Calculi variationum integralium duplicium exercitationes quas venia ampl. facult. philos. Upsal. p. p. mag. Emanuel Gabriel Björling ... et Ericus Edlund Suderm. Neric. In audit. Gustav. die XVI Apr. MDCCCXLII. H. a. m. s., P. VI

7.

.

CALCULI

VARIATIONUM

INTEGRALIUM DUPLICIUM

EXERCITATI01VES

QUAS

VENIA AMPL. FACULT. PH1LOS. UPSAL.

p. p.

Mao.

Q&lBM81fc

M&RMtitGI

MECHANICES DOCENS

ET

ERICUS EDLUND

SUPERM. NER1C.

IN AUDIT. GUSTAV. DIE XVI APR. IIDCCCXLII.

H. A. M. S.

P. VI.

UPSALIE

RECTOR SCHOLZ

1IÖGÄREVÖRDIGE och IIÖGLÄRDE

IIEUR 31 AG. >2U- t£i

vürdnadsfullt ocli tacksamt

egnadt

af

49

ideoque

2pt = _/58\

~7t — fi+f«\/-1 J

ex _{quibus, ut} in _casu

praeccdenti,

_a

licet

exprimi

in

ß.

_—

Tum w in ambitu cognita erit in ß _sec. (53), si modo _z

superfi-ciei ibidem innotuerit. Est autem dz =ptdu+(J\dv^ ideoque secund. (08)

et _{(37) erit per totum}

_ambitum

dz =_tf'v.dv,

z +_C,

atquc

w=jft(ß)-e9

(39)

mancnle c const. arbitr. —

Caetera _{sequuntur, ut in casu}

_praeccdenti5

_altamen,

_{uti justum,}

ar-bitraria lieic remancbit constans c, nisi praeterea editum sit punctum per quod transire

superliciem lubeat.

—

Denique ex eo determinari licebit

functiones

arbitrarias,

ut

in

am¬ bitu intersectionis _{superficiei quaesitae}

cum superficie *>—f(*?y) ₎

sint _{p =/,(*, y) V}

₍₆₀₎

7=/«(*>

y)•'

Scilicet erit tunc in ambitu

(ds = ) ~ dx + dy —f\dx +/tdy,

quae tunc aequatio est differcntialis

ambitüs, cui

igitur

licet

concludi

/»(*> y, c) = 0,

(61)

(denot. c const. arbitrariam). —

Caetera

patent. —

Ad hos casus _patet referri oportere quaestiones, in N:o 7

indicatas,

inveniendi _{superficierum, cylindro ad}

_xyplano

_normali

_{T(.v, y)}

_{= o}

_aut

inchnato _{F(x9y, z) = o desectarum, eam}

_cui

_{minima sit}

_area

_desecla.

50

Scilicet altcri _{determinandae baberentur in}

gcnere conditioncs _(secundum

(10) cl (11)) r(.t-, y) = o I ,,r+ vr/=

o,j

aI fori a iilem F(x, ih z) = o i + _{7JJ) + XfJ = o5}

quibus lamen, ut liquet, alia qiuedam in geilere conditio p aut q =

J\(x,y) esset conjungenda, quo determinari liceret formas functionum

ar-bilrariarum. — Quo facto igitur

responsum esset comparatum qusestioni,

qtuenam sit superficieruin, cylindris modo dictis _{desecfarum atque}

qui-bus per ambitum intersectionis p aut q =ft(.v, y) sit, ea cui minima esset

area _desecta,

— nisi alia beic inde _{provenirent impcdimenla, quod}

in-linitum _{in genere evaderct inträ limites}

integrale ipsum

/

fdxdy\/i

+

p*

+

q9.

—

In boc autcm subsistere in _{prsesenti certis de causis,}

iisdemque

liaud _{equidem Analyticis, coacti fuimus.}

— Facile equidem

concedi-inus, permultum abesse ut pertractata sit solulio _{problemalis superficiei}

minima»; sed tarnen nos limen _{quadamtenus superavisse gaudemus,}

operac-que baud parvum fecisse prelium putabimus, si rem _{quando ex aI latis}

ad linem _{perducendi occasio}

öl

A cid i tamentii in.

21. Dum in tractando obiter Problematc in N:o 10 allalo

singu-lari _{versabamur, in casum liuic siniilein notissinii alterius problematis}

incidimus, Problematis _{(inquam) inveniendi superficierum,} eeauales conti-nentium _{areas, eam cui maximum inträ datos eosdem limites sit} volumen.

Cui ut _{respondeatur quaestioni, ut conslat *), satis crit faciendum}

aequa-tioni

å

I

dxdy(z

+

W1

+

p*

+ = o,

(02)

(/ dcnol. const. indelerminatam)j in qua quum

% — z +Wi +_{p% + 7®,} N=t,I> =

^,Q

=

^,

cet.

=o,

indefinila _{superficiei quaesitae sequatio evadit (f* denotante}

ipsain—^:

i>-(r-=4=y+r—i—),

\v/l +_{p* + 7v \v/l +p9 +}

(fJ

_{

seu

^(1 +pe+ 7*)

2

= (I +p*)t-2pqs+ (1 + 7*)r. — (03)

Tum quoque conslat, quadrare lianc a?qualionem in unamquamque

super-11

ficiem, cujus in omnibus punctis — 4-— eandem conficiant summam /*,

denotantibus 11et _{Ti, radios illius curvedinis principales}

seu in genere ra¬ dios curvedinis interseetionum _{superficiei normalium sibimet invicem ad}

normam duetarum. —

Si _{lieic quoque solie considerantur superficies revolutionis?} quaeren-doan sit superficies revolutionis circa zaxim, cui in omni bus

superficie-/z — h\ /z = b \

bus _{ejusdcm areoc (= A), datis perimetris}

^

^

^

J

interclusae,

maximum sit volurpen inträ cosdem limites$ — aequatio ((»3) opc

formu-lariuii in N:o 10 allatarum transformatur in

, dz2\s/2 d9z 1 dz / dz*\

'*(l +

d?)

~dé"

+

7

d?)'

dz

seu, £ breviter denotante — , dg

gd;= [W?(i + £*)

/a

—£(1 +

C8)]

d? =

=

(p(>v/ i + C8 -1)(i +^)de?

quae faclore — evadit

|j«R

=

+

e1

—

i)

^

+

(?') de

(«'')

(2 -pu)udq- gdu = o ?

janiquc posita — + q2 = u2 atque

eliminando

£ liabebiltir, abluto

laelo-re communi _w,

cujus integrale

rest.ituta _£? redig_itur in

«V = pW £ = o ' 2 - _pil p(i + ay) v/4«y -p2(l ₊ fl2(?2)

53

i . A 1 _

scu, mulalå a2 in — atque reslituta— loco ^,

f) Å » dz b*+ Q* *) c = T = —-

(66)

x/uy- y+ Q2y tum <»' +

_{,«)*_}

_ (e7) J _{x/uy - y + q2)2}

Area autem lieic est = 2rt / + £% unde aequatio

= 471/1.

/'•"

g

.— (C8)

«A. _{x/«V " + C*)2} SR

Conslanles _{6, / ct ca, quae intcgratione (C7) infertur, ex eo} determina-])iintur ut _{per curvas datas transeat superficies atque ex ipsa (68). —}

Si ex. _{gr. propositae essent perimetri citcjuc}^—2.TZ_^

responsum quaestioni esset fercndum ab aequ. (67), cujus intcgratione

illala constans determinanda esset ex eo quod unå \

1

_j b _{vero el}

IQ = °J A ex _ipsis

-/

1 — f > v/4AV - (b2 + <>2)2 1 (fr2 + g2)d(?

y^fr^T

Q*dQ 0 v/4AV - (ft* ₊ c*)'

*) Patet, candem lianc cssc aequationcm, in quam pervenitur, dum opeCalculi

Variationum _{Intcgralium simplicium problema solvitur invcniendi superficierum sola¬} rum revol. circa zaxim, _jcquales continentium areas, eam cui maximum sit volumen

34

qiiibus quoniam

fit satis

per

b

= o,

X=

—,

unde (67) abit in

C QdQ _{/" i}

z — / — — c v 1 ■ _{^ j}

v/1 - Q*

ll. C.

«' +(*- i)* = i>

palet sphterd ista conditioni prsescriptae

fieri satis.

—

22. _{Longum esset lieic integrationem}

_functionis

_{Ellipticae, inquam}

(ut constat) reduei licet posterius

aequationis

(67) membrum,

considerare.

At notandus est _{singularis quidam Mcridianum superfieiei}

(67)

Geometri-ee construendi modus, in _quem incidimus forte verba infra

allata *)

in ephemeride illa "VInstitut" pcrlegentes.

Sit _{Ellipsis AB**), cui injiinctuui est rectam}

_AX

_non

_nisi

_rotando

*) L'Iuslitut N:o 394 (An. 1841). — Verba formalia Iure sunt: "M. Liouville

comuiuniquc au nom de M. Delacnay, Repet, a 1'Ecole Polytechnique, une notesur

la surface de revolution dont la courbure _{moyenne en cliaque point est constante.} Elle est ainsi conoiie: "Aous cutcndons ici par courbure moyenne d'une surface en

un de ses _{poinls la démisouime des valeurs inverscs} des _rayous de courbure

prin-cipaux relalifs a ce point. En adoptant celte definition on trouve que la surface d'une étendue donnée _{qui renfermc un voluiue maximum est prccisement une sur¬}

face de _{courbure moyenne constante. — Dans le cas partieulier oii 1'on suppose} que la surface cberchéc est de revolution, il est aisé d'obtenir 1'equalion de la

courbe méridieune; mais cctlc équation qui contient une fonetion elliptique est

as-sez _compliquée; j'ai _reconnu qu'on _{peut en} donncr _une conslruelion géomelrique

tres _{simple. On a en effet le théoréine suivant: Pour tracer le méridien de lasur¬}

face de revolution dont la courbure moyenne est constante et = — , il faut faire rouler sur Vaxe de la _surface une ellipse ok une hyperbole, dont le grand axe ou

1'axe transverse soit _{egal a 2a: le joyer décrira la courbe chercliée. Si la courb.} moyenne est nulle, c. a d. si a=oo , la courbe méridieune sera engendrée par le

1'oycr d'une parabole roulant sur 1'axe de la surface; cette courbe méridienne est

alors une Gbainette, et 1'ou se trouve ainsi raiuené a un théoréme connu." —

od

deseribercj demiaxis major =m,

excentrieitas

=cm. —

Quatratur

curua FG, quam describet focus

F.

—

Considerctur

cllipsis in

positione

qua-dain _{ArlF\ sit}

AC — et — arc. CA',

CG =ß. _—

Ex iheoria _{generationis curvarum*) palet, punctum curvai}

_{quaesilae G}

interseclionem esse circuli, _{quem focus} describet _rotante ellipsi iu

posi-tionem _{ipsi A'B' immediate subsequentem, atque}

_illius

_quem

describebat

proficiscente ellipsi a positione immediate

antecedenti;

ideoque

denotan-tibus x et _{y coordinatas puneti G (parallelas ad}

AX

_et

AY),

bis

erit

satisfaciendum et _{acquationi circuli}

(x-a)>+,j'=ß<,

(«9)

et _ipsi [x- (a- da)]1 +yz = (ß - daf , i. e. X-* = —

ßj--—

da

(70)

Jam si inveniri _{beeret ß quaenam sit funetio ipsius «,}

_eliminando

_« obtineretur _{acquatio curvae in x et y. — Quod ut inveniatur,}

_recordari

juvabit et arcum Ellipseos a et radium vectorem ß exprimi beere lun-ctione _{angub A'OD(=z<f), arcum A'D circuli circumseripti}

_{subtendentis.}

Scilicet altcri constat esse

da= —md(f\/1 _-eeCos, (i)

uoruiam _{AY, in qua sumalur AB}

=m atque construatur cllipsis All. Focus acl

AX _{proprior sit V. — Volutae cllipseos in aliam positionem A'B' punctum, quo}

tangit rectam AX, per C notetur; centrum sit O, focus G. — In A'B' construa¬ tur circulus radio = _>»; ducatur 6'C; _tum demichorda cllipseos HC (ipsi A'B'

normalis) extrabatur ad periph. circuli in D, atque OD ducatur. —• *) Vid. ex. gr. Lacboix, Traité du C«lc. DilF. et Int. N:o 263.

66

alferi aulem, secundum aequationem Ellipseos polarem,

=

»»(i

-

<■')

1 + cCosö'

(0 denotante ang. A'GC), i. e. — quoniam /SCosö = m(Cosy - c) —

ß = i/i(1 _- eCosy) _{. —} («)

Jamqtic eliminatå <p provenit relalio

det = — dß._{— ■ ;} ( 71)

W(i-£V

_mj

quae quoniam Ellipticam involvit transscendentem, pro aequatione curvae ii nita diiferentialem _quaeramus.

Ex _{aequationibus (70) et (71) sequitur}

m_J

x-u1;=ß.— (72)

v,

- (1

-ni_J

tum _{quoniam aeqnatio curvae repiaesentatur systemale (69) et}

₍₇₀₎

_seu

iormae

[/(*,

y, a, ipct) = o,

df_

da 9 erit ei df , df — Ax + — _o, dx _dy

o7 i- e.

(.v - a)dx+ydy = o. — ₍₇₃₎

Jamquc eliminatis a et ß ex _{aequ. (69), (72) et (75) curvaj quaesitae}

ha-bebitur _{sequatio diilerentialis liaecce:}

dx _{m2(l -e2) + i/2}

7 = '

V

—L-±——

₍₇₄₎ ä'J

_v/4m*y2

- [m*(l - e*)+y9]9 Haec si _{comparetur sequalioni}

(66) Meridiani superficiei revolutionis,

identica ei esse _{invenietur, mutatis x}

et y in z et £, si modo tales sumantur axes _{Ellipseos generatricis}

ut

m9 — A9.

=

(73)

Ex _{quibus consequitur Tbeorema: Quo}

ducatur Meridianus _superfi¬ ciei revolutionis circa _{zaxim, cui in omni bus}

, yuas per datas duas pe-rimetros

^j>

datdque

inter hos limites

area.

(—A)

duci

li-ceat, _{superfeiebus maximum sit volumenj determinentur constantes b et A}

secundum _{(67) et (68) ex} rR (b* _+Ql)dq suy - (t*+ A =4ni..

f*

^

Jm

v/«V-(«-* + eT '•=

_r

Jm

s uy-(/>'+Qy (70)

quo facto Ellipseos _{(dimensionum (75)) per zaxim rotatoe focus} descri-bet meridianum _{qucesitutn, si modo curva exinde}

generata datas

perime-tros ambas desecabit. Sin minus _{per datas perimetros hand licebit}

super-ficiem duci revolutionis, qua editie fat satis conditioni. — Patet equidem, dum erit b2 _{negativa, Hyperbolam loco}

Ellipseos esse rotandam. —

ERRATA:

Pag. 30. lin. imå: dvf legalur dv/

> i