3
[5 po¨ang]
Uppgift 3.
Finn den allm¨anna l¨osningen till differentialekvationen
y′+ 2y = 2x√y genom att g¨ora substitutionen z(x) =qy(x).
[5 po¨ang]
Uppgift 4. L˚at T : P2 7→ P4 vara den avbildning som defineras av T(p(t)) = p(t) + 2t2p(t) d¨ar p(t) = a0 + a1t+ a2t2.
a) Visa att T ¨ar en linj¨ar avbildning.
b) Best¨am matrisen f¨or avbildningen T med avseende p˚a basen {1, t, t2} f¨or P2 och basen {1, t, t2,t3,t4} f¨or P4.
[5 po¨ang]
Uppgift 5. L˚at V vara rummet av kontinuerliga funktioner p˚a [−1, 1] med en skal¨arprodukt definierad av
< f, g >=
Z 1
−1
f(x)g(x)dx
Antag vidare att W ¨ar det underrum som sp¨anns upp av funktionerna f1(x) = 1, f2(x) = x, f3(x) = x2, f4(x) = x3. Anv¨and Gram-Schmidts metod f¨or att best¨amma en ortonormerad bas f¨or W .
[5 po¨ang]
Uppgift 6.
L¨os endast ett av f¨oljande alternativ, dvs endast en av {(6.1), (6.2)}
6.1 En l¨osning till den linj¨ar homogen differentialekvation av ordnig 2 ¨ar y1(x) = (1 + x)2 och den andra l¨osningen y2(x) uppfyller
(1 + x)2y2′ − 2(1 + x)y2 = 3.
Best¨am den allm¨anna l¨osningen till ekvationen.
6.2 a) Antag att matrisen A har egenvektorerna v1 och v2 som h¨or till olika egenv¨arden.
Visa att v1 + v2 inte ¨ar en egenvektor till A.
b) Visa att matrisen A har egenv¨ardet 0 om och endast om A ej ¨ar inverterbar.
[5 po¨ang]
