Ad theoriam axis in peritrochio accessiones. Quas venia ampl. fac. philos. Upsal. p. p. Israël Bergman ... et Laurentius Fredr. Weinberg Medelpado-Jemtlandi. In audit. Gustav. die X Nov. MDCCCXIX. H. a. m. s

AD THEORIAM AXIS IN PER1TROCHIO ACCESSIO NES.

quas

ylnia ampl. fac. phiilos. tjpsäei.

p. p.

MAG.

ISRAEL

BERG

MAN

ASTRONOMliE DOCEJSTS

ET

LAURENTIUS FREDR. WEINBERG

medelpado -_jemtlindl.

IN AÜDIT. GUSTAV. DIE X NOV. MDCCCXIX

H. A. M. S.

upsalije,

IN

SACRAM REGIAM _MAJESTATEM

SPECTATAS FIDEI VIRO

DOMINO

JON.E

ULLBERG

JURIS UTRIUSQUE DOCTORI CONSULTISSIMO, CONSULI URBIS _SUNDSVALL, CONSTITUTO AB ORDINIEUS REGNI

JURIS PER SVECIAM VINDICI A SECRETIS.

Fautori &; Patrono

_Optimo

S a c r u m

voluit, debuit

HANDLANDEN"

. HÖGÅDLE

herr

L. CHRIST.

"WEINBERG

SAMT

HÖGÅDLA

fru

LOVISA

G-

WEINBERG

född ROTHOFF

Mine Huldaste Foråldrar!

ömt ocli tacksamt _tillegnadt

af

Eder _{lydige Son}

AD THEORIAM AXIS IN

PERITROCHIO

ACCESSIONES.

O

_{V-/mnes mechanicae partes infigni}

opera celeberrirrsorum

geornetrarum jamdudum tam explicatee Tunt

Sc

excultae,

tit vix _{aliquid praecipuum iis} addendum videatur; _attamea

quasvis hujus fcientiae pars tot diverfos

comprehendit

ca-fus, rotque diverfotum problematum divérfa

virium

qua-rumlibet _{compolitione capax ed", ut ea omnia non}

exhi-buerit & vix exhibere _queat ullus tra&atus mechanices.

Theoria etiam axis in _{peritrochio, quamvis plurimum ope}

plene Sc eleganter quod ad

principales

partes

elaborata,

tarnen accesftones _quasdam, etfi minoris

forfan

momenti,

admitrere videtur. Sic e. _{gr. in} omnibus fere

tra&atibus

huc _{pertinentibus conliderantur tantum}

_pondus

_quoddam

trahendum vel furfum tollendum ope funis, circa peritro-chium _{cyhndricum de&endi, Sc vis, qua hoc}

_fiat,

quaeri-turque iuter hane vim Sc pondus ratio, qua

vel

aequili-briurn vel rnotus _{quidam certus} oriatur;

ipfe

_vero

funis

expers gravitatis habetur. In msgnis autem

ponderibus

alte tollendis cum _longo, valido graviorique igitur

fune

opus ed, visque trahens fsepe mhilominus

conlians

defi-deratur, paret, ut hoc fiat, ipfum peritrochium non am*

plius cylindricum manere

posfe,

fed

eo

laxius

fore,

quo major pars ipfius funis evecta ed. Quapropter

etiam

ad-hibita fuit forma _{peritrochii conica, quam}

deferipfir

in-ventor _{Gnjlaf Ar. Lindbom} Sc _cum cylindrica

comparavit

Guß. Ad. Lejonmark in Novis Acfis Acad. Scient.

Holm.

Tom,

XVII. Anno _{1796; qusenam vero forma esfer optima,}

neu-rer examinavir. _{Itaque hane peritrochii formam}

accura-tius decerminnre cum & per _{le operae pretium duximus,} «Sc ex dererminara forfan urifitarem _{quarndam in machinis,}

quibus magna pondera alte rollanrur, conficiendis

profe-£turam _{fperamus, pröblemataquaedam huc pertinentia} pro-ponere &, quantum permiferint juveniles vires, folvere in _{praefenti opella conamur, hoc vero conamen}

quorno-do _{fuccesferit, ad eruditiorum judicia deferentes.}

§. «•

Sit DEHK _{(vide fig. J.) folidum revolutionis} mate-yiale curvae cujusdam DFBK circa _axem quemdam fixurn AM, in curvae piano fitum, EFGBH orbita in hoc folido

circumcirca _{infculpta, quam impleat pars funis cylindnci}

EFGBN, per axem divifi, ita ut axis hujus funis femper

in _{fuperficie folidi feu peritrochii jaceat, P pondus}

exter-mo funi N _{affixum, & quaeratur curvarura ipfius DFBK,} qua vis, quam habet masfa ipfius P una cum fune libere

pendente BN peritrochium DEHK circa axem AM

mo-vendi, femper fit conftans. Primo omnium paret, ubi

volvitur _{peritrochium circa axem AM & extollit fu.} item una cum pondere P, hunc funern modis

in-numeris circa peritrochium KDEH fk£ii posfe, ita ur ordines funis EF, BG Sic. in fuperficie peritrochii ma¬

gis minusve a fe invicem divergant, pro unoquoque

modo autem novam fpeciem turvaé DFBK örin debere.

Quisque autem talis modus, quo

fle&itur funis fecundum

fuperficiem peritrochii > determinatur

angulo,

quem for¬ mat hic flexus funis in unoquoque fui pun&o cura piano

per hoc pun&um du&o &

ad

axem

AM

redo.

itaque

curva DFBK ex hoc angulo pendet, _ut etiam _ex

fequen-tibus clarius _{patebir. Concipiatur planum KDAM duäum}

per axem AM, qui pro axe

abfeisfarum (um

atur,

Si

perficiem perirrochii; per

idem

pün£lum

B

ducatur

ordi-nota BC _{aliaque illi proxima bL, qua ut} radio circa _cen¬ trum L & in platio ad "AM re<fto defcribatur _arcus cir-coli be, occurrens elevati funis axi in e; ducantur hg, Be ip.fi AM parallels?, producatur Lb ad f, jungatur ce, pona» tur AL == bL ~y, ipfms funis axis ftexus EFGe_{sr «,} erit _{hg = dX) Bg = dy, Be r: du. Sunt prasterea LCf}

hgt cB aå planum Lbe feu Lee

re&ae

i eft igitur Bec angu¬ lus, quem cum hoc piano formar funis in e, qui angulus

dx

ponatur = v, unde du = -— = dx -cosec v. Hic angu<

sin v

lus v, _{qtii pro} arbitrio fumi poteft, _nunc 8c in

fequenti-bus ram _{parvus intelligatur, ut funis iibere pendentis axis} BJSf ad erdinatam _{pun£li B, ubi rangit peritrochium, fine}

er ror e fenfib-ili re£tus haberi posfit. Si _{poijfo ponantur}

v conftans, ejus cofecans _{= c,} coordinarte re&ae «Sc _per«

pendicuiares, gravitas unius unitatis longitudinis in fune

= m, V conftans vis refiftens peritrochium circa

AM-rnoventi, erit, quoniam ve^fis, in qua agit P una cuti

funis _{parte libere pendente, femper eft y,}

y (P ■+■ mi ~ wifcdx) — V, unde

(P Hh nit) y ~ tinxy ~ V*

Curva DL BK fit _{igirur hyperbola inter afymptotas* S>t} vero _{angulus v non ponatur conftans, fed funftio}

quae-dam ordineras vel ahfcisfse, _{pater, pro quavis tali}

asfum-ta fun&ione novam _{aequationem curvae. DFB oriundam}

esfe. Numerus _{ejüsmodi funftionum, quibus pro lubiru}

angulum v vcl quamdam ejus lineam trigonomerricam ae-qualem fernere posfumus, eft infkiitus; maxime autem ft»

mul _{fimplex & aptum videtur ponere sin-v =r nam}

, y

4

dam eo _{magis divergum, quo crasfius eft peritrochum}

,

pofito angulo v conftante, patet, magnam partem

fuper-ficiei _{perirrochii, quae alias vacua esfet intsr ordines funis,} fune _{regi posfe, fi anguli. v finus eadem ratione}

decrefce-re _{ponacur, qua} crefcit _{ordinära y, Hinc oritur}

y \P -fr* mt - mfydx) — V, 8c dividendo ac

diffe-Vdy Vdy

rentiando - mydx = - mdx = , unde

inte-. yz yl

V V V _r(y*-a*J

grando mx = E C = — — >

2Z/S 2CI2 2«/2 2a2y2

fi _{ponirur y = a, ubi eft x = o. Eft itaque zma2y*x}

=p V(y2 - a2J, seqvario curvse qusefitae.

■

§. u.

Poteft etiam forma _{peritrochii KDEH ope} coordina-tarum _{polarium inveftigari. Dum enim moverur}

peritro-chium circa axem AM, quafi _repit funis fecundum

longi-tudinem _{perirrochii, fimul autem anguiarem motum circa} eundem axem habet, ita ut certo _{angulo circa hunc}

de-fcripto certus valör respondeat ipfius y, qui iraque pro

fun&ione _{hujus anguli haberi poteft. Concipiatur itaque}

circulus conftanti radio a, centro ubicunque in axe AM

fito, in _{piano ad hunc} axem re£to defcriprus, in cujus

peripheria fumantur abfcisfae x. Arcus hujus circuli inter

plana ALb 8c ALe inclufus tunc erit = dx 8c ejusdem ydx

numeri _{graduum ac be, itaque a :y ::dx: be = —• De}

cétero eft, ut antea, bg Bc := dusinv, ce zzz ducosv,

Ég^zdy 8c inde, quoniam eft angulus cbe re&us, du2cos2v y2dx2

s=

y2 dx2

du = s _{V(~~ 1- dy2}, Sc inde}

porro, fervatis pri-üinis denominacionibus _{ipforum P, m, t,}

2/ _{[ /"* —{— mt} - ms h dy2)] ~ V. y2dx2 Z7"

p mt - ms/X/idu* _-A -) _{— —} Sc

diffe-J «* y

y2dx2 Vdy

rentiando - ms V,dy2 _{-f- ——) =s -} —unde _porro

y m2s2dy'

a

m2 s2_{y2 ax2 V2dy2 m2s2dy2 m2s2dx2}

-? _

-f-a- _y

V2di)2 m2s2dx2 Vz m2sa V2 -m2i)^s2

——

=

C-r-

~yr)d^

= ^

r r r

msdx msx

■zzy-^dy*J{V2 - m2s2y*j, =zfy-*dyS/(V2' m2s2y^)

(,V2 - m2siy^yT m2 s2 T

-t-C=C-~ ; fydyQV2 - m2s2<i)*)-?;

zy2 4 a j> *

ponatur y2 == s, erit «/4 = s2,

ydy

= &

4- ds

T f* i. p

fi)di]J (V2v - m*s2y*)J '~ 2—JJ ~7~ryr —

"-t/

~

V[V2-m2s2z2) T ~~~rr_zVdz m2s2

V('->T

a1)

=£/-i/S m2s2 v v>-2WJ an:

6

tnsz " _{; . . .}

Qin, = aequatio

quaefi'tae

curvae

fit

smx (JT* _- m^s^-y*)2 _ms msy*

——

rs C ~ — WC (ri& = ~r7~)i & fi

fl _{2#2 l}

K

V

abfcisfae numerantur a _pun&oquodam _, cui

refpondet

csr-ta ordinata b,

4a i nifb2 4a

imsx = — (V1 -misib*yi + cum are (sin = ~'Tr~) - —

b2 V _fjz

t in_ry2

{V3- - - ams an (sin = _~~jy~r

§. m.

Ha&enus funes _{posuimus cylindricos, quibus etiam}

vulgo pondera rolluntur*

Artamen

facile

pater,

hane

for-mam nec esfe necesfariam, ncc minimarn -funis

ma-teriem _{requirere, quo certus üae}

_efreclus.

_Trahit

nemps in fuperiore

funis

parte majus

pondus,

P

nempe & major pars ipfius

funis,

quam in

inferiore, ubi

idem P Sc minor funis pars; itaque inferne non eadem crasfitudine funis _{opuseft, ac fuperne. Quibus datis, jam}

propofitum fit inveftigare, qua

ratione diametrum

funis

deorfum _{oporteat decrefcere vel}

_{furfum crefeere,}

_quo

o-mnes funis partes sequaliter gravitate

rendantur.

Sit igi-tfl-r CABD (vide fig. 2) dimidia interfe&io ejusmodi fu¬

nis cum _{piano, per axem} BD du£lo, finique axis B affi-xum fit _{pondus P; pro} cognita habeatur infimae partis

radius AB, quae ponatur = a, Sc quaeratur, qua ratione

hic fiurfum crefcere debeat, quo omnes funis partes aequa-liter _{tendantur, h.} e. quaeratur curva GCA. Sit C

per-7

psndicularis CD, eique parallela & proxima FG, ponatur gravitas fpecifica funis = m, BD = x, CZ> =, «/, ratio peripheriae circuli ad diametrurn = 7t, erit DF= CEz^

dx, GE = _dy, öz differentialis ipfias funis, _{qui pro}

folr-do revoltmonis curvse ^CG haberi _{poteft,= 7iy2dx. Jam} ii fun is _{parallelis, homogeneis inrimeque inter fe nexis} fl-Iis con-ftare _{ponatur, firmitasque ejus in quolibet pun&o}

crasfirudini feu diametri _{quadrato esfe proportionalis,}

ori-tur a2 :_{y2 :: P: P -f- imrfy 2dx, unde}

Py2 = a-P -j- _{ciz7imfy'1 dx, öz differentiando}

dy

zPydy = az7imy*dx, zP— =: a27tmåxy ■unde _integrando

zPlogy = aa7imx -f- C =*= a271nix -f- 2Ploga, a27rmx

togy /og«, &j fi e ponitur pro nume

-ro, cujus logarithrrms _{hyperbolicus eft unitas,} a2-niix

-i- loga . r

y == e zP > aequatio curvae qucentse.

?, iv.

Pro fune _{arqualiter crasfo eoncipiatur jam alius,}

qua-lem in _{praecedenti paragrapho cornmemoravimus, fleßi} circa _{peritrochium, quod , rötans circa axetn fuum, pon¬} dus _{quoddam hoc ipfo fune toliit, & inquiratur forma}

pe-rirrochii, qua pondus uria curn fune pcndente peritro¬

chium moventi eadern vi _{fernper refiftant. Sit, ut}

antea, KDEH _{(vide fg. I.) peritrochiuin, cujus} forma

quscritur; curva EFGB, circa fuperficiem peritrochii fle-xaa qute gntea axis funis eievafi habila fuit åz gravitati

8

ejusdem proporrionalis, nunc etiam pro sxe feu linea me¬

dia funis eievati habeatur & in _{perirrochio infcuipta}

con-cipiauir orbira ram profunda, ut funis in ea jacenris cur-vaius axis EFGB fem_{per in} (upeificie _{perirrochii jaceat.}

Jtaque folidum funis elevr.ti eadtm fun&io i fl ipfius

EFGB, quae folidum revolutionis generatim eÜ abfeisfae. Soüdum aurem revolutionis fi vocetur S & ratio

periphe-riae circuli ad dia'metrum, ur antea, -tt, conftat forn.ula S = fny3dx _{-4- C. In curva autem,} de _qua heic _agitur,

eft ex _{j. Iii. ,}

a*7Mtx a*7tmx

y = e

~^p

itaque yi = e p

~^~2^°£a

&f7ry*dx p a2itmx <• i

=

«ß-p~

+ *°Sa

_{—— dx -t-} C₌ c

a3m p a

2

7tnix

= e _p # quoniam funis incipit ab origine

a3m

■-abfcisfarum. De cetero fervatis conftru£tione Sc

denomi-nationibus in _{§. I., erir EFGB = u = fcdx = cx,}

pofi-To _{angulo v} conftante, _{& fi hic} valor ipfius _u in

expres-fione _{ipfius S pro x fubftiruarur, erir pars funis circa}

pe-a27imcx

rirrochium flexa= —— e p & inde, fi

2ra-a-m

vitas totius funis una cum pondere _{P ponarur p,}

„ a37rmcx y (p - .

—p—

+

2l0s")

= r „ a37TftlCX r-P _1— loga

V

~P ~ e P = na y

i P 2t„g, _

py

-

r

&^7ttttCX • > rri -f-2loga a (PH ~ e _p '1-5--**7tmex

—J>—

=

%

fry

-

*0

-

/og

Py

C % fry - *9 - % Py*)P X =ss _ a27MlC a*V y = _n27tmcx ... p«

_-7-

+

u $. V.

Si coorcfinata» ponantur polares, erit, ut in §. II., mo* do _{g vocutur, quod ibi o,}

77i_£f Be— = /(/(du—= -& & m a7,Tims ■jy a~7tmi /» quare y [P- -,

+

Ä+^=f;

s^Ttms_p ^

"~p^~J

V(y*dx2

^rg2dy7-)^zlogOizzzlogd^log

fry-J-

a*7fnif

unde _{ponendo —-—.= b 8c differentiando}

Pg pdy dy Vdy b7- _{\/(y2dx2 -}-g2dy2') = —— = —7 ~} py- V y y (py - F) V2 dy2-bay-dx2 -+- b2g2dy2 = — —— y2Cpy

-V2dy2 b2g2dy2 V2 -b7g2y* (py- V)*

b2dx2 =* - — ~ : du"

yUpy

-yj2

y2

y^Cpy-FJ*

dy

bdx-=z^

^

s/ijf*

-b2g2p2y* -\-2bz

g2pVy>-b2

g2

V2y2\