Tenta17 dec 2SkrivtidExamin

Tenta

17 dec 2 Skrivtid Examin För god Betygsg Komple Hjälpm

• Till sa

• Skriv e

• Skriv n

• Inlämn

• Denna med lös

Uppgift Lös följ













 3 2

2 x

y x

y x

Uppgift Bestäm A=(1,2, Uppgift

4 ) 1 2 ( x

Var god

amen 1 i

2018, d: 14:00-18 nator: Arm dkänt betyg

gränser: För ettering: 9 p medel: Enda amtliga inläm

endast på en namn och p nade uppgif a tentamens sningar

t 1. (2p) jande ekvati













. 1 4

2 0 2

z y

z y

z

t 2. (2p) en ekvation ,2), B=(2,3 t 3. (2p) L

) 1 (

1

) 

 x

d vänd.

Matema

8:00 min Halilovi

krävs 10 av r betyg A, B poäng på ten ast bifogat fo

mnade uppg n sida av pa personnumm

fter skall ma lapp får ej b

ionssystem

n för planet 3,3), C=(3, Lös följande

1

 x .

atik 1, H

ic

v max 24 po B, C, D, E kr

ntamen ger r formelblad

gifter fordra apperet.

mer på varje arkeras med behållas efte

(med avsee

som går ge ,3,3).

ekvation (

HF1903

oäng.

krävs 22, 19 rätt till kom (miniräknar as fullständi e blad.

d kryss på o er tentamen

ende på x, y

enom punkt

(med avseen

, 16, 13 resp mplettering (

re är inte ti iga lösninga

omslaget nstillfället ut

y och z)

erna

nde på x)

pektive 10 p (betyg Fx) .

llåten).

ar.

tan ska läm

poäng.

mnas in tillsaammans

Uppgift 4. (3p)

a) (1p) Bestäm en ekvation för linjen L som går genom punkterna )

3 , 2 , 1

(

A och B(2,3,5).

b) (2p) Bestäm en ekvation för planet  som går genom punkten P= ( 0,2,1) och som är vinkelrät mot linjen L .

Uppgift 5 . (4p)

a) (2p) Beräkna volymen av pyramiden vars hörn är A=(1,1,1) B=(2,2,2), C=(2,2,4) och D=(4,3,5).

b) (2p) Bestäm pyramidens höjd från punkten D till basen ABC.

Uppgift 6. (4p)

Låt 



 







 







 





3 5

0 , 2

2 1

1 , 3

1 0

0

2 B C

A .

Lös följande matrisekvationer (med avseende på X) : a) (2p) AX BX C b) (2p) AX XBC

Uppgift 7. (4p)

a) Bestäm en ekvation för linjen som går genom punkten A=(1,2,3) och som är vinkelrät mot planet x y 4z . 1

b) Bestäm spegelbilden av punkten P(3,5,3) i planet x2y  . z 4 Uppgift 8. (3p) Följande ekvationssystem är givet

























3 3

2

1 2

2

az y x

z y x

z y x

För vilket vilka värden på a har systemet

i) oändligt många lösningar ii) exakt en lösning iii) ingen lösning ?

Lycka till!

FACIT

Uppgift 1. (2p) Lös följande ekvationssystem (med avseende på x, y och z)

























. 1 4 3 2

2 2

0 2

z y x

z y x

z y x

Lösning:

























. 1 4 3 2

2 2

0 2

z y x

z y x

z y x

 



















1 2

0 2

y z y

z y x



















1 1

0 2

z y

z y x

Svar: x1, y 1, z1

Rättningsmall: Korrekt metod och två lösningar y1, z 1 ger 1p. Allt korrekt =2p.

Uppgift 2. (2p)

Bestäm en ekvation för planet som går genom punkterna A=(1,2,2), B=(2,3,3), C=(3,3,3).

Lösning:

) 1 , 1 , 1

(

AB , AC (2,1,1) AC

AB

N  

k j i k j i AC

AB 0 1 1

1 1 2

1 1

1   





) 1 , 1 , 0

( 

 N

Planets ekvation: 0(x1)1(y2)1(z2)0eller y z0 Svar: y z0

Rättningsmall: Korrekt en normalvektor =1p. Allt korrekt =2p.

Uppgift 3. (2p) Lös följande ekvation (med avseende på x)

) 1 1 ( 4

1 ) 1 2

(  



 x

x

x .

Lösning:

1 4

1 3 2 1 4

) 1 )(

1 2 ( ) 1

1 ( 4

1 ) 1 2

( ₂



























 

 x x x x x x x

x x

0 2 0

4 2

2 ²    ²  

 x x x x

Härav x₁ 1, x₂ 2 Svar: x₁ 1, x₂ 2

Rättningsmall: Korrekt till (2x1)(x1)4x1 =1p. Allt korrekt =2p.

Uppgift 4. (3p)

a) (1p) Bestäm en ekvation för linjen L som går genom punkterna )

3 , 2 , 1

(

A och B(2,3,5).

b) (2p) Bestäm en ekvation för planet  som går genom punkten P= ( 0,2,1) och som är vinkelrät mot linjen L .

Lösning a)

) 2 , 1 , 1

(

 v AB

) 2 , 1 , 1 ( ) 3 , 2 , 1 ( ) , , (

: x y z t

L  

Rättningsmall (a): Rätt eller fel.

b) ) 2 , 1 , 1

(

N

Planets ekvation: 1(x0)1(y2)2(z1)0 eller x y2z4 Rättningsmall: Korrekt en normalvektor =1p. Allt korrekt =2p.

Uppgift 5 . (4p)

a) (2p) Beräkna volymen av pyramiden vars hörn är A=(1,1,1) B=(2,2,2), C=(2,2,4) och D=(4,3,5).

b) (2p) Bestäm pyramidens höjd från punkten D till basen ABC.

Lösning:

a)

Låt u AB(1,1,1) , v AC(1,1, 3) , w  AD(3, 2, 4)

Pyramidens volym är

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 1

( )

6 6

x y z

V u v w x y z

x y z

    

 .

Först beräknar vi determinanten

1 1 1 1 1 3 2 3 2 4

D  .

Därför 1 1

2 . .

6 3

V    v e Svar a) 1

3 . . V  v e

Rättningsmall: Korrekt determinanten D ger 1p. Allt korrekt =2p.

Uppgift 6. (4p)

Låt 



 







 







 





3 5

0 , 2

2 1

1 , 3

1 0

0

2 B C

A .

Lös följande matrisekvationer (med avseende på X) :

a) (2p) AX BX C b) (2p) AX XBC

Lösning:

a)

1

1

( ) ( )

1 3

1 1 1 3 1 2 0 1 1 3 2 2

( )

1 3 2 1 1 5 3 2 3 3 3 3

2 2

AX BX C A B X C X A B C

A B X A B C





       

  

 

 

      

              

 

Svar:

1 3

1 3

1 2 2

( )

3 3 3 3

2

2 2

X

  

 

  

     

   

Rättningsmall: Korrekt till 1 3 1 2 0

1 1 5 3

X 2   

   ger 1p. (Fel ordning i matrismultiplikaton ger 0 p) . Allt korrekt =2p.

b)

2 0 3 1 2 0

0 1 1 2 5 3

a b a b

AX XB C

c d c d

       

          

       

2 0 3 1

0 1 1 2 4 3

2

2 0 0

4 3 5 3 4 5

3 3

a b a b a b a

c d c d c d c d

a b

a b a a

c d c d c d

c d

 

       

         

       

  

  

     

       

    

  



Från systemet har vi 0

a , b2 , 12

c11 , 7 d 11 . Alltså

0 2

12 7 11 11 X

 

 

 

 

.

Svar:

0 2

12 7 11 11 X

 

 

 

 

Rättningsmall: Korrekt till systemet

2 0

4 5

3 3

a b a c d c d

  

 

  

  



ger 1p. Allt korrekt =2p.

Uppgift 7. (4p)

a) Bestäm en ekvation för linjen som går genom punkten A=(1,2,3) och som är vinkelrät mot planet x y 4z . 1

b) Bestäm spegelbilden av punkten P(3,5,3) i planet x2y  . z 4 Lösning:

a) En riktningsvektor till linjen är N^ (1,1, 4). Linjens ekvation är ( , , )x y z (3,5,3)t(1,1, 4)

Svar a) ( , , )x y z (3,5,3)t(1,1, 4)

Rättningsmall a) Korrekt N^ (1,1, 4) ger 1p. Allt korrekt =2p.

b) Metod 1:

Linjen genom P vinkelrät mot planet är L: ( , , )x y z (3,5,3)t(1, 2,1) Skärningspunkten mellan linjen och plan får vi genom att lösa systemet

3 5 2 3

2 4

x t

y t

z t

x y z

  

  

  

   



Vi får punktent 2,x1,y1,z och därmed är 1 Q (1,1,1) den sökta skärningspunkten.

Låt S beteckna spegelbilden av P och låt O=(0,0,,0). Då gäller 2 (3,5, 3) 2( 2, 4, 2) ( 1, 3, 1)

OS OP PQ         Alltså S= ( 1, 3, 1)   .

Svar: ( 1, 3, 1)  

Rättningsmall b(metod 1): Korrekt linjens ekvation ( , , )x y z (3,5, 3)t(1, 2,1) och kärningspunkten Q ger 1p. Allt korrekt =2p.

Metod 2:

Vi väljer en punkt i planet:, exempelvis P₀ (1,1,1). Då är

0 (2, 4, 2) P P



Projektionen av P P₀



på planets normalvektor n(1, 2,1)

är P P n⁰ ₂ (2, 4, 2)

h n

n

 

 

  



0 ( 1 1, 2 1, 3 1)

P S  s  s  s 



där S är en spegelpunkt.

0 0 0 0

1 2 3

1 2 3

2 2

( 1, 1, 1) ( 2, 4, 2) ( , , ) ( 1, 3, 1)

P S h P P P S P P h

s s s

S s s s

    

      

     

     

Svar: ( 1, 3, 1)  

Rättningsmall b (metod 2): Korrekt projektionen på normalvektorn P P n⁰ ₂ (2, 4, 2) n

n



 

 

 ger

1p. Allt korrekt =2p.

Uppgift 8. (3p) Följande ekvationssystem är givet

























3 3

2

1 2

2

az y x

z y x

z y x

För vilket vilka värden på a har systemet

i) oändligt många lösningar ii) exakt en lösning iii) ingen lösning ? Lösning:

Systemets determinant är 2

3 2

1 2 1

1 1 1





 a

a

D .

a20 a2.

Om a2har systemet exakt en lösning.

För a=2 får vi systemet































































0 0

1 2

~ 1 1 2

~ 3 2 3 2

1 2

2

y z y x

y y

z y x

z y x

z y x

z y x

Vi har två ledande variabler x och y. Variabeln z varierar fritt och därför har systemet oändligt många lösningar.

Svar

i) oändligt många lösningar om a=2 ii) exakt en lösning om a2

iii) Fallet ” ingen lösning ” kan inte förekomma i denna uppgift.

Rättningsmall: För korrekt i,ii eller iii +1p.