Calculi variationum integralium duplicium exercitationes quas venia ampl. facult. philos. Upsal. p. p. mag. Emanuel Gabriel Björling ... et Gustavus Vilhelmus Westberg ... Holm. In audit. Gustav. die IX Apr. MDCCCXLII. H. p. m. s., P. III

H

CALCÜLI

_VARIATIONUM

INTEGRALIUM DUPLICIUM

EXERCITATIONES

QUAS

VENIA AMPL. FACULT. PHILOS. UPSAL.

p. p.

MAO.

sit&smia. gumbmbil

sMéiMxrs

MECIIAMCES DOCENS

ET

GUSTAVUS VILHELMUS WESTBERG

JLR. Pil IL. CAMD. nOLM.

IN AlDIT. GUSTAV. DIE IX APR. MDGCCXLII.

U. P. M. S.

P. III.

— ' ' ' ■ "

11» SA IiI t

tur universalis ista _{cxplicatio, uti nobis videlur, singularia aliquot} con-sitleravisse _{juvaret hujus rei exempla. Quorum quamquam leviora heic}

aliquot, nec minimae equidem delectationis, afferri beeret$ Iiis tamcn o-ninibus _{problema illud superficiei minimas praeferendum putavimus5}

quare, caeteris in aliud forsan _{tempus dilalis, ea, qua? in solulionem hujus}

problematis invenire nobis contigit, in lueem jam proferre statuimus.

§•

11.

In

solulionem Problematis _{superficiei minimce. —}

9. _{Quo minimum sit (vel maximum) integrale definitum}

J^Jdxdy\/1+p*

+

q9,

(13)

in _{quo % =}

_y/i

+pt

+

<f9,

N~ °9 P ₌

%9

®

=

I"'

Cet*

=

°9

eonstat indefinitae huic satisfieri _{oportere aequationi superficiei}

(i +p*)t- ty<ls+(1+ff) r=o, (11)

(denotantibus r, s, t solila denominatione partiales ipsius z derivatas 2:i Problematum _{Physicoram amplissimum subsidium afferre. Cum enim mundi universi} fabrica sit _{perfcctissima, atque a Creatore sapientissimo absoluta, nihil omnino in}

mundo _{contingit, in quo nun maximi minimive ratio qua'piaui eluceat: quamobrem} dubium _{prorsus est nulluni, quin omnes mundi effectus ex causis fmalibus, ope} Methodi maximorum et _{minimorum, acque feliciter detcrminari queant atque ex ipsis}

causis efiicientibus. _{Ilujus rei vero passim tam eximia exstaut specimina, ut ad}

veritatis conflrmationem _{pluribus exemplis omnino non indigenmus; quin potius in} hoc erit _{elaborandum, ut, in qitovis qnaestionum natnralium}

gener c, ea investigelnr

I

ordinis), tum quoque aequationum ad perimetrum superficiei relatarum

atque iu N:o 7 explicalarum iis, quae diversis casibus conveuiant.

Quamquam, ut infra ostendetur, integrale aequationis (14) tali via

invenerimus, qua in casu quodani admodum generali functiones liceat determinari _{arbitrarias; tarnen idoneis dueti rationibus — in quibus haud} minimi ea nobis videtur esse _{moment!, ut viam in problematibus hujus}

generis longe pluriinis sequendam, dum integrale aequationis superficiei quaesitae universale inveniri non liceat, quodammodo muniverimus —,

priusquam universum lioc adgrediamur problema, unum vel alterum

sin-gularem consideravisse casum prodesse putavimus.

10. Soloc considercntur _{superficies revolutionis circa zaximj — i. e.}

quaeratur an sit superficies, qua fiat satis et conditioni illi (14) et

ae-quationi generali superfieierum revolutionis circa zaxim. — Tali igitur

superficiei, si exsistat, erit (i+p')t &c. = o, denotantibus p, </, r, ä, t

partiales ipsius z derivatas eas, quae generali superfieierum revol. circa zaxim _{contingant aequationi. Qua^ autem cum sit}

* =

"(]/**+

y9) =^(e)>

ideoque commonstret z puneli superficiei baud pendere _{ab d (angulo} ra-dii vectoris _{puncti ejusdem, in xyplano projecti, cum ipso xaxi)j}

trans-formetur liac _{supposilione aequatio (14) secundum formulas notissimas}

x = _g Cos_0,

y = g Sin0.

Quoniam z heic functio solius g putetur, ideoque dz — = p Cos0+ </SinÖ, dg dz — — o — (jQCos0—pgSin05 erunt dz dz t

p =—Cos0, u = —SinÖ.— (a)

Tum _quoniam dq dp de — rCos0 + sSin 0, I = Cos6-_rqSin0_j idcoque dp dn Sin0 r — —Cos6 — ? dq dd q dp dp Cos0 g _ Sin0+— , dq dd q crunt secundum _(n): d*z 9 dz Sin®0 r = — Cos 0 + — , dq dq q s — Sin0 Cos0— , dq4 dq dz Sin0 Cos0

eodemque modo

habebitur

d*z dz Cos*0

t — Sin*0 + • —

<lq dq Q

Quibus impositis jequatio

(14) »bit in

dtz 1 _{dzf dz*\}

dz seu, C denotante breviter ipsam — ,

unde _integrale

qd£+£(i + ?)dq — Oj

seil

dz a ,

-7-= --=> (W)

d<2

denotanle _{igitur const. arb. a ipsum q punctorum, in quikus planum}

tångens superficiei (seu linea tångens Meridiani ipsius) normale sit ad planum _{projectionis (z}=o)j tum

z — n _logft(<?

+\/ seu, quod idem valet,

s = c +

«log(e

+V^?

(17)

denotantibus lieic a et c in genere _{q et z punctorum modo}

eommemo-ratorum.

Quo igitur, datis in genere duabus perimetris

C:i}

{;:!}•

superficies quaulam revolutionis circa zaxim minima sit, quam per eas duci _{liceat, superficies5 talis ista erit qua a;quationi (17) fiat satis,} de-terminandis constantibus a et c ex (18) ili = c + a_logi

j

j . \ [t) =c +nlogi

_J;

atque aequationi illi Limitum (8) identice est satisfactum, uti ex 7. l:o)

patet. —

Est _{quidem Catenarice — ya*i borizontali atque}

per punctum

cur-vae _{infimum ducto, .raxi positivo}

dy m dx s/omx x*

ideoque, positå origine

alicubi in

reela

(x

=

-m)

sen

mutala

x

in

.v-m,

dy m dx _v/.v2 - |/i2 alque /.v+ v/.rJ-m\ y = n+ m log j ,

(")

denotantibus n et m ipsas */ ct .v puncti ordinatse .r

minima.1.

Itaque collatis ex

a'qiialionibus

(17)

et

(b) facillimo

usque

negolio

lioc licet in _{genere concludi Theorema}

_quodammodo

_{notum: quo}

duca-tur meridianus _{superficiei revolutiouis circa zaxim, quce}

_in

_omnibus

(nec

solis — uti antea fuit pronuntiatum liocce Theorema —

superficiebus

{Z

=

/k

IV t

rJ

=

()-j

1

etd>

superficiebus sit minima$ oportet

Catenariam

construi

talan,

cujus

con-stantibus a et c — i. c. q et z punctorum axi revol. proximorum —

ic-rjuationibus

(18)

fat satis. —

Quod

si cerlis

in

casibus

tieri

ncqueat,

ex eo indicatur minimam, _{quam per} datas

ambas perimetros

duci

lieeat,

superficiem non esse revolutionis

circa

zaxim$

seu per eas

duci

non

li-cere superficiem revolutionis, cujus

in

puncto unoquoque

principalcs

ambo radii curvedinis _{aequales sint signique}

_contrarii.

—

• • 1

Sint ex. _gr. perimetri

{,=„}!i

_{(.2o = e +-J}

e

,\ + v/i-rt®

,) = e +

_«loS(

A,

undo _{a>qualio superficiei (17) a])it in}

z = a _log o + _v/?*-a' i + Vi -(i1 sen — (i + V\-«')ea + (i - V\ -a*)e * ' determinanda a ex 1 _ 1 i e +— = (i ₊ v/1 _- a9)_c H ₊(i_-Vi _- a*)_e " _-7 /

cui cum Hat salis assumendo

a = _i,

concludi licet conditioni, de qua lieic quaeritur, satisfieri superficie

2q = c~+

e~%

_(c) SCU _{Q =} i=ec_/ z'X \ ~1

+iZi

_{\TXT.72iy' ~~}

Arcam _{deuique istam miniinam solito morc quaeri licet ex}

d~)

M

y

+

T)

/

f

„lo\

I+( ) seu • / 1 y(c+y

11. Solaj _{jam considerentur}

_superficies,

_fjucc

_rectd

_{ad xyplanum}

scmper parallele motu yenerantur,

i.

e. quaeratur an

sit

superficies,

qua

fiat satis et conditioni illi ₍₁₄₎ et aequationi generali

liarum

superficie-rum. — Ilarum unicuique est *)

(fr- 2pqs+p*t = o. — (10)

Eliminata t ex isla et (14) aequatio provenit

quaesitae superficiei

ista 2pqs- (q*-p*)r= o,

seu _{(posita y} const.)

'2pqdq- (q* -

p%)

dp = o,

cujus equidem liomogeneae

aequationis

integrale hoc

est

P* + =P'V*y- — (20)

At _{perfecte non est arbitraria ista xp.}

_{Eliminata enim}

_{r ex}

₍₁₉₎

_et

₍₁₄₎

quaesitae erit superficiei

2pqs+ (q2 -p*)t= o, seu _{(posita x const.)}

2pqdp+ (q*-p9)dq =*o,

cujus integrale

p*+ q* = q.yx. —

(21)

Quae jam (20) et (21), quoniam eandem

repraesentabunt

superficiem,

combinatae dant illi

V^8

^

q>%+ ip*

'

<pif

*) Vid. ex. gr. Aualyt. Geoni. im Haumc, von Leroy (1840) N:o 518.

•i • dp dq

ldeoque, ut Sit — = —-, erit

dy dx

V

_

(f8

V*'

qua; tarnen, nulla exsistente relatione ipsarum x et y, his indefinitis

a-liter obtinerc _{nequit, nisi sit}

9>' 1 ¥ — = const. arbilr. —= . <f a tp* Integrando habebitur — a v = —b> a = 5 v-c unde _superficiei P = a(,j.c)

(x-by+(,j-c)''

-a_(x-b) dz — ^

(x-b)9+(y-cy1

a(i/_-c)_dx—a(x-b)_dy '

atque integrando, quoniam

r «(?-«)<& ,, . „„ x-b\

J

_{(,-»)•+ &-«)■}

₌

_"{y)

₊

_"-Arc(rang

_-

_jre)

babebitur tandem

2-d = a.Are_{(Tang =}

)

_{$ (22}

qua; quidem, ut

liquet,

supcrficiem

denotat

gcneris

quod

lieic

consi-dcramus, cujus aequationem

generalem

(uti

constat) ita

licet

describi:

x = _{y(fz + ipzmy} nostra vero

dat

A = (\j-c) Tang

(~^)

+

l>.

—

(23)

Ex _aequatione

_(22),

_{quoniam 4}

continet

constantcs

arbilrarias,

patet

in

generc inveniri

licere

supcrficiem

gcneris

lieic

considerati,

qua;

per

data

quatuor puneta Iranseat. —

Cujus

ut

breviter

investigetur natura,

liaec

fere notentur.

Comparaiis inter se

interscctionibus

superficiei

cum

xyplano

atque

piano (i/ = 2c),

nimirum

z-d = «.Are(Tang₌

——^

,

(24)

z-d = «.Are(Tang ₌

^

,

(23)

invenietur esse z alterius (pro _jc quacumque

5)

_{= -}

alterius

pro

x

=

2

Ejusdeni ujitur sunt natura;

lue

intersectiones, at

(ut

ita

dicamj

directioms

reciprocae. Ilaquc invento —

determinatis

in

problemate

quodain

singu-lari _{punetis, per qua;}

_transire

_lubeat

superficiem

_—

valorc

constantium

«, b, c, d atque constructa in

xyplano

curva

illa

(24)5

curvam

(2o) in

piano (ij = 2c) facillimo usque

negotio

construi

licebit

5

quo

facto

super¬

ficies _{generabitur mota}

generatrici

_super

bas

ambas,

ita

ut

assidue

ad

xyplanum parallela maneat.

Ex

quo

patet

nullam

generatricem

eodem

esse in piano _ac insequentem,

ideoque

superficiem

carum

esse

in

nu-mero, qua; nomine

"gauches"

sunt

insignitae:

id

quod

ex

eo

etiam

con-firmatur, quod superficiei nostra;

rt-si

=o non

sit in

gencre

uti

su-perficiebus explicabilibus —

sed

= ————- rzrz ?

exccpto

casu

sin-[(x-by

+

(y-cYY

gulari, in quo puneta — per qua;

superficiem

transire

lubeat

—

ita

sita fuerint ut fiat a = 0: tunc equidem

superficies

planum

erit

z—

d.

TEquatio (24) dat

dz -ax

dx c*+_(b-

a)*'

idcoque tångens curvaj intersectionis, de _{qua lieic quaeritur, eundem cum} •vavi eflicit _{angulum in punctis (*=£>+/i),}

quae est cumque ista h$ tum

d*z -2ac

(b-.t)

~d? _{= [c'+}

_^-x)*]*'

idcoque curva est, qua punctum (,x=b), liinc concava illinc convexa in .raxim: _{quod igilur punctum (x}

=b) est inflexionis. Radii curvedinis curvce _{wquales sunt at signi contrarii in}

punctis (x ~b±_h).

Tandem interseclio _{superficiei cum piano (y}

—c), sccundum (23), erit recta l/=C

x—b

ad _{xyplanum normalis. Intersectio autem}

cum _piano

quolibet (z—A) ad xyplanum parallelo ipsa erit _generatrix

x-b=(g-c)

Tang^—^

in _{positione liuic altitudini}

supra xyplanum debita. Ipsi A=d respon-dcl _{generatrix ad yzplanum}

parallela

x—b. —

Hiec est _{superficies, cui in omnibus recta ad}

xyplanum parallele

mota _{generatis atque}

per quatuor dala puncta transeunlibus princip.ales

ambo radii curvedinis

unoquoque in puncto sequales sint signique con-Irarii. _{Idcoque sumtis}

ita quatuor punctis, ut per ea duci liceat

super-ticiem _{liujuscc generisj pars illius}

quadibet perimetro circumscripta o-innium _{per eandem pcrimetrum transeunlium}

superlicierum minimam in

ge nere isla _pracbcbit ateam, nimiriim

f

f

IxdijVi

+

(x-bf + (g-ef

'

limitibiis a _{perimetro modo dicta dalis.}