Tentamen i Linj¨ar algebra och differentialekvationer M0031M
Tentamensdatum: 2010-05-19 Skrivtid: 09.00 - 14.00
Betygsgr¨anser: 0-13 U, 14-19 3, 20-24 4, 25-30 5 Inga hj¨alpmedel till˚atna.
Till alla uppgifter ska fullst¨andiga l¨osningar l¨amnas. Resonemang, ekvations- l¨osningar, inf¨orda beteckningar och utr¨akningar f˚ar inte vara s˚a knapph¨andigt redovisade att de blir sv˚ara att f¨olja. ¨Aven delvis l¨osta uppgifter b¨or emellertid l¨amnas in.
Lycka till!
1
1. Betrakta polynomet
P (z) = z4− 2z3+ 10z2− 10z + 25
Visa att z = 1 + 2i ¨ar ett nollst¨alle till P (z) och best¨am sedan samtliga
nollst¨allen till P (z). (5 p)
2. Vektorrum och baser.
a) L˚at V vara ett vektorrum och b1, b2, . . . , bnvara element i V . Definiera vad som menas med att b1, b2, . . . , bn ¨ar en bas f¨or V . (2 p) b) L˚at W vara ett vektorrum med en bas c1, c2, c3. Definiera v1 = c1 +
2c2, v2 = c1+ c2+ c3 och v3 = c1+ 2c2− c3. Visa att v1, v2, v3 ¨ar en
bas f¨or W . (3 p)
3. Egenv¨arde, egenvektorer och diagonalisering.
a) Betrakta matrisen
A =
"
1 2
−1 4
#
.
Diagonalisera A, dvs best¨am P och D, d¨ar D ¨ar en diagonalmatris, s˚a
att A = P DP−1. (4 p)
b) L˚at B vara en inverterbar matris med ett egenv¨arde λ. Visa att 1/λ
¨
ar ett egenv¨arde till B−1. (1 p)
4. Betrakta f¨oljande data
x −2 −1 0 1 2
y 2 0 −3 −1 1
Best¨am den funktion av typen y = α + βx2 som b¨ast approximerar datat i
minsta kvadrat-metodens mening. (5 p)
5. F¨orsta ordningens differentialekvationer.
a) Best¨am den allm¨anna l¨osningen till
xy0+ y = xex, x > 0.
(3 p) b) L˚at f vara en kontinuerlig funktion. Visa att differentialekvationen
y0 = f (y/x), x > 0
blir en separabel differentialekvation efter bytet av beroende variabel:
v(x) = y(x)/x. (2 p)
2
6. L¨os f¨oljande begynnelsev¨ardesproblem
⎧⎪
⎨
⎪⎩
y00+ 5y0+ 6y = 10 sin x y(0) = 0
y0(0) = 1.
(5 p)
Svar:
1. 1± 2i, ±i√ 5
2a. De skall bilda en linj¨art oberoende m¨angd som sp¨anner upp V . 3a. Exempelvis P =
"
1 2 1 1
#
, D =
"
3 0 0 2
#
4. y =−72/35 + 13x2/14.
5a. y = (1− 1/x)ex+ C/x.
5b. v = y/x medf¨or y0 = v + v0x, dvs v + v0x = f (v) wilket betyder v0 = (f (v)− v)1x, separerade!
6. y = 3e−2x − 2e−3x+ sin x− cos x.
3
