1 F¨ orsta ordningens differentialekvationer

Sammanfattning av ordin¨ ara differentialekvationer

Joakim Edsj¨o ¹

Institutionen f¨or teoretisk fysik, Uppsala Universitet Telefon: 018 - 18 32 50 eller 018 - 18 76 30

19 februari 1995

1 F¨ orsta ordningens differentialekvationer

Kapitel 7–10 i Simmons

All¨amnt kan vi skriva en f¨orsta ordningens differentialekvation som dy

dx = f (x, y) (1)

eller som

M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0. (2)

Om vi kan skriva (1) som

dy

dx = g(x)h(y) (3)

s˚ a ¨ar den separabel och l¨osningen ges av

Z dy h(y) =

Z

g(x)dx + c (4)

d¨ar c ¨ar en konstant.

Om M (x, y) och N (x, y) i ekv. (2) ¨ar homogena ² av samma ordning s˚ a ¨ar (2) homogen. Vi kan d˚ a g¨ora den separabel genom att inf¨ora z = y/x och l¨osa ekvationen f¨or z = z(x).

1

E-mail: edsjo@teorfys.uu.se

2

En funktion M (x, y) ¨ar homogen av ordning n om M (tx, ty) = t

M(x, y).

Om M (x, y)dx + N (x, y)dy ¨ar en exakt differential, dvs om det existerar en funk- tion f (x, y) s˚ a att

∂f

∂x = M (x, y) och ∂f

∂y = N (x, y) (5)

s˚ a ¨ar (2) exakt. F¨oljande teorem ¨ar d˚ a bra att ha

Teorem. Ekvation (2) ¨ar exakt om och endast om

∂M

∂y = ∂N

∂x . (6)

Om ekvation (2) ¨ar exakt s˚ a l¨oses den genom att finna f (x, y). Integration av M (x, y) med avseende p˚ a x ger f (x, y) s˚ a n¨ar som p˚ a en ok¨and funktion g(y).

Derivatan av f (x, y) med avseende p˚ a y ¨ar lika med N (x, y) och detta ger en differentialekvation f¨or h(y). L¨osningen till (2) ges sedan av f (x, y) = c.

Ibland ¨ar inte ekv. (2) exakt, men kan g¨oras exakt med hj¨alp av en integrerande faktor, µ(x, y). Vi s¨oker d˚ a µ(x, y) s˚ a att

∂(µM )

∂y = ∂(µN )

∂x . (7)

Ofta kan man anta att µ = µ(x) eller µ = µ(y) och ekv. (7) blir d˚ a mycket enklare att l¨osa.

Den allm¨anna linj¨ara f¨orsta ordningens differentialekvation kan skrivas dy

dx + P (x)y = Q(x) (8)

och den l¨oses enklast genom att observera att e ^{R P (x)dx} ¨ar en integrerande faktor.

Multiplikation med e ^{R P (x)dx} ger d˚ a d

dx

 e ^{R P (x)dx} y ^ = Q(x)e ^{R P (x)dx} (9)

vilket sedan integreras.

2 Andra ordningens differentialekvationer

Kapitel 11–19 i Simmons

Man kan skriva den allm¨anna andra ordningens differentialekvationen som

F (x, y, y ⁰ , y ⁰⁰ ) = 0 (10)

I vissa fall kan man reducera ordningen p˚ a ekv. (10),

• Om y ej ing˚ ar i F s˚ a inf¨ors

y ⁰ = p och y ⁰⁰ = dp

dx (11)

varefter en f¨orsta ordningens differentialekvation, f (x, p, dp/dx) = 0, erh˚ alles med p = p(x) som l¨osning. Integration ger sedan y = y(x).

• Om x ej ing˚ ar i F s˚ a inf¨ors

y ⁰ = p och y ⁰⁰ = dp dx = dp

dy dy

dx = p dp

dy (12)

vilket ger en f¨orsta ordningens differentialekvation, f (y, p, pdp/dy), med p = p(y) som l¨osning. D¨arefter l¨oser man ekvationen y ⁰ = p(y) med y = y(x) som l¨osning.

N¨ar den andra ordningens differentialekvation ¨ar linj¨ar kan vi skriva den som d ² y

dx ² + P (x) dy

dx + Q(x)y = R(x). (13)

I allm¨anna fall finns ingen metod med vilken det alltid g˚ ar att l¨osa ekv. (13), men ibland kan man gissa en l¨osning och d˚ a ¨ar f¨oljande teorem bra att ha (se ¨aven sidan 16).

Teorem 14-A. L˚ at P (x), Q(x) och R(x) vara kontinuerliga funk- tioner p˚ a intervallet a ≤ x ≤ b. Om x ⁰ ¨ar n˚ agon punkt i detta intervall och y 0 och y ₀ ⁰ ¨ar vilka tal som helst s˚ a har

d ² y

dx ² + P (x) dy

dx + Q(x)y = R(x), y(x 0 ) = y 0 och y ⁰ (x 0 ) = y ₀ ⁰ (14)

en och endast en l¨osning y = y(x) p˚ a intervallet a ≤ x ≤ b.

Om R(x) = 0 s˚ a reduceras ekv. (13) till den homogena ekvationen d ² y

dx ² + P (x) dy

dx + Q(x)y = 0. (15)

F¨or att hitta den allm¨anna l¨osningen till (13) m˚ aste man ¨aven betrakta den homogena ekvationen (15) vilket f¨oljande teorem behandlar

Teorem 14-B. Om y _g ¨ar den allm¨anna l¨osningen till (15) och y _p ¨ar en partikul¨arl¨osning till (13) s˚ a ges den fullst¨andiga l¨osningen till (13) av y = y g + y p .

Vidare har vi f¨oljande superpositionsteorem f¨or l¨osningar till den homogena ek- vationen (15)

Teorem 14-C. Om y 1 (x) och y 2 (x) ¨ar tv˚ a l¨osningar till (15) s˚ a ¨ar c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) ocks˚ a en l¨osning till (15) f¨or alla konstanter c 1 och c 2 .

Det g¨aller nu att hitta den allm¨anna l¨osningen till den homogena ekvationen (15) och d˚ a har vi f¨oljande teorem till v˚ ar hj¨alp

Teorem 15-A. L˚ at y 1 (x) och y 2 (x) vara tv˚ a linj¨art oberoende ³ l¨osningar till (15) p˚ a intervallet [a, b]. D˚ a ¨ar

y g = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) (16) den allm¨anna l¨osningen till (15) p˚ a [a, b].

F¨or att unders¨oka linj¨art beroende hos tv˚ a l¨osningar y 1 (x) och y 2 (x) till (15) s˚ a

¨ar Wronskianen

W (y 1 , y 2 ) = y 1 y ₂ ⁰ − y ⁰ 1 y 2 (17) ett bra hj¨alpmedel. Vi har f¨oljande tv˚ a viktiga lemma

Lemma 15-2. Om y 1 (x) och y 2 (x) ¨ar tv˚ a l¨osningar till (15) p˚ a [a, b]

s˚ a ¨ar de linj¨art beroende p˚ a detta intervall om och endast om Wron- skianen W (y 1 , y 2 ) = y 1 y ₂ ⁰ − y 1 ⁰ y 2 ¨ar identiskt lika med noll p˚ a [a, b].

3

Tv˚ a funktioner f (x) och g(x) ¨ar linj¨art oberoende p˚ a intervallet [a, b] om man ej kan

uttrycka den ena som som en konstant g˚ anger den andra.

Lemma 15-1. Om y 1 (x) och y 2 (x) ¨ar tv˚ a l¨osningar till (15) p˚ a [a, b]

s˚ a ¨ar deras Wronskian W (y 1 , y 2 ) = y 1 y ₂ ⁰ − y 1 ⁰ y 2 antingen identiskt lika med noll eller aldrig noll p˚ a [a, b].

Med andra ord r¨acker det med att titta p˚ a om Wronskianen (17) ¨ar lika med eller skild fr˚ an noll i n˚ agon punkt p˚ a intervallet [a, b]. Om W (y 1 , y 2 ) = 0 s˚ a ¨ar y 1 (x) och y 2 (x) linj¨art beroende och annars ¨ar de linj¨art oberoende ⁴ .

Om vi k¨anner en l¨osning, y 1 (x), till (15) (som vi t ex kan ha hittat genom gissning) s˚ a kan den andra l¨osningen erh˚ allas genom att ans¨atta

y 2 (x) = v(x)y 1 (x). (18)

S¨atter vi in (18) i (15) och utnyttjar att y 1 (x) ¨ar en l¨osning till (15) s˚ a erh˚ aller vi v ⁰⁰

v ⁰ = −2 y ₁ ⁰

y 1 − P (x) (19)

som enkelt ⁵ integreras till

v ⁰ = 1

y ² ₁ e ^{− R P (x)dx} (20)

vilket sedan integreras en g˚ ang till f¨or att f˚ a v(x).

Ett specialfall av ekv. (15) ¨ar n¨ar vi har konstanta koefficienter, d ² y

dx ² + p dy

dx + qy = 0 (21)

d¨ar p och q nu ¨ar konstanter. Denna ekvation l¨oses genom att ans¨atta y = e ^mx . Ekv. (21) ger d˚ a den karakteristiska ekvationen

m ² + pm + q = 0. (22)

Beroende p˚ a vad r¨otterna till (22) ¨ar s˚ a f˚ ar vi olika linj¨art oberoende l¨osningar:

• Om m ¹ och m 2 ¨ar reella och olika ¨ar de tv˚ a l¨osningarna till (21)

y 1 = e ^m

^x och y 2 = e ^m

^x (23)

4

Notera att detta och lemma 15-1 och 15-2 endast g¨aller om y

(x) och y

(x) ¨ar l¨osningar till (15).

5

Om man anv¨ander denna metod i ett specifikt problem kan det vara frestande att s¨atta in vad y

(x) ¨ar, men d˚ a ¨ar det inte s¨akert att det ¨ar s˚ a l¨att att se hur man integrerar (19). D¨arf¨or

¨ar det b¨attre att v¨anta med att s¨atta in vad y

¨ar till slutet.

• Om m ¹ och m 2 ¨ar olika komplexa r¨otter, m 1/2 = a ± ib, s˚ a ges l¨osningarna till (21) av

y ₁ = e ^ax cos bx och y ₂ = e ^ax sin bx (24)

• Om m ¹ och m 2 ¨ar lika och reella s˚ a ges l¨osningarna till (21) av

y 1 = e ^m

^x och y 2 = xe ^m

^x (25) Ett s¨att att hitta partikul¨arl¨osningen till (21) ¨ar att ans¨atta en partikul¨arl¨osning p˚ a samma form som R(x) men med obest¨amda koefficienter d¨ar koefficienterna erh˚ alles genom att s¨atta in ansatsen i (21). Vi kan ans¨atta

• y ^p = Ae ^kx d˚ a R(x) ' e ^kx .

• y ^p = Axe ^kx d˚ a R(x) ' e ^kx och k ¨ar en l¨osning till den karakteristiska ekvationen (22).

• y ^p = Ax ² e ^kx d˚ a R(x) ' e ^kx och k ¨ar en dubbelrot till den karakteristiska ekvationen (22).

• y ^p = A sin kx + B cos kx d˚ a R(x) ' sin kx eller R(x) ' cos kx.

• y ^p = x(A sin kx + B cos kx) d˚ a R(x) ' sin kx eller R(x) ' cos kx och k ¨ar en l¨osning till den karakteristiska ekvationen (22).

• y ^p = a 0 + a 1 x + a 2 x ² + · · · + a ⁿ x ⁿ d˚ a R(x) ¨ar ett polynom av grad n. Om q = 0 m˚ aste en grad h¨ogre ans¨attas f¨or y p .

Ett mer generellt s¨att att hitta partikul¨arl¨osningen till (13) ¨ar att utnyttja de tv˚ a linj¨art oberoende l¨osningarna y 1 (x) och y 2 (x) till den homogena evkationen (15). Ans¨att en partikul¨arl¨osning p˚ a formen

y p (x) = v 1 (x)y 1 (x) + v 2 (x)y 2 (x). (26)

Om man s¨atter in (26) i (13) och utnyttjar att y ₁ och y ₂ ¨ar l¨osningar till (13) s˚ a

erh˚ aller vi en ekvation f¨or v 1 och v 2 . Vi beh¨over en ekvation till och kan v¨alja den

fritt. F¨or att g¨ora det enkelt f¨or oss betraktar vi y ⁰ _p = (v 1 y ₁ ⁰ + v 2 y ₂ ⁰ ) + (v ⁰ ₁ y 1 + v ⁰ ₂ y 2 )

och v¨aljer v ₁ ⁰ y ₁ + v ₂ ⁰ y ₂ = 0 som v˚ ar andra ekvation. P˚ a det viset slipper vi

andraderivator av v 1 och v 2 n¨ar vi s¨atter in ansatsen (26) i (13) och det blir

mycket l¨attare att hitta v 1 (x) och v 2 (x).

3 H¨ ogre ordningars linj¨ ara differentialekvationer

Kapitel 22 i Simmons

Om vi har h¨ogre ordningars linj¨ara differentialekvationer med konstanta koeffi- cienter,

y ⁽ⁿ⁾ + a ₁ y ⁽ⁿ⁻¹⁾ + · · · + a n−1 y ⁰ + a _n y = f (x) (27) kan vi behandla dessa p˚ a samma s¨att som andra ordningens. Vi ans¨atter en l¨osning p˚ a formen y = e ^mx och f˚ ar en karakteristisk ekvation f¨or m. Hur l¨osningarna ser ut beror som tidigare p˚ a hur r¨otterna m i ser ut.

4 Operatormetoder f¨ or att hitta partikul¨ arl¨ osningar

Kapitel 23 i Simmons

Om vi inf¨or deriveringsoperatorn

D = d

dx (28)

kan vi skriva om ekv. (27) som

p(D)y = f (x) (29)

d¨ar

p(D) = D ⁿ + a 1 D ⁿ⁻¹ + · · · + a ⁿ⁻¹ D + a n (30)

= (D − m ¹ )(D − m ² ) . . . (D − m ⁿ )

d¨ar m i ¨ar r¨otterna till den karakteristiska ekvationen. L¨osningen till (29) kan sedan formellt skrivas

y = 1

p(D) f (x). (31)

Vi kan sedan partialbr˚ aksuppdela 1/p(D) och utnyttja att ⁶ p(D)e ^kx g(x) = e ^kx p(D + k)g(x) och 1

p(D) e ^kx g(x) = e ^kx 1

p(D + k) g(x) (32) f¨or att hitta partikul¨arl¨osningar n¨ar h¨ogerledet i (27) ¨ar en kombination av expo- nentialfunktioner och polynom. Termerna 1/(D − m ⁱ + k) Taylorutvecklas sedan och eftersom vi bara beh¨over ta med ett begr¨ansat antal termer (sedan blir h¨ogre derivator av plynomet noll) s˚ a kan vi hitta partikul¨arl¨osningen.

6

Visas genom att utnyttja kedjeregeln f¨or derivator.

5 System av f¨ orsta ordningens differentialekva- tioner

Kapitel 54–62 i Simmons

5.1 Allm¨ ant

En n:e-grads differentialekvation

y ⁽ⁿ⁾ = f (x, y, y ⁰ , y ⁰⁰ , . . . , y ⁽ⁿ⁻¹⁾ ) (33) kan alltid skrivas om som ett system av n stycken f¨orsta ordningens differentialek- vationer. S¨att in

y 1 = y, y 2 = y ⁰ , . . . , y n = y ⁽ⁿ⁻¹⁾ (34) i ekv. (33) ovan s˚ a erh˚ alles



 

 



 

 



y ⁰ ₁ = y 2

y ⁰ ₂ = y ₃ ...

y ⁰ _n = f (x, y ₁ , y ₂ , . . . , y _n )

(35)

5.2 Linj¨ ara system

Betrakta nu ett system av tv˚ a f¨orsta ordningens differentialekvationer,







dx

dt = F (x, y, t)

dy

dt = G(x, y, t) . (36)

Om F (x, y, t) och G(x, y, t) ¨ar linj¨ara kan (36) skrivas p˚ a formen







dx

dt = a ₁ (t)x + b ₁ (t)y + f ₁ (t)

dy

dt = a 2 (t)x + b 2 (t)y + f 2 (t) . (37) F¨or systemet (37) har vi ett viktigt teorem:

Teorem 55-A. Om t 0 ¨ar n˚ agon punkt i intervallet [a, b] och f 1 (t)

och f 2 (t) ¨ar kontinuerliga i intervallet och om x 0 och y 0 ¨ar vilka tal

som helst s˚ a har systemet (37) en och endast en l¨osning i intervallet

[a, b] s˚ adan att x(t 0 ) = x 0 och y(t 0 ) = y 0 .

Den homogena varianten av (37) ¨ar







dx

dt = a 1 (t)x + b 1 (t)y

dy

dt = a 2 (t)x + b 2 (t)y . (38)

Om vi har tv˚ a l¨osningar till (38),







x = x ₁ (t) y = y 1 (t) och







x = x ₂ (t)

y = y 2 (t) (39)

s˚ a ¨ar en superposition av dessa l¨osningar ocks˚ a en l¨osning till (38). Vidare vill vi kunna avg¨ora om l¨osningarna (39) ¨ar linj¨art beroende eller inte. Vi inf¨or d¨arf¨or Wronskianen f¨or systemet (38),

W (t) = x 1 (t)y 2 (t) − y ¹ (t)x 2 (t). (40) Vi har d˚ a f¨oljande teorem

Teorem 55-D. L˚ at (39) vara tv˚ a l¨osningar till (38) p˚ a intervallet [a, b]. Om W (t) ¨ar Wronskianen f¨or de tv˚ a l¨osningarna s˚ a ¨ar antingen W (t) identiskt lika med noll eller aldrig noll p˚ a [a, b].

Teorem 55-C. L˚ at (39) vara tv˚ a l¨osningar till (38) p˚ a intervallet [a, b]. Om W (t) 6= 0 p˚ a [a, b] s˚ a ¨ar







x = c 1 x 1 (t) + c 2 x 2 (t)

y = c 1 y 1 (t) + c 2 y 2 (t) . (41) den allm¨anna l¨osningen till (38) p˚ a [a, b].

Betrakta nu homogena linj¨ara system av tv˚ a f¨orsta ordningens differentialekva- tioner med konstanta koefficienter,







dx

dt = a 1 x + b 1 y

dy

dt = a 2 x + b 2 y . (42)

Detta system l¨oses med ansatsen

( x(t) = Ae ^mt

y(t) = Be ^mt (43)

d¨ar A och B ¨ar konstanter. Om man s¨atter in (43) i (42) s˚ a erh˚ aller man ekvationssystemet

( (a 1 − m)A + B = 0

a 2 A + (b 2 − m)B = 0 . (44)

F¨or att (44) ska ha en icke-trivial l¨osning m˚ aste determinanten vara noll, vilket ger den karakteristiska ekvationen

m ² − (a ¹ + b 2 )m + (a 1 b 2 − a ² b 1 ) = 0. (45) Hur l¨osningarna till (42) ser ut beror p˚ a r¨otterna m 1 och m 2 :

• Om m ¹ och m 2 ¨ar reella och olika s˚ a ges l¨osningarna av

( x = c ₁ A ₁ e ^m

^t + c ₂ A ₂ e ^m

^t

y = c 1 B 1 e ^m

^t + c 2 B 2 e ^m

^t . (46)

• Om m ¹ och m 2 ¨ar komplexa och olika, m 1/2 = a ± ib, s˚ a ges l¨osningarna av

( x = e ^at [c 1 (A 1 cos bt − A ² sin bt) + c 2 (A 1 sin bt + A 2 cos bt)]

y = e ^at [c 1 (B 1 cos bt − B ² sin bt) + c 2 (B 1 sin bt + B 2 cos bt)] . (47)

• Om m ¹ och m 2 ¨ar reella och lika s˚ a ges l¨osningarna av (m 1 = m 2 = m)

( x = c 1 Ae ^mt + c 2 (A 1 + A 2 t)e ^mt

y = c ₁ Be ^mt + c ₂ (B ₁ + B ₂ t)e ^mt . (48) Konstanterna A, . . . , B 2 erh˚ alles genom att var f¨or sig s¨atta in de tv˚ a l¨osningarna i (42). Detta ger samband mellan konstanterna och genom att v¨alja n˚ agra av dem s˚ a erh˚ alles de andra.

5.3 Icke-linj¨ ara system, kritiska punkter och stabilitet

Betrakta nu det icke-linj¨ara systemet







dx

dt = F (x, y)

dy

dt = G(x, y) . (49)

Om F (x, y) och G(x, y) ej beror av t ¨ar systemet autonomt. Systemet (49) har l¨osningen

( x = x(t)

y = y(t) (50)

som beskriver v¨agar i fasrummet (rummet som sp¨anns upp av x och y). Om F (x 0 , y 0 ) = G(x 0 , y 0 ) = 0 s˚ a ¨ar (x 0 , y 0 ) en kritisk punkt.

Kritiska punkter ¨ar intressanta att studera och f¨or detta ¨andam˚ al s˚ a beh¨over vi

n˚ agra definitioner.

Definition. L˚ at (x 0 , y 0 ) vara en isolerad kritisk punkt. Vi s¨ager d˚ a att

• En v¨ag n¨armar sig (x ⁰ , y 0 ) om

t→∞ lim x(t) = x 0 och lim

t→∞ y(t) = y 0 . (51)

• Om dessutom

t→∞ lim

y(t) − y ⁰

x(t) − x ⁰ (52)

existerar eller ¨ar ±∞ s˚ a g˚ ar v¨agen in i den kritiska punkten (x 0 , y 0 ) d˚ a t → ∞.

Ovanst˚ aende deifinitioner g¨aller ¨aven d˚ a t → −∞.

Differentialekvationen f¨or v¨agarna ges av dy

dx = G(x, y)

F (x, y) (53)

d¨ar riktingen i vilken v¨agarna genoml¨opes erh˚ alles fr˚ an (49).

De kritiska punkterna delas in i fyra grupper:

• Noder. Om alla v¨agar n¨armar sig den kritiska punkten och dessutom g˚ ar in i den d˚ a t → ±∞ ¨ar den en nod.

• Sadelpunkter. Om tv˚ a v¨agar n¨armar sig och ocks˚ a g˚ ar in i den kritiska punkten d˚ a t → ∞ samt om tv˚ a v¨agar n¨armar sig och g˚ ar in i den kritiska punkten d˚ a t → −∞, men ¨ovriga v¨agar inte n¨armar sig den kritiska punkten s˚ a ¨ar den en sadelpunkt.

• Centra. Om den kritiska punkten omges av en upps¨attning slutna v¨agar men ingen v¨ag n¨armar sig punkten d˚ a t → ±∞ s˚ a ¨ar den kritiska punkten ett centrum.

• Spiraler. Om en upps¨attning v¨agar n¨armar sig den kritiska punkten i spiraler som snurrar runt punkten ett o¨andligt antal g˚ anger d˚ a t → ±∞, men ingen v¨ag g˚ ar in i den s˚ a ¨ar punkten en spiral.

En annan viktig egenskap hos kritiska punkter ¨ar deras stabilitet. Betrakta en

kritisk punkt i origo.

Definition. Om det f¨or varje R existerar ett positivt tal r ≤ R s˚ a att varje v¨ag som ¨ar innanf¨or cirkeln x ² + y ² = r ² vid t 0 stannar innanf¨or denna cirkel f¨or alla t > t ₀ s˚ a ¨ar den kritiska punkten (0, 0) stabil.

Vidare g¨aller

Definition. Om den kritiska punkten (0, 0) ¨ar stabil och det existerar en cirkel x ² + y ² = r ² ₀ s˚ a att varje v¨ag som ¨ar innanf¨or denna cirkel vid t 0 n¨armar sig origo d˚ a t → ∞ s˚ a ¨ar den kritiska punkten asymptotiskt stabil.

F¨or linj¨ara system kan man sluta sig till de kritiska punkternas typ och stabilitet genom att titta p˚ a r¨otterna till den karakteristiska ekvationen (45). Vi har tre huvudfall

• Fall A. Om m ¹ och m 2 ¨ar reella, av samma tecken och olika s˚ a ¨ar den kritiska punkten (0, 0) en nod.

• Fall B. Om m ¹ och m 2 ¨ar reella, men av olika tecken s˚ a ¨ar den kritiska punkten (0, 0) en sadelpunkt.

• Fall C. Om m ¹ = m ^∗ ₂ och realdelen hos m 1 och m 2 ¨ar skild fr˚ an noll s˚ a ¨ar den kritiska punkten (0, 0) en spiral.

och tv˚ a gr¨ansfall

• Fall D. Om m ¹ och m 2 ¨ar lika och reella s˚ a ¨ar den kritiska punkten (0, 0) en nod.

• Fall E. Om m 1 = m ^∗ ₂ och realdelen hos m ₁ och m ₂ ¨ar noll s˚ a ¨ar den kritiska punkten (0, 0) ett centrum.

Stabiliteten hos den kritiska punkten (0, 0) kan ocks˚ a utl¨asas ur m 1 och m 2

• Om Re(m ¹ ) ≤ 0 och Re(m ² ) ≤ 0 s˚ a ¨ar den kritiska punkten (0, 0) stabil.

• Om Re(m ¹ ) < 0 och Re(m 2 ) < 0 s˚ a ¨ar den kritiska punkten (0, 0) asymp-

totiskt stabil.

F¨or icke-linj¨ara sytem kan man i vissa fall anv¨anda teorin f¨or linj¨ara system f¨or att sluta sig till de kritiska punkternas typ och stabilitet. Om man Taylorutvecklar (49) s˚ a erh˚ aller man







dx

dt = a ₁ x + b ₁ y + f (x, y)

dy

dt = a 2 x + b 2 y + g(x, y) . (54) Vi inf¨or nu ben¨amningen enkel kritisk punkt.

Definition. (0, 0) ¨ar en enkel kritisk punkt till (54) om a) (0, 0) ¨ar en kritisk punkt till (54).

b)

a 1 b 1

a 2 b 2

6= 0

c) f (x, y) och g(x, y) ¨ar kontinuerliga och har kontinuerliga f¨orstaderivator.

d)

(x,y)→(0,0) lim

f (x, y)

√ x ² + y ² = 0 och lim

(x,y)→(0,0)

g(x, y)

√ x ² + y ² = 0.

Vi har d˚ a f¨oljande viktiga teorem:

Teorem 62-A. Om (0, 0) ¨ar en enkel kritisk punkt till det icke-linj¨ara systemet (54) och ¨ar en kritisk punkt av huvudtyp ⁷ (enligt sidan 12) till det linj¨ara systemet (42) s˚ a ¨ar den kritiska punkten av samma typ f¨or det icke-linj¨ara systemet som f¨or det linj¨ara.

Vad g¨aller stabilitet har vi f¨oljande teorem:

Teorem 62-B. Om (0, 0) ¨ar en enkel kritisk punkt till det icke-linj¨ara systemet (54) och en asymptotiskt stabil kritisk punkt till det linj¨ara systemet (42) s˚ a ¨ar den kritiska punkten asymptotiskt stabil f¨or det icke-linj¨ara systemet ocks˚ a.

Teorem i problem 62.3. Skriv den karakteristiska ekvationen (45) f¨or det linj¨ara systemet (42) som m ² + pm + q = 0. Om (0, 0) ¨ar en enkel kritisk punkt till det icke-linj¨ara systemet (54) och om p < 0 och q > 0 s˚ a ¨ar (0, 0) en instabil kritisk punkt till det icke-linj¨ara systemet (54).

7

Notera att om n˚ agon av r¨otterna till den karakteristiska ekvationen ¨ar noll s˚ a ¨ar villkor b)

i definitionen av enkel kritisk punkt ej uppfyllt och teoremet g¨aller d¨arf¨or inte.

Ett annat s¨att att unders¨oka stabilitet hos det icke-linj¨ara systemet (49) ¨ar att betrakta Liapunovfunktionen E(x, y).

Definition. E(x, y) ¨ar en Liapunovfunktion till systemet (49) om

• E(x, y) ¨ar positivt definit ⁸ .

• ^dE _dt = ^∂E _∂x ^dx _dt + ^∂E _∂y ^dy _dt = ^∂E _∂x F (x, y)+ ^∂E _∂y G(x, y) ¨ar negativt semidefinit.

Vi har d˚ a f¨oljande viktiga teorem

Teorem 61-A. Om det existerar en Liapunovfunktion E(x, y) till systemet (49) och (0, 0) ¨ar en kritisk punkt s˚ a ¨ar den stabil. Om dessutom ^dE _dt ¨ar negativt definit s˚ a ¨ar (0, 0) en asymptotiskt stabil kritisk punkt.

Vidare har vi

Teorem i problem 61.4. Om (0, 0) ¨ar en kritisk punkt till sys- temet (49) s˚ a ¨ar den instabil om det existerar en funktion E(x, y) med f¨oljande egenskaper

a) E(x, y) ¨ar kontinuerlig och har kontinuerliga f¨orstaderivator i en omgivning av origo.

b) E(0, 0) = 0.

c) Varje cirkel centrerad p˚ a origo inneh˚ aller minst en punkt d¨ar E(x, y) > 0.

d) ^dE _dt ¨ar positivt definit.

8

Om E(x, y) ¨ar en funktion s˚ adan att E(0, 0) = 0 ¨ar den i) positivt definit om E(x, y) > 0

f¨or alla (x, y) 6= (0, 0), ii) positivt semidefinit om E(x, y) ≥ 0 f¨or alla (x, y) 6= (0, 0), iii) negativt

definit om E(x, y) < 0 f¨or alla (x, y) 6= (0, 0), iv) negativt semidefinit om E(x, y) ≤ 0 f¨or alla

(x, y) 6= (0, 0).

6 Variationskalkyl

Kapitel 65–67 i Simmons

Vi vill hitta den funktion y(x) som minimerar funktionalen I =

Z x

x

f (x, y, y ⁰ )dx. (55)

Genom att inf¨ora variationen η(x) som f¨orsvinner i ¨andpunkterna kan vi h¨arleda Eulers ekvation

d dx

∂f

∂y ⁰

!

− ∂f

∂y = 0. (56)

7 Existens och entydighet hos l¨ osningar

Kapitel 68–70 i Simmons Skriv om differentialekvationen

y ⁰ = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 (57)

som

y(x) = y 0 +

Z x x

f [t, y(t)]dt. (58)

Ekvation (58) kan anv¨andas f¨or att iterativt f¨orb¨attra en approximativ l¨osning y 0 (x). Denna metod f¨or att finna l¨osningen till (57) kallas Picards metod med succesiva approximationer .

Vad g¨aller existens och entydighet hos l¨osningar har vi n˚ agra viktiga varianter p˚ a Picards teorem

Teorem 69-A. L˚ at f (x, y) och ∂f /∂y vara kontinuerliga funktioner av x och y p˚ a en sluten rektangel R med sidor parallella med axlarna.

Om (x 0 , y 0 ) ¨ar n˚ agon inre punkt av R s˚ a existerar det ett tal h > 0 s˚ a att

y ⁰ = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 (59) har en och endast en l¨osning y = y(x) p˚ a intervallet |x − x 0 | ≤ h.

Teorem 69-B. L˚ at f (x, y) vara en kontinuerlig funktion som upp- fyller Lipschitz-villkoret

|f(x, y ¹ ) − f(x, y ² )| ≤ K|y ¹ − y ² | (60)

f¨or n˚ agot K p˚ a remsan a ≤ x ≤ b och −∞ < y < ∞. Om (x ⁰ , y 0 ) ¨ar n˚ agon punkt i denna remsa s˚ a har

y ⁰ = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 (61) en och endast en l¨osning y = y(x) p˚ a intervallet a ≤ x ≤ b.

Notera att Teorem 69-B inneb¨ar att y ⁰ = P (x)y + Q(x), y(x 0 ) = y 0 har en och endast en l¨osning i intervallet a ≤ x ≤ b om P (x) och Q(x) ¨ar kontinuerliga p˚ a detta intervall.

Picards metod med succesiva approximationer kan ocks˚ a anv¨andas f¨or system av differentialekvationer. Skriv om







dy

dx = f (x, y, z), y(x 0 ) = y 0 dz

dx = g(x, y, z), z(x 0 ) = z 0

(62)

som _





y(x) = y 0 + ^R _x ^x

f [t, y(t), z(t)]dt

z(x) = z 0 + ^R _x ^x

g[t, y(t), z(t)]dt (63) och anv¨and (63) f¨or att iterativt f¨orb¨attra den approximativa l¨osningen y 0 (x), z 0 (x).

Man kan formulera Picards teorem ¨aven f¨or system av differentialekvationer och utifr˚ an det erh˚ alla

Teorem 70-A. L˚ at P (x), Q(x) och R(x) vara kontinuerliga funk- tioner p˚ a intervallet a ≤ x ≤ b. Om x ⁰ ¨ar n˚ agon punkt i detta intervall och y ₀ och y ₀ ⁰ ¨ar vilka tal som helst s˚ a har

d ² y

dx ² + P (x) dy

dx + Q(x)y = R(x), y(x 0 ) = y 0 och y ⁰ (x 0 ) = y ₀ ⁰ (64)

en och endast en l¨osning y = y(x) p˚ a intervallet a ≤ x ≤ b.