Miroslav Lama

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta strojní

Katedra aplikované kybernetiky

Obor M2301 Strojní inženýrství - automatizované systémy řízení ve strojírenství Zaměření - automatizace inženýrských prací

2004

ALGORITMY A IMPLEMENTACE ADAPTIVNÍCH REGULÁTORŮ

Vypracoval Miroslav Lamač

Vedoucí diplomové práce Prof. Ing. Miroslav Olehla, CSc.

P r o h l á š e n í

Byl jsem seznámen s tím, že na mou diplomovou práci se plně vztahuje zákon č.121/2000 Sb. o právu autorském, zejména § 60 (školní dílo).

Beru na vědomí, že TUL má právo na uzavření licenční smlouvy o užití

mé diplomové práce a prohlašuji, že s o u h l a s í m s případným užitím mé diplomové práce (prodej, zapůjčení apod.).

Jsem si vědom toho, že užít své diplomové práce či poskytnout licenci

k jejímu využití mohu jen se souhlasem TUL, která má právo ode mne požadovat přiměřený příspěvek na úhradu nákladů, vynaložených univerzitou na vytvoření díla (až do jejich skutečné výše).

Beru na vědomí, že si svou diplomovou práci mohu vyzvednout v Univerzitní knihovně TUL po uplynutí pěti let po obhajobě.

V Liberci dne 26.května 2004 ……….

Místopřísežně prohlašuji, že diplomovou práci jsem vypracoval samostatně s použitím uvedené literatury.

V Liberci dne 26. květena 2004 ………

Úvodem bych rád poděkoval Prof. Ing. Miroslavu Olehlovi, Csc., za cenné připomínky a rady během vypracování mé diplomové práce.

Miroslav Lamač

Anotace

Účelem této práce bylo naprogramovat vybrané metody adaptivních řídících systémů.

Práce je zaměřena na samočinně nastavující se regulátory, jejichž činnost je popsána v teoretické části diplomové práce.

Druhou část diplomové práce tvoří simulační ověřování naprogramovaných algoritmů samočinně nastavujících se regulátorů v programovém prostředí Matlab - Simulink.

Annotation

Purpose of this work was programming of adaptive control systems by using of the methods chosen. This work is focused on self-tuning controllers described in theoretic part.

The second part of this thesis solves simulative verification of programmed algorithm self-tuning controllers via high - performance system Matlab-Simulink.

OBSAH

1. Úvod . . . 2. Formulace a klasifikace adaptivních řídících systémů . . .

2.1. Adaptivní řídící systémy založené na heuristickém přístupu . . . 2.2. Adaptivní řídící systémy s referenčním modelem . . . 2.3. Samočinně se nastavující regulátory . . . 3. Vývoj adaptivních řídících systémů . . . 4. Modely a identifikace systémů se samočinně se nastavujícími regulátory . . . . 4.1. Modely systémů . . . 4.2. Identifikace systému . . . 4.2.1. Princip metody nejmenších čtverců . . . 4.2.2. Rekurzivní metoda nejmenších čtverců . . . 5. Samočinně se nastavující PID regulátory . . .

5.1. Číslicové PID regulátory . . . 5.2. Popis samočinně se nastavujících PID regulátorů . . . 5.3. Algoritmy samočinně se nastavujících PID regulátorů . . . 5.3.1. Číslicové PID regulátory založené na metodě přiřazení pólů . . . 5.3.2. Bányázsové a Kevického PID regulátor . . . 5.3.3. Dahlinův PID regulátor . . . 5.3.4. Číslicové PID regulátory založené na modifikovaném

Ziegler-Nicholsově kriteriu . . . 6. Popis simulačních prostředků . . .

6.1. Algoritmy identifikace . . . 6.2. Simulační obvod . . . 7. Simulační ověřování . . . 8. Závěr . . . 9. Literatura . . .

Přílohy

8 9 12 12 13 17 18 18 20 21 22 24 24 26 27 27 32 34

34 40 40 42 44 45 46

1. Úvod

Teorie adaptivního řízení v posledních desetiletích zaznamenala významný rozvoj díky úrovni technických prostředků automatického řízení. Je nutné si uvědomit, že většina systémů v reálném světě jsou nelineární a měnící své vlastnosti v čase. Tyto změny mohou být v určitých systémech natolik významné, že řízení takového systému s pevně nastaveným regulátorem (nejčastěji PID) nepřichází v úvahu, případně je zcela nemožné.

V případech, kdy je možné proces řídit s pevně nastaveným regulátorem, může adaptivní regulátor přinést výrazné zlepšení kvality regulačního pochodu. Jedním z hlavních směrů adaptivního řízení, který se dostal do popředí, jsou samočinně se nastavující regulátory založené na průběžné identifikaci řízeného procesu.

Cílem práce bylo poskytnout základní informace o vybraných metodách adaptivních řídích systémů, jejich naprogramování, a poté následnou simulací jejich porovnání a vyhodnocení.

2. Formulace a klasifikace adaptivních řídících systémů

Převážná většina technologických procesů, se kterými se v praxi setkáváme, jsou stochastického charakteru. Pro řízení takových procesů klasické regulátory s pevně nastavenými parametry mnohdy nevyhovují, neboť při změnách parametrů procesu není řízení optimální. Změna těchto parametrů je způsobena stárnutím zařízení, změnami vlastností surovin, apod.

Vývoj moderních číslicových automatizačních prostředků založených na mikroprocesorové technice umožnil použití adaptivních řídících systémů ke zvýšení kvality řízení takových procesů. Řídicí algoritmy jsou nezbytnou součástí adaptivních řídících systémů. Jejich vývoj a zdokonalování, poznání jejich předností a omezení, je nutným předpokladem pro úspěšné adaptivní řízení.

vstupy Nastavitelný systém výstupy

Adaptační

mechanismus Měřené ukazatele chování

Porovnávací mechanismus

stav poruchy měřitelné neměřitelné

žádané ukazetele

Obr. 1 Obecné blokové schéma adaptivního řídícího systému

Adaptace je schopnost organismů přizpůsobovat se změnám okolního prostředí.

Představuje pro organismus jistou ztrátu, ať již jde o materiál, energii nebo informace. Živé organismy při mnohonásobném opakování adaptace na určitou změnu okolního prostředí dokáží tyto ztráty minimalizovat. Opakováním adaptace organismus postupně minimalizuje ztráty vynaložené na adaptaci. Tento jev nazýváme učením.

Na obr.1 je znázorněno obecné blokové schéma adaptivního systému, na jehož základě můžeme pro naše další účely formulovat tuto zjednodušující definici:

Adaptivní systém měří určité ukazatele chování daného nastavitelného systému pomocí jeho vstupů, stavů nebo výstupů. Na základě porovnání těchto měřených ukazatelů a množiny požadovaných ukazatelů modifikuje parametry nebo strukturu nastavitelného obvodu nebo generuje pomocný vstup tak, aby se měřené ukazatele chování udržovaly na hodnotách co nejbližších k žádaným ukazatelům.

Tato definice je dosti obecná a dovoluje zahrnout převážnou většinu adaptivních úloh technické kybernetiky. Ukazatele chování v těchto úlohách mohou být nejrůznějšího charakteru. Bude-li v pořádku adaptivní systém využit pro řízení, může být ukazatelem chování např.:

• poloha pólů a nul přenosu uzavřeného regulačního obvodu,

• žádaný překmit přechodové charakteristiky uzavřeného regulačního obvodu na skokovou změnu řídicí nebo poruchové veličiny,

• doba regulace,

• minimální hodnota různých integrálních (v diskrétní verzi sumačních) kritérií,

• amplituda a frekvence vlastních kmitů u nelineárních obvodů,

• frekvenční spektrum uzavřeného regulačního obvodu,

• zvolená hodnota amplitudové a fázové bezpečnosti apod.

Pro účely automatické regulace můžeme definici adaptivního systému formulovat ještě jednodušším způsobem:

Adaptivní řídicí systémy přizpůsobují parametry nebo strukturu jedné části systému (regulátoru) změnám parametrů nebo struktury jiné části systému (regulované soustavy) tak, aby na základě zvoleného kritéria zajistily trvale optimální chování celého systému, nezávisle na nastalých změnách.

Adaptaci na změnu parametrů nebo struktury soustavy lze uskutečnit v podstatě třemi způsoby:

• vhodnou změnou stavitelných parametrů regulátoru,

• změnou struktury regulátoru,

• generováním vhodného přídavného vstupního signálu (adaptace vstupním signálem). [1]

Klasický zpětnovazební regulátor na rozdíl od adaptivního regulátoru využívá principu zpětné vazby ke kompenzaci neznámé poruchy a stavu v procesu. Zpětná vazba je pevně nastavená a zesiluje regulační odchylku e = w – y (kde w je žádaná hodnota regulované veličiny y), čímž je určena hodnota vstupního signálu (akční veličiny) u do soustavy.

V každé situaci je způsob zpracování regulační odchylky stejný. Adaptivní systém mění způsob zpracování regulační odchylky, tj. adaptuje řídicí zákon na neznámé podmínky a rozšiřuje oblast praktických případů, ve kterých lze dosáhnout kvalitní regulace. Adaptivitu lze chápat jako zpětnou vazbu vyšší úrovně, která mění parametry regulátoru podle kvality regulačního pochodu.

V oblasti teorie adaptivního řízení neexistuje jednotný přístup ke klasifikaci systémů, jak je vidět na obr. 2.

ADAPTIVNÍ ŘÍDÍCÍ SYSTÉMY

Adaptivní regulátory- heuristický přístup

Samočinně se nastavující regulatory (STC)

Adaptivní systémy s referenčním modelem (MARS)

Adaptivní systém s proměnnou

strukturou

STC založené na implicitní identifikaci STC založené na

explicitní identifikaci

MARS s parametrickým

nastavením

MARS se signálním nastavením

Obr. 2 Klasifikace adaptivních řídících systémů

2.1. Adaptivní řídící systémy založené na heuristickém přístupu

Metody využívající tohoto přístupu zajišťují adaptivitu přímo vyhodnocováním průběhu regulované veličiny (případně regulační odchylky) nebo vybraného kritéria kvality regulačního pochodu. Často se využívá algoritmu číslicového PID regulátoru a jako kritérium se obvykle volí míra kmitavosti regulované veličiny nebo její odchylky. Tyto metody nevyžadují identifikace regulované soustavy, v některých případech není třeba ani sledovat poruchové veličiny, či zavádět zvláštní zkušební signály. Blokové schéma těchto metod je uvedeno na obr. 3. Regulovaná veličina y (případně regulační odchylka e) se vyhodnotí vzhledem k žádanému kritériu a poté se přestaví parametry PID regulátoru.

Měření a vyhodnocení kriteria

Výpočet paramerů regulátoru

Regulovaná soustava Regulátor

w e u

n y q

Obr. 3 Blokové schéma heuristického přístupu k adaptivnímu řízení

2.2. Adaptivní systémy s referenčním modelem

Základní blokové schéma adaptivního systému s referenčním modelem (v anglosaské literatuře označovány názvem Model Reference Adaptive Systems-M.R.A.S.) je na obr. 4.

Referenční model dává žádanou odezvu y_m nebo žádaný stavový vektor x_m na změnu vstupního signálu u. To znamená, že referenční model poskytuje informaci o požadovaném chování regulovaného systému. Porovnáním žádané hodnoty výstupu s odezvou nastavitelného systému dostáváme adaptační odchylku ε nebo odchylku e. Úkolem mechanismu adaptace je minimalizovat při daném kriteriu adaptační odchylku ε nebo

odchylku e vektorů stavů referenčního modelu a systému tím, že vhodně nastavuje parametry stavitelného systému nebo generuje vhodný vstupní signál pro adaptivní řízení.

Referenční model

Adaptační zařízení Stavitelný systém

poruchy

y_m

ε

y_s Adaptace s parametrickým nastavením

u

Adaptace se

signálním nastvením

+

−

Obr. 4 Základní blokové schéma adaptivního systému s referenčním modelem poruchy

Xm

x_s

Významnou vlastností tohoto adaptivního systému je jeho duální charakter. Je možno jej tedy použít jak pro řízení, tak pro identifikaci. Nevýhodou těchto systémů je skutečnost, že jsou vhodné pouze pro deterministické řízení.

2.3. Samočinně se nastavující regulátory

Tento přístup je založen na průběžném odhadování vlastností soustavy a poruch, postupném upřesňování a tím i sledování možných změn. Na základě dosažené znalosti lze vhodnými metodami navrhnout optimální regulátor. Takový regulátor, založený na identifikaci neznámého procesu s následnou syntézou řízení (adaptivní řízení s průběžnou identifikací) je v literatuře označován jako samočinně se nastavující regulátor (Self Tunnig Controller - STC).

Předpokládejme řízený technologický proces s jednou vstupní akční veličinou u(k) a s jednou výstupní regulovanou veličinou y(k). Na řízený proces dále může působit měřitelná poruchová veličina v(k) a neměřitelná poruchová veličina n(k) – náhodný šum.

K řízenému procesu je ve zpětné vazbě připojen řídicí počítač ve funkci číslicového adaptivního regulátoru, který také zpracovává žádanou hodnotu regulované veličiny w(k).

Do dynamiky řízeného procesu zahrnujeme jak akční orgán, tak převodníky a dynamické vlastnosti měřících řetězců. Blokové schéma tohoto základního zpětnovazebního obvodu je na obr. 5.

Řízený technologický proces

Číslicový počítač adaptivní regulátor

w(k) u(k)

n(k)

v(k)

y(k)

Obr. 5 Základní blokové schéma číslicového adaptivního regulačního obvodu

Na základě vstupních informací {y(k), w(k) a měřené poruchy v(k)} číslicový adaptivní regulátor generuje s konstantní periodou T0 posloupnost číselných hodnot akčního signálu {u(k); k = 1,2, ...}. Hodnota akční veličiny je po dobu intervalu vzorkování konstantní.

Navíc předpokládáme, že parametry řízeného procesu jsou buď konstantní, ale neznámé nebo proměnné, přičemž změna těchto parametrů je podstatně pomalejší než rychlost procesu adaptace. Použitím adaptivního řízení s průběžnou identifikací pak podle povahy řízeného procesu sledujeme splnění těchto cílů:

• automatické seřízení číslicového regulátoru,

• zlepšení regulace při přítomnosti nestacionárních poruch,

• zachycení změn parametrů řízené soustavy, které mohou být způsobeny různými technologickými příčinami, např. provozem zařízení v různých provozních režimech, stárnutím, atd.,

• následné zlepšení regulačních pochodů daného procesu vhodnou změnou parametrů číslicového regulátoru.

Regulovaná soustava u

n v

y

Adaptivní prediktor

Výpočet parametrů řídícího zákona

Řídící zákon

Identifikační část

Řídící část

Θˆ

yˆ

w

Obr. 6 Vnítřní algoritmická struktura samočinně se nastavujícího regulátoru

Aby byl řízený proces co nejlépe poznán, je nutno klást na průběh akčních zásahů určité podmínky. Obecná úloha optimálního adaptivního řízení s průběžnou identifikací je velmi složitá, protože je v ní nutno nalézt takovou posloupnost akčních zásahů, která umožňuje co nejlepší identifikaci daného procesu a současně zajišťuje, aby se střední hodnota regulované veličiny co nejvíce blížila k žádané hodnotě. Protože takto navržené optimální řízení má dvojí účinek, nazývá se optimálním duálním řízením. Pro svoji značnou výpočetní složitost a nároky na paměť je nutno dané úlohy řešit zjednodušeně na základě experimentálních zkušeností a intuice. Toto řešení se nazývá vnucená separace identifikace a řízení (Certainty Equivalence) . Princip tohoto zjednodušení spočívá v následujícím postupu:

1. Vektor parametrů Θ modelu procesu se pro daný krok řízení považuje za známý, a to roven jeho bodovému odhadu, který je v daném okamžiku k dispozici, tj. Θ=Θˆ(k−1).

2. Za tohoto předpokladu se navrhne strategie řízení pro zvolené kriterium kvality řízení a vypočítá se právě potřebný akční zásah u(k).

3. Po získání nového vzorku regulované veličiny y(k) a známého akčního zásahu u(k) se provede další krok rekurzivního identifikačního algoritmu, tzn., že nová informace o procesu, kterou nese trojice dat {y(k), w(k), v(k)}, se použije k aktualizaci odhadu Θˆ (k-1) a celý postup se opakuje pro nový odhadΘˆ (k).

Z výše uvedeného postupu vyplývá vnitřní algoritmická struktura samočinně se nastavujících regulátorů, schematicky naznačená na obr. 6. V této práci jsem se věnoval pouze regulátorům explicitním, tj. regulátory využívající v syntéze odhady parametrů modelu procesu. Blokové schéma explicitního samočinně se nastavujícího regulátoru je na obr. 7.

Průběžná identifikace param. soustavy Výpočet paramerů

regulátoru

Regulovaná soustava Regulátor

w e u n

q

v

y Q_i

Q_s

Θˆ

Obr. 7 Blokové schéma explicitního samočinně se nastavujícího regulátoru

3. Vývoj adaptivních řídících systémů

Připomeňme stručně historický vývoj explicitních samočinně se nastavujících regulátorů. Přístup, který se používá u samočinně se nastavujících regulátorů, má své počátky v práci Kalmana z roku 1958, který navrhl jednoúčelový počítač k identifikaci parametrů lineárního modelu procesu s následným výpočtem řídicího zákona na základě minima kvadratického kritéria. Znovu byla tato problematika oživena až na počátku sedmdesátých let. Od té doby se tento přístup významně rozvíjí. První samočinně se nastavující regulátory byly navrhovány tak, aby minimalizovaly rozptyl výstupu soustavy, jejich některé nedostatky odstranila metoda zobecněné minimalizace rozptylu výstupu.

Tyto metody jsou tzv. jednokrokové, protože v použitém kvadratickém kritériu uvažují pouze jeden vzorek regulovaného výstupu. Jejich velkou nevýhodou je, že nejsou schopny regulovat tzv. procesy s neminimální fází, což jsou takové procesy, jejichž polynom B(z) (což je polynom čitatele přenosu regulované soustavy ) má póly vně jednotkové kružnice komplexní z-roviny, tzn. v nestabilní oblasti.

Tuto problematiku řeší použití vícekrokového (v limitě nekonečně velkého počtu kroků) kritéria, což představuje řešení obecného kvadratického problému. Pravděpodobnostní Bayesovský přístup k adaptivnímu řízení, založený na lineární kvadratické syntéze řízení vede v obecném případě k dosti složitým iteračním výpočtům. Ukázalo se, že pomocí analytické metody lze nalézt poměrně jednoduché explicitní vztahy k určení optimálního regulátoru pro jednorozměrové modely maximálně druhého řádu.

Na přelomu sedmdesátých a osmdesátých let se objevily první práce týkající se samočinně se nastavujících regulátorů založených na přiřazení pólů. V průběhu osmdesátých let byla rovněž věnována značná pozornost adaptivním metodám jednokrokové a vícekrokové predikce. Rovněž byly analyzovány hybridní samočinně se nastavující regulátory založené na použití δ-operátoru. Současně s rozvojem výše uvedených přístupů se hledaly metody syntézy číslicových PID regulátorů, které by mohly využít pro výpočet akčního zásahu odhady parametrů, získané průběžnou identifikací. Tyto parametry potom slouží pro výpočet složek PID regulátoru (tj. zesílení KP, integrační a derivační časové konstanty T₁ a T_D).

4. Modely a identifikace systémů se samočinně se nastavujícími regulátory

Níže uvedené návrhy explicitních adaptivních regulátorů se opírají o znalost regulované soustavy. Jelikož je dosažení úplné znalosti o soustavě téměř nemožné, zavádíme pojem model regulované soustavy (řízeného procesu), který nepřímo vyjadřuje možnost rozdílu mezi skutečným regulovaným procesem a jeho matematickým modelem.

4.1. Modely systémů

Při tvorbě modelu se snažíme najít funkci f, která popisuje chování výstupu soustavy y(t) jako funkci vstupních veličin, tzn. akční veličiny u(t), případně dalších měřených veličin, které mohou ovlivňovat výstup, jako např. měřené poruchové veličiny v(t).

Předpokládáme tedy

] ), ( ), ( [ )

(t f u t v t t

y = (1)

Na výstupu soustavy se projevují neměřitelné poruchy reprezentující vlivy okolí procesu, změny pracovního bodu, změny ve složení surovin apod. Tyto vlivy zahrnujeme mezi náhodné – stochastické vlivy. Obecnější tvar modelu lze pak popsat vztahem

) ( ] ), ( ), ( [ )

(t f u t v t t n t

y = +

kde n(t) je člen respektující stochastické vlivy (2)

Obecný diskrétní popis dynamického systému se dá zapsat jako funkce předchozích hodnot měřených veličin, kde y(k) je hodnota výstupní veličiny v k-tém okamžiku vzorkování, tj. v čase t = kT0(T0 je perioda vzorkování, kterou v rovnici (3) považujeme za rovnu jedné), tedy

), (

..., ), 2 ( ), 1 ( ), (

..., ), 2 ( ), 1 ( [ )

(k f y k y k y k na u k u k u k nb

y = − − − − − − (3)

) ( ] ), (

..., ), 2 ( ), 1

(k v k v k nd k n k

v − − − +

Problém je v bližší specifikaci stochastického členu. Poruchu n(k) lze modelovat tak, že ji budeme reprezentovat signálem, který vznikne průchodem šumu známých vlastností určitým filtrem. Vlastnosti poruchy jsou pak charakterizovány tímto filtrem ([2],[3]). Filtr, podobně jako soustavu, lze popsat závislostí zpožděných vstupních a výstupních veličin.

Dostáváme tak

), (

..., ), 2 ( ), 1 ( ), (

..., ), 2 ( ), 1 ( [ )

(k f y k y k y k na u k u k u k nb

y = − − − − − − (4)

] ), (

..., ), 1 ( ), ( ), (

..., ), 2 ( ), 1

(k v k v k nd e k e k e k nc k

v − − − _{s s} − _s −

kde es(k) je náhodná, měření nepřístupná složka.

Pokud se omezíme na lineární funkci f, dostáváme známý model ARMAX:

es

z C v z D u z B y z

A( ⁻¹) = ( ⁻¹) + ( ⁻¹) + ( ⁻¹) (5) kde jednotlivé polynomy rovnice mají tvar

na naz a z

a z a z

A( ⁻¹)=1+ ₁ ⁻¹+ ₂ ⁻² +...+ ⁻ (6)

nb nbz b z

b z b z

B( ⁻¹)= ₁ ⁻¹+ ₂ ⁻² +...+ ⁻

nc ncz c z

c z c z

C( ⁻¹)=1+ ₁ ⁻¹ + ₂ ⁻² +...+ ⁻

nd ndz d z

d z d z

D( ⁻¹)= ₁ ⁻¹+ ₂ ⁻² +...+ ⁻ .

Pro adaptivní řízení však model ARMAX není zcela vhodný. Pokud chceme jeho parametry (koeficienty polynomů A, B, C, D) identifikovat z naměřených dat, narazíme na problém identifikace koeficientů polynomu C(z^-1), protože fiktivní šum es(k) není měřitelný.

Řešením by bylo použití rozšířené metody nejmenších čtverců, která umožňuje identifikovat i C(z^-1), ale jejich konvergenční vlastnosti jsou výrazně horší.

Proto se při návrzích adaptivních regulátorů vychází většinou z regresního (ARX) modelu soustavy, který modeluje výstup soustavy podle vztahu

es

v z D u z B y z

A( ⁻¹) = ( ⁻¹) + ( ⁻¹) + Jehož blokové schéma je na obr. 8.

u

n

y

Obr. 8 Blokové schéma regresního modelu e_s

v

) (

) (

1 1

−

−

z A

z D

) (

1

−1

z A

) (

) (

1 1

−

−

z A

z B

Regresní model ARX se často zapisuje v kompaktní vektorové formě následovně )

( ) 1 ( ) ( )

(k k k e k

y =Θ^T φ − + _s (7)

kde

] ..., , , , ..., , , , ..., , ,

[ _{1 2 na 1 2 nb 1 2 nd}

T = a a a b b b d d d

Θ (8)

je vektor parametrů modelu a

), (

..., ), 2 ( ), 1 ( [ ) 1

(k y k y k y k na

T − = − − − − − −

φ ⁽⁹⁾

)]

( ..., ), 2 ( ), 1 ( ), (

..., ), 2 ( ), 1

(k u k u k nb v k v k v k nd

u − − − − − −

je vektor dat, tzv. regresor.

4.2. Identifikace systému

V adaptivním řízení je identifikace stejně důležitá jako syntéza regulátoru. V převážné míře se odhadují parametry regresního modelu (ARX) a používá se metoda nejmenších čtverců. Zabýváme-li se identifikací určité soustavy, měli bychom postupovat podle následujícího schématu:

1. Příprava identifikačního experimentu. Vybíráme nejvhodnější vstupní (budící) signál jako kompromis mezi teoreticky optimálním vybuzením a tím, co lze aplikovat z hledisek technologie. Průběh identifikačního experimentu lze sledovat, lze jej přerušit a upravit vstupní signál.

2. Data naměřená při experimentu lze uchovat a následně zpracovávat různými metodami a různými modely, filtrovat apod.

3. Získané parametry modelu lze verifikovat na jiných vzorcích dat.

4. Identifikační experiment lze opakovat, eventuálně již s využitím znalostí získaných předchozími experimenty.

5. Lze testovat nebo verifikovat podmínky pro nestrannost odhadů.

Naproti tomu, při identifikace pro adaptivní řízení musíme vycházet z následujících podmínek:

1. Data (vstupy) jsou generovány zpětnovazebním regulátorem.

2. Cílem regulátoru je kompenzovat poruchy, stabilizovat proces. To jsou okolnosti, které zhoršují možnosti identifikace parametrů.

3. Identifikační proces u adaptivního řízení trvá velmi dlouho (nekonečně dlouho).

Proto lze jen stěží předpokládat konstantnost odhadovaných parametrů. Metody odhadování časově proměnných parametrů jsou nezbytné.

4. Identifikace musí být funkční za různých pracovních podmínek soustavy (v období relativního stacionárního stavu, při poruchách či přechodech mezi různými stavy).

5. Strukturu identifikovaného modelu (řád) obvykle nelze v průběhu pochodu měnit.

6. Identifikační algoritmus musí být numericky spolehlivý a dostatečně rychlý.

4.2.1. Princip metody nejmenších čtverců

Uvažujeme jednorozměrový stochastický proces popsaný rovnicí (7), kde pro vektor parametrů (8) a vektor dat (9) předpokládáme na=nb=n,nd =0, tzn. jejich rozměr je

n

ny =2 a platí

] ..., , , , ..., , , [ )

( _{1 2 a 1 2 b}

T k = a a a b b b

Θ (10)

)]

( ..., ), 2 ( ), 1 (

), ( ..., ), 2 ( ), 1 ( [ ) 1 (

n k u k

u k u

n k y k

y k

y

T k

−

−

−

−

−

−

−

−

−

= φ −

(11) Generování výstupní veličiny y(k) můžeme potom v jednotlivých časových okamžicích vyjádřit maticovou rovnicí

e F

y= Θ+ (12)

kde matice F o rozměru (^N−n;2n) a vektory y, e o rozměru(^{N −n}) mají tvar )]

( ..., ), 2 ( ), 1 (

[y n y n y N

y^T = + + (13)

)]

( ..., ), 2 ( ), 1 (

[e n e n e N

e^T = _s + _s + _s (14)

















−

−

−

−

−

−

−

−

−

+

−

− +

−

−

−

−

−

−

=

) ( )

2 ( ) 1 ( ) ( )

2 ( ) 1 (

) 2 ( )

( ) 1 ( )

2 ( )

( )

1 (

) 1 ( )

1 ( )

( )

1 ( )

1 ( )

(

n N u N

u N

u n N y N

y N

y

u n

u n

u y

n y n

y

u n

u n u y

n y n

y F

Κ Κ

Μ Μ

Κ Κ

Κ Κ

(15)

N je počet naměřených vstupních a výstupních dat.

Z rovnice (12) určíme chybu Θ

−

= y F

e (16)

a zavedeme kriterium

) (

)

( − Θ − Θ

=

=e e y F y F

J ^{T T} (17)

jehož minimum získáme parciální derivací podle vektoru parametrů, kterou položíme rovnu nule, tj.

ˆ =0 Θ

∂

∂

Θ

= Θ

J (18)

Řešením rovnice (18) získáme základní maticový tvar pro odhad parametrů modelu procesu metodou nejmenších čtverců ve tvaru

y F F F^T ) ^{1 T}

ˆ =( ⁻

Θ (19)

Vztah (18) slouží pro jednorázový výpočet odhadů parametrů modelu procesu použitím N souborů naměřených dat. Nevýhodou této metody je paměťová náročnost, neboť musíme uchovávat všechny naměřené údaje.

4.2.2. Rekurzivní metoda nejmenších čtverců

Rekurzivní algoritmy umožňují sledovat změny parametrů procesu v reálném čase, a proto jsou základem samočinně se nastavujících regulátorů. V této metodě se používají nově naměřené hodnoty pouze pro korekci původních odhadů, čímž klesá výpočetní složitost a paměťová náročnost identifikačních algoritmů.

Úkolem je průběžně odhadovat neznámé parametry Θ modelu (7) na základě vstupů a výstupů k časovému okamžiku k, {y(i),u(i), i = k, k - 1, k - 2,..., k0} (k0 je počáteční čas

identifikace). Předpokládáme, že náhodná složka e_s(k)je posloupnost vzájemně nekorelované náhodné veličiny a zároveň nekorelované se vstupem a výstupem procesu.

Dále předpokládáme, že náhodná veličina má konstantní rozptyl a nulovou střední hodnotu. Hledáme takový vektor Θˆ , který minimalizuje kriterium

∑

= ^k

k i

s

K e i

J

0

)

2(

(20) kde

) ( )

( )

(i y i i

e_s = −Θ^Tφ (21)

Pokud má být algoritmus schopen sledovat pomalé změny, použijeme techniku exponenciálního zapomínání. Potom minimalizujeme modifikované kriterium

∑

=

= ^k − k i

s i k

K e i

J

0

)

2(

) (

ϕ2 ⁽²²⁾

kde ϕ je faktor exponenciálního zapomínání v intervalu hodnot 0<ϕ ≤1.

Tato problematika je podrobněji rozpracována v práci [2]. Bližší popis vybraných algoritmů je uveden níže v kapitole 6.1. Algoritmy identifikace.

5. Samočinně se nastavující PID regulátory

5.1. Číslicové regulátory typu PID

Spojitý idealizovaný PID regulátor je běžně popisován ve tvaru



 



 + +

=

∫

I

P dt

t T de d T e

t e K t u

0

) ) (

1 ( ) ( )

( τ τ ⁽²³⁾

nebo ve tvaru

∫

+

= ₋ ^t

dt t r de d e r t e r t u

0

1 1

0

) ) (

( )

( )

( τ τ ⁽²⁴⁾

kde e(t)=w(t)− y(t) a převod mezi vztahy (23) a (24) je

1 1

0; ;

r T K r T K r

K_P = _I = ^P _D = ^P

−

kde u(t)je akční veličina, y(t) regulovaná veličina, e(t) regulační odchylka a w(t) žádaná hodnota regulované veličiny. Parametry PID regulátoru (23) jsou proporcionální zesílení KP,integrační časová konstanta T1 a derivační časová konstanta TD, parametry (24) jsou zesílení r0 , integrační konstanta r-1 a derivační konstanta r1.

Rovnici (24) můžeme pomocí Laplaceovy transformace převést na tvar )

1 ( 1 )

( T s E s

s K T

s

U _D

I

P 



 



 + +

= (25)

kde s je operátor Laplaceovy transformace. Z rovnice (25) můžeme určit přenos PID regulátoru



 



 + +

=

= T s

s K T

s E

s

G U _D

I P R

1 1 )

( )

( (26)

Pro získání číslicové verze spojitého PID regulátoru, musíme provést diskretizaci integrační a derivační složky rovnice (24). V případě odfiltrování šumů ze signálu regulované veličiny pro malou periodu vzorkování nahradíme derivaci diferencí 1.řádu (dvoubodovou zpětnou)

0 0

) ( ) 1 ( ) ( ) (

T k e T

k e k e dt

t

de ≈ − − = ∆ (27)

kde e(k)je hodnota regulační odchylky v k-tém okamžiku vzorkování, tj. v čase t =kT₀. Integrál aproximujeme prostou sumací po úsecích T₀ konstantní funkcí (stupňovitou).

Pomocí tzv. zpětné obdélníkové metody (ZOBD)

∫ ∑

=

−

≈ ^k

i t

i e T d e

1 0 0

) 1 ( )

(τ τ ⁽²⁸⁾

získáme rovnici diskrétního PID regulátoru, která přejde na tvar

[ ]







 − + − −

+

=

∑

=

) 1 ( ) ( )

1 ( )

( )

(

1 0 1

0 e k e k

T i T

T e k T e K k

u ^D

k

i

P . (29)

Pokud diskretizujeme spojitý signál stupňovitou funkcí, pomocí tzv. dopředné obdélníkové metody (DOBD) vztahem

∫ ∑

=

≈ ^k

i t

i e T d e

1 0 0

) ( )

(τ τ ⁽³⁰⁾

získáme rovnici číslicového PID regulátoru ve tvaru

[ ]







 + − −

+

=

∑

=

) 1 ( ) ( )

( )

( )

(

1 0 1

0 e k e k

T i T T e

k T e K k

u ^D

k

i

P (31)

Užijeme-li pro výpočet integrálu místo obdélníkových metod (28), (30) přesnější lichoběžníkovou metodu (LICHO), v níž nahrazujeme spojitý signál přímkovými úseky, tzn.

∫ ∑

=

−

≈ ^k −

i

t e i e i

T d e

1 0

0 2

) 1 ( ) ) (

(τ τ ⁽³²⁾

pak rovnice číslicového PID regulátoru bude mít tvar

[ ]







 + − −



 



 + +

+

=

∑

=

) 1 ( ) ( )

2 ( ) ( ) 0 ) (

( )

(

0 1

1 1

0 e k e k

T i T k e

e e T k T e K k

u ^D

k

i

P (33)

Při dostatečně malé periodě vzorkování není mezi vztahy (29), (31) a (33) významný rozdíl, nejčastěji se užívá tvar (31). Tyto algoritmy se označují jako polohové algoritmy PID regulátoru a z hlediska skutečného použití jsou nepraktické. Vhodné je jejich převedení na rekurentní tvar, tzn. rekurentní výpočet akční veličiny u(k) z předcházející zapamatované hodnoty u(k-1) a z korekčního přírůstku ∆u(k). Odečtením rovnice (31) pro krok k a k-1 obdržíme rekurentní vztah

) 1 ( ) ( )

(k =∆u k +u k−

u (34)