Formelsamling i Automationsteknik FK

(1)

Formelsamling i Automationsteknik FK

Z-transformation

Antag att f (k), k = 0, 1, 2, . . . ¨ar en tidsdiskret signal.

Z-transformenav f (k) definieras av

F(z) = Z(f (k)) =

∞

X

k=0

f(k)z^−k

Slutv¨ardesteoremet

k→∞lim f(k) = lim

z→1(z − 1)F (z)

under f¨oruts¨attning att (z − 1)F (z) inte har n˚agra poler i |z| ≥ 1.

Begynnelsev¨ardesteoremet

k→0limf(k) = lim

z→∞F(z)

under förutsättning att gränsvärdet i högerledet existerar.

Tabell ¨over Z-transformer

f(k) Z[f (k)] = F (z) Kommentarer

pe(k) 1 Enhetspuls (1 om k = 0, 0 annars)

pe(k − d) z^−d F¨ordr¨ojd enhetspuls (1 om k = d, 0 annars)

se(k) z

z− 1 Enhetssteg (0 om k < 0 och 1 om k ≥ 0) se(k − d) z^−d z

z− 1 F¨ordr¨ojt enhetssteg (0 om k < d och 1 om k ≥ d)

k se(k) z

(z − 1)² Enhetsramp

a^kse(k) z

z− a

ka^kse(k) az

(z − a)² a^ksin bk se(k) zasin b

z²− 2a(cos b)z + a² a^kcos bk se(k) z(z − a cos b)

z²− 2a(cos b)z + a²

(2)

R¨akneregler f¨or Z-transformer

f(k) Z[f (k)] = F (z) Kommentarer c1f1(k) + c²f2(k) c1F1(z) + c²F2(z) Linj¨aritet

f(k − d) z^−dF(z) F¨ordr¨ojning a^kf(k) F z

a

D¨ampning

kf(k) −zdF

dz

Allm¨an formel f¨or stegsvarsinvariant (ZOH) diskretisering

H(z) = z− 1 z Z

L⁻¹ G(s) s

_t=kh

Allm¨an formel f¨or rampsvarsinvariant diskretisering

H(z) = (z − 1)² zh Z

L⁻¹ G(s) s²

_t=kh

Tabell f¨or stegsvarsinvariant (ZOH) diskretisering

G(s) H(z) Kommentarer

1 s

h z− 1 1

s²

h²(z + 1) 2(z − 1)² b

s+ a

b a

1 − e^−ah z− e^−ah c a²

s²+ a² c(1 − cos ah)(z + 1) z²− 2z cos ah + 1 c a²

(s + a)² c(1 − (1 + ah)e^−ah)z + e^−ah(e^−ah− 1 + ah) (z − e^−ah)²

b

s+ ae^−Ls, L= mh z^−mb a

1 − e^−ah

z− e^−ah m heltal

(3)

Approximativ diskretisering

Approximation av tidskontinuerlig (”analog”) regulator med tidsdiskret (”dig- ital”) regulator:

HR(z) ≈ GR(s^′) d¨ar s^′ f¨or respektive diskretiseringsmetod ges av

Euler-fram˚at: s^′ = z− 1 h Euler-bak˚at: s^′= z− 1

hz Tustin: s^′ = 2(z − 1)

h(z + 1)

Stabilitetskriterier

För att ett tidsdiskret system med överföringsfunktion H(z) skall vara stabilt krävs att samtliga poler till H(z) befinner sig innanför enhetscirkeln (|z| < 1).

Schur-Cohn-Jury’s metod Karakteristiska ekvationen ¨ar

a0zⁿ+ a1zⁿ⁻¹+ a2zⁿ⁻²+ · · · + an−1z+ an= 0 Tabell:

a0 a1 . . . an−1 an

an an−1 . . . a1 a0

b0 b1 . . . bn−1

bn−1 bn−2 . . . b0

c0 c1 . . . cn−2 cn−3 . . . d¨ar

b0 = a0a0− anan, b1 = a1a0− an−1an, . . . och

c0 = b⁰b0− bn−1bn−1, c1 = b¹b0− bn−2bn−1, . . . osv.

Systemet är stabilt precis d˚a inga teckenväxlingar förekommer bland de koefficienter som har index 0 (a0, b0, c0 etc).

(4)

M¨obius-Routh’s metod

Denna metod g˚ar ut p˚a att först transformera problemet fr˚an z-planet till s-planet (här kallat w-planet istället) och sen använda Routh’s test där.

R¨otterna till polynomet

A(z) = a⁰zⁿ+ a¹zⁿ⁻¹+ a²zⁿ⁻²+ · · · + an−1z+ an

ligger innanf¨or enhetscirkeln (|z| < 1) om och endast om polynomet (1−w)ⁿA 1 + w

1 − w

= a0(1+w)ⁿ+a1(1+w)ⁿ⁻¹(1−w)+· · ·+an−1(1+w)(1−w)ⁿ⁻¹+an(1−w)ⁿ har alla rötter i vänstra halvplanet (Re w < 0). Därmed kan stabilitetstestet

¨

overf¨oras p˚a Routh’s kriterium i w-planet.

Specialfall: Andra ordningens system

Andragradspolynomet A(z) = z²+ a1z+ a2 har alla r¨otter i |z| < 1 om







a2 <1 a2 > a1− 1 a2 >−a1− 1 Rouths metod

Karakteristisk ekvation

a0sⁿ+ a¹sⁿ⁻¹+ a²sⁿ⁻²+ · · · + an−1s+ an= 0 Rouths tabell:

a0 a2 a4. . . a1 a3 a5. . . c0 c1 c2. . . d0 d1 d2. . . d¨ar

c0 = a1a2− a0a3

a1

, c1 = a1a4− a0a5

a1

, . . . osv

d0 = c0a3− a1c1

c0

, . . .

Antalet teckenväxlingar hos talen i den första kolumnen (längs till vänster)

¨

ar lika med antalet rötter till den karakteristiska ekvationen som har positiv realdel (Re s > 0). Systemet är stabilt precis d˚a detta antal är 0 (inga teckenväxlingar i första kolumnen)

(5)

Polplacering

Problem: Givet en process med ¨overf¨oringsfunktionen H(z) = B(z)

A(z) = b1z⁻¹+ b2z⁻²+ · · · + bn_Bz⁻ⁿ^B 1 + a1z⁻¹+ a2z⁻²+ · · · + an_Az⁻ⁿ^A dimensionera en regulator av typen

U(z) = Kr

T(z)

C(z)R(z) − D(z) C(z) Y(z) d¨ar







C1(z) = 1 + c1z⁻¹+ · · · + cn_C1z⁻ⁿ^C1 D(z) = d0+ d1z⁻¹+ · · · + dn_Dz⁻ⁿ^D T(z) = 1 + t¹z⁻¹+ · · · + tn_Tz⁻ⁿ^T

s˚a att slutna systemets karakteristiska polynom blir P (z) = 1 + p1z⁻¹ +

· · · + pn_Pz⁻ⁿ^P. Här är C(z) = (1 − z⁻¹)ⁿÎC1(z) där nI = 1 om regula- torn skall ha integralverkan och nI = 0 annars. Utan bortförkortning av processnollställen blir algoritmen följande:

1. V¨alj gradtal p˚a C och D enligt

(nC = nB− 1 + nI

nD = nA− 1 + nI

Observera att med integralverkan (nI = 1) blir nC1 = nC− 1 = nB− 1 och att det d˚a g¨aller att C(z) = (1 − z⁻¹)C1(z).

2. V¨alj gradtalet hos P till nP = nA+ nC och inkludera T (z) som faktor i P dvs s¨att P (z) = P1(z)T (z).

3. L¨os polynomekvationen A(z)C(z) + B(z)D(z) = P (z) dvs A(z)(1 − z⁻¹)ⁿ^IC1(z) + B(z)D(z) = P (z)

med avseende p˚a C1(z) och D(z) och sätt C(z) = (1 − z⁻¹)ⁿÎC1(z) 4. Börvärdesfaktorn väljes enligt

Kr= P(1) B(1)T (1)

Om polynomet T (z) inte ¨ar specificerat s˚a g¨aller att T (z) = 1 (konstant).

(6)

Tillst˚andsmodeller Ett system p˚a tillst˚andsform

(˙x = Ax + Bu y = Cx + Du har ¨overf¨oringsfunktionen

G(s) = C(sI − A)⁻¹B+ D

Omvänt kan ett system representerat med överföringsfunktionen G(s) = b1sⁿ⁻¹+ b²sⁿ⁻²+ · · · + bn−1s+ bn

sⁿ+ a1sⁿ⁻¹+ a2sⁿ⁻²+ · · · + an−1s+ an

realiseras p˚a olika sätt p˚a tillst˚andsform (x är tillst˚andsvektorn). De mest kända typerna av realiseringar är följande tre

Styrbar kanonisk form:

˙x =







−a1 −a2 · · · −an−1 −an

1 0 · · · 0 0

0 1 · · · 0 0

... ... . .. ... ...

0 0 · · · 1 0





 x+





 1 0 0 ... 0





 u

y= b1 b2 · · · bn−1 bn x Observerbar kanonisk form:

˙x =







−a1 1 0 · · · 0

−a² 0 1 · · · 0 ... ... ... . .. ...

−an−1 0 · · · 0 1

−an 0 · · · 0 0





 x+





 b1

b2

... bn−1

bn





 u

y= 1 0 0 · · · 0 x

Diagonalform:

Om ¨overf¨oringsfunktionen G(s) enbart har enkla poler kan den uppdelas i partialbr˚ak enligt

G(s) = β1

s+ α1

+ β2

s+ α2

+ · · · + βn−1

s+ αn−1

+ βn

s+ αn

(7)

Diagonalformen ges d˚a av

˙x =







−α1 0 · · · 0 0

0 −α2 · · · 0 0

... ... . .. ... ... 0 0 · · · −αn−1 0

0 0 · · · 0 −αn





 x+





 β1

β2

... βn−1

βn





 u

y = 1 1 · · · 1 1 x

Styrbarhet och tillst˚ands˚aterkoppling F¨or systemet

˙x = Ax + Bu

där A är en n × n-matris och B är en n × 1-matris definieras styrbarhets- matrisen Ws som

Ws= (B AB · · · Aⁿ⁻¹B)

Om det Ws 6= 0 s˚a s¨ags systemet vara styrbart. Med tillst˚ands˚aterkoppling u(t) = ℓrr(t) − Lx(t), L= (ℓ1 ℓ2 · · · ℓn)

kan d˚a polerna hos det slutna systemet placeras p˚a fritt valda ställen i s- planet. Polerna hos det slutna systemet sammanfaller d˚a med egenvärdena till matrisen A − BL dvs lösningarna till ekvationen det(sI − (A − BL)) = 0.

Diskretisering av system p˚a tillst˚andsform Det tidskontinuerliga systemet

˙x = Ax + Bu

diskretiseras med samplingsperioden h och styckvis konstant styrsignal. Re- sultatet blir

x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k) med

Φ = e^Ah Γ =

h

Z

0

e^AtBdt

där matrisexponentialfunktionen kan beräknas enligt eÂt = L⁻¹ (sI − A)⁻¹

(8)

Identifiering av tidsdiskreta system med minsta-kvadrat-metoden (MK)

Givet en modell p˚a f¨oljande form

y(k) + a¹y(k − 1) + a²y(k − 2) + · · · + an−1y(k − n + 1) + any(k − n)

= b1u(k − 1) + b2u(k − 2) + · · · + bn−1u(k − n + 1) + bnu(k − n) där in- och utsignaler (u(k) och y(k)) uppmätts för tidpunkterna k = 0, 1, 2, . . . , N . MK-skattning av parametrarna a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn

kan d˚a utföras genom minimering av en kvadratisk förlustfunktion. Intro- ducera först

θ=





 a1

... an

b1

... bn







ϕ(k) =







−y(k − 1) ...

−y(k − n) u(k − 1)

... u(k − n)





 Φ =







ϕ^T(n) ϕ^T(n + 1)

... ϕ^T(N )





 Y =





 y(n) y(n + 1)

... y(N )







Minimering av f¨orlustfunktionen V(θ) =

N

X

k=n

(y(k) − ϕ^T(k)θ)² = (Y − Φθ)^T(Y − Φθ) ger l¨osningen

θ= ˆθ= (Φ^TΦ)⁻¹Φ^TY f¨orutsatt att Φ^TΦ ¨ar inverterbar.

Sannolikhetsteori

Bayes regel:

P(B | A) = P(A | B)P (B) P(A) Diskreta f¨ordelningar

X∼ Bin(n, p) ⇒ pX(x) =n x

p^x(1 − p)^n−x, x= 0, 1, 2, . . . , n

X∼ Hyp(N, n, d) ⇒ pX(x) =

d x

N − d n− x

N n

, x= 0, 1, 2, . . . , n

X∼ Po(λ) ⇒ pX(x) = e^−λλ^x

x!, x= 0, 1, 2, . . .

(9)

Laplacetransformation

Tabell ¨over laplacetransformer

f(t) L(f ) = F (s) Kommentarer

δ(t) 1 Impuls (“Diracfunktionen”)

θ(t) 1

s Enhetssteg (0 om t < 0 och 1 om t ≥ 0)

tθ(t) 1

s² Enhetsramp

e^−atθ(t) 1

s+ a te^−atθ(t) 1

(s + a)² sin bt θ(t) b

s²+ b² cos bt θ(t) s

s²+ b² e^−atsin bt θ(t) b

(s + a)²+ b² e^−atcos bt θ(t) s+ a

(s + a)²+ b² R¨akneregler f¨or laplacetransformer

f(t) L(f ) = F (s) Kommentarer

af(t) + bg(t) aF(s) + bG(s) Linj¨aritet

f(at) 1

aF s a

Skalning f(t − t0)θ(t − t0) e^−t⁰^sF(s) F¨ordr¨ojning

e^−atf(t) F(s + a) D¨ampning

tf(t) −dF

ds df

dt sF(s) − f (0⁻) Derivering

d²f

dt² s²F(s) − df

dt(0⁻) − sf (0⁻)

t

R

0

f(τ )dτ 1

sF(s) Integrering