Lule˚ a tekniska universitet TENTAMEN I MATEMATIK. M0018M Institutionen f¨or matematik Linj¨ar analys, 7.5hp.

Lule˚ a tekniska universitet TENTAMEN I MATEMATIK. M0018M Institutionen f¨or matematik Linj¨ar analys, 7.5hp.

10:e januari 2011. Tid: 5h.

Hj¨alpmedel: Beta, mathematics handbook.

L¨osningar skall presenteras p˚ a ett s˚ adant s¨att att r¨akningar och resonemang blir l¨atta att f¨olja. M¨ark varje l¨osningsblad med namn och personnummer.

1. L¨os dy

dt 2y = te

+ sin(2t), y(0) = 0 med hj¨alp av Laplacetransformen. (5p) 2. Avg¨or om f¨oljande serier ¨ar konvergenta eller divergenta. Motivera ditt svar utf¨orligt.

a) X

n

n

+ 5n + 4 . (1p)

b) X

( 1)

+ 1

n . (1p)

c) X

e

n! . (1p)

d) X

1

n ln n . (2p)

3. Ber¨akna en begr¨ansad l¨osning till d

y

dt

+ dy

dt 2y = H(t 2)

, t 2 R

med hj¨alp av dubbelsidig Laplacetransform. H ¨ar Heavisidefunktionen och ¨ar Dirac’s delta-

funktion och

¨ar distributionsderivatan av . (5p)

4. Best¨am med hj¨alp av Fourierserier en allm¨an l¨osning till y

+ 4y = f (x), x 2 R, d¨ar

f (x) =

( 0, x 2 [0, ⇡/2]

1, x 2 ( ⇡/2, 0],

och f har periodl¨angd ⇡. (5p)

5. Best¨am en l¨osning y(t) till f¨oljande ekvation Z

1

y(t ⌧ )e

d⌧ = 4

3 e

2

3 e

, t 2 R.

(5p) L¨ os en och endast en av f¨ oljande tre uppgifter A, B eller C.

6. A. L˚ at A vara matrisen 0

@ 1 1 1

1 1 0

1 1 0

1

A och l˚at x 2 R

. L¨os begynnelsev¨ ardesproblemet

dx

dt = Ax, x(0) = 0

@ 1 1 1

1 A

tex med hj¨alp av egenv¨ardesmetoden. (5p)

6 B. L¨os begynnelsev¨ ardesproblemet d

y

dt

+ t

dy

dt + 2ty = 0, y(0) = 1, y

(0) = 0, med hj¨alp av potensserieansats y(t) =

X

a

t

. (5p)

6 C. Anv¨and definitionen av dubbelsidig Laplacetransform L f¨or att h¨arleda en formel f¨or a) L(e

(H(t) 1))(s), ange dessutom ett villkor f¨or den komplexa variabeln s s˚ a att transformen

existerar. (3p)

b) H¨arled med hj¨alp av definitionen f¨or dubbelsidig Laplace L(tf(t))(s) = d

ds L(f(t))(s).(2p)