Tentamen i Matematik 3. M0031M.
Datum: 2009-12-17 Skrivtid: 09:00–14:00
Antal uppgifter: 6 ( 30 po¨ang ).
Jourhavande l¨arare: Marianna Euler och Norbert Euler.
Telefon: 0920-492878 (Norbert).
Till˚atna hj¨alpmedel: Inga
“Grading”: 0 − 13 :=“U”, 14 − 19 := 3, 20 − 24 := 4, 25 − 30 := 5.
Till alla uppgifterna skall fullst¨andiga l¨osningar l¨amnas.
Resonemang och utr¨akningar ska vara tydligt presenterade.
Aven endast delvis l¨¨ osta problem kan ge po¨ang.
Enbart svar ger 0 po¨ang.
Uppgift 1: a) Best¨am alla reella v¨arden f¨or a s˚a att Re
4 − 3i a+ i
= 1
b) Best¨am samtliga l¨osningar till f¨oljande algebraiska ekvation z2 = −5 + 12i,
[5 po¨ang]
Uppgift 2: Finn allm¨an l¨osning till differentialekvationen
y′+ 2y = 2x√y genom att g¨ora substitutionen z(x) = √y
[5 po¨ang]
Uppgift 3: Betrakta matrisen A
A=
1 4 5 2 2 1 3 0
−1 3 2 2
a) Finn en bas f¨or nollrummet till A (Nul A) och dimensionen av detta rum.
b) Best¨am vilka av vektorerna
b1 =
4 2 2 0
,b2 =
−2
−1 1 0
,b3 =
−2 1
−1 0
som ligger i nollrummet till A. Uttryck de vektorer bi som ligger i nollrummet som ¨ar en linj¨arkombination av basvektorerna f¨or A:s nollrum.
[5 po¨ang]
Uppgift 4: Betrakta det linj¨ara ekvationssystemet Ax = b, d¨ar matrisen A och vektorn b ges av
A=
4 0 0 2 1 1
, b =
2 0 11
a) Visa att systemet saknar l¨osning.
b) Best¨am samtliga l¨osningar till systemet som kan genereras med minstakvadrat- metoden.
[5 po¨ang]
Uppgift 5: Betrakta vektorrummet V med inre produkt C[0, 1]
< f, g >=
Z 1 0
f(t)g(t)dt
L˚at W vara underrumet i V , som ¨ar sp¨anns upp av polynomen p1(t) = 1,
p2(t) = 2t − 1 och p3(t) = 12t2. Finn en ortogonal bas till W mha Gram-Schmidts ortogonaliseringsf¨orfarande.
[5 po¨ang]
Uppgift 6:
L¨os endast ett av f¨oljande alternativ, dvs endast en av {(6.1), (6.2), (6.3)}:
6.1 a) L˚at V vara matrism¨angden med element M =
"
a 0 0 b
#
d¨ar a och b ¨ar reella positiva tal.
Best¨am om V ¨ar en vektorrum. Motivera ditt svar.
b) L˚at H vara polynomm¨angden med element p(t) = kt2, d¨ar k ¨ar reellt tal.
Best¨am om H ¨ar ett underrum i vektorrummet P2. Motivera ditt svar.
6.2 L˚at T : P2 7→ P3 vara avbildning som defineras av T (p(t)) = (t + 5)p(t).
a) Best¨am om T ¨ar en linj¨ar avbildning. Motivera ditt svar.
b) L˚at p(t) = a0+ a1t+ a2t2, d¨ar aj ∈ ℜ. Best¨am a0, a1 och a2 f¨or vilka T (p(t)) = 5 + t + 5t2+ t3.
6.3 Betrakta differentialekvationerna
y′′+ p(x)y′+ q(x)y = h(x), (1)
y′′+ p(x)y′+ q(x)y = 0, (2) d¨ar y = y(x) och p(x), q(x), h(x) ¨ar givna funktioner.
a) L˚at y1(x) och y2(x) vara partikularl¨osningar till ekvationen (1).
Visa att y1(x) − y2(x) ¨ar ett l¨osning till ekvationen (2).
b) Det finns p(x), q(x) och h(x) s˚a att y1(x) = x2, y2(x) = x2+ e2x och y3(x) = 1 + x2+ 2e2x ¨ar partikularl¨osningar till ekvation (1).
Best¨am allm¨an l¨osning till ekvation (2).
[5 po¨ang]
