METHODER V ID

ALLMÄNNA METHODER

V I D

PLANGEOMETRISKA PROBLEMS LÖSNING.

J E M T E O M K R I N G

1100 E X E M P E L .

F Ö R S T A K U R S E N .

L Ä R O B O K F Ö R

D B A L L M Ä N N A L Ä R O V E R K E N S H Ö G R E K L A S S E R

A P

A. E. H E L L G R E N

C I V I L - I N G E N I Ö H . L Ä R A R E I M A T E M A T I K . —

STOCKHOLM

A . V . C A R L S O N S F Ö R L A G .

Förord.

Författaren t i l l föreliggande arbete tror sig med detsamma fylla en lucka i vårt lands matematiska lärobokslitteratur. . E n sanning är neml., att vårt språk hittills saknat en verklig

lärobok

i geometrisk problemlösning, och att man ingenstädes funnit några utarbetade methoder i detta ä m n e , utan bar eleven m å s t nöja sig med lärarens muntliga undervisning, som visserligen är den mest lefvande och lätt- fattliga, men som dock ej är tillräcklig, isynnerhet för elever med mindre begåfning. Härigenom har undervisningen i geometrisk pro- blemlösning blifvit sämre eller b ä t t r e alltefter lärarens mindre eller större intresse för denna del af ämnet, och den enda method, lär- jungen fått lära, är

locus-methoden;

men deremot skulle jag vilja kalla den öfriga delen

»måfå-methoden»;

ty eleven har merendels varit hänvisad t i l l sina egna ingifvelser och — ehuru visserligen ut- gående från den k ä n d a stereotypa regeln: »antag problemet löst!» — på

måfå

ritat sina linier, tills en lycklig slump fört honom p å r ä t t a vägen.

V i hafva visserligen redan ett arbete i detta ä m n e , neml. Joch- nicks »Geometriska teoremer och problemer»; men detta arbete inne- håller endast ett antal lösta problem jemte en synnerligen rikhaltig exempelsamling. Några methoder söker man deri förgäfves. Lösnin- garne äro korta och innehålla icke någon ledning för tankegången, hvarföre eleven endast p å sin höjd genom att lära sig lösningarne utantill kan hafva någon nytta af dem vid problem af mycket lik- nande art.

Deremot är Julius Petersens »Methoder og Theorier» en bok, som innehåller just samma ä m n e som föreliggande. Också har en stor del af lärjungarne p å det högre skolstadiet och isynnerhet p å real- linien nödgats förskaffa sig detta arbete, stundom t. o. m. p å lärarens uppmaning, alldenstund intet motsvarande funnits p å vårt språk. Detta bevisar bäst, att en lärobok i ä m n e t ä r af behofvet påkallad.

Men dels ä r sist n ä m n d a lärobok p å danska språket och dels är den så s a m m a n t r ä n g d och svårfattlig, att en lärjunge p å nyss

n ä m n d a stadium svårligen kan hafva den åsyftade nyttan af den- samma. Den är snarare en hjelpreda för läraren, t y denne blir i alla fall nödsakad att för lärjungarne, oaktadt desse sjelfva hafva boken, utförligare genomgå de behandlade methoderna. Med allt e r k ä n n a n d e af bokens grundlighet betviflar jag dock dess lämplighet i en skol- ynglings hand, isynnerhet derför, att Petersen ej låtit sina regler åt- följas af fullständigt utförda belysande exempel; t y utan att ett så- dant följer omedelbart p å en ofta ganska svårfattlig regel, blir boken t i l l ringa nytta för nybörjaren, j a t. o. m . för den ganska långt hunne realisten.

Föreliggande, bok är deremot så uppstäld, att den redan f. o. m.

femte klassen kan direkt sättas i handen på lärjungen, som sjelf skall vara i stånd att fatta dess innehåll och lära tillämpa dess regler.

Hvarje regel är neml. omedelbart åtföljd af ett eller flera ytterst nog- grannt utförda exempel {typer), der sättet för regelns tillämpning t i l l alla delar och från flera synpunkter visas. Deremot v i l l jag p å för- hand erkänna, att föreliggande bok i djup och grundlighet icke kan täfla med nyss n ä m n d a Petersens; jag har tvärtom undvikit att göra den lärd utan p å allt sätt sökt göra den så populär som möjligt, stundom äfven med uppoffring af grundligheten, och m i n enda sträf- van har varit att göra boken lättfattlig för eleven. Dessutom är tyd- ligt, att mina methoder endast kunna utgöra

grunden

t i l l kunskapen i geometrisk problemlösning, men en grund, h v a r p å utan tvifvel lär- jungen sedan med framgång kan bygga.

I redigeringen af problemen har jag — såsom v i d en blick i boken genast synes — i ett och annat afvikit något från hittills bruk- liga sätt, hvilka afvikelser t i l l en del redan i m i n

Euklides' Vl bok

blifvit gjorda. Så t. ex. har jag

numererat konstruktionens särskilda

delar,

hvilket, utom den ordning och öfverskådlighet, som dermed vinnes i en afhandling, äfven i h ö g grad förenklar beviset, i det man der blir i stånd att direkt återpeka p å de nummer i konstruktionen, som ligga t i l l grund för de särskilda premisserna i bevisföringen.

Likaså ä r

beviset

deladt i särskilda

numererade

delar. Vidare har jag a n v ä n d t följande beteckningar:

90° = en r ä t vinkel, 180° = två räta vinklar,

45° = en half r ä t vinkel och

60° = t v å tredjedels r ä t vinkel eller vinkeln i en liksidig X Detta har jag gjort dels för att undvika bokstafven R, som j u stundom kan förekomma p å figuren, hvarigenom otydlighet skulle upp- stå; dels för att redan tidigt vänja eleven v i d ofvanstående gradtal.

Hvad slutligen beträffar sättet för bokens begagnande b ö r lära- ren gifva lexor i boken, t. ex. en t y p för hvarje gång, hvilken lexa

v i d derpå följande lektion- af eleven fullständigt med frågor och svar'' genomtages p å svarta taflan. Härvid b ö r han upprita konstruktionen steg för steg, med a n v ä n d a n d e af bokens regler, hvilka regler han naturligtvis d å b ö r kunna utantill. Sedan lexan sålunda ett par gån- ger af olika elever blifvit uppläst, ger läraren några exempel, p å hvilka de i lexan förekommande reglerna kunna tillämpas, och dessa exem- pel genomtagas derpå v i d svarta taflan med samma noggrannhet, som den. nyss upplästa lexan. Dessa exempel finnas i tillräckligt antal i de samlingar, som följa omedelbart p å hvarje kapitel (method) i boken.

E t t ä n n u rikligare antal problem, finnes slutligen i

Andra kur-

sens

exempelsamling, ur hvilken samling uppgifter kunna tagas för elevernas hemarbeten. V i d redigeringen af dessa hemarbeten b ö r eleven följa de formulär, som finnas i boken.

Första kursen är afsedd. för både latin- och reallinien, Andra

kursen

deremot för endast real-linien. Dessutom innehåller denna andra kurs den största problemsamling, som finnes p å vårt s p r å k ; alla problem i densamma hafva af mig blifvit lösta, innan de blifvit införda i samlingen. De problem, som ansetts svåra, hafva betecknats med f och de ä n n u svårare med f f . Sista kapitlet i andra kursen upptager med särskild nummerföljd alla de plangeometriska problem, som under de senaste 10 åren (t. o. m. våren detta år) gifvits i de skriftliga profven t i l l studentexamen. De meddelas med ny nummer- följd, emedan m å n g a af dem redan förekomma i bokens föregående kapitel.

Stockholm i Aug. 1885.

Författaren.