Tentamen i Numerik Amneskod¨ MAM208 Tentamensdatum 2006-03-15
Totala antalet uppgifter: 7 Skrivtid 09.00 – 14.00
L¨arare: Ove Edlund
Jourhavande l¨arare: Ove Edlund Tel: 070-2828661
Resultatet meddelas: p˚a studentportalen. P˚a www.ltu.se/atorget ansl˚as n¨ar den r¨attade skrivningen kan h¨amtas ut.
Till˚atna hj¨alpmedel: Minir¨aknare, Beta
Till alla uppgifterna ska fullst¨andiga l¨osningar l¨amnas. Resonemang, inf¨orda beteck- ningar och utr¨akningar f˚ar inte vara s˚a knapph¨andigt presenterade att de blir sv˚ara att f¨olja. ¨Aven endast delvis l¨osta problem kan ge po¨ang.
Enbart svar ger 0 po¨ang.
Institutionen f¨or matematik
1 (3)
1. Givet matrisen
A =
−2 −2 5
2 4 −2
−1 2 3
(a) Alla upps¨attningar av matriserna P, L och U nedan uppfyller likheten PA = LU. F¨orklara med motivering, vilka av upps¨attningarna som ¨ar LU-faktoriser- ingar av A:
i. P =
0 0 1 0 1 0 1 0 0
L =
1 0 0
−2 4 0
2 −3 1
U =
−1 2 3 0 2 1 0 0 2
ii. P =
1 0 1
0 1 −1
0 0 3
L =
1 0 0
−1 1 0 1 3 1
U =
−3 0 8
0 2 3
0 0 −8
(1 p)
iii. P =
0 1 0 0 0 1 1 0 0
L =
1 0 0
−0.5 1 0
−1 0.5 1
U =
2 4 −2
0 4 2
0 0 2
(b) F¨orklara med motivering vilken av upps¨attningarna ovan som kommer fr˚an LU-faktorisering med partiell piv˚atering. (1 p) (c) Anv¨and en LU-faktorisering av A f¨or att best¨amma ξ, η, θ i ekvationssystemet:
−2 ξ − 2 η + 5 θ = −1 2 ξ + 4 η − 2 θ = 8
−1 ξ + 2 η + 3 θ = 6
(2 p)
2. Avrundningsfel i flyttalsber¨akningar modeleras med, t.ex. f¨or addition (a + b)(1 + δ), |δ| ≤ M/2
Varf¨or modelleras flyttalens avrundningsfel p˚a detta s¨att? (3 p)
3. Best¨am ett approximativt v¨arde p˚a integralen
2
Z
0
x2e−x2dx
Genom att anv¨anda Simpsons formel med stegl¨angd h = 0.5. (4 p)
4. (a) Man har m¨att upp halten koloxid i luften som en funktion av bilt¨atheten och best¨amt sig f¨or att f¨ors¨oka skatta m¨atdatat till en trolig matematisk modell av sambandet:
y = β0+ β1x + β2 x2 1 + x
Givet m¨atdataserien (xi, yi), i = 1..5, hur ser problemst¨allningen ut? Vilken
”struktur” har den ing˚aende matrisen. (2 p)
2 (3)
(b) N¨ar denna typ av problem l¨oses f¨oredrar man att g¨ora det med hj¨alp av QR- faktorisering. Hur ser den l¨osningsekvationen ut och hur till¨ampar man den p˚a problemet i deluppgift (a)? Varf¨or ¨ar denna metod i allm¨anhet att f¨oredra
framf¨or normalekvationen? (2 p)
(c) H¨arled ekvationen f¨or att finna l¨osningen med hj¨alp av QR-faktorisering. (3 p)
5. Begynnelsev¨ardesproblemet av ordning 2
y00(x) = x y0(x) y(x), y(0) = 1, y0(0) = 0
har ingen sj¨alvklar analytisk l¨osning. F¨orklara hur man kan ber¨akna en approxima- tion av y(2) med hj¨alp av en numerisk metod f¨or f¨orsta ordningens problem, t.ex Trapetsmetoden (Heuns metod).
Du beh¨over inte genomf¨ora sj¨alva ber¨akningen. (5 p)
6. Centraldifferensapproximation av derivatan till f (x) ges av formeln f0(x) ≈ f (x + h) − f (x − h)
2 h
(a) H¨arled ordningstalet f¨or felet i approximationen. (2 p) (b) Givet en centraldifferensapproximation med h = 0.2 som C0.2, och en med h = 0.1 som C0.1. H¨arled en extrapolationsformel av dessa tv˚a som ger en differensapproximation med h¨ogre ordningstal. (2 p)
7. Beskriv vad ett styvt problem (stiff) ¨ar, hur en metod som inte kan hantera styva problem beter sig om man f¨ors¨oker anv¨anda den p˚a ett styvt problem, samt hur man g¨or f¨or att verkligen l¨osa styva problem. (3 p)
3 (3)
