Calculi variationum integralium duplicium exercitationes quas venia ampl. facult. philos. Upsal. p. p. mag. Emanuel Gabriel Björling ... et Carolus Robertus Senell Westm. Dalec. In audit. Gustav. die XIII Apr. MDCCCXLII. H. a. m. s., P. IV

(1)

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A

Ull.

I

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QUAS

venia ampl. facult. ph1los. upsal.

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MEC11ANICES DOCENS

et

carolus robertus senell

westm. dalec.

IN AUDIT. GUSTAV. DIE XIII APIl. MDGCCXLH.

n. A. M. s.

1». iv.

ll^alek

(2)

(3)

12. Ad _propositum _jam _rcvertamur,

_generale

_aequationis

_{(-14) inte¬}

grale persecuturi. — Constat

*)

simplicissimam,

quam

huic

integrali

—

a Cel. Monge primuin invento _—

reddi liceat,

formam

esse / x = a + _b,

(2ß)

)

y

=

9a +

V>b,

i

s

=

j*day

-

i

v/i

+

<ffi

+Jdby

-

i

v/i

+

V'%

quo ex systemate,

determinatis

(f

et

t//,

eliminando

indeierminatas

a

et

b habebitur relatio _ipsarum _{x, »/,} _s**).

Attamen non tanti refert formam utique simplicissimam integralis

expetere, quanti

eandem

—

si

fieri

possit

—

tali

quadain

via

consequi,

qua

arbitrarias illas

functiones

determinari

umquam

liceat. Forsitan

ea,

quae sequuntur,

ad

hunc finem

apta

quodammodo

dijudicabuntur.

—

Loco variabilium x et g aliaj duaj u et v

indepcndentcs inferantur,

nimirum

u—x +

i/V-i>I

v=x - _gY-1_•I

*) Lxcroix, Traité du Calc. Difl*, et du Cale. Int. 2:de édit.

Paris

1814,

t.

II. p. G30.

**) In opere "Appl. de 1'Analyse ä la Géom." (Paris, 1807) p.

192 hac

for-mula idem exhibuit integrale:

x=—l'a-j-t/b,

y——<J -fOl' -|-y> -W,

z = i—rt2 -f

j

^'dbS-i-b*,

quam utique eandem aliå sua via Cel. I.ege^dre in "Mém. sur l'integr.

de

quelques

équ. aux. diff. partielles" (llist. tio lAcad. Hoy. des SciencesAn. 1787.

Paris

1780

pag. 513) invenit.

(4)

Solitis ex formulis _{*) partiales functionis} _z _derivatas

p. r. å x et y

trans-formandi in derivatas _p. _r. _å _u _et _v _heic _erunt:

dz dz — dz dz -(Jv -\—- , » _du _dv d*z d/z d*z du8 dudvdv*' d*z d*z d*z du8

dudv+

dv%' — d/z d*z du8 dv8

*) Quas tarnen, _{quoniam in} _{sequentibus aliquolies adhibenda»} _erunt, _breviter heic attulisse _juvabit.

— Scilicet _positis du=x/dx_{-f- xitdy,} dv=vfdx_-f-_v_.dy, erit dz

(=

~rdu+

dv)

= u' +—

v')

rf* 4-

(—+

—vé

)

v du dv ' ^du dl, ✓ V/„ ' ^ y' ideoqne dv du dv ^ du ' dv dz , dz —u -|—— du dv dz dz (i— _{—u/~T-j~vi-} _— au dv rum _positis

du'sssu"dx _u/dy, dtij=u/dx-f- uudy,

dx/=v,rdx-f-v/dy,

dv'=_{v/d* -f- x/'dy-,}

(5)

d'z dz dz\ d'z dz* d'z

_

du1 ~ du

du)

_dudv _{du2 du*} '

^

Quibus inipositis aequatio illa (14) abit in dz* . dz dz \ d'z dz9 d'z

d^ seu breviter

</iVj - (1 +2pxqx)sx +pxtx — o. (29)

15. Si _quaererctur, _an _{lmic primum quoddam integrale beeret} in-veniri et _quidem _ex _{methodo illa usitata integrandi fequationes lineares}

derivatarum 2:i ordinis _partialiumj _uti _constat, _tunc _satis _esset facicn-dum _{systematibus (demlis in hoc} _nnmero _{accentuationibus) liisce:}

2p*dq = (1 +2pq+ v/ 1 + 4pq) dp , J

2q*du = - (1 +2pq+ v7 1 + 4pq)du;

erit, differeiitiationc prioris (d)

dz

d(±.\

d(±)

,•=

U"J

₊

-W

₊ -u"+- v", dx dx da dv dx dx ' dn

qnoniam aiijuationi liuic (d) couvenienter

<dz d

(du)

__d2z j

d*z_

^ dx du2 dudv

CdO

d*z d2z == w _-f- _v, _— dudv (l2z _fi i o tliz r t i - dz dz r=— ir2+ mV -f-—v 2 -j- —u" -f- —v ; du2 dudv dv2 du dv

atque simili ratione

dz

(0

5=— -f (u'vt + «/) +

Ii

x/Vj -f

Ii

u/-fi: «/,..•(/')

du2 d«du du2 du dv

d2z „ d2z d2s „ . dz .dz ,

f= M,2 -f 2 _UV. 4" V2 4 4~ _V//

• (.</)

(6)

sen

4pzd(] = (i + \/l +

4ptj)

dp,

4<yVy = -(1 +^/1 +

4/></)

du.

(50)

Prins considerctur. — Cujus prior sequatio factore

....

1

^2 exactum

evadit difTerentiale

aequationi»

2v/l 4-_4pfj (1 _- _v/₁ ₊ _4p<]

)'

1 - \/1 ₊

4pq

(ß deuot. const. arbitr.); unde sequitur

-2ß ₍₁ 4-2ßq),

qua;, in posteriori (50) substituta, talein eam reddit;

4 _q*dv ₌

(l

_- _v/(l ₊

4/?r/)0

,

i. e. — |si modo poni beeret

- v/ (1 + 4/?<y)' = - (1 +*/»?)] -dv + 4ß2du _— _o,

unde

v+4u

r-\1 - s/Y ₊ \p(p

atque a;quationi (29) hoe esset integrale priuiuni:

v +4

uf

P

\

=

(f{

\l-\/l + 4wu/

\1-

:V-4pqS \1-Vi 4- 4pq

J

Sed hane non licitum est fieri _{positionein, quoniain} _beie

1+4^ =1 + t)»i = i +

i-VY 4- _4pq _-4/»/

= -*/! ₊ _4/«/

= -✓(! + 4/9</)*. —

(7)

14. Verumtamen id consf.it, quantitates " <—> 1 + v/1 + _4^^! et

>

(52) » <-« 1 - v/i +4pi<]i

eas _esse, _qua? functiones ambas arbitrarias integralis aequationis

(29)

constituent. — Itaque si essent _j)t et _(]t ipsa? variabiles indepeiulentes

a?quationis (29) — quae tunc cognita illa esset forma

Rr

+

Ss

+

Tt

+

PV+ Qq+ Nz = 3/, denolantibus /i, S,—M functiones solarum varia-bilium _{independentium} _—5 _transformari _eam _oportcret _in _{aliam forman} illius — 1-21— +2$ 1- ^ (21, 2$, C?, 2D denolantibus functiones

dadß dcc dß

solarum a et /S), cujus in intcgrali formae finila» _— si modo inveniri

li-ceat — functionum arbitrariarum altera a solam altera ß solam,

earum-quc autem modo alterutram sub signo

^,

contincret*3. Et quidem

tunc

*) Suflicit heic rcrba atlulissc Illusir. Laplace sub fincm (pag. 59o) disserta¬

tion^ "Re eher ches sur le Calc. _Integral aux _{di/f. partielles"} (Ilist. de 1'Acad. Roy.

des Sciences An. 1775, Paris 1777) scquenlia:

"on doit en conelure _{généralcment} _quc _loutes _{les fois} que fintégrale eompléte de 1'équation" Rr-j- Ss-f- &e. (vid. supra) "est possible en leruies linis. eile est néccssairement débarrassée du _signc _par _rapport _ä _1'une_{011 a}_{faulre des}

fonctions _{arbilraires <p(<v)} _et _et _dans _{ec cas 011} _{peut lon}_{jours obtenir} _celle

in-tégrale par la méthodc de fart. VII" — transformalione aequationis in formani

d2z dz

&c. tum _inlegratione _{liujus secundum} _metlioduiu _{in art.} _{il lo VII}

dadß da

pra'ced. expositam —; "on voit ainsi quc cctle niélliode donnc généralement les

integrales completes deséquations lincaircs aux diff. partielles, lorsqu'ellcs sont

pos-sibles en termos finis; ayant une fois ccs integrales, il ne peut rester de difliculté

que dans la déferminalion des fonctions arbitraires; or la méthode de 1'art. A II a

(8)

via, quam in dissertatione citata mutiivit Lapla.ce, functioncs istas

arbi-Irarias determinari in casu admoduni _{generali beeret.}

Qua; cum ita sint, primo transformetur aequatio _(29), _ex _methodo Cel. _{Legendiie*), in aliam cujus variahiies independentes ipsae}

sint p,

et _7,. _Scilicet _est

% =

ptu + <y,u

—*y

_(ndpx

₊

_vdqt)

₌

= Pi« + 7iW-w, ₍₅₅₎ posita dw — udpt +vd(]x, dw dw seu M == j— ? V= T~> (34) dp| dqx

(ideoque cognita erit s, si modo tu _innotuerit). _—

Secundum locum citatum liabebitur transforwata baecce:

d*tv d*w d'iv

?.^f+('

+

2M.)Ä

+

K^r

—J

(«)

qua; si metliodo illa solila in N:o 12 adhibita tractetur, uti supra functioncs arbitrariae _{inlegralis illius} _{quantitatibus} ₍₅₂₎ _a _{et ß} _constitui

invenientur. —

15. Ista _jam, _ut _{in N:o praecedenti monuimus, transformetur} _in

aliam, cujus variabiles independentes ipsae sint cc et /S, formulis sub

N:o 12 allatis _{(e), (f), (</).} _liabebitur _transformata _{**) ista:}

encore _l'avantage _{de donner} _uu

moyen tres-simple pour cet objet, dans un cas trés-général, et qui parait etrc cclui de presque tous les Problémes

Physico-Mathématiques."

*) Vid. Lacroix in opere jam pluries citato T. II. p. 022; conf. Legerkre, Mém. sur _fintégr. _{de quelques}

équations aux diff: partielles" sub N:o 12 eit.

**) Seil, redditis in praesenti — simplicitatis _ergo — aequalioni (55) usitalis

denominationibus seu forma

(9)

1 d'w _2p _diu ty! <IaJß ✓1+_4Ml(£₊

✓-)

da

+ 2/> rftu + —————f o, )

v/l+4Ml(l-v/—)

<V

<]uaatitates, quac in formulis (c), (/*), (^) per u',uy,t/, &c. signiiicabaulur,

heie

erunt _sequentes: > i: or. « = — — _p ₅ 2v/l+4xt/ — 2xs 2.x1 v/l+ 4xi/(l + v/l +

4xt/)*

^

v/l+4.xj/(l-v/l +

4xy)t

— 2/ a a (1+4xi/)! JC =-ß"->

)

(•■)

' (1+ 4xi/)T 4x3_(i+3y ₎ _—_{4x3 (i-3y} ₎ ~

(i+4xi/)i[i+y

]4'

^/y

=

(i+4xi/)l[i-y

}s"

~

*) Ne minima in re non parum lubricå supersit dubilatio, non plane ineptum

pulavimus forc admonitum, baue ipsam provenire transformatam, etiamsi nihil de

forma _ipsarum _« _et _{ß a} _priori _supponatur. _Scilicet _acquatio ₍₅₅₎ _seu _(A)

genera-libus transformandi formulis in hane abit: d*w — [xV2 +(1 +2xj)a'at+j*« *] + da d*iv + _[2x'«ty'₊₍₁ ₊ ₊_«/)₊_2/«,/»,]₊ _2xf)(a'iS, d*w +_"Tjr

_[V

₊

₍₁

₊

_{^ß'ß, +y'ß,']}

₊ »p /

(10)

scu -— dw dw —v/1 +_4Mt₊_2*₍₁ _-_✓ ₎_{_}_-_2*₍₁ ₊

V/-)rf7=»;

/ i. o. — quoniani sec. ₍₃₂₎ m, = , a₊_ß ~~ 2(«+

/S)'

'

'',G'

a - ß v/1+_4/>,</, ₌ _, _— a +_£ d*w 2a dw _2ß _dw dadß ai-ß* da a*-ß* dß + . • =—-■— - o. — (37)

Quae jam ut methodo Illustr. Laplace _Iractetur, _ponamus

dw 2a

W

+

^w=w"

<58>

unde _{(37) redigitur} _in 2w _2ß _divt _______in ______ (cc-ßY a*-ß* 1 da dw r +

dä

i-**""

+

^

+

2xyS)

+

y*a"]

+ dw ,

+

dß

^2/S

+

^

+

2xy^''

— °- —

Janiquc « et ß sumtis talibus, ut satisiiat _{qualitercumqiic} _{comlilionihus}

\xW2

+ (1 +2xy)a'at+jTa 1 = a,

*V"+(l+2,_{xy)ß'ßj+y2ß*} =o,

sequatiom transformatae optata coutinget forma; id quod, ut aatis patct, ipsa illa positione (32) elHeilur.

(11)

quae ipsam tv

dabit

cognita

modo

wt. —

At

sumtis

ex

novissima

valo-ribus väv tv _atque _— _tum substitutis in

(58),

ista

abit in

_novam

hane:

dß

d2ivt 2ß' dwt 2ß divt 4ßivt

h = o. — (40)

dadß a^-ß* da a1 -ß* dß (a+ß)(a-ß)2

Jamque positå

diVi 2ß

Wi =_10,, , (41)

dß a2-ß2 1

11 '

V

;

tvif fandern quaeri liccbit ex liac l:i ordinis aequationc lineari:

dW11 _(A9\

-dT-^w"=0--

("2)

Ex liae concluditur _{(denot. ipf" funetionem} _arbilr.)

(45)

a-ß

tum secundum ₍₄₁₎

(a1-ß'1)ivi = (fa+

J^(a-ßy.xfj'".

_dß',

₍₄₄₎

atque secundum (59)

(a +ß)iv — (f a +

^(a

-

ßy.if)'". dß

(qf

+

a-ß)

if'".

dß^

j

(

45 )

quod igitur quaesitum est integrale aequationis (55)

datis

a et ß ex

(32).

Huic, si placet, simpliciorem reddi licet formam

integrando

per

part. terminos signo

j"

_affectos.

_Seilicet

_ponatur

fo"dß=y", j

J

=f',

j

fdfi

₍₄₆₎

/V

dß

= V5

)

u

(12)

habebitur

et— 8

(a +ß)w = (fet+ 2ipß (<p' - 2tp'). — (47) 16. Determinatis in _{singulari quodam problemate} _functionibus _q _et ip, ex aequatione (45) aut (47) ope aequationum (35) et (34) exprimi licebit_ipsas _u, _v _et _z _{functione ipsarum} _py _et _qy _(vel _{etiam, si ita}

con-veniet, ipsarum « et ß). Tum px et qt (vel etiam a et ß) eliminatis ex liisce — dum fieri _polest

— relatio proveniet ipsarum nv t> et x; ac

denique z exprimetur functione ipsarum x et y ope aequationum (2 7) seu

(48)

C2X-U

+

V,

_

\ 2y — (u - m)v/- i .—

17. _{Antequam viam,} _qua _in _genere _{ad determinationem}

functio-num arbitrariarum _{perveniri liceat,} _{indicamus; juvabit}

— quo accuralius de liac re _quodammodo _sit _disputatum

— syslema illud finale integralis

(ti, v, s) seu (a*, t/, s) deduxisse et quidem ex formulis (47), (35), (34) et (48). —

Est _quidem

div div da div _dß _a₊_ß _/div _dw\

" = — = = ( )

sec. (i) et (56), dpi da dpi dß dpt 2{a- ß) \dß da/.

div div da div _dß _2(a ₊ _ß) _{ _/hv

^dw\

dqi

at secundum ₍₄₇₎

div da div _dß ₂₁_a₊ _ß) _/ _div _div\

v = — = ₊ 51 ₌ -5 52 ( /5*— _];

da _dqt _dß _dqt _a_- _ß _\ _da _dß_J

dvo ct^ — 8^

("+

_ß)'j^

₌ _"

_(t

₊

_2^)

₊

_a<t'

₊

_W

_—<f>"

_>