Tentamen i Matematisk analys, HF1905

Sida 1 av 8

Tentamen i Matematisk analys, HF1905

Datum: 14 aug 2019 Skrivtid: 14:00 - 18:00

Examinator: Armin Halilovic 08 790 4810

Jourhavande lärare: Armin Halilovic 08 790 4810 För godkänt betyg krävs 10 av max 24 poäng.

Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) . Vem som har rätt till komplettering framgår av betyget Fx på MINA SIDOR.

Komplettering sker inom sex veckor efter att resultat meddelats.

Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten).

• Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar. ( Endast svar utan tillhörande lösning ger 0 poäng.)

• Skriv endast på en sida av papperet.

• Skriv TYDLIGT NAMN och PERSONNUMMER på varje blad, (speciellt tydligt på omslaget, eftersom tentorma skannas och automatiskt kopplas till namn/personnummer som finns på omslaget)

• Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget.

• Ange omslagsbladet klasstillhörighet : Klass A, Klass B, Klass C eller Omregistrerad.

• Det här bladet lämnar du in tillsammans med lösningar.

Uppgift 1. (2p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) a) Bestäm definitionsmängden till funktionen f(x)= 2x−4+ 5−x.

b) Låt 2 1

( ) ln( )

3 2

g x x

x

= +

+ . Bestäm g′( x).

Uppgift 2. (2p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 2.) Vi betraktar funktionen f(x,y)=x²−6x+4y²−8y+1.

Bestäm funktionens stationära punkter och deras typ (min/max/sadelpunkt).

Uppgift 3. (3p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift 3.) Beräkna dubbelintegral x y dxdy

D

∫∫

då D definieras genom 0≤ x≤3, 0≤ y≤π .

--- Var god vänd.

Sida 2 av 8 Uppgift 4. (2p) Beräkna följande gränsvärden

a) 1

) 3 arctan(

lim ₃

3 −

−

→ x−

x e

x

b) x x

x x

x 3 3

lim2 ₅

2 4

+ +

∞

→

Uppgift 5.(4p) Låt

2 2 4

( ) x x

f x x

− +

= .

a) ( 2p) Bestäm samtliga stationära punkter och deras karaktär.

b) (1p) Bestäm eventuella asymptoter.

c) Rita funktionens graf Uppgift 6. (3p)

Beräkna volymen av den kropp K som definieras av 5

0 : ) , ,

{( ≤ ≤ ²+ ² +

= x y z z x y

K , 0≤x² +y² ≤4}

( Notera att K består av de punkter i R³ som ligger mellan xy-planet och ytan z=x²+ y²+5, ovanpå cirkeln 0≤x²+ y² ≤4.)

Tips: Använd polära koordinater.

Uppgift 7. (3p)

Bestäm tyngdpunkten för området D={(x,y):0≤ y≤x³, 0≤x≤1}.

Uppgift 8. (2p)

a) Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y′=(y²+1)x³+x⁵(y²+1). b) Ange lösningen på explicit form (dvs på formen y= f( x)).

Uppgift 9. (3p) I nedanstående vattentank finns 100 liter vatten. Vid t=0 finns det 2000 g salt i tanken. Tanken tillförs vatten med hastigheten 10 liter per timme och saltinnehåll 5 g per liter. Efter ordentlig mixning förs ut vatten med hastigheten 10 liter per timme. Låt y(t) beteckna antalet g salt i tanken vid tiden t (d v s efter t timmar).

Ställ upp en differentialekvation för y(t) och bestäm y(t).

Lycka till.

FACIT

Uppgift 1. (2p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) a) Bestäm definitionsmängden till funktionen f(x)= 2x−4+ 5−x.

b) Låt 2 1

( ) ln( )

3 2

g x x

x

= +

+ . Bestäm g′( x). Lösning:

a) Villkor 1: 2x−4≥0 ger x≥2 Villkor 2: 5− x≥0 ger x≤5 Båda villkor är uppfyllda om 2≤ x≤5.

b) 1 2(3 2) 3(2₂ 1) 3 2 1 ₂ 1

( ) 2 1 (3 2) 2 1 (3 2) (2 1)(3 2)

3 2

x x x

g x x x x x x x

x

+ − + +

′ = + ⋅ + = + ⋅ + = + +

+ Svar: a: 2≤ x≤5

b) 1

( ) (2 1)(3 2)

g x′ = x x

+ +

Rättningsmall: a,b: Rätt eller fel.

Uppgift 2. (2p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 2.) Vi betraktar funktionen f(x,y)=x²−6x+4y²−8y+1.

Bestäm funktionens stationära punkter och deras typ (min/max/sadelpunkt).

Lösning:

6 2 −

′= x

f_x f_y′=8y−8

Stationära punkter får vi genom att lösa systemet





′ =

′= . 0 0

y x

f f

dvs





=

−

=

− 0 8 8

0 6 2

y

x Härav x=3 och y=1. En stationär punkt P=(3,1)

=2

= f_xx″

A B= f_xy″ =0 C= f_yy″ =8

⇒

>

=

−

=

−B² 16 0 16 0

AC Punkten P=(3,1) är en minpunkt.

Svar: Punkten P=(3,1) är en minpunkt.

Sida 3 av 8

Rättningsmall: 1p för punkten (3,1) och 1p för korrekt typ.

Uppgift 3. (3p) (Student som är godkänd på inlämningsuppgiften hoppar över uppgift 3.) Beräkna dubbelintegral x y dxdy

D

∫∫

då D definieras genom 0≤ x≤3, 0≤ y≤π . Lösning:

[ ] ∫

∫

∫ ∫

∫∫

0 3

0 3

0 0

] 0 cos 0 [cos

cos )

sin(

)

sin(y dxdy dx x y dxdy x y dx x dx

x

D

π π

π

[ ]

0

2 ² 3

3

0

=

=

=

∫

Svar: 9.

Rättningsmall: Korrekt till

∫

[

]

0 xcosy π0dx

ger 1p.

Korrekt till

∫

0

2xdx ger 2p.

Allt korrekt=3p.

Uppgift 4. (2p) Beräkna följande gränsvärden

a) 1

) 3 arctan(

lim ₃

3 −

−

→ x−

x e

x

b) x x

x x

x 3 3

lim2 ₅

2 4

+ +

∞

→

Lösning:

a) =

−

−

→ − 1

) 3 arctan(

lim ₃

3 x

x e

x ,l' Hospitalsregel] 0

[typ0

1 1 ) 1 3 ( 1

1

lim ₃

2

3 + − = =

→ x−

x e

x .

b) 2 0

3 ) 3 (

1 ) 2 ( lim 3 )

3 (

1 ) 2 ( 3 lim

3 lim2

4 2

4 5

2 4

5 2

4 =





= ∞ +

= + +

= + + +

∞

→

∞

→

∞

→

x x x x x

x x x

x x x

x x

x

Svar: a) 1 b) 0

Rättningsmall: a,b: Rätt eller fel.

Uppgift 5.(4p) Låt

2 2 4

( ) x x

f x x

− +

= .

a) ( 2p) Bestäm samtliga stationära punkter och deras karaktär.

b) (1p) Bestäm eventuella asymptoter.

c) Rita funktionens graf Lösning:

Sida 4 av 8

a)

2 2

2 2

(2 2) ( 2 4) 1 4

( ) x x x x x

f x x x

− ⋅ − − + ⋅ −

′ = =

2 2

( ) 0 x 4 0 { 2 eller 2}

f x x x

x

′ = ⇔ − = ⇔ = − =

Två stationära punkter: x= −2 , x= 2 Från

2 2

4 3

2 ( 4) 2 8

( ) x x x x

f x

x x

⋅ − − ⋅

′′ = = har vi

( 2) 0

f ′′ − < ⇒ x= − är en maxpunkt 2 (2) 0

f ′′ > ⇒ x= är en minpunkt. 2

(Notera att f( 2)− = −6 och att f(2)=2 så att

1 ( 2, 6)

S = − − och S₂ =(2, 2) är motsvarande punkter på grafen.)

b) Funktionen är definierad och kontinuerlig för x≠ . 0 0

x= är en vertikal (lodrät) asymptot (eftersom f x( )→ ±∞ då x→0_±).

Eftersom

2 2 4 4

( ) x x 2

f x x

x x

− +

= = − + ser vi att funktionen har en sned asymptot 2

y= −x (då x→ ±∞ ).

Grafen:

Svar:

a) x= − är en maxpunkt, 2 x= är en minpunkt 2 b) x= är en vertikal (lodrät) asymptot, 0

y= −x 2 är en sned asymptot c) Se ovanstående graf.

Rättningsmall: a) Korrekta två stationera punkter = 1p. Korrekta typer+1p.

Alternativ: Korrekt en punkt och punktens typ ger 1p.

Sida 5 av 8

Sida 6 av 8 b) Rätt eller fel.

c) Rätt eller fel.

Uppgift 6. (3p)

Beräkna volymen av den kropp K som definieras av 5

0 : ) , ,

{( ≤ ≤ ²+ ² +

= x y z z x y

K , 0≤x² +y² ≤4}

( Notera att K består av de punkter i R³ som ligger mellan xy-planet och ytan z=x²+ y²+5, ovanpå cirkeln 0≤x²+ y² ≤4.)

Tips: Använd polära koordinater.

Lösning:

Volymen: V=

∫∫

D

dxdy

z = x y dxdy

D

) 5 ( ^{2 2}

∫∫

Notera att D definieras av 0≤x²+ y² ≤4, dvs D är en cirkel med radien 2.

Vi substituerar polära koordinater (x² +y² =r², dxdy=rdrdθ ) .

∫

∫

=

2

0 2 2

0

) 5 (r rdr d

V

π θ =

∫ ∫

0 3 2

0

) 5 (r r dr d

π θ = π 2π 14 28π

0 2 5 2 2 4

2 4

=

⋅

 =



 



 +

⋅ r r

. Svar: 28 π

Rättningsmall:

Korrekt till ⁼

∫ ∫

0 2 2

0

) 5 (r rdr d

V

π θ ger 1p.

Korrekt till

0 2 5 2 2 4

2 4



 



 +

⋅ r r

π ger 2p.

Allt korrekt=3p.

Uppgift 7. (3p)

Bestäm tyngdpunkten för området D={(x,y):0≤ y≤x³, 0≤x≤1}.

Lösning:

Vi använder formlerna

𝑥𝑥𝑐𝑐 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(𝐷𝐷)¹ ∬ 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥_𝐷𝐷 , 𝑥𝑥𝑐𝑐 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(𝐷𝐷)¹ ∬ 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥_𝐷𝐷

Först, Arean(D)=

4 1 4

1

0 1 4

0

3  =



 



=

∫

[ ]

4 4 5

4 4

) 4 (

1 ^{1 5}

0 4 1

0 0 1

0 0

3 3

=

⋅

=

=

=

=

= _{Arean D}

∫∫

∫ ∫

∫

∫

x ^y_y ^x

x

D c

7 2 2 7

4 2 4 2

) 4 (

1 ^{1 7}

0 1 6

0 0

1 2

0 0

3 3

=

⋅

=

 =



 



= 

=

=

∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

=

=

dx x dx x

ydy y dx dxdy

D y Arean y

x y

y x

D c

Alltså T= _



 



= 7 ,2 5 ) 4 , (x_c y_c

Svar: T _



 



= 7 ,2 5 4

Rättningsmall:

Korrekt Arean(D) 4

=1 ger +1p.

Korrekt 5

=4

xc ger +1p.

Korrekt 7

= 4

yc ger +1p.

Uppgift 8. (2p)

a) Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y′=(y²+1)x³+x⁵(y²+1). b) Ange lösningen på explicit form (dvs på formen y= f( x)).

Lösning:

a) y′=(y²+1)x³+x⁵(y²+1)

dy ( ² 1) ( ^{3 5})

y x x

dx = + ⋅ + ⇒

5 2

( 3 )

( dy1) x

y = +x ⋅dx

+ ⇒

∫ ∫

4 6

arctan

4 6

x x

y= + + (den allmänna lösningen på implicit form) C

b)

4 6

tan( )

4 6

x x

y= + +C (den allmänna lösningen på explicit form)

Svar: a)

4 6

arctan

4 6

x x

y= + + b) C tan( ^{4 6} )

4 6

x x

y= + +C

Rättningsmall: a) 1p för varje del. Rätt eller fel.

Uppgift 9. (3p) I nedanstående vattentank finns 100 liter vatten. Vid t=0 finns det 2000 g salt i tanken. Tanken tillförs vatten med hastigheten 10 liter per timme och saltinnehåll 5 g per liter. Efter ordentlig mixning förs ut vatten med hastigheten 10 liter per timme. Låt y(t) beteckna antalet g salt i tanken vid tiden t (d v s efter t timmar).

Ställ upp en differentialekvation för y(t) och bestäm y(t).

Lösning:

Sida 7 av 8

a) Låt y(t) beteckna antalet g salt i tanken vid tiden t Förändringshastighet blir då y′(t).

Dessutom gäller

ut

in V

V t

y′ )( = −

V visar hur många gram salt per timme tillförs tanken. in

V visar hur många gram salt per timme förs ut ur tanken. ut

där timme

gram liter

gram timme

liter

V_in =10 ⋅5 =50

Vid tiden t finns det y(t)gram salt i 200 liter vatten. Därför är densitet vid tiden t lika med

liter gram t

y liter gram t y volymen

t r y

100 ) ( 100

) ( )

( = =

= och därmed

timme gram t

y liter

gram t

y timme

liter V_ut

100 ) ( 10 100

)

10 ⋅ ( =

= :

Nu, från y′ )(t =V_in −V_ut har vi ekvationen 100

) 10 ( 5 10 )

( y t

t

y′ = ⋅ − ⋅ ⇒ 50

) ( 1 . 0 )

( + =

′ t y t

y . (*)

med begynnelsevillkoret: y(0)=2000. Först homogenadelen:

Den karakteristiska ekvationen för den homogena delen:

r+0.1=0 ⇒ r =−0.1 Härav y_H(t)=Ce^−t/10

Vi ansätter y_p(t)= A och därmed y′ t_p( )=0. Substitution i (*) ger

50 1 .

0 A= ⇒ A=500 och därmed y_p(t)=500. Den allmänna lösningen är y(t)=Ce^−t/10+500 Villkoret y(0)=2000 medför C=1500 och slutligen

500 1500

)

(t = e^−t/10+

y .

Svar a) y(t)=1500e^−t/10+500 Rättningsmall:

1p för korrekta ekvationen y′(t)+0.1y(t)=50 +1p för y(t)=Ce^−t/10+500.

3p om allt är korrekt

Sida 8 av 8