Sida 1 av 8
Tentamen i Linjär algebra, HF1904
Datum: 16 dec 2019 Skrivtid: 8:00-12:00
Lärare: Elias Said, Joakim Dahlfors Examinator: Armin Halilovic
För godkänt betyg krävs 10 av max 24 poäng.
Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.
Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) . Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten).
• Skriv TYDLIGT NAMN och PERSONNUMMER på varje blad, (speciellt tydligt på omslaget, eftersom tentorma skannas och automatiskt kopplas till namn/personnummer som finns på omslaget)
• Skriv endast på en sida av papperet.
• Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget.
• Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter. ( Endast svar utan tillhörande lösning ger 0 poäng.)
• Ange omslagsbladet klasstillhörighet : Klass A, Klass B eller Klass C eller Omregistrerad för enklare sortering.
• Denna tentamenslapp får ej behållas utan lämnas in tillsammans med lösningar.
--- Uppgift 1. (2p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.)
För vilka värden på parameter a har ekvationssystem (med avseende på x, y och z)
= + +
= + +
= + +
7 8
3
3 4 4
2 2 2
az y x
z y x
z y x
exakt en lösning.
Uppgift 2. (2p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 2.) Låt L vara skärningslinjen mellan följande två plan:
3 2 2 + = + y z
x och x+4y+4z=7
Bestäm en ekvation för linjen L på parameterform.
Uppgift 3. (3p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift 3.) Bestäm det komplexa talet z= x+yi som satisfierar följande ekvation
i z
i
z ⋅ + 3 = 5 −
( Notera att z betecknar konjugatet till z.) Var god vänd.
Sida 2 av 8 Uppgift 4. (4p)
a) (2p) Vi betraktar pyramiden med hörn i punkterna A=(1,1,1), B= (2,2,2), C=(2,3,4), D=(3,4,7).
Bestäm pyramidens höjd från punkten D (till basen ABC).
b) (2p) Låt Π vara planet som går genom punkten D parallell med sidan (dvs basen) ABC.
Bestäm eventuella skärningspunkter mellan planet Π och z-axeln.
Uppgift 5. (2p) Vi betraktar två plan Π1:2x+3y+4z=1 och Π2:4x+py+8z=5. a) Bestäm ett värde på parametern p så att Π1och Π2 blir parallella.
b) För detta värde på parametern p (som du får i a-delen) bestäm avståndet mellan Π1och Π2. Uppgift 6. (4p)
a) (2p) Lös matrisekvationen XA=C−XB (med avseende på X)
där
= −
=
= −
2 1 0
2 1 , 1
4 1
1 , 1
1 0
1
0 B C
A .
b) (2p) Bestäm matrisen Y om
[
6 3]
2 4
1
2 = − −
−
Y − .
Uppgift 7. (2p) Ekvationen |z−1−i|=|z−3i| beskriver en rät linje i det komplexa talplanet. Sätt z =x+iy och skriv ekvationen på formen y=kx+m.
Uppgift 8. (2p) Låt x, y och z vara heltal. Visa att determinanten
y x
z
x z
y
z y
x
2 4
10 40
20
200 100
50
är delbart med (x+2y+4z).
Uppgift 9. (3p)
Krafterna F→1, F→2 och F→3 i figuren befinner sig i jämviktsläge dvs.
→
→
→
→1+F2+F3=0
F .
Kraften →F3 som är parallell med y-axeln
har storleken |F→3|=20 newton (alltså →F3 =(0,−20) ).
(Längderna är givna i meter.) Bestäm 1
→
F och F→2.
Lycka till!
FACIT
Uppgift 1. (2p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.)
För vilka värden på parameter a har ekvationssystem (med avseende på x, y och z)
= + +
= + +
= + +
7 8
3
3 4 4
2 2 2
az y x
z y x
z y x
exakt en lösning.
Lösning:
Ekvationssystemet har exakt en lösning om determinanten av koefficientmatrisen inte är noll.
1 2 2
4 4 1 4 1 4
1 4 4 2 2 4 32 2( 12) 2(8 12) 2 16
8 3 3 8
3 8
a a a
a a
a
= − + = − − − + − = −
Determinanten av koefficientmatrisen 2a−16=0 ⇒ a= . 8
Svar: Ekvationssystemet har exakt en lösning för a≠8.
Rättningsmall: Korrekt beräknad determinant ger1p. Rätt analys samt allt rätt 2p.
Uppgift 2. (2p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 2.) Låt L vara skärningslinjen mellan följande två plan:
3 2 2 + = + y z
x och x+4y+4z=7
Bestäm en ekvation för linjen L på parameterform.
Lösning:
1 2 2 3 1 2 2 3
, 2 , 1
1 4 4 7 0 2 2 4 z t y t x
⇒ ⇒ = = − = −
Svar: L: ( , , )x y z = −( 1, 2, 0)+t(0, 1, 1)−
Rättningsmall: Korrekt lösning av en variabel ger1p. Allt rätt 2p.
Uppgift 3. (3p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift 3.) Bestäm det komplexa talet z= x+yi som satisfierar följande ekvation
i z
i
z ⋅ + 3 = 5 −
( Notera att z betecknar konjugatet till z.) Lösning:
( ) 3( ) 5 3 3 5
(3 ) ( 3 ) 5 Re{ } Re{ } Im{ } Im{ }
3 5 3 1 3 1
3(3 1) 5 8 8 1 2
x yi i x yi i xi y x yi i
x y x y i i VL HL och VL HL
x y och x y x y
y y y y och x
+ ⋅ + − = − ⇒ − + − = −
− + − = − ⇒ = =
− = − = − ⇒ = −
− − = ⇒ = ⇒ = =
Sida 3 av 8
Svar: z= +2 i
Rättningsmall: Korrekt ekvationssystem ger1p.
Uppgift 4. (4p)
a) (2p) Vi betraktar pyramiden med hörn i punkterna A=(1,1,1), B= (2,2,2), C=(2,3,4), D=(3,4,7).
Bestäm pyramidens höjd från punkten D (till basen ABC).
b) (2p) Låt Π vara planet som går genom punkten D parallell med sidan (dvs basen) ABC.
Bestäm eventuella skärningspunkter mellan planet Π och z-axeln.
Lösning:
a) Metod 1.
Vi kan först bestämma en ekvation för planet α genom punkterna A,B och C och därefter bestämma avståndet från punkten D till planet.
Låt 𝑏𝑏�⃗ = 𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗ = (1, 1, 1), 𝑐𝑐⃗ = 𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗ = (1, 2, 3). Då är 𝑏𝑏�⃗ × 𝑐𝑐⃗ = �𝑒𝑒⃗𝑥𝑥 𝑒𝑒⃗𝑦𝑦 𝑒𝑒⃗𝑧𝑧
1 1 1
1 2 3� | = (1, −2,1) en normalvektor till planet.
Planets ekvation (genom punkten A=1,1,1) och normalvektorn (1, −2,1)) är 0
) 1 ( 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( 1
: x− − y− + z− =
α
dvsα: x−2y+z=0
Pyramidens höjd är lika med avståndet från punkten D till planet:
Avståndet d från punkten D=(x1,y1,z1) till planet ax+by+cz+d =0 är 3 )
( 6 6
| 2 6
| 2 1 |
4 1
0 7 1 4 2 3
|1
|
| 2 2 2
1 1
1 = = =
+ +
+
⋅ +
⋅
−
= ⋅ +
+
+ +
= +
C B A
d cz by
d ax l.e.
Svar a: Pyramidens höjd är ) 3 ( 6 6
2 = (l.e.)
Rättningsmall a) Metod 1: Korrekt till planets ekvation 1(x−1)−2(y−1)+1(z−1)=0ger 1p.
Allt korrekt=2p.
a) Metod 2.
Då volymen 𝑉𝑉 för en pyramid kan beräknas som 𝑉𝑉 = 𝐵𝐵ℎ3 där ℎ är höjden och 𝐴𝐴 är basytans area gäller alltså ℎ =3𝑉𝑉𝐵𝐵. Volymen för pyramiden kan även beräknas som en sjättedel av beloppet av den skalära trippelprodukten av vektorerna
𝑏𝑏�⃗ = 𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗ = (1, 1, 1), 𝑐𝑐⃗ = 𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗ = (1, 2, 3) och 𝑑𝑑⃗ = 𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗ = (2, 3, 6). enligt 𝑉𝑉 =16��𝑏𝑏�⃗ × 𝑐𝑐⃗� ∙ 𝑑𝑑⃗� =16| �
𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑏𝑏𝑦𝑦 𝑏𝑏𝑧𝑧 𝑐𝑐𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑧𝑧
� �=16� �2 3 6 1 1 1 1 2 3�|
= 16�2 �1 12 3� − 3 �1 1
1 3� + 6 �1 1
1 2�� = 16|2 ∙ 1 − 3 ∙ 2 + 6 ∙ 1| =16|2| =13 v.e..
Sida 4 av 8
Basytans area 𝐴𝐴 =12�𝑏𝑏�⃗ × 𝑐𝑐⃗� =12| �𝑒𝑒⃗𝑥𝑥 𝑒𝑒⃗𝑦𝑦 𝑒𝑒⃗𝑧𝑧
1 1 1
1 2 3� | =12|(1, −2,1)| = �12+(−2)2 2+12 =√62 a.e.
Då är ℎ =�3∙√6/213�= √62 = √63 l.e.
Rättningsmall a) Metod 2: Korrekt volym eller korrekt basarea för pyramiden 1p. Allt rätt 2p.
a) Metod 3.
Höjden ℎ är längden av ortogonalprojektionen av vektor 𝑑𝑑⃗ på vektor 𝑎𝑎⃗ = �𝑏𝑏�⃗ × 𝑐𝑐⃗� = (1, −2,1).
ℎ = |�𝑑𝑑⃗� cos 𝜃𝜃| = ||𝑎𝑎�⃗|�𝑑𝑑⃗� cos 𝜃𝜃
|𝑎𝑎�⃗| | =|𝑎𝑎�⃗∙𝑑𝑑||𝑎𝑎�⃗|����⃗=|2−6+6|√6 =√62 = √63 l.e.
Rättningsmall a) Metod 3: Korrekt uttryck med skalärprodukt (ℎ = ||𝑎𝑎�⃗||𝑎𝑎|𝑎𝑎���⃗∙𝑑𝑑|���⃗|����⃗𝑎𝑎⃗| =|𝑎𝑎���⃗∙𝑑𝑑||𝑎𝑎�⃗|����⃗) ger 1p.
Allt rätt 2p.
b) En normalvektor till planet (och basen ABC) ges av 𝑛𝑛�⃗ = 𝑎𝑎⃗ = 𝑏𝑏�⃗ × 𝑐𝑐⃗ = (1, −2, 1) så att planets ekvation kan skrivas 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 𝑘𝑘 och isättning av 𝐴𝐴 = (3, 4, 7) ger
3 − 2 ∙ 4 + 7 = 𝑘𝑘 ⇒ 𝑘𝑘 = 2 så att 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 2. Skärningspunkter med 𝑧𝑧-axeln då 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 = 0 vilket ger 𝑧𝑧 = 2, alltså i punkten (0, 0, 2).
Rättningsmall: Korrekt ekvation för planet 1p. Allt rätt 2p.
Uppgift 5. (2p) Vi betraktar två plan Π1:2x+3y+4z=1 och Π2:4x+ py+8z=5. a) Bestäm ett värde på parametern p så att Π och 1 Π blir parallella. 2
b) För detta värde på parametern p (som du får i a-delen) bestäm avståndet mellan Π och 1 Π . 2 Lösning:
a) Planen parallella om deras normalvektorer har samma riktning.
𝑛𝑛�⃗1 = (2, 3, 4) och 𝑛𝑛�⃗2 = (4, 𝑝𝑝, 8). 𝑛𝑛�⃗2 = 𝑡𝑡𝑛𝑛�⃗1 ⇒ 𝑡𝑡 = 2 ⇒ 𝑝𝑝 = 𝑡𝑡 ∙ 3 = 2 ∙ 3 = 6 Svar: 𝑝𝑝 = 6 Rättningsmall: Allt rätt 1p.
b) Normalvektorn 𝑛𝑛�⃗1 = (2, 3, 4) har längden |𝑛𝑛�⃗1| = √22+ 32+ 42 = √29
Utgå från en punkt i Π1, t.ex. 𝑃𝑃1 = (0, 0,1/4) och bestäm det 𝑡𝑡 för vilket 𝑃𝑃1 + 𝑡𝑡𝑛𝑛�⃗1 skär Π2, dvs. då (0 + 2𝑡𝑡) ∙ 4 + (0 + 3𝑡𝑡) ∙ 6 + (1/4 + 4𝑡𝑡) ∙ 8 = 5 ⇒ 8𝑡𝑡 + 18𝑡𝑡 + 2 + 32𝑡𝑡 = 5
⇒ 58𝑡𝑡 = 3 ⇒ 𝑡𝑡 =583 och 𝑑𝑑 = 𝑡𝑡 ∙ |𝑛𝑛�⃗1| =3√2958 Svar: 3√29
58 l.e.
Rättningsmall: Allt rätt 1p.
Uppgift 6. (4p)
a) (2p) Lös matrisekvationen XA=C−XB (med avseende på X)
där
= −
=
= −
2 1 0
2 1 , 1
4 1
1 , 1
1 0
1
0 B C
A .
Sida 5 av 8
b) (2p) Bestäm matrisen Y om
[
6 3]
2 4
1
2 = − −
−
Y − .
Lösning:
a) 𝑋𝑋𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 − 𝑋𝑋𝐴𝐴 ⇔ 𝑋𝑋𝐴𝐴 + 𝑋𝑋𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 ⇔ 𝑋𝑋(𝐴𝐴 + 𝐴𝐴) = 𝐴𝐴 (*) .
Matrisen (𝐴𝐴 + 𝐴𝐴) är en 2x2 matris. Multiplikationen 𝑋𝑋(𝐴𝐴 + 𝐴𝐴) är definierad om X är en
×2
m matris. För en sådan matris X blir produkten (𝐴𝐴 + 𝐴𝐴) också en m×2matris. Eftersom 𝐴𝐴 är en 2x3 har ekvationen 𝑋𝑋(𝐴𝐴 + 𝐴𝐴) = 𝐴𝐴 ingen lösning.
Enligt (*) gäller samma för ekvationen 𝑋𝑋𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 − 𝑋𝑋𝐴𝐴.
Svar a) Ekvationen saknar lösning.
Rättningsmall a) Konstaterar att ekvationen inte går att lösa 1p. Motiverar varför 2p.
b) det � 2 1
−4 −2� = � 2 1
−4 −2� = 0 så matrisen � 2 1
−4 −2� är inte inverterbar.
𝑌𝑌 måste vara av typ 1 × 2. Sätt 𝑌𝑌 = [𝑦𝑦11 𝑦𝑦12] så erhålls [2𝑦𝑦11− 4𝑦𝑦12 𝑦𝑦11− 2𝑦𝑦12] = [−6 −3]
som ger två ekvationer,
2𝑦𝑦11− 4𝑦𝑦12 = −6 och 𝑦𝑦11− 2𝑦𝑦12= −3,
(som säger samma sak). Med 𝑦𝑦12 = 𝑡𝑡 har vi 𝑦𝑦11= 2𝑡𝑡 − 3.
Därmed 𝑌𝑌 = [2𝑡𝑡 − 3 𝑡𝑡] , där t är ett godtyckligt tal.
(Alternativ med 𝑦𝑦11= 𝑠𝑠 erhålls �𝑠𝑠 𝑠𝑠+32 �).
Svar: 𝑌𝑌 = [2𝑡𝑡 − 3 𝑡𝑡]
Rättningsmall: Korrekt samband mellan 𝑦𝑦11 och 𝑦𝑦12 (de två ekvationerna) 1p. Allt rätt 2p.
Uppgift 7. (2p) Ekvationen |z−1−i|=|z−3i| beskriver en rät linje i det komplexa talplanet. Sätt z =x+iy och skriv ekvationen på formen y=kx+m.
Lösning:
2 2
: | 1 | | 1 | | ( 1) ( 1) | ( 1) ( 1) VL z− − = + − − =i x iy i x− +i y− = x− + y−
2 2
: | 3 | | 3 | | ( 3) | ( 3) HL z− i = + −x iy i = +x i y− = x + y−
2 2 2 2 2 2 2 2
: ( 1) ( 1) ( 3) ( 1) ( 1) ( 3)
VL=HL x− + y− = x + y− ⇒ x− + y− =x + y−
2 2 2 2
2 1 2 1 6 9 2 2 2 6 9
x − x+ +y − y+ =x +y − y+ ⇒ − x− y+ = − y+
1 7
2 4 7 :
2 4
x y räta linjens ekvation y x
⇒ − + = ⇒ = +
Rättningsmall: Korrekt beloppsberäkning ger 1p.
Sida 6 av 8
Sida 7 av 8
Uppgift 8. (2p) Låt x, y och z vara heltal. Visa att determinanten
y x
z
x z
y
z y
x
2 4
10 40
20
200 100
50
är delbart med (x+2y+4z).
Lösning:
Bryt 50 ur första raden och 10 ur andra raden
50 100 200 2 4
20 40 10 50 10 2 4
4 2 4 2
x y z x y z
y z x y z x
z x y z x y
= ⋅
Addera rad 1 och rad 2 till rad 3
2 4 2 4
50 10 2 4 500 2 4
4 2 2 4 2 4 2 4
x y z x y z
y z x y z x
z x y x y z x y z x y z
⋅ =
+ + + + + +
(Bryta ut (x+2y+4 )z )
2 4
500 ( 2 4 ) 2 4
1 1 1
x y z
x y z y z x
= ⋅ + +
Det sista uttrycket visar att determinanten är delbar med (x+2y+4z).
Rättningsmall: Bryta ut 50 och 10 ur första och andra raden ger 1p. Allt korrekt ger 2p.
Uppgift 9. (3p)
Krafterna F→1, F→2 och →F3 i figuren befinner sig i jämviktsläge dvs.
→
→
→
→1+F2+F3=0
F .
Kraften →F3 som är parallell med y-axeln
har storleken |F→3|=20 newton (alltså F→3 =(0,−20) ).
(Längderna är givna i meter.) Bestäm 1
→
F och F→2.
Lösning:
Kraften 1
→
F har samma riktning som kraften AB= −( 6, 8)
, dvs. att F1 = ⋅x AB= −x( 6, 8) för något tal x. (egenskaper av två parallella vektorer)
Kraften F2
→
har samma riktning som kraften AC=(6, 12)
, dvs. att F2 = ⋅y AC= y(6, 12) för något tal y.
1 2 3 0 ( 6, 8) (6, 12) (0, 20) (0, 0)
F +F +F = ⇒ x − +y + − =
Detta ger:
6 6 0 0 0
1: 2 : 5 5 1 1
8 12 20 0 2 3 5
x y x y
rad x y rad x x och y
x y x y
− + + = − + =
⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ = =
+ − = + =
Svar: F1 = −( 6, 8) och F1=(6, 12)
Rättningsmall: Teckna att F1 = ⋅x AB= −x( 6, 8)
och F2 = ⋅y AC=y(6, 12)
ger 1p. Fel här ger 0p. Korrekt ekvationssystem ger 1p. Rätt lösning av ekvationssystemet samt rätt erhållna krafter ger 1p.
Sida 8 av 8
