TENTAMEN 2018-Okt-23, HF1006 och HF1008 Moment:

TENTAMEN 2018-Okt-23, HF1006 och HF1008

Moment: TEN1 (Linjär algebra), 4 hp, skriftlig tentamen

Kurser: Analys och linjär algebra, HF1008, Linjär algebra och analys HF1006 Klasser: TIELA1, TIMEL1, TIDAA1

Tid: 8-12, Plats: Campus Flemingsberg Lärare: Maria Shamoun och Armin Halilovic Examinator: Armin Halilovic

Betygsgränser: Maxpoäng = 24

För betyg A, B, C, D, E, Fx krävs 22, 19, 16, 13, 10 respektive 9 poäng.

Hjälpmedel på tentamen TEN1: Utdelad formelblad. Miniräknare ej tillåten.

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) .

--- Skriv endast på en sida av papperet.

Skriv TYDLIGT NAMN och PERSONNUMMER på varje blad, (speciellt tydligt på försättsbladet, eftersom tentorna skannas och automatiskt kopplas till namn/personnummer som finns på försättsbladet)

Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på försättsbladet.

Tentafrågor (dvs. det här bladet) ska lämnas in tillsammans med lösningar.

Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar.

---

Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) Vi betraktar triangeln ABC där A=(1,0,3) , B=(2,1,4 ), C=(3, 2,4) .

a) (2p) Beräkna arean av triangeln ABC.

b) (1p) Bestäm vinkeln mellan AB och AC . ( Svara med arccos ) c) (1p) Bestäm projektionen av AB på AC .

Uppgift 2) (4p)

För vilka värden på parametern a har ekvationssystemet

1 4

1 3 2





















az y x

z y x

z y x

i) exakt en lösning ii) oändligt många lösningar iii) ingen lösning.

Var god vänd.

Uppgift 3. (2p) Beräkna

86

2 2

1 



 



  i

. Svara på rektangulär form (dvs. på a+bi form).

Uppgift 4. (2p) Ekvationen 3z³7z² 8z20, har en lösning z 1 i. Bestäm de övriga lösningarna.

Uppgift 5. (4p)

a) (2p) Lös matrisekvationen XA  XBC (med avseende på X)

där 



 



 

 



 







 





 

3 1

2 , 0

2 1

0 , 2

1 1

1

1 B C

A .

b) (2p) Lös matrisekvationen YM  N (med avseende på Y)

där ,





1 2 1

2 1

1  



 



 N

M .

Uppgift 6. (2p) Bestäm egenvärden och egenvektorer till matrisen . 1 1

4

1 



 



 M

Uppgift 7. (4p)

Låt xy2z3 vara en ekvation till planet .

a) (2p) Bestäm den punkt i planet som ligger närmast punkten A=(5,3,4).

b) (2p) En laserstråle som går genom punkten B=(2,3,3) och är parallell med linjen )

1 , 1 , 1 ( ) 6 , 5 , 4 ( ) , ,

(x y z  t reflekteras i planet  . Bestäm en ekvation för den reflekterade laserstrålen.

Uppgift 8. (2p) Låt V vara volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna u v w

och

, . Bevisa formeln V |(u v) w |





 .

Lycka till!

FACIT

Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) Vi betraktar triangeln ABC där A=(1,0,3) , B=(2,1,4 ), C=(3, 2,4) .

a) (2p) Beräkna arean av triangeln ABC.

b) (1p) Bestäm vinkeln mellan AB och AC . ( Svara med arccos ) c) (1p) Bestäm projektionen av AB på AC .

Lösning:

a) AB(1,1,1), AC(2,2,1)



 ^



AC

AB ( 1,1,0)

1 2 2

1 1

1 i  j   k

j

i  







Härav |AB^ AC^ | 2

Arean(ABC)=

2

| 2 2|

1 AB^ AC^  .

Låt  beteckna vinkeln mellan AB och AC .

Då gäller

3 3

5 3 9

1 2 2

|

||

|

cos  





 

 _  _





AC AB

AC

 AB (= )

9 3

5 .

Härav )

3 3 arccos( 5

 

 .

c) (2,2,1)

9 ) 5

( 



















 

 

AC AC AC

AC AB AB

proj _AC

Svar: a) 2

2 a e. b) ) 3 3 arccos( 5

 c) (2,2,1) 9 5

Rättningsmall: a) Korrekt



 AC

AB ger 1p. allt korrekt=2p b) ,c) Rätt eller fel.

Uppgift 2) (4p)

För vilka värden på parametern a har ekvationssystemet

1 4

1 3 2





















az y x

z y x

z y x

i) exakt en lösning ii) oändligt många lösningar iii) ingen lösning.

Lösning:

Systemets determinant är a

a

D 9 3

1 4

1 1 1

1 1 2









 .









0 9 3a 0

D a3.

Om D0 dvs om a3har systemet exakt en lösning.

Vi undersöker systemet för a=3.

För a=3 får vi systemet



























1 3 4

1 3 2

z y x

z y x

z y x

 (Gaussmetoden)

(byta plats på E1 och E2)



























1 3 4

3 2

1

z y x

z y x

z y x

































5 3

5 3

1

3 1 4

2 1 2

z y

z y

z y x

E E

E

E 























 0 0

5 3

1

3 2

z y

z y x

E E

.

Systemet är lösbart med en fri variabel z. Därmed har systemet oändligt många lösningar om a=3.

Svar:

i) Exakt en lösning om a3 ii) Oändligt många lösningar a=3.

iii) Fallet ingen lösning kan inte förekomma i denna uppgift.

Rättningsmall: a) Korrekt D93a ger 1p.

Därefter:

1p för korrekt metod och rätt svar till i-delen.

1p för korrekt metod och rätt svar till ii-delen.

1p för korrekt metod och rätt svar till iii-delen.

Uppgift 3. (2p) Beräkna

86

2 2

1 



 



  i

. Svara på rektangulär form (dvs. på a+bi form).

Lösning:

Först skriver vi basen

2 2

1  i på exponentialform:

2 1 1 2

1 ² ² 



 







 



 

r ,

) 4 1 arctan(

) 2 12 1

arctan( 

    .

(Alternativt kan man se i det komplexa planet att 4

  .) 

Därmed är i e₄ⁱ 2 2

1   ^

Nu har vi )

2 sin(43 2 )

cos(43 2

2

1 ^{86 }₄ ^{86 86}₄^{ 43}₂^  

i e

e

i e ⁱ  ⁱ  ⁱ  



 







 



 

i i

i



















2 ) sin(3 2 )

cos(3

) egenskaper a

(periodisk 2 )

20 3 sin(

2 ) 20 3 cos(





 

 

Svar: i

Rättningsmall: Korrekt i e₄ⁱ 2 2

1   ^ ger 1p.

Allt korrekt=2p.

Uppgift 4. (2p) Ekvationen 3z³7z² 8z20, har en lösning z 1 i. Bestäm de övriga lösningarna.

Lösning:

Ekvationen har reella koefficienter och en komplex lösningz₁ 1 i  z₂  1 i är också en lösning till ekvationen.

Därför är ekvationen delbart med

2 2 1

) 1 ( ) 1 )(

1 ( ) )(

(zz₁ zz₂  z i z i  z ² z²  z Polynomdivision ger (beräkna själv)

1 3 ) 2 2 /(

) 2 8 7 3

( z³ z² z z²  z  z . Den tredje roten får vi ur

0 1

3z  

3 1

3 

z .

Svar. ( z₁  1 i) z₂  1 i,

3 1

3  z

Rättningsmall: 1p för korrekt till (zz₁)(zz₂)z² 2z2 . 2p om allt är korrekt.

Lösning:

Uppgift 5. (4p)

a) (2p) Lös matrisekvationen XA  XBC (med avseende på X)

där 



 



 

 



 







 





 

3 1

2 , 0

2 1

0 , 2

1 1

1

1 B C

A .

b) (2p) Lös matrisekvationen YM  N (med avseende på Y)

där ^,





1 2 1

2 1

1  



 



 N

M .

Lösning:

a) XAXBCX(AB)C

Beteckna 



 







 2 1

1 B 3

A

D .

Med denna beteckning får vi ekvationen C

XD  (Ekv1).

Då är det(D)3210. Därmed är D inverterbar och har inversen



 







 



3 2

1 1 1

1 1

D .

Vi multiplicerar Ekv1 från höger med D^1 och får

1

1 

  CD

XDD eller



 







 



 







 



 



 



 ^

8 5

6 4 3

2 1 1 3 1

2

1 0 CD

X .

Svar: a) _



 







 

8 5

6

X 4

Rättningsmall a: 1p för korrekt till 



 







 



3 2

1 1 1

1 1

D .

2p om allt är korrekt.

b) Matrisen M är inte kvadratisk och därmed är M inte inverterbar.

Först måste vi bestämma dimensionen av matrisen Y. Anta att typ(Y)mn. Vi analyserar dimensioner i ekvationen

Y_mnM_23  N_13,

och drar slutsats att m1 och n2 (dvs matrisen Y har en rad och 2 kolonner).

Nu kan vi göra en ansats för matrisen Y,





Y  ,

som vi substituerar i ekvationen N

YM  och får

  



1 2 1

2 1

1  



 

 y

x .

Efter multiplikationen får vi



 



3

 y x

4 2 

 y x

5 2x y ,

som ger x2 y1. Därmed är Y 





Kontroll:

  



1 2 1

2 1 1 1

2  



 



 , OK.

Svar: b) Y 





Svar: b) Y 





Rättningsmallb) : 1p för korrekt till

  



1 2 1

2 1

1  



 

 y 

x .

2p om allt är korrekt.

Uppgift 6. (2p) Bestäm egenvärden och egenvektorer till matrisen . 1 1

4

1 



 



 M

Steg 1. Vi löser den karakteristiska ekvationen 0 )

det(A I  ( EKV1 ) och får matrisens egenvärden.

0 3 2 0

4 ) 1 ( ) 0

1 ( 1

4 ) 1

det( (    ²    ²   



 







   





som ger ₁1 och ₂3.

Steg 2. För varje egenvärden (dvs. lösning till EKV1) λk substituerar vi λ=λk i 0

)

(AI v  ( EKV2)

och bestämmer motsvarande egenvektor .

i) ₁1 ger 



 







 







 





0 0 2

1 4 2

y

x och följande system









 













0 0

0 2 0

2 0 4

2 x y

y x

y

x .

Härav yt och x2t, och därmed är 



 





t v 2t

1

 , där tR, t 0tillhörande egenvektorer.

ii) ₁3 ger 



 







 







 









0 0 2

1 4 2

y

x och följande system









 















0 0

0 2 0

2

0 4

2 x y

y x

y

x .

Härav yt och y  , och därmed är 2t 



 



 t v 2t

2

 , där tR, t0tillhörande egenvektorer. (Anmärkning: Nollvektorn räknas inte som en egenvektor, därför t0.) Svar: egenvärden ₁1 och ₂3 med tillhörande egenvektorer



 





t v 2t

1

 resp. 



 



 t v 2t

2

 .

Rättningsmall: Korrekta två egenvärden ger 1p. Korrekt ett egenvärde med tillhörande egenvektor ger 1p. Allt korrekt=2p.

Uppgift 7. (4p)

Låt 3x y2z vara en ekvation till planet .

a) (2p) Bestäm den punkt i planet som ligger närmast punkten A=(5,3,4).

b) (2p) En laserstråle som går genom punkten B=(2,3,3) och är parallell med linjen )

1 , 1 , 1 ( ) 6 , 5 , 4 ( ) , ,

(x y z  t reflekteras i planet  . Bestäm en ekvation för den reflekterade laserstrålen.

Lösning:

a) Låt L vara den linje som går genom punkten A vinkelrät mot planet  . Låt Q vara skärningspunkten L och  . Då är Q den punkt i planet som ligger närmast punkten A.

En riktningsvektor till L är v(1,1,2)

(dvs. planets normalvektor).

Linjens ekvation: (x,y,z)(5,3,4)t(1,1,2). Skärningspunkten:

t z

t y

t x

2 4

3 5













substitueras i x y2z3. Vi får 3

) 2 4 ( 2 3

5t t  t  eller 13

6t  som ger t13/6. Därmed

3 1 6 2 13 4 2 4

6 5 6 3 13 3

6 17 6 5 13 5



































t z

t y

t x

Alltså är (17/6, 5/6, – 1/3) den punkt i planet  som ligger närmast punkten A.

Svar a: (17/6, 5/6, – 1/3)

Rättningsmall: Korrekt linjens ekvation =1p. Allt korrekt =2p.

b)

Linjen genom B=(2,3,3) som är parallell med den givna linjen har en riktnings vektor (1,1,1).

Alltså går laserstråle längs linjen L2: (x,y,z)(2,3,3)t(1,1,1).

v w s

B T S

R N

Skärningspunkten mellan L2 och planet  får vi genom att

t z

t y

t x













3 3 2

substitueras i x y2z3. Vi får 3

2 6 3

2t t  t som ger t2. Därmed är skärningspunkten R=(0,1,1).

Den reflekterade strålen går genom R. Låt v RB (2,2,2)

och låt N (1,1,2)

(dvs. N är planets normalvektor). För att bestämma RS , dvs. riktningen för den sökta linjen, beräknar vi först projektionen

) 2 , 1 , 1 3( ) 4 2 , 1 , 1 4 ( 1 1

4 2 ) 2

( 







 

 

 

 N

N N

N v v

proj

w _N 





 



  .

Då är )

3 ,10 3 ,2 3 (2 ) 2 , 2 , 2 ( ) 2 , 1 , 1 3( 2 8

) (

2

2         



v BT v v w w v

RS      

.

Alltså är )

3 ,10 3 ,2 3

(2 en riktningsvektor för den sökta linjen. Vi kan även välja (1,1,5) för linjens riktningsvektor. Den reflekterade strålen går längs linjen

) 5 , 1 , 1 ( ) 1 , 1 , 0 ( ) , ,

(x y z  t

Svar: b) (x,y,z)(0,1,1)t(1,1,5)

Rättningsmall: Korrekt R=(0,1,1) ger 1p. Allt korrekt =2p.

Uppgift 8. (2p) Låt V vara volymen av den parallellepiped som spänns upp av

vektorerna u v w och

, . Bevisa formeln V |(uv)w |. Bevis:

Låt N

= u v. Då är Basytansarea B= |u |v | N| .

Höjden av parallellepipeden är | | |

|

||

|

| ) (

| ₂ N

N N N w

N N

N w w

proj

h _N  ^

 

 



 

     



 

 .

Volymen är | | | | | | | | | |( ) |

|

|| ₂ N N w N N w u v w

N N B w

h  ^{        }

 

















 



 V.S.B.

Rättningsmall: Allt korrekt =2p.