Sambandet mellan Fox färgläggningsinvariant för knutar och surjektiva homomorfier från knutgruppen

AKADEMIN FÖR TEKNIK OCH MILJÖ

Avdelningen för elektronik, matematik och naturvetenskap

Sambandet mellan Fox färgläggningsinvariant för knutar och surjektiva homomorfier från knutgruppen

Anna Wahlbeck

2020

Examensarbete, Grundnivå (kandidatexamen), 15 hp Matematik

Handledare: Johan Björklund

I denna uppsats studerar vi knutar i R³. Vi s¨ager att ett knutdiagram ¨ar en projektion av knuten i rummet in i planet. Speciellt ¨ar vi intresserade av att unders¨oka huruvida ett knutdiagram ¨ar f¨arl¨aggningsbart, genom att unders¨oka om reglerna f¨or en Fox p-f¨argning

¨ar uppfyllda. Vi visar att p-f¨argbarhet ¨ar en knutinvariant, vilken ¨ar densamma f¨or ekvi- valenta knutar, s˚a att den kan anv¨andas f¨or att visa att tv˚a knutar ¨ar olika. Huvudm˚alet i uppsatsen ¨ar att unders¨oka vad denna p-f¨argning m¨ater ur ett geometriskt/algebraiskt perspektiv genom att visa att antalet s¨att att p-f¨arga knuten ¨ar lika med antalet surjektiva homomorfier fr˚an knutgruppen till den dihedrala gruppen D_2p. F¨or att g¨ora detta defi- nierar vi knutgruppen genom att f¨orsta introducera fundamentalgruppen och konceptet homotopi.

F¨orord

Under min studietid p˚a H¨ogskolan i G¨avle har jag haft flera utm¨arkta l¨arare, och n˚agra av dessa vill jag tacka speciellt. F¨orst vill jag tacka Irina Pettersson, f¨or att ha trott p˚a mig och f˚att mig att v˚aga blicka fram˚at. Irina har dessutom varit en stor inspiration i sitt s¨att att undervisa. Jag vill ¨aven tacka Mirko Radic, f¨or att ha delat med sig av sina alltid s˚a kloka ord och sitt st¨od. Vidare vill jag tacka Rolf K¨allstr¨om, f¨or sitt engagemang och t˚alamod. Ett speciellt tack vill jag rikta till honom f¨or den utm¨arkta kursen i abstrakt algebra.

Det finns ¨aven m˚anga v¨anner som jag vill tacka. Speciellt vill jag tacka Thomas Lund- mark f¨or att ha st¨ottat mig i de tider d˚a det varit tungt, men framf¨orallt vill jag tacka Thomas f¨or att jag har f˚att dela min passion f¨or matematiken med honom. Jag vill ¨aven tacka Julia Horneg˚ard B¨averman, som jag har haft ¨aran att l¨asa flertalet kurser tillsammans med under min studietid p˚a H¨ogskolan i G¨avle.

Jag vill tacka mina s¨oner, Loke och Hugo, och min man Fredrik, f¨or att ha gett mig k¨arlek och uppmuntran n¨ar jag har beh¨ovt det som mest.

Mitt st¨orsta tack vill jag rikta till min handledare Johan Bj¨orklund. Johans insats som min handledare har inte bara gjort denna uppsats m¨ojlig, utan ¨aven till en uppsats som jag ¨ar stolt ¨over. Johan har, inte enbart under arbetet med denna uppsats, utan under hela min studietid p˚a H¨ogskolan i G¨avle, spenderat or¨akneliga timmar f¨or att dela med sig av sina djupa kunskaper i matematik, och f¨or det kommer jag att vara honom evigt tacksam.

Inneh˚all

1 Inledning 1

2 Fundamentalgruppen 3

2.1 Topologiska rum . . . . 3

2.2 V¨agar och loopar . . . . 3

2.3 Homotopi . . . . 5

2.4 Konstruktion av Fundamentalgruppen . . . . 8

3 Grundl¨aggande knutteori 14 3.1 Introduktion . . . 14

3.2 Reidemeisterdragen . . . 16

3.3 Knutinvariant . . . 18

4 Fox p-f¨argning 18 4.1 Fox 3-f¨argning . . . 19

4.2 Fox p-f¨argning . . . 22

4.3 Fox p-f¨argning; ur ett linj¨ar algebra perspektiv . . . 23

5 Knutgruppen 26 5.1 Fria grupper . . . 27

5.2 Wirtingers presentation av knutgruppen . . . 28

6 Sambandet mellan knutgruppen och Fox p-f¨argning 32 6.1 Konjugatklasser . . . 32

6.2 Dihedrala gruppen D_2p . . . 33

6.3 Konjugatklasser och f¨argning . . . 36

1 Inledning

“ We learn the rope of life by untying its knots.”

—Jean Toomer I denna uppsats studerar vi knutar. En icke insatt kanske d˚a fr˚agar sig; varf¨or ¨ar man inom matematiken intresserad av knutar? Och vad ¨ar en knut i matematiska mening? Det f¨orsta stora intresset f¨or knutteori uppstod omkring ˚ar 1880. Lord Kelvin (William Thomson, 1824-1907) hade d˚a en hypotes om att alla atomer var olika knutar av ¨amnet eter, s˚a att olika knutar av eter svarade mot olika ¨amnen. Det visade sig senare att Kelvins atomhypotes inte st¨amde, men under tiden hade matematikerna blivit intresserade av knutteori, vilket blev startskottet f¨or ett helt nytt forskningsomr˚ade inom matematiken. Mer ny matematik skapas nu ¨an n˚agonsin i historien, och knutteori ¨ar ett bra exempel p˚a ett omr˚ade inom matematiken d¨ar n˚agra av de mest sp¨annande resultaten har uppst˚att under de senaste 30

˚aren [1].

Ett av m˚alen inom knutteorin ¨ar att hitta invarianter av knutar, d¨ar termen invariant syftar p˚a en matematisk beskrivning som ¨ar densamma f¨or ekvivalenta knutar s˚a att den kan anv¨andas f¨or att visa att tv˚a knutar ¨ar olika. Idag till¨ampas knutteori till exempel inom biologin d¨ar biologer som studerar DNA-str¨angar ¨ar intresserade av knutar och hur de kan bidra till f¨orst˚aelsen f¨or det genetiska materialets funktion i celler.

En positiv ¨overraskning f¨or mig som f¨orfattare av denna uppsats var att knutteori f¨orenar s˚a m˚anga olika grenar av matematiken s˚a som topologi, gruppteori, talteori och algebraisk topologi. Under uppsatsens g˚ang kommer vi s˚aledes att st¨ota p˚a dessa omr˚aden, i mer eller mindre utstr¨ackning. Huvudm˚alet ¨ar att unders¨oka vad knutinvarianten Fox p-f¨argning m¨ater ur ett geometriskt/algebraiskt perspektiv genom att visa att antalet s¨att att p-f¨arga knuten ¨ar lika med antalet surjektiva homomorfier fr˚an knutgruppen till den dihedrala gruppen D2p.

Vi inleder uppsatsen med att i sektion 2 med en kortare introduktion om allm¨anna topologiska rum, d¨ar begrepp som topologi och kontinuitet definieras. Vi studerar sedan v¨agar och loopar i topologiska rum och introducerar homotopi, id´en om att n¨arliggande v¨agar i ett rum kan betraktas som samma om det inte finns n˚agot som hindrar dem fr˚an att kontinuerligt deformeras till varandra. Vi ¨ar sedan redo att introducera en viktig grupp som heter fundamentalgruppen, vilken vi betecknar π1(X, x0). F¨or en l¨asare som ¨ar intresserad av att l¨asa mer kring topologiska id´eer ¨an vad som erbjuds i denna uppsats, s˚a rekommenderas [2].

I sektion 3 introduceras knutteori, och h¨ar f˚ar vi svaret p˚a vad en knut ¨ar i matematiska termer. F¨or att kunna g¨ora en korrekt definition av en knut, definierar vi f¨orst begrepp som homeomorfi och sl¨at inb¨addning. Vi unders¨oker ocks˚a vad som h¨ander om vi projicerar en knut i rummet p˚a ett plan, och definierar d˚a n˚agot som vi kallar ett knutdiagram.

N˚agot annat viktigt som tas upp i detta avsnitt ¨ar Reidemeisterdragen, som vi till¨ampar f¨or att avg¨ora om tv˚a knutdiagram ¨ar ekvivalenta eller ej. Vi avslutar avsnittet med att definiera en knutinvariant.

I sektion 4 studerar vi knutinvarianten Fox p-f¨argning, uppkallad efter upphovsmannen Ralph Fox, d¨ar id´en ¨ar att ”f¨arga” b˚agarna i ett knutdiagram genom att associera ett tal till varje b˚age s˚a att vissa regler ¨ar uppfyllda. Ralph Fox kallades ”fadern av modern knutteori” och hans verk (tillsammans med Richard H. Crowell) [5], har varit en viktig l¨asning vid skrivandet av denna uppsats.

Den andra intressanta knutinvarianten i denna uppsats kallas knutgruppen och den studerar vi i sektion 5. Knutgruppen ¨ar fundamentalgruppen av knutens komplement i R³, en m¨angd vi betecknar R³/K. Vi ger en kort introduktion om fria grupper f¨or att kunna presentera knutgruppen i termer av generatorer och relationer, d¨ar Wirtingers presentation best¨ammer hur relationerna ser ut.

Avslutningsvis, i sektion 6, kommer vi till h¨ojdpunkten, d¨ar vi unders¨oker vad p-f¨argning m¨ater ur ett mer geometriskt/algebraiskt perspektiv. I v˚ar huvudsats 6.7, vill vi visa att isomorfa knutgrupper har ett lika antal surjektiva homomorfier till den dihedrala gruppen D_2p som det finns p-f¨argningar av knuten. Innan vi n˚ar denna sats med tillh¨orande bevis introducerar vi konjugatklasser och vi studerar n¨armare hur D_2p ¨ar konstruerad.

F¨or att kunna tillgodog¨ora sig materialet i denna uppsats p˚a b¨asta s¨att f¨orv¨antas l¨asaren vara f¨ortrogen med grundl¨aggande gruppteori. Om s˚a ej ¨ar fallet, h¨anvisas l¨asaren till [6].

F¨or den l¨asare som ¨onskar att f¨ordjupa sig mer i knutteori efter att ha l¨ast denna uppsats, rekommenderas [7], som p˚a ett trevligt och l¨att¨oversk˚adligt s¨att g˚ar igenom de viktigaste delarna utan att fastna i detaljer. F¨or den l¨asare som uppskattar mer detaljerad l¨asning rekommenderas ist¨allet [9].

2 Fundamentalgruppen

I denna sektion introducerar vi fundamentalgruppen. Innan vi kommer fram till den ex- plicita konstruktionen av fundamentalgruppen, kommer vi att studera topologiska rum, v¨agar och homotopi.

2.1 Topologiska rum

Vi inleder denna uppsats med n˚agot om grundl¨aggande topologi f¨or att vi senare ska kunna definiera fundamentalgruppen f¨or generella topologiska rum. N¨ar vi s˚a sm˚aningom b¨orjar studera knutar, kommer vi dock endast att studera knutar i metriska rum. Av denna anledning kan en l¨asare som ej intresserar sig f¨or de mer generella id´eerna, ist¨allet ers¨atta topologiska rum med metriska rum i de definitioner d¨ar topologiska rum anv¨ands.

Definition 2.1. L˚at X vara en icketom m¨angd. En topologi p˚a X ¨ar en samling av delm¨angder till X, vilka kallas ¨oppna m¨angder, som uppfyller f¨oljande villkor

1. den tomma m¨angden och hela X ¨ar ¨oppna m¨angder;

2. en godtycklig union av ¨oppna m¨angder ¨ar en ¨oppen m¨angd;

3. sk¨arningen mellan ¨andligt m˚anga ¨oppna m¨angder ¨ar en ¨oppen m¨angd.

M¨angden X tillsammans med en topologi som uppfyller ovanst˚aende villkor kallas ett to- pologiskt rum.

N¨ar vi defininierar kontinuitet i ett topologiskt rum beh˚aller vi konceptet omr˚ade fr˚an defintionen av kontinuitet i metriska rum, men intresserar oss ej l¨angre f¨or avst˚and. F¨or allm¨anna topologiska rum g¨aller att en funktion f ∶ X → Y ¨ar kontinuerlig om urbilden av varje ¨oppen m¨angd i Y ¨ar ¨oppen i X. Dvs, f¨or alla ¨oppna U ⊂ Y g¨aller att f⁻¹(U ) ¨ar ¨oppen i X. Eftersom kontinuitet definieras i termer av ¨oppna m¨angder s˚a beror kontinuiteten av valet av topologi f¨or rummen X och Y . Om vi har ett metriskt rum X, definierar vi ¨oppna m¨angder s˚a att om E ⊂ X, d˚a ¨ar E ¨oppen om alla punkter i E ¨ar inre punkter. En punk p

¨ar en inre punkt till E om det finns n˚agot omr˚ade N kring p s˚a att N ⊂ E, d¨ar ett omr˚ade till en punkt p ¨ar en m¨angd Nr(p) som inneh˚aller alla punkter q s˚a att d(p, q) < r, d¨ar r

¨ar ¨ar radien av omr˚adet [10]. I denna uppsats kommer vi, som n¨amndes inledningsvis, i huvudsak att studera metriska rum, och det ¨ar s˚aledes kontinuitet i metriska rum som vi kommer att mena n¨ar vi forts¨attningsvis pratar om kontinuerliga funktioner.

2.2 V¨agar och loopar

En partikel som r¨or sig i rummet under ett visst tidsintervall beskriver en v¨ag. Det slut- na intervallet [0, 1] har standardtopologin, dvs topologin som induceras av den vanliga

metriken p˚a R. En normaliserad¹ v¨ag i ett topologiskt rum X ¨ar en kontinuerlig funktion γ ∶ [0, 1] → X, d¨ar γ(0) ¨ar dess startpunkt och γ(1) ¨ar dess slutpunkt, s˚a att γ f¨orenar start- punkt med slutpunkt. Vi kommer endast att studera normaliserade v¨agar i denna uppsats och vi kommer alltid att anta standardtopologin n¨ar vi pratar om intervallet [0, 1].

Vi l˚ater γ⁻¹ vara v¨agen i ett topologiskt rum X som g˚ar fr˚an γ(1) till γ(0) s˚adan att γ⁻¹(t) = γ(1 − t), d¨ar 0 ≤ t ≤ 1.

Definition 2.2. L˚at f, g att vara tv˚a v¨agar s˚a att f (1) = g(0). Vi l˚ater d˚a produkten vara v¨agen d¨ar vi f¨orst f¨ardas l¨angs f och sedan l¨angs g s˚a att

f ⋅ g(s) =

⎧⎪

⎪

⎨

⎪⎪

⎩

f (2s), 0 ≤ s ≤ 1/2 g(2s − 1), 1/2 ≤ s ≤ 1.

Det ¨ar viktigt att inse att produkten av v¨agar ej ¨ar definierad f¨or godtyckliga v¨agar f och g, eftersom f m˚aste sluta i samma punkt som g b¨orjar. Det inneb¨ar att det ¨ar m¨ojligt att produkten f ⋅ g ¨ar definierad, men att produkten g ⋅ f ej ¨ar definierad. En v¨ag mellan tv˚a godtyckliga punkter existerar inte alltid. Exempelvis kan inte tv˚a godtyckliga punkter i R/{0} kopplas samman med en v¨ag, ty origo ¨ar borttaget. Detta motiverar inf¨orandet av f¨oljande definition:

Definition 2.3. Ett rum ¨ar b˚agvis sammanh¨angande om tv˚a godtyckliga punkter i rummet alltid kan sammankopplas med en v¨ag.

Exempelvis ¨ar R³ b˚agvis sammanh¨angande. D¨aremot ¨ar R³/{z = 0} ej b˚agvis sam- manh¨angande, eftersom vi ej kan f¨orena tv˚a godtyckliga punkter i rummet med en v¨ag.

L˚at oss studera figur 1, d¨ar kan vi ej f¨orena p₀, p₁ ∈R³ med en v¨ag, eftersom planet z = 0

¨ar borttaget.

1L˚at X vara ett topologiskt rum. En v¨ag γ i X ¨ar en kontinuerlig avbildning γ ∶ [0, r] → X, d¨ar r ≥ 0.

Det reella talet r ¨ar durationen av v¨agen. Om r = 1, s¨ager vi att v¨agen ¨ar normaliserad.

Figur 1: Rummet d¨ar R³ har separerats av z = 0 ¨ar ej b˚agvis sammanh¨angande.

Med en loop i ett topologiskt rum X menar vi en v¨ag s˚adan att startpunkt sammanfaller med slutpunkt, med andra ord, en kontinuerlig avbildning α:[0, 1] → X s˚a att α(0) = α(1).

Vi s¨ager att en s˚adan loop har sin bas i punkten α(0).

Figur 2: En loop.

2.3 Homotopi

Poincar´e (1854), en av Frankrikes fr¨amsta matematiker genom tiderna, gav m˚anga funda- mentala bidrag till matematiken. Han introducerade bland annat id´een om att n¨arliggande v¨agar i ett rum kan betraktas som samma om det inte finns n˚agot hinder som hindrar dem fr˚an att kontinuerligt deformeras till varandra. F¨or att exemplifiera denna id´e, l˚at oss studera disken i figur 3.

Figur 3: Homotopa loopar.

H¨ar finns det inget som hindrar α fr˚an att deformeras till β och d¨arf¨or kan α och β anses som samma, eller homotopa, ett begrepp som vi snart kommer att definiera. I cirkelringen (eng. annulus) i figur 4 kommer d¨aremot h˚aligheten i mitten att f¨orhindra α fr˚an att kunna deformeras till β, d¨armed ¨ar α och β ej homotopa.

Figur 4: Ej homotopa loopar.

Vi ska nu formalisera denna intuitiva id´e om att deformera en avbildning till en annan.

L˚at X och Y vara topologiska rum och antag att f ∶ X → Y och g ∶ X → Y ¨ar kontinuerliga avbildningar. Vi t¨anker oss en familj {f_t} av avbildningar fr˚an X till Y, en avbildning f¨or varje punkt t i [0, 1], med f₀ = f , f₁ = g, och villkoret att f_t ¨andras kontinuerligt n¨ar t varierar mellan 0 och 1. L˚at topologin p˚a X × [0, 1] vara genererad av O_X ×O_I, d¨ar O_X ¨ar ¨oppen i X och O_I ¨ar ¨oppen i [0, 1]. En kontinuerlig avbildning F ∶ X × [0, 1] → Y ger upphov till en familj {f_t}om vi s¨atter f_t(x) = F (x, t).

Definition 2.4. En homotopi mellan f och g ¨ar en kontinuerlig avbildning F ∶ X ×[0, 1] → Y s˚a att f¨or varje x ∈ X, F (x, 0) = f (x) och F (x, 1) = g(x). Om en homotopi mellan f och g existerar, d˚a s¨ags f och g vara homotopa och vi skriver f ≃ g.

Lemma 2.5. Homotopi ¨ar en ekvivalensrelation p˚a m¨angden av alla kontinuerliga avbild- ningar fr˚an X → Y .

Bevis. Vi vill visa att homotopi ¨ar reflexiv, symmetrisk och transitiv.

1. Reflexiv: Vi vill visa att f ≃ f . Vi konstruerar en homotopi F fr˚an f till f s˚adan att F (x, t) ∶= f (x) f¨or 0 ≤ t ≤ 1, vilket l¨amnar f (x) fixerad. Eftersom f ¨ar en kon- tinuerlig funktion fr˚an X → Y , kommer nu F att vara en kontinuerlig funktion fr˚an X × [0, 1] → Y .

2. Symmetrisk: f ≃ g ⇒ g ≃ f . L˚at F (x, t) vara homotopin fr˚an f till g. Vi konstruerar en homotopi G(x, t) fr˚an g till f s˚adan att G(x, t) ∶= F (x, 1 − t), vilket ger symmetri.

3. Transitivitet: Vi vill visa att om f ≃ g, g ≃ h, d˚a ¨ar f ≃ h. L˚at F (x, t) vara homotopin fr˚an f till g och l˚at G(x, t) vara homotopin fr˚an g till h. Vi konstruerar d˚a en homotopi H(x, t) fr˚an f till h genom

H(x, t) ∶=

⎧⎪

⎪

⎨

⎪⎪

⎩

F (x, 2t), 0 ≤ t ≤ 1/2 G(x, 2t − 1), 1/2 ≤ t ≤ 1, vilket visar att relationen ¨ar transitiv.

I denna uppsats kommer vi forts¨attningsvis att intressera oss specifikt f¨or homotopier mellan v¨agar och loopar. Antag att α och β ¨ar loopar i X med samma baspunkt x₀. Vi definierar en basfixerad homotopi att vara en homotopi h ∶ [0, 1] × [0, 1] → Y s˚adan att f¨or alla t ∈ [0, 1], h(s, 0) = α(s) och h(s, 1) = β(s), och s˚adan att f¨or alla s ∈ [0, 1], h(0, t) = x₀ = h(1, t). Vi anv¨ander notationen [α] f¨or att beteckna ekvivalensklassen f¨or en loop α med baspunkt i x0 ∈ X. Vi kommer att referera till ekvivalensklasserna som homotopiklasser, och betecknar den basfixerade homotopiklassen av en loop α som [α].

Proposition 2.6. L˚at q, p vara tv˚a v¨agar i R² med samma start- och slutpunkter x₀, x₁. D˚a finns det en homotopi fr˚an p till q som h˚aller start- och slutpunkter fixa.

Bevis. L˚at p(t), q(t) vara v¨agar fr˚an x0 till x1, dvs, p(0) = q(0) = x0 och p(1) = q(1) = x1. L˚at oss nu definiera en familj av avbildningar som tar oss fr˚an p(t) till q(t) genom f_s(t) = (1 − s)p(t) + (s)q(t) f¨or 0 ≤ s, t ≤ 1. Vi ser att f₀(t) = p(t), f₁(t) = q(t) och att f_s varierar kontinuerlig.

Fr˚an detta f¨oljer att alla loopar som ¨ar baserade i samma punkt i R² ¨ar basfixt homo- topa. Detta studeras explicit i exempel 2.10.

2.4 Konstruktion av Fundamentalgruppen

Vi ska nu introducera ett s¨att att avg¨ora huruvida tv˚a topologiska rum ¨ar olika.

Definition 2.7. L˚at X och Y vara topologiska rum. En homeomorfi ¨ar en funktion f ∶ X → Y som ¨ar bijektiv, kontinuerlig, och har en kontinuerlig invers f⁻¹∶Y → X.

L˚at oss t¨anka p˚a homeomorfi som att tv˚a rum, eller geometriska objekt, ¨ar topologiskt lika om de ¨ar homeomorfa. Det klassiska exemplet ¨ar att att en kvadrat och en cirkel ¨ar homeomorfa, men att en sf¨ar och en torus inte ¨ar det.

Ofta i matematiken ¨ar man intresserad av att studera objekt upp till vissa f¨or¨andringar, och unders¨oka vilka egenskaper som l¨amnas of¨or¨andrade efter dessa f¨or¨andringar. Vi de- finierar en invariant att vara en egenskap som inte ¨andras under vissa former av trans- formationer. En metod f¨or att avg¨ora om tv˚a specifika rum eller objekt ¨ar lika, ¨ar genom att finna en homeomorfi mellan objekten. Att visa att tv˚a objekt ¨ar olika kan vara v¨aldigt komplext d˚a det kr¨aver att vi m˚aste unders¨oka varje avbildning mellan objekten och kon- trollera att de inte ¨ar homeomorfier. Ist¨allet s˚a s¨oker vi efter en invariant, som kan vara ett geometriskt f¨orh˚allande i rummet eller en algebraisk struktur s˚a som en grupp, f¨or att visa att tv˚a objekt ¨ar olika. Det viktiga ¨ar att invarianten m˚aste bevaras genom en homeomorfi.

Poincar´e hade en id´e om att tilldela en grupp till varje topologiskt rum p˚a ett s˚adant s¨att att homeomorfa rum har isomorfa grupper. F¨or att bilda oss en uppfattning av hur en s˚adan grupp ¨ar konstruerad, l˚at oss ˚aterigen studera disken samt cirkelringen i figur

3 respektive 4. Vi kan f¨orv¨anta oss att dessa rum ej ¨ar homeomorfa eftersom cirkelringen har ett h˚al i sig som inte disken har. Om vi nu specifikt studerar loopen α i firgurerna, kan vi se att h˚alet i cirkelringen hindrar oss fr˚an att kontinuerligt deformera α till en punkt, medan i disken kan α, och egentligen vilket godtycklig loop som helst i disken, deformeras till en punkt. Poincar´e anv¨ander loopar som α f¨or att konstruera den s˚a kallade fundamentalgruppen, d¨ar en loop som inte kan deformeras till en punkt ger upphov till ett icketrivial element i gruppen, och d¨ar loopar som ¨ar homotopa representerar samma element i gruppen. N¨ar vi arbetar med loopar som har gemensam baspunkt s˚a kan vi p˚a ett naturligt s¨att multiplicera dessa, ty loopar med baspunkt x₀ ∈ X kan ses som v¨agar som uppfyller kraven f¨or en v¨agmultiplikation enligt definition 2.2. L˚at oss ˚aterge denna definition i termer av loopar; om α och β ¨ar tv˚a loopar som har samma baspunkt x₀ ∈X, s˚a definierar vi produkten α ⋅ β att vara loopen given av

α ⋅ β =

⎧⎪

⎪

⎨

⎪⎪

⎩

α(2s), 0 ≤ s ≤ 1/2 β(2s − 1), 1/2 ≤ s ≤ 1.

D˚a ¨ar α ⋅ β kontinuerlig och avbildar [0, 1/2] p˚a bilden av α i X och avbildar [1/2, 1] p˚a bilden av β i X, se figur 5.

Figur 5: Multiplikation av loopar.

Lemma 2.8. Multiplikation av loopar inducerar multiplikation av homotopiklasser via [α][β] = [α ⋅ β].

Bevis. L˚at oss visa att denna multiplikation ¨ar v¨aldefinierad, det vill s¨aga att multiplika- tionen ¨ar oberoende av vilken loop vi v¨aljer som representant fr˚an en ekvivalensklass.

[7] Antag att [α] = [β] och att [α^′] = [β^′]. Det finns basfixerade homotopier h fr˚an α till β och h^′ fr˚an α^′ till β^′. Vi definierar en basfixerad homotopi h^′′ fr˚an α ⋅ α^′ till β ⋅ β^′

enligt f¨oljande,

h^′′(s, t) ∶=

⎧⎪

⎪

⎨

⎪⎪

⎩

h(s, 2t), 0 ≤ t ≤ 1/2 h^′(s, 2t − 1), 1/2 ≤ t ≤ 1.

D˚a ¨ar h^′′verkligen en basfixerad homotopi fr˚an α⋅α^′ till β ⋅β^′, s˚aledes ¨ar [α⋅α^′] = [β ⋅β^′]. Vi ¨ar nu redo att presentera fundamentalgruppen med hj¨alp av f¨oljande sats.

Sats 2.9. L˚at X vara ett topologiskt rum. M¨angden homotopiklasser av loopar med baspunkt x₀∈X, bildar en grupp under operationen [α][β] = [α ⋅ β].

Bevis. [2] Vi har visat i lemma 2.7 att operationen [α][β] = [α ⋅ β] ¨ar v¨aldefinierad.

Associvitet: L˚at α, β, γ vara loopar i X med baspunkt i x₀. Vi vill visa att [α ⋅ β][γ] = [α][β ⋅ γ] genom att konstruera en homotopi fr˚an (α ⋅ β) ⋅ γ till α ⋅ (β ⋅ γ), d¨ar α, β, γ ¨ar godtyckliga represententer fr˚an [α], [β], [γ] respektive. L˚at oss g¨ora f¨oljande parametrise- ringar;

(α ⋅ β) ⋅ γ(t) ∶=

⎧⎪

⎪⎪

⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎩

α(4t) 0 ≤ t ≤ ¹₄ β(4t − 1) ¹₄ <t ≤ ¹₂ γ(2t − 1) ¹₂ <t ≤ 1,

α ⋅ (β ⋅ γ)(t) ∶=

⎧⎪

⎪⎪

⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎩

α(2t) 0 ≤ t ≤ ¹₂ β(4t − 2) ¹₂ <t ≤ ³₄ γ(4t − 3) ³₄ <t ≤ 1.

Vi kan nu se att (α⋅β)⋅γ ¨ar lika med sammans¨attningen (α⋅(β ⋅γ))○h, d¨ar h ¨ar avbildningen fr˚an [0, 1] till [0, 1] s˚adan att;

h(t) ∶=

⎧⎪

⎪⎪

⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎩

2t 0 ≤ t ≤ ¹₄ t + ¹₄ ¹₄ <t ≤ ¹₂

t

2 +¹₂ ¹₂ <t ≤ 1.

Vi kan nu konstruera en homotopi H(s, t) ∶ [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] s˚adan att H(s, t) = (1 − s)t + s ⋅ h(t), d¨ar t ¨ar identitetsavbildningen fr˚an [0, 1] till [0,1]. Om vi nu studerar sammans¨attningen ((α ⋅ β) ⋅ γ) ○ H(s, t) ser vi att f¨or s = 0 f˚ar vi

((α ⋅ β) ⋅ γ) ○ H(0, t) = ((α ⋅ β) ⋅ γ) ○ t = (α ⋅ β) ⋅ γ och f¨or s = 1 f˚ar vi

((α ⋅ β) ⋅ γ) ○ H(1, t) = ((α ⋅ β) ⋅ γ) ⋅ h(t) = α ⋅ (β ⋅ γ),

och H(s, t) kommer att variera kontinuerligt d¨aremellan. Vi har d¨armed konstruerat en homotopi s˚a att associvitet ¨ar uppfyllt. Vi illustrerar detta i figur 6 nedan.

Figur 6: Illustration av sammans¨attningen ((α ⋅ β) ⋅ γ) ○ H(s, t).

Identitetselement: Identitetselementet e ¨ar homotopiklassen av den konstanta loopen e0 med basen x0 som definieras av e0(t) = x0 f¨or 0 ≤ t ≤ 1. Vi vill visa att [e0][α] = [α] och [α][e₀] = [α], d¨ar α ¨ar en loop med basen i x₀. Vi noterar att e₀⋅α ¨ar sammans¨attningen α ○ h, d¨ar h ∶ [0, 1] → [0, 1] ¨ar definierad s˚a att

h(t) ∶=

⎧⎪

⎪

⎨

⎪⎪

⎩

0 0 ≤ t ≤ ¹₂ 2t − 1 ¹₂ <t ≤ 1

P˚a liknande s¨att som ovan, s˚a konstruerar vi nu en homotopi fr˚an [0, 1] × [0, 1] till [0, 1]

s˚adan att H(s, t) = (1 − s)t + s ⋅ h(t). F¨or sammans¨attningen (e0⋅α) ○ H(s, t) f˚ar vi att s = 0 ger

(e₀⋅α) ○ H(0, t) = (e₀⋅α) ○ t = e₀⋅α och s = 1 ger

(e₀⋅α) ○ H(1, t) = (e₀⋅α) ○ h(t) = α.

Vi har h¨armed konstruerat en homotopi fr˚an e₀ ⋅α till α. Sambandet α ⋅ e₀ ≃ α visas p˚a liknande s¨att. D¨armed ¨ar [e₀] =e identiteten i gruppen.

Invers: Om α ¨ar en loop i X med baspunkt i x₀, d˚a kommer vi ih˚ag att dess motsatta riktning α⁻¹ som definieras av α⁻¹(t) = α(1−t), 0 ≤ t ≤ 1, ocks˚a ¨ar en loop i X med baspunkt i x₀. Vi vill visa att α ⋅ α⁻¹≃e₀, e₀∈ [e₀] genom att konstruera en s˚adan homotopi. Vi ser att α ⋅ α⁻¹ =α ○ h, d¨ar h ∶ [0, 1] → [0, 1] ¨ar definierad att vara

h(t) ∶=

⎧⎪

⎪

⎨

⎪⎪

⎩

2t 0 ≤ t ≤ ¹₂ 2 − 2t ¹₂ <t ≤ 1.

Eftersom h(0) = h(1) = 0, vet vi att h ≃ g, d¨ar g(t) = 0, 0 ≤ t ≤ 1. D¨armed ¨ar α ⋅ α⁻¹=α ○ h ≃ α ○ g = e₀.

Att α⁻¹⋅α ≃ e0 visas p˚a liknande s¨att. D¨armed kan vi ta [α⁻¹] som v˚ar invers.

Gruppen beskriven ovan kallas fundamentalgruppen av X med bas i punkten x0, vilken vi betecknar π₁(X, x₀). L˚at oss nu unders¨oka vad som h¨ander om vi v¨aljer en annan baspunkt x₁ ist¨allet f¨or x₀.

Sats 2.10. Om X ¨ar b˚agvis sammanh¨angande, d˚a ¨ar π₁(X, x₀)och π₁(X, x₁)isomorfa f¨or godtyckliga punkter x₀, x₁ ∈X.

Bevis. [7] L˚at γ ∶ [0, 1] → X vara en v¨ag i X med γ(0) = x₁ och γ(1) = x₀. Antag att α ¨ar en loop i med baspunkt x₀ ∈X. D˚a ¨ar γ ⋅ α ⋅ γ⁻¹ en loop med baspunkt x₁ ∈X.

Figur 7: Loopen γ ⋅ α ⋅ γ⁻¹ med baspunkt x₁ ∈X.

En avbildning [α] ↦ [γ ⋅ α ⋅ γ⁻¹] ger en isomorfi mellan π₁(X, x₀)och π₁(X, x₁), om X

¨ar b˚agvis sammanh¨angande.

Ett resultat fr˚an f¨oreg˚aende sats ¨ar att vi kan beteckna fundamentalgruppen endast som π₁(X), allts˚a utan att specificera baspunkten, s˚a l¨ange X ¨ar b˚agvis sammanh¨angande. Vi ser ¨aven att b˚agvis sammanh¨angande rum ger isomorfa grupper. S˚aledes ¨ar fundamen- talgruppen en invariant upp till isomorfi s˚adan att homeomorfa rum f˚ar isomorfa funda- mentalgrupper. D¨arf¨or ¨ar vi endast intresserade av att studera grupper upp till isomorfi.

Noteras b¨or att ¨aven d˚a grupperna ¨ar isomorfa s˚a kan isomorfin bero p˚a vilken v¨ag γ vi v¨aljer mellan x₀ och x₁.

H¨ar f¨oljer n˚agra exempel p˚a fundamentalgrupper.

Exempel 2.11. Fundamentalgruppen π₁(Rⁿ) ¨ar den triviala gruppen s˚a att π₁(Rⁿ) ≅<1 >

Bevis. L˚at oss fixera en godtycklig baspunkt x₀ ∈ Rⁿ. D˚a kommer alla loopar med bas- punkt i x0 att vara homotopa, eftersom det inte finns n˚agot som hindrar looparna fr˚an att kontinuerligt deformeras till punkten x₀. Fundamentalgruppen av π₁(Rⁿ) best˚ar s˚aledes endast av en homotopiklass, dvs ett element, och s¨ags d¨arf¨or vara den triviala gruppen s˚a att π1(Rⁿ) ≅<1 >. Om vi exempelvis v¨aljer origo som v˚ar baspunkt, s˚a kan en godtycklig loop i Rⁿ med denna baspunkt, s¨ag α, kontinuerlig deformeras till origo genom homomor- fin H(s, t) = (1 − s)α(t). Med andra ord, vi krymper loopen α tills den sammanfaller med origo.

Exempel 2.12. Fundamentalgruppen π1(S¹, 1), d¨ar S¹ ¨ar enhetscirkeln i R², ¨ar o¨andligt cyklisk.

Bevis. H¨ar presenteras en endast en id´e till beviset i grova drag. F¨or ett detaljerat bevis h¨anvisas l¨asaren till [7]. L˚at cirkeln S¹ vara enhetscirkeln i det komplexa talplanet. En v¨ag i S¹ ¨ar begr¨ansad till att endast r¨ora sig l¨angs cirkeln. V¨agen kan till exempel best˚a av att vi r¨or oss en bit l¨angs med cirkeln, f¨or att sedan v¨anda tillbaka till baspunkten. Vi kan ocks˚a r¨ora oss flera varv l¨angs med cirkeln, moturs eller medurs. Loopar som snurrar ett lika antal g˚anger runt enhetscirekln anses vara homotopa. Vi s¨ager att s˚adana loopar har ett lika winding number, d¨ar ett varv moturs betecknas +1, tv˚a varv moturs +2 och ett varv medurs betecknas −1 osv. Eftersom multiplikation av loopar inducerar addition av windning number s˚a ¨ar π₁(S^′) ≅Z, dvs o¨andligt cyklisk.

Figur 8: Exempel p˚a winding numbers. Observera att bilden ska tolkas som att de bl˚aa looparna sammanfaller med enhetscirkeln (gr¨on).

3 Grundl¨aggande knutteori

3.1 Introduktion

Intuitivt kan vi t¨ankta p˚a en knut som ett knutet sn¨ore vars ¨andar har sammanfogats s˚a att knuten inte kan knytas upp s˚avida inte sn¨oret klipps itu. Knuten utg¨or en sluten kurva i rummen som inte sk¨ar sig sj¨alv n˚agonstans.

Figur 9: Konstruktion av den s˚a kallade trekl¨overknuten.

F¨or att kunna definiera en knut i matematiska termer m˚aste vi f¨orst˚a vad en inb¨addning

¨ar. Vi s¨ager att en funktion f ¨ar en inb¨addning om f ¨ar en homeomorfi till sin bild. Mer explicit; En avbildning f ∶ X → Y ¨ar en inb¨addning om f ger en homeomorfi mellan X och f (X). Ett exempel p˚a inb¨addning ¨ar S¹ →R³ given av (x, y) ↦ (x, y, 1) d¨ar x²+y² =1.

Med andra ord, inb¨addningen av enhetscirkeln in i R³.

Med en sl¨at inb¨addning menar vi att v˚ar funktion f dessutom ska vara kontinuerligt deriverbar i varje punkt i dess definitionsm¨angd, s˚a att vi i varje punkt har en tangent som varierar kontinuerligt. Teorin kring sl¨ata inb¨addningar i allm¨anhet ¨ar r¨att teknisk och kr¨aver kunskap i differentialtopologi, men i denna uppsats anses definitionen ovan tillr¨acklig. L˚at oss nu definiera en knut.

Definition 3.1. En knut ¨ar bilden av en sl¨at inb¨addning av en cirkel S¹ in i R³.

Vi v¨aljer att studera just sl¨ata inb¨addningar f¨or att vi vill undvika s˚a kallade vilda knutar. L˚at oss studera figur 10.

Figur 10: Vild knut.

H¨ar kan vi konstruera en kontinuerlig inb¨addning fr˚an S¹ →R³ med denna m¨angd som dess bild. Problemet ¨ar att denna knut har en ackumuleringspunkt av knutar, d¨ar derivatan ej kommer att vara definierad. Denna knut anses d¨arf¨or vara vild. Om vi best¨ammer att avbildningen m˚aste vara deriverbar i varje punkt i dess definitionsm¨angd, allts˚a sl¨at, s˚a kommer vi begr¨ansa oss till att endast hantera s˚a kallade tama knutar, vilket ¨ar av intresse i denna uppsats. I figur 11 illustreras en tam knut.

Figur 11: Tam knut.

Om vi har en inb¨addning av flera disjunkta cirklar S¹˙∪... ˙∪S¹ in i R³ kallas unionen av dessa f¨or en l¨ank. Bilden av varje S¹ i l¨anken kallas f¨or en komponent. Exempel p˚a l¨ankar

¨ar Hopf-l¨anken och de Borromeiska ringarna.

Figur 12: Hopf-l¨ank och Borromeiska ringar.

L˚at oss unders¨oka vad som h¨ander om vi projicerar en knut i rummet p˚a ett plan s˚a att vi endast f˚ar transversala dubbelpunkter. Vi kommer d˚a att f˚a en kurva med n˚agra

dubbelpunkter, men inga tangeringar eller trippelpunkter. Dessa dubbelpunkter kallar vi f¨or knutens korsningar. Ett knutdiagram ¨ar bilden av denna projektion tillsammans med extra information om korsningar, d¨ar en brytning i en b˚age indikerar att den brutna b˚agen g˚ar under den obrutna b˚agen. Nedan f¨oljer exempel p˚a knutdiagram f¨or n˚agra vanligt f¨orekommande knutar.

Figur 13: En oknut, eller den triviala knuten, ¨ar den enklaste knuten och utg¨ors helt enkelt av den oknutna cirkeln.

Figur 14: Trekl¨overknut och figur ˚atta-knut.

Figur 15: H¨ar visas olika projektioner av trekl¨overknuten.

3.2 Reidemeisterdragen

Den tyske matematikern Kurt Reidemeister (1892-1971) visade ˚ar 1926 att om vi har tv˚a olika knutdiagram av samma knut, kan vi ta oss fr˚an det ena knutdiagrammet till det andra genom en serie av Reidemeisterdrag. Reidemeisterdragen ¨ar ¨andringar utf¨orda i knutdia- gram enligt R1, R2 och R3 nedan.

Definition 3.2. Knutdiagram D, D^′ ¨ar ekvivalenta om D kan transformeras till D^′ genom en ¨andlig serie av Reidemeisterdrag.

I knutteorin intresserar man sig speciellt f¨or att avg¨ora om tv˚a olika knutar g˚ar att deformera till varandra. L˚at oss d¨arf¨or definiera vad vi menar med att tv˚a knutar ¨ar ekvivalenta.

Definition 3.3. Tv˚a knutar K, K^′ ¨ar ekvivalenta om det existerar en sl¨at orienteringsbe- varande homeomorfi h ∶ R³→R³ s˚adan att h(K) = K^′.

Sats 3.4. [7] Tv˚a knutar ¨ar ekvivalenta om och endast om deras knutdiagram ¨ar ekviva- lenta.

Ett viktigt resultat fr˚an f¨oreg˚aende sats ¨ar att vi kan reducera problem d¨ar vi studerar ekvivalenta knutar till att ist¨allet studera ekvivalenta knutdiagram. Detta kommer att vara till stor hj¨alp n¨ar vi unders¨oker olika knutinvarianter, vilket vi ˚aterkommer till strax. F¨orst, ett exempel.

Exempel 3.5. Vi kan ta oss fr˚an ett knutdiagram av trekl¨overknuten till ett annat knutdia- gram av samma knut, genom det tredje reidemeisterdaget (samt rotationer och strechning- ar). Vi kan d¨arf¨or s¨aga att dessa knutdiagram verkligen representerar ekvivalenta knutar knutar.

Figur 16: Trekl¨overknuten.

3.3 Knutinvariant

Nu har vi en definition p˚a plats f¨or att visa att tv˚a knutar ¨ar ekvivalenta. Att visa att tv˚a knutar ¨ar olika kan d¨aremot vara v¨aldigt komplext d˚a det kr¨aver att vi m˚aste unders¨oka varje avbildning mellan knutarna och kontrollera att de inte ¨ar sl¨ata orienteringsbevarande homeomorfier. F¨or att visa att tv˚a knutar ¨ar olika till¨ampar vi ist¨allet en invariant.

Definition 3.6. En knutinvariant ¨ar en funktion f fr˚an m¨angden av knutar till en an- nan m¨angd s˚a att f (K) = f (K^′) om K och K^′ ¨ar ekvivalenta knutar, det vill s¨aga, en knutinvariant tilldelar alltid samma v¨arde till ekvivalenta knutar.

S˚a, om vi antar att en knut K har ett v¨arde α, och om K ∼ K^′ medf¨or att K^′ ocks˚a har v¨ardet α, s˚a ¨ar α en knutinvariant.

Knutinvarianter anv¨ands i huvudsak f¨or att avg¨ora huruvida tv˚a knutar ¨ar olika. Det vill s¨aga, om K och K^′ inte har tilldelats lika knutinvariant, d˚a ¨ar K ≁ K^′. Att tv˚a knutar har tilldelats lika knutinvariant medf¨or desv¨arre inte att knutarna n¨odv¨andigtvis ¨ar ekvivalenta. Vi kommer att se att det finns olika typer av knutinvarianter som med olika stor precision kan avg¨ora huruvida tv˚a knutar ¨ar olika eller ej. Vi ¨onskar en knutinvariant som ¨ar tillr¨ackligt rimlig att r¨akna med, men som samtidigt ¨ar tillr¨ackligt k¨anslig f¨or att l¨osa v˚ara problem.

Exempel p˚a olika knutinvarianter ¨ar Fox p-f¨argning, Jonespolynomet och knutgruppen.

Huvudproblemet i denna uppsats ¨ar att unders¨oka sambandet mellan ett par specifika knutinvarianter, vilket vi ˚aterkommer till l¨angre fram.

4 Fox p-f¨argning

I denna sektion kommer vi att introducera knutinvarianten Fox p-f¨argning, d¨ar id´en ¨ar f¨arga b˚agarna i ett knutdiagram enligt vissa regler.

Historien om knutf¨argning b¨orjade 1956 av Ralph Fox (1913-1973). Han h¨oll en uppm¨arksammad f¨orel¨asning till sina studenter vid Haverford College d¨ar han p˚a ett f¨orenklat s¨att ville beskriva homomorfier fr˚an knutgruppen till en dihedral grupp. Han beskrev detta med hj¨alp av f¨argade knutar. Id´en var att f¨arga b˚agarna i ett knutdiagram i n˚agon av f¨argerna r¨od, bl˚a eller gr¨on, d¨ar f¨argningen skulle f¨orh˚alla sig p˚a ett visst s¨att f¨or att knuten skulle vara s˚a kallad 3-f¨argningsbar. Han kunde visa att knutar som ej ¨ar 3-f¨argningsbara ej ¨ar ekvivalenta med knutar som ¨ar 3-f¨argningsbara. Fox f¨orel¨asning var s˚a uppskattad att denna metod numera ¨ar en v¨alk¨and invariant inom knutteorin. 3-f¨argningen har sedan generaliserats till n-f¨argning och vi t¨anker oss d˚a att vi ”f¨argar” ett knutdiagram genom att associera ett tal fr˚an 0 till n − 1 till varje b˚age i knutdiagrammet s˚a att vissa regler ¨ar uppfyllda. n-f¨argningen best¨ammer s˚aledes med hur m˚anga olika f¨arger vi kan f¨arga v˚art knutdiagram. I denna uppsats kommer vi dock endast att studera f¨argningar d¨ar n ¨ar ett primtal, och v¨aljer s˚aledes notationen p-f¨argning i forts¨attningen.

4.1 Fox 3-f¨argning

Definition 4.1. [7] Ett knutdiagram ¨ar 3-f¨argningsbart om varje b˚age kan tilldelas en f¨arg fr˚an en m¨angd med tre olika f¨arger s˚a att

3C1: Minst tv˚a f¨arger anv¨ands,

3C2: I varje korsning har antingen samtliga b˚agar samma f¨arg, eller s˚a har samtliga b˚agar olika f¨arger.

Figur 17: 3-f¨argningsbara korsningar i knutdiagrammet.

Till v¨anster ser vi ett exempel p˚a en korsning i ett knutdiagram d¨ar samtliga b˚agar har samma f¨arg, och till h¨oger ser vi ett exempel d¨ar samtliga b˚agar har olika f¨arger.

Exempel 4.2. I figur 18 visas exempel p˚a 3-f¨argningsbara knutar.

Figur 18: 3-f¨argningsbara knutar.

Exempel 4.3. I figur 19 visas exempel p˚a ej 3-f¨argningsbara knutar. Observera att s¨attet de tv˚a f¨orsta knutarna ¨ar f¨argade p˚a endast ¨ar ett exempel f¨or att illustrera att de ej g˚ar att f¨arga enligt Fox 3-f¨argning. En explicit metod f¨or att avg¨ora om en knut g˚ar att f¨arga enligt Fox regler ges i sektion 4.3.

Figur 19: Ej 3-f¨argningsbara knutar.

Sats 4.4. Fox 3-f¨argning ¨ar en knutinvariant.

Bevis. Vi vill visa ett knutdiagram som ¨ar 3-f¨argningsbart ˚ater kommer att vara att 3- f¨argningsbart efter att reidemeisterdragen R1, R2 eller R3 utf¨orts. Det finns m˚anga oli- ka m¨ojliga fall att unders¨oka, i figurerna nedan visas endast n˚agra exempel och vi visar endast den del av knutdiagrammet som ¨andrats av reidemeisterdragen. F¨or att ge ett fullst¨andigt bevis m˚aste alla m¨ojligheter unders¨okas. ˚A andra sidan kommer permutatio- ner av f¨argl¨aggningar inte p˚averka problemet, det som dock ¨ar viktigt att ha i ˚atanke ¨ar att b˚agar som l¨amnar korsningen inte f˚ar ¨andra f¨arg efter genomf¨ort reidemeisterdrag, ef- tersom det kan p˚averka 3-f¨argbarheten i resten av knutdiagrammet.

F¨or R1;

F¨or R2;

F¨or R3;