%JQMPNPWÈ QSÈDF

'6/,$&  ."5&."5*$,² )3: " ",5*7*5: 130 45Ʋ&%/¶ À,0-:

%JQMPNPWÈ QSÈDF

4UVEJKOÓ QSPHSBN / o .BUFNBUJLB

4UVEJKOÓ PCPSZ 5 o 6ǏJUFMTUWÓ UǔMFTOÏ WâDIPWZ QSP TUVQFǪ [ÈLMBEOÓDI ÝLPM

5 o 6ǏJUFMTUWÓ NBUFNBUJLZ QSP TUDzFEOÓ ÝLPMZ

"VUPS QSÈDF #D #BSCPSB 7BOǏVSPWÈ

7FEPVDÓ QSÈDF EPD 1BFE%S +BSPTMBW 1FSOâ 1I%

1SPIMÈÝFOÓ

#ZMB KTFN TF[OÈNFOB T UÓN äF OB NPV EJQMPNPWPV QSÈDJ TF QMOǔ W[UB

IVKF [ÈLPO Ǐ  4C P QSÈWV BVUPSTLÏN [FKNÏOB f  o ÝLPMOÓ EÓMP

#FSV OB WǔEPNÓ äF 5FDIOJDLÈ VOJWFS[JUB W -JCFSDJ 56- OF[BTBIVKF EP NâDI BVUPSTLâDI QSÈW VäJUÓN NÏ EJQMPNPWÏ QSÈDF QSP WOJUDzOÓ QPUDzFCV 56-

6äJKJMJ EJQMPNPWPV QSÈDJ OFCP QPTLZUOVMJ MJDFODJ L KFKÓNV WZVäJUÓ KTFN TJ WǔEPNB QPWJOOPTUJ JOGPSNPWBU P UÏUP TLVUFǏOPTUJ 56- W UPN

UP QDzÓQBEǔ NÈ 56- QSÈWP PEF NOF QPäBEPWBU ÞISBEV OÈLMBEǾ LUFSÏ WZOBMPäJMB OB WZUWPDzFOÓ EÓMB Bä EP KFKJDI TLVUFǏOÏ WâÝF

%JQMPNPWPV QSÈDJ KTFN WZQSBDPWBMB TBNPTUBUOǔ T QPVäJUÓN VWFEFOÏ MJUFSBUVSZ B OB [ÈLMBEǔ LPO[VMUBDÓ T WFEPVDÓN NÏ EJQMPNPWÏ QSÈDF B LPO[VMUBOUFN

4PVǏBTOǔ ǏFTUOǔ QSPIMBÝVKJ äF UJÝUǔOÈ WFS[F QSÈDF TF TIPEVKF T FMFL

USPOJDLPV WFS[Ó WMPäFOPV EP *4 45"(

%BUVN

1PEQJT

Pod kování

Na tomto míst velmi d kuji vedoucímu práce doc. PaedDr. Jaroslavu Pernému, Ph.D. za odborné vedení a vst ícný postoj p i konzultacích.

Také musím pod kovat vyu ujícím a student m st edních škol v Jablonci nad Nisou, kte í se zú astnili mého výzkumu. A hlavn Mgr. Vlast Krykorkové, že jsem v jejich t ídách p i hodinách matematiky mohla vyzkoušet v tšinu her, které jsou sou ástí této diplomové práce.

Bc. Barbora Van urová

Anotace:

Diplomová práce se zabývá využitím didaktických her p i výuce matematiky na st edních školách, a to hlavn v rámci vzd lávací oblasti Závislosti a funk ní vztahy.

Teoretická ást se v nuje charakteristice a teorii funkcí a didaktických her. Didaktická hra se dá využít i na st edních školách nejen pro motivaci, ale i pro p edávání dovedností a znalostí. V praktické ásti jsou uvedeny ukázky didaktických her s jejich popisem. Výzkumná ást zahrnuje dotazníky pro u itele i studenty, které jsou zam ené na využití didaktických her p i výuce matematiky na st edních školách v Jablonci nad Nisou. Cílem tohoto šet ení bylo zjistit oblibu a míru využití didaktických her v matematice mezi u iteli i studenty. Sou ástí práce je soubor aktivit a her, která m že sloužit u itel m matematiky jako pom cka p i výuce funkcí.

Klí ová slova: matematika, didaktická hra, funkce, tvo ivé myšlení, vyu ovací metoda

Annotation:

This diploma thesis deals with the use of educational games in teaching mathematics in secondary schools, especially in the educational field of functional dependencies and relationships. The theoretical part deals with the theory and functions and educational games. Didactic games can also be used in secondary schools not only for motivation but also for the transfer of skills and knowledge. In the practical section provides examples of educational games with their description. The experimental part includes questionnaires for teachers and students that are focused on the use of educational games in teaching mathematics in secondary schools in Jablonec nad Nisou. The aim of this investigation was to determine the level of popularity and use of educational games in math between teachers and students. Part of the work is a collection of activities and games that can serve teachers of mathematics as a tool for teaching functions.

Keywords: mathematics, didactic game, function, creative thinking, teaching method

Obsah

Úvod...7

1 Cíle práce...9

2 Teorie – funkce...10

2.1 Funkce v RVP G...11

2.2 Základní vlastnosti a pojmy...12

2.3 Lineární funkce...18

2.4 Funkce absolutní hodnota...19

2.5 Kvadratická funkce...19

2.6 Lineární lomená funkce...21

2.7 Mocninné funkce...22

2.8 Exponenciální a logaritmické funkce...24

2.9 Goniometrické funkce...28

2.10 Další funkce...32

3 Teorie – didaktické hry...35

3.1 Klasifikace her...36

3.2 Didaktická hra jako vyu ovací prost edek...38

3.3 Rozvoj tvo ivého myšlení...41

4 Praxe – soubor didaktických her a aktivit...43

4.1 Zajímavé aktivity p i hodin matematiky...43

4.2 Didaktické hry – funkce...51

5 Výzkumné šet ení...60

5.1 Zpracování dotazníku pro u itele...60

5.2 Zpracování dotazníku pro studenty...72

5.3 Zpracování testování student ...82

Záv r...84

Literatura...86

Úvod

Pojem funkce pat í mezi st žejní u ivo matematiky. Pro n které studenty je ale velmi obtížné a mají s ním problémy. V dnešní dob je stále t žší studenty zaujmout a podat jim látku poutav . V tšinou b žnou výuku „neberou“ a tím pádem je jejich úrove poznatk nízká. Proto se hledají jiné cesty, jak studenty a žáky upoutat a tím výuku zefektivnit. Jednou možností je využívání didaktických her jako vyu ovací metody. Proto jsem si vybrala ke své diplomové práci téma Funkce – matematické hry a aktivity pro st ední školy.

V dnešní dob rámcových vzd lávacích program se jedinci mají vést k samostatnému myšlení, tvo ivosti a kreativit , nejde už jen o v domosti. Správn postavená didaktická hra všechny tyto komponenty rozvíjí a hlavn u í novým dovednostem i v domostem. Studenti si mohou osvojovat nové poznatky z matematiky zábavn jší metodou, než jen memorováním zpam ti, nebo rutinním po ítáním p íklad na tabuli.

Více se však, podle mé zkušenosti, využívají didaktické hry na základních školách. Lidé všech v kových kategorií si stále rádi hrají, tak pro nepoužít didaktickou hru ob as i p i výuce na st ední škole? Je to sice o n co obtížn jší, donutit dospívající mládež, aby si hrála, ale je to realizovatelné a hodiny matematiky se mohou stát pro všechny p íjemnou záležitostí.

Didaktická hra se m že použít v jakémkoli výukovém i výchovném p edm tu.

Záleží hlavn na u iteli, zda n kterou do výuky za adí a hlavn na studentech, jako takových. U itel musí sám v d t, do jakého kolektivu a jakou hru m že p inést a realizovat ji p i vyu ování. S za azením do výuky a se správným výb rem mu m že pomoci t eba práv tato práce.

Text bude len n do t í ástí. V první ásti se budeme zabývat teoretickými poznatky o funkcích. Mým cílem je, aby tato ást práce byla použitelná p i výuce pro u itele. Proto zde budou uvedeny nejen teoretické poznatky, ale také didaktické zásady a o ekávané výstupy student v dané oblasti. Teoretickou ástí bude i text, v novaný teorii didaktických her.

Druhá, praktická ást bude souborem aktivit a her, které budou moci u itelé

použít p i výuce jak funkcí, tak i v jiném u ivu. Snahou bude, aby byl soubor p ehledný a použitelný, proto bude sou ástí práce p iložené CD s uvedenými hrami.

Poslední ástí bude výzkum, který se bude týkat dotazníkového šet ení, provedeného na st edních školách v Jablonci nad Nisou. Bude m zajímat využívání didaktických her na t chto st edních školách a názor u itel a student na danou problematiku. A také zda a jak ovlivní aktivity a hry motivaci student a jejich vztah k matematice, resp. p ímo k funkcím a jak dalece tyto innosti ovliv ují úsp šnost

ešení úloh s touto problematikou.

Cíle mé práce je podpo it u itele na st edních školách p i využívání didaktických her k výuce. Doufám tedy, že bude moci být pro n dobrým nástrojem p i jejich hodinách zam ených na vzd lávací oblast Závislost a funk ní vztahy.

1 Cíle práce

Hlavním cílem práce je, vytvo it soubor her a aktivit, které napomáhají ke zvýšení motivace, ale i úsp šnosti student ve výuce funkcí na st ední škole.

Díl í cíle, které si tato diplomová práce p edkládá jsou:

Na základ Rámcového vzd lávacího programu pro st ední vzd lávání vytvo it p ehled poznatk o funkcích, který bude vhodný jako didaktická pom cka p i výuce pro u itele na st edních školách. Tento p ehled bude obsahovat teorii, didaktické zásady a o ekávané výstupy student ve vzd lávací oblasti Závislosti a funk ní vztahy.

Na základ dostupné literatury shrnout teorii v oblasti didaktických her a vymezit jejich za azení ho výuky.

Na základ dostupných zdroj vytvo it sbírku aktivit, vhodných do všech hodin matematiky.

Vytvo it soubor her, tématických do u iva funkcí a vyzkoušet tyto hry v praxi. Na základ toho sepsat zásady p i jejich použití.

Vykonat dotazníkové šet ení, týkající se využívání didaktických her, na st edních školách v Jablonci nad Nisou.

Shrnout výsledky dotazník a možnosti použití didaktických her na st edních školách.

Pro spln ní t chto cíl jsem si stanovila dva pracovní p edpoklady:

a) Používáním didaktických her p i výuce dojde ke zvýšení zájmu student o probírané u ivo.

b) Výukou s využitím didaktických her se zvýší úsp šnost student v probíraném tématu funkce.

2 Teorie – funkce

V této obsáhlé teoretické kapitole se budeme snažit podívat na téma funkce ze t í pohled . Nejprve si shrneme matematická fakta o jednotlivých funkcích. Dále se podíváme na to, co z toho by m li studenti st edních škol um t dle Rámcového vzd lávacího programu pro st ední školy. A také pohlédneme na didaktickou stránku v ci, kde se budeme snažit nastínit, jak nejlépe student m téma podat.

Podle n kterých, je velkým problémem výuky matematiky na st edních školách její nelogické podání student m a že u itelé velmi asto p edkládají definice bez d kaz a odvozování (našt stí to ale neplatí pro všechny). Tak student m uniká hlubší význam matematických témat. Proto by se student m nem li p edkládat jen holá fakta, ale m li by znát i logické souvislosti (I. erný, 1995 [3]).

O za azení funkcí do školské matematiky na za átku 20. století se zasloužil n mecký matematik Felix Klein. Už on mluvil o funk ním myšlení jako o ose veškerého vyu ování matematiky na všech stupních škol. Proto je výklad funkce tak d ležitý a nem l by se podce ovat. Formování pojmu funkce je dlouhodobou záležitostí – za íná již na prvním stupni ZŠ (P. Kv to , 1990 [10]).

Není-li uvedeno jinak, jsou základní teoretické poznatky erpány z knihy Louská ek 1 od D. Bittnerové a G. Pla kové [1].

Didaktické zásady jsem hledala, mimo jiné, v knize Kapitoly z didaktiky matematiky III od P. Kv ton [10]. Tyto budou v textu ozna eny svislou arou vlevo od textu.

Klí ové kompetence, které by m li studenti st edních škol získat, budou v práci ozna eny ráme kem. Zde si tyto výstupy rozd líme do dvou kategorií:

Bez ozna ení to budou výstupy dle školního vzd lávacího programu. Využila jsem k tomu p ehledn zpracovaný ŠVP Gymnázia Dr. Randy v Jablonci nad Nisou.

CERMAT: Výstupy, které uvádí CERMAT ve své publikaci Katalog požadavk zkoušek spole né ásti maturitní zkoušky platný od školního roku 2009/2010, který byl schválen roku 2008 MŠMT [2].

2.1 Funkce v RVP G

V Rámcovém vzd lávacím programu pro gymnázia (2007, [15]) jsou vymezeny ve vzd lávací oblasti „Závislosti a funk ní vztahy“ tyto obecné ekávané výstupy:

Žák na rtne grafy požadovaných funkcí (zadaných jednoduchým funk ním p edpisem) a ur í jejich vlastnosti.

Žák formuluje a zd vod uje vlastnosti studovaných funkcí a posloupností.

Žák využívá poznatky o funkcích p i ešení rovnic a nerovnic, p i ur ování kvantitativních vztah .

Žák aplikuje vztahy mezi hodnotami exponenciálních, logaritmických a goniometrických funkcí a vztahy mezi t mito funkcemi.

Žák modeluje závislosti reálných d j pomocí známých funkcí.

Žák eší aplika ní úlohy s využitím poznatk o funkcích a posloupnostech

Žák interpretuje z funk ního hlediska složené úrokování, aplikuje exponenciální funkci a geometrickou posloupnost ve finan ní matematice.

Tato vzd lávací oblast se týká u iva:

Obecné poznatky o funkcích – pojem funkce, defini ní obor a obor hodnot, graf funkce, vlastnosti funkce

Funkce – lineární funkce, kvadratická funkce, funkce absolutní hodnota, lineární lomená funkce, mocninné funkce, funkce druhá odmocnina, exponenciální, logaritmické a goniometrické funkce, vztahy mezi goniometrickými funkcemi Posloupnost – ur ení a vlastnosti posloupností, aritmetická a geometrická posloupnost

I když do této oblasti pat í i téma posloupností, tato práce se bude zabývat pouze funkcemi.

2.2 Základní vlastnosti a pojmy

Myslím si, že je vhodné za adit všechny vlastnosti funkcí ihned na za átek tématu. Nap íklad v u ebnici Matematika pro gymnázia: Funkce (O. Odvárko, 2012 [12]) jsou n které vlastnosti probírány až pozd ji v rámci dalších kapitol. P ipadá mi to ale zbyte n rozházené a neucelené. Nap íklad téma omezené funkce bych neza azovala až do kapitoly o absolutní hodnot . Omezené funkce p eci mohou být i funkce lineární, tak pro to neprobírat už na za átku? Už jen proto, aby m li studenti v sešitech tyto vlastnosti na jednom míst a p ehledn .

My si tedy všechny vlastnosti funkcí probereme najednou.

Funkce, defini ní obor, obor hodnot

Funkcí f množiny A do množiny B nazýváme p edpis, který každému prvku x A p i adí práv jeden prvek f x množiny B.

Prvek f x se nazývá funk ní hodnotou v bod x. Množina A se nazývá defini ním oborem funkce f a zna í se D f .

Defini ní obor je množina všech reálných ísel, která m žeme dosadit do rovnice za neznámou (pozor na neznámou ve jmenovateli nebo pod odmocninou).

Zjiš ování defini ních obor je velmi vhodnou formou pro procvi ování ešení nerovnic.

Je-li f : A B , M A , nazývá se množina f M : f x ; x M obrazem množiny M p i zobrazení f.

Množina H f : f A se nazývá oborem funkce f.

Obor hodnot je množina všech reálných ísel, které vyjdou po dosazení za neznámou do rovnice funkce.

Vhodné je, ukázat student m, kde najdou defini ní obor a obor hodnot v grafu funkce (Obr. 1).

Žák zná definici funkce a zp soby zadání funkce.

Žák umí ur it defini ní obor a obor hodnot funkce.

CERMAT:

Žák dovede užít r zná zadání funkce a používat s porozum ním pojmy:

defini ní obor, obor hodnot, hodnota funkce v bod , graf funkce.

Se zp sobem zadání funkce (rovnicí, vý tem prvk , tabulkou, grafem, slovn ) je dobré studenty seznámit p ehledn na jednoduchém p íkladu.

Rovnost funkcí, rozší ení funkce

Funkce f , g si jsou sob rovnými (jsou stejné), pokud mají stejný defini ní obor A a x A: f x g x .

Nech M A ; f : A B. Funkci f M s defini ním oborem M , pro kterou platí: x M f M x : f x , nazveme restrikcí funkce f na množinu M. Je-li funkce g restrikcí funkce f , íkáme, že funkce f je rozší ením funkce g .

Na st edních školách se nedefinuje.

Prostá funkce

Funkce f : A B se nazývá prostou funkcí, když

x₁, x₂ A , x₁ x₂, f x₁ f x₂ .

ekneme, že funkce f : A B zobrazuje množinu A na množinu B , je-li f A B. Tato funkce f se pak nazývá vzájemn jednozna nou funkcí.

Žák pozná, kdy je funkce prostá.

S prostou funkcí lze studenty seznámit v rámci vysv tlování monotonie.

Graf funkce

Množina f : x , f x ; x A se nazývá grafem funkce f.

Studenti by si m li uv domit, co je grafem funkce a co nikoli (Obr. 2). Vhodné op t ukázat na p íkladech.

Žák umí sestrojit grafy p íslušných funkcí.

CERMAT:

Žák dovede sestrojit graf funkce y f x .

Žák dovede ur it pr se íky grafu funkce s osami soustavy sou adnic Žák dovede modelovat reálné závislosti pomocí elementárních funkcí.

Sou et, rozdíl, sou in a podíl funkcí

Nech f , g jsou funkce definované na množin A. Pak x Adefinujeme:

sou et: f g x : f x g x , rozdíl: f g x : f x g x , sou in: f g x : f x g x a podíl: f

g x : f x

g x , kde x A je g x 0.

Na st edních školách se nedefinuje.

Monotonie

Funkci f : A B na množin A , pokud x₁, x₂ A , x₁ x₂, nazýváme na této množin :

rostoucí, když f x₁ f x₂ (Obr. 3), neklesající, když f x₁ f x₂ (Obr. 4), klesající, když f x₁ f x₂ (Obr. 5) a nerostoucí, když f x₁ f x₂ (Obr. 6).

Žák pozná, kdy je funkce monotónní.

Obr. 4 Obr. 5 Obr. 6

Obr. 3

Studenti by si m li zapamatovat a uv domit, že je-li funkce rostoucí nebo klesající, pak je prostá, ale že naopak to neplatí.

V souvislosti by se také m lo zmínit o funkci konstantní.

Konstantní funkcí x D f , c R , D f R , H f c nazveme funkci f x c. Grafem této funkce je p ímka rovnob žná s osou x (Obr. 7).

Omezenost

Nech c R, pak ekneme, že funkce f : A B, x A je:

zdola omezená, když f x c , shora omezená, když f x c a omezená, když f x c.

Žák pozná, kdy je funkce omezená.

U zadávání p íklad na procvi ení také uvád t p ípady, kdy funkce omezená není.

Lokální extrémy

ekneme, že funkce f má v bod a maximum, práv když x D f je f x f a (Obr. 8).

ekneme, že funkce f má v bod b minimum, práv když x D f je f x f b (Obr. 9), (O. Odvárko, 2012 [12]).

Obr. 7

Sudost, lichost

Nech x A: x A. ekneme, že funkce f : A B, x A je:

sudá, když f x f x a lichá, když f x f x .

Op t je vhodné použít vhodné p íklady sudých a lichých funkcí a poukázat na to, že sudá funkce je osov soum rná podle osy y (Obr. 11) a lichá funkce je st edov soum rná podle po átku (Obr. 10).

Žák pozná sudou, lichou funkci.

Periodická funkce

Nech x A je p x A , p R 0 . ekneme, že funkce f : A B je periodická, když x A je f x f x p . íslo p nazveme periodou funkce f (Obr. 12).

Vhodné zavést d íve, než až u funkcí goniometrických.

Žák pozná, kdy je funkce periodická.

Obr. 11 Obr. 10

Složená funkce

Nech g : A B , f : B C. Složenou funkcí (kompozicí, superpozicí) nazveme funkci h , pro kterou x A je h x : f g x . (Ozna ení: f g )

Vlastnosti:

Pro každou funkci f : A B platí f f Id_A Id_B f.

Operace skládání funkcí je asociativní.

O složených funkcí se na st edních školách nemluví. Probírají se skryt v jednotlivých kapitolách (lineární funkce, absolutní hodnota, kvadratická funkce, ...).

Inverzní funkce

Funkce f ₁: B A se nazývá funkcí inverzní k funkci f : A B , když f ₁ f Id_A, f f ₁ Id_B.

Vlastnosti:

Pokud existuje f ₁, tak platí f _{1 1} f.

Existuje-li k funkcí f funkce f ₁, je tato funkce jediná.

Navzájem inverzní funkce mají navzájem zam n né obory a jejich grafy jsou symetrické podle osy y x.

V ta (existence):

Inverzní funkce f ₁ k funkci f : A B existuje práv tehdy, když funkce f je prostá a zobrazuje množinu A na množinu B.

V ta (existence a jednozna nost):

Nech f : A B je ryze monotónní funkce na A , která zobrazuje A na B.

Pak k funkci f existuje práv jedna inverzní funkce f ₁: B A. Je-li pak f rostoucí (klesající), je i f ₁ rostoucí (klesající).

Žák pozná a umí ur it inverzní funkci.

Obvykle se probírá až v rámci mocninných funkcí p ed zavedením exponenciální a logaritmické funkce.

Toto téma bývá pro studenty obtížné.

Nacházet inverzní funkce k daným funkcím by se studenti m li nau it nejd íve na jednoduchých p íkladech (lineární funkce).

2.3 Lineární funkce

Lineární funkcí nazveme funkci f x ax b , kde a , b R , a 0, D f R , H f R. Grafem této funkce je p ímka.

Když a 0, tak se funkce f nazývá konstantní (viz kapitola 2.2).

Pro íslo a v lineární funkci f x ax b platí a f x₂ f x₁

x₂ x₁ , kde x₁, x₂ jsou libovoln zvolená, vzájemn r zná reálná ísla (O. Odvárko, 2012 [12]).

Žák umí sestrojit graf lineární funkce.

CERMAT:

Žák dovede užít pojem a vlastnosti p ímé úm rnosti, sestrojit její graf.

Žák dovede ur it lineární funkci, sestrojit její graf.

Žák dovede objasnit geometrický význam parametr a , b v p edpisu funkce y ax b.

Žák dovede ur it p edpis lineární funkce z daných bod nebo grafu funkce.

Žák dovede ešit reálné problémy pomocí lineární funkce.

Už na základní škole se studenti seznámili se základy lineárních funkcí. Musí se to s nimi zopakovat a navázat novou, rozši ující látkou.

D ležité je, aby si studenti uv domili, co se d je s grafem funkce, když b 0, a je záporné, kdy a kam se posouvá graf p i b 0 (Obr. 13). Nedoporu uji ale p itom kreslit do jedné soustavy sou adnic více jak ty i grafy.

Studenti by si m li uv domit, že rovnice osy x je y 0

a rovnice osy y je x 0. ^{Obr. 13}

Lineární funkce se poté použijí p i grafickém ešení lineárních rovnic, nerovnic a jejich soustav.

2.4 Funkce absolutní hodnota

Absolutní hodnota reálného ísla a je íslo a , pro které platí:

je-li a 0, je a a , je-li a 0, je a a.

Funkce y x se tedy nazývá funkcí absolutní hodnotou, kde D f R ,

H f 0 ; ).

Grafem lineární funkce s absolutní hodnotou je lomená ára (Obr. 14).

Op t na mnoha p íkladech ukázat pravidla pro vykreslení graf . Poukázat na to, že graf absolutní hodnoty nem že být „pod“ osou x , že funkce je zdola omezená a není prostá.

Po žácích bychom m li chtít, aby zvládli vykreslit grafy i ostatních funkcí v absolutní hodnot .

Žák umí sestrojit graf lineární funkce s absolutní hodnotou.

2.5 Kvadratická funkce

Kvadratickou funkcí nazveme funkci f x ax² bx c , kde a , b , c R , a 0 a D f R.

Grafem funkce je parabola a H f je polouzav ený interval, který záleží na poloze vrcholu paraboly a na znaménku koeficientu a.

Obr. 14

Dopln ním na úplný tverec y ax² bx c ... a x b 2a

2

c b²

4a ^získáme vrcholový tvar kvadratické funkce y a x m ² n , kde vrchol V m ; n má

sou adnice: m b

2a , n c b² 4a .

Studenti by m li um t ur it obor funk ních hodnot, kdy je funkce rostoucí a kdy klesající, zda je omezená shora i zdola, a zda má maximum i minimum.

M li by se dozv d t, že je-li a 0, pak je parabola otev ená nahoru a naopak p i a 0 rozev ená dol .

Op t by m li na p íkladech vid t, co s grafem ud lá zm na koeficient a , b , c (Obr. 15, 16)

Dále se eší rovnice a nerovnice v kvadratickém tvaru.

Žák umí sestrojit graf kvadratické funkce.

CERMAT:

Žák dovede ur it kvadratickou funkci, stanovit defini ní obor a obor hodnot, sestrojit graf kvadratické funkce.

Žák dovede vysv tlit význam parametr v p edpisu kvadratické funkce, ur it intervaly monotonie a bod, v n mž nabývá funkce extrému.

Žák dovede ešit reálné problémy pomocí kvadratické funkce.

Obr. 15 Obr. 16

2.6 Lineární lomená funkce

Na úvod tohoto tématu se zopakují a rozší í poznatky o nep ímé úm rnosti, které by m li mít studenti již ze základní školy.

Nep ímá úm rnost je každá funkce na množin R 0 daná ve tvaru y k x , kde k R , k 0 (Obr. 17). Grafem je k ivka, která se nazývá rovnoosá hyperbola a má st ed v po átku, tj. S 0 ; 0 (O. Odvárko, 2012 [12]).

CERMAT:

Žák dovede užít pojem a vlastnosti nep ímé úm rnosti, na rtnout její graf.

Žák dovede ešit reálné problémy pomocí nep ímé úm rnosti.

Lineární lomená funkce je funkce ve tvaru y ax b

cx d , kde x d

c , c 0 a a , b , c , d R.

Každou lineárn lomenou funkci lze p evést na st edový tvar y k

x m n, kde x m , S m ; n . S je poté st ed hyperboly.

Vysv tlit student m, co to je asymptota (p ímka, ke které se blíží v tve hyperboly). A že st ed hyperboly se také nazývá st ed asymptot. Pro zjišt ní

st edu asymptot se spíše používá vzorec S d c ;a

c . Je zbyte né studenty zat žovat st edovým tvarem funkce.

studenti si musí uv domit, co se stane s lineárn lomenou funkcí, když c 0 (lineární funkce), ad bc 0 (konstantní funkce).

Obr. 17

Dále by op t m li mít p ehled o tom, co se stane s grafem funkce p i zm n jednotlivých koeficient (Obr. 18).

Žák umí sestrojit graf lineární lomené funkce.

2.7 Mocninné funkce

Na za átku kapitoly p ipomenout základní v ty pro po ítání s mocninami.

Mocninná funkce s p irozeným exponentem

Mocninnou funkcí s p irozeným exponentem nazveme funkci f x xⁿ, kde

n N , D f R.

Pro sudé n je funkce sudá, tzn. graf je symetrický podle osy y. Pro liché n je funkce lichá, tzn. graf je symetrický podle po átku. Graf funkce navíc prochází body

0 ; 0 , 1 ; 1 (Obr. 19).

Obr. 19

Do jednoho obrázku je op t vhodné zakreslit více graf funkcí x¹, x³, x⁵ , aby si studenti uv domili, jak vypadá k ivka v závislosti na velikosti n.

Mocninná funkce s celým záporným exponentem

Mocninnou funkcí s celým záporným exponentem nazveme funkci f x x ⁿ, kde n N , D f R 0.

Op t platí, že je-li n sudé, je i funkce sudá a naopak, je-li liché, je funkce lichá.

Graf prochází bodem 1 ;1 a má dv asymptoty (p ímky, ke kterým se graf funkce blíží).

Dále se zavádí na SŠ pojem odmocnina a pravidla pro po ítání s odmocninami.

P ed zavedením tohoto pojmu by studenti m li v d t, co to je inverzní funkce.

Odmocniny se pak zavád jí jako inverzní funkce k mocninným funkcím.

Mocninná funkce s racionálním exponentem

Mocninnou funkcí s racionálním exponentem nazveme funkci f x x^p

1 q=

=^qx^p, kde p Z , q N.

Na st edních školách se používá pro zavedení odmocnin, zavedení jako funkcí inverzní k funkcím mocninným. Z graf na obrázcích 22 a 23 je vid t, že jsou funkce skute n osov soum rné podle y x. Pozor ale na to, že funkce, aby m la funkci inverzní, musí být prostá.

Obr. 21 Obr. 20

Žák umí sestrojit graf iracionální funkce.

2.8 Exponenciální a logaritmické funkce

Na st ední škole se nejprve zavád jí obecné exponenciální a logaritmické funkce o základech a. Až poté, na konci kapitoly, je zmínka o p irozeném logaritmu a Eulerov ísle. Proto si to zavedeme stejn .

Exponenciální funkce o základu a

Exponenciální funkcí o základu a nazveme funkci f x a^x, kde a 0, a 1,

D f R , H f 0 ; .

Grafem je k ivka, která se nazývá exponenciála. Pro a 1 je tato k ivka rostoucí a pro 0 a 1 klesající (Obr. 24). Na celém svém defini ním oboru je tato funkce prostá.

Žák umí sestrojit graf exponenciální funkce.

CERMAT:

Žák dovede ur it exponenciální funkci, stanovit její defini ní obor a obor hodnot, sestrojit její graf.

Žák dovede vysv tlit význam základu a v p edpisu exponenciální funkce.

Dále se se studenty probírají exponenciální rovnice a nerovnice p i platnosti vztahu a^x a^y, pak x y. ešit exponenciální rovnice by m li studenti um t i graficky pomocí vy tení z grafu funkce. Proto by op t m li um t, co se stane s grafem funkce p i rozdílném základu a (Obr. 25,26)

Žák umí ešit exponenciální rovnice a nerovnice.

Logaritmická funkce o základu a

Logaritmická funkce o základu a se zavádí jako inverzní funkce k funkci exponenciální, proto je dobré student m vykreslit oba dva grafy t chto funkcí do jedné soustavy sou adnic.

Logaritmickou funkcí o základu a nazveme funkci f x log_ax : a^x ₁, kde

a 0, a 1, D f 0 ; , H f R.

Pro graf logaritmické funkce op t platí, je-li a 1 je tato k ivka rostoucí a pro 0 a 1 klesající (Obr. 27).

Žák umí sestrojit graf logaritmické funkce.

CERMAT:

Žák dovede ur it logaritmickou funkci, stanovit její defini ní obor a obor hodnot, sestrojit její graf.

Žák dovede vysv tlit význam základu a v p edpisu exponenciální funkce.

Obr. 24 Obr. 25 Obr. 26

Obr. 27 Obr. 28 Obr. 29

„Logaritmus daného ísla je exponent, na který musíme umocnit základ, abychom dostali logaritmické íslo.“ S tímto mají studenti velký problém a nepamatují si, co mají umocnit na co. Když si budou pamatovat tuto v tu o definici logaritmu, mohlo by jim to pomoci.

Dalším u ivem jsou pravidla pro po ítání s logaritmy, které pak student m pom žou p i ešení logaritmických rovnic a nerovnic:

V ty o logaritmech: r , s 0 ;a 0, a 0 platí:

log_a r s log_ar log_as log_a r

s log_ar log_as log_a r^s s log_ar

log_a ^sr log_ar

1

s 1

s log_ar log_ar log_as r s

Žák zná definici logaritmu a v ty o logaritmech.

Žák umí ešit logaritmické rovnice a nerovnice.

CERMAT:

Žák dovede užít logaritmu a jeho vlastností, ešit jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice.

Žák dovede vysv tlit význam základu a v p edpisu logaritmické funkce.

Žák dovede použít poznatky o funkcích v jednoduchých praktických úlohách.

P irozený logaritmus a íslo e

P irozený logaritmus se na st edních školách zavádí jako speciální p ípad logaritmické funkce: Je to funkce f x log_ex , kde e je tzv. Eulerovo íslo

e = 2,718281828 , e lim

n

1 1 n

n

.

Limitou studenty ale nezat žujeme, sta í jim v d t jeho p ibližná hodnota.

Funkce se zapisuje jako f x ln x a k ní inverzní je funkce f x e^x. Obr. 30

V ta (p irozený logaritmus):

Existuje práv jedna funkce f s následujícími vlastnostmi:

D f R⁺, H f R.

Funkce f je rostoucí v R⁺.

f x₁x₂ f x₁ f x₂ x₁, x₂ R⁺.

f x x 1 x R⁺.

V ta (další vlastnosti p irozeného logaritmu):

Funkce f x ln x má tyto další vlastnosti:

ln 1 0.

ln x 0 v 0 ; 1 , ln x 0 v 1 ; . ln x^a a ln x x R⁺, a Q.

ln 1

x ln x x R⁺.

V ta (existence e^x ):

Existuje práv jedna funkce f x e^x, která má následující vlastnosti:

D f R , H f R⁺. Funkce f je rostoucí v R.

e^{x1 x2} e^x1 e^x2 x₁, x₂ R.

e^x x 1 x R.

e⁰ 1.

x R^-je e^x 0 ; 1 , x R⁺je e^x 1 ; .

e ^x 1

e^x x R.

Funkce e^x a ln x jsou prosté na celém defini ním oboru, jsou navzájem inverzní (grafy symetrické podle osy y x) a mají zam n né obory (Obr. 30).

2.9 Goniometrické funkce

P ed zavedením jednotlivých goniometrických funkcí je nutné student m p ipomenout goniometrické funkce ostrého úhlu, velikosti úhlu v mí e stup ové a obloukové a vlastnosti orientovaného úhlu. Jen s t mito znalostmi budou schopni pochopit goniometrické funkce.

Žák umí ur it velikost orientovaného úhlu ve stup ové i obloukové mí e.

CERMAT:

Žák dovede užívat pojm úhel, stup ová míra, oblouková míra.

Žák dovede definovat goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku.

Sinus a kosinus

V ta (existence sin x , cos x ):

Existuje práv jedna dvojice funkcí ozna ených sin x a cos x , x R a práv jedno íslo R⁺ tak, že platí:

sin x₁ x₂ sin x₁cos x₂ cos x₁sin x₂ x₁, x₂ R.

cos x₁ x₂ cos x₁cos x₂ sin x₁sin x₂ x₁, x₂ R.

sin x sin x , cos x cos x x₁, x₂ R.

sin x je na intervalu 0 ;

2 ^rostoucí;

sin 0 0, sin

2 1 ; cos x sin x

x

1 cos x ;

3,1415926 ; 3,1415927 .

Na st edních školách se zavád jí goniometrické funkce geometricky pomocí jednotkové kružnice a orientovaného úhlu.

Funkce f sin je poté definovaná jako druhá sou adnice pr se íku ramene úhlu s jednotkovou kružnicí. Funkce f cos jako první sou adnice pr se íku ramene úhlu s jednotkovou kružnicí (Obr. 31).

Následovn m žeme sestrojit se studenty oba dva grafy funkcí:

Defini ním oborem obou funkcí je množina všech reálných ísel, oborem hodnot interval 1 ; 1 . Funkce sin x je funkce lichá, cos x sudá a ob dv jsou periodické s periodou 2 .

Studenty vedeme k tomu, aby si vlastnosti funkcí (monotonie, omezenost, ...) zavedly v sešit p ehledn , nejlépe do tabulky.

Op t by m li studenti znát funkce, které vzniknou pozm n ním funkcí sin x i cos x. Pro p edstavu uvádím jen n které varianty graf funkcí vzniklých z funkce sin x (Obr. 33, 34).

Tangens a kotangens

Funkce tan x je definovaná vztahem tan x sin x cos x , x

2 k , k Z , funkce cot x vztahem cot x cos x

sin x , x k , k Z. Tyto funkce jsou periodické s periodou .

Student m je p edstavu o t chto funkcích op t vhodné p iblížit geometrickým zavedením pomocí jednotkové kružnice.

Funkce tan x takto odpovídá druhé sou adnici pr se íku ramene úhlu a te ny ke kružnici v bod 1 ;0 . Funkce cot x první sou adnici pr se íku ramene úhlu a te ny ke kružnici v bod 0 ; 1 .

Tedy takto op t studenti sami p ijdou na grafy obou funkcí:

Obr. 34 Obr. 33

Vlastnosti funkcí tan x a cot x op t zavedeme do tabulky jako u p edchozích funkcí.

Dalším u ivem na st edních školách navazující na tuto látku jsou goniometrické rovnice a následná trigonometrie.

Žák zná definice goniometrických funkcí obecného úhlu a vztahy mezi t mito funkcemi.

Žák umí sestrojit grafy goniometrických funkcí.

Žák eší základní typy goniometrických rovnic.

CERMAT:

Žák dovede definovat goniometrické funkce v intervalu 0 ; 2 , resp.

2 ; 2 i 0 ; , u každé z nich ur it defini ní obor a obor hodnot, sestrojit graf.

Žák dovede užít vlastností goniometrických funkcí, ur it intervaly monotonie, p ípadn body, v nichž nabývá funkce extrému.

2.10 Další funkce

Nejsou náplní u iva na st edních školách.

Cyklometrické funkce

Arkussinus

Funkce sin x je na intervalu

2 ;

2 rostoucí a nabývá všech hodnot z intervalu 1 ;1 práv jednou. Tato funkce je tedy prostá a existuje k ní inverzní funkce, která se nazývá arkussinus a zna íme ji arcsin x (Obr. 37).

Tato funkce je lichá, D f 1 ;1 , H f 2 ; 2 . Arkuskosinus

Funkce cos x je na intervalu 0 ; klesající a op t nabývá všech hodnot z intervalu 1 ;1 práv jednou. Tato funkce je prostá a existuje k ní tedy inverzní funkce, která se nazývá arkuskosinus a zna íme ji arccos x (Obr. 38).

D f 1 ;1 , H f 0 ; .

Obr. 37 Obr. 38

Arkustangens

Funkce tan x je rostoucí a prostá na intervalu

2 ;

2 , proto se p i definování její inverzní funkce, kterou nazýváme arkustangens arctan x , musíme omezit práv na tento interval (Obr. 39).

Defini ním oborem této funkce je celá množina reálných ísel, oborem hodnot interval

2 ; 2 . Arkuskotangens

Funkce cot x je rostoucí a prostá na intervalu 0 ; , ten zobrazuje na množinu R. Existuje k ní potom funkce inverzní, kterou nazýváme arkuskotangens a zna íme ji arccot x (Obr. 40).

Defini ním oborem této funkce je op t celá množina reálných ísel, oborem hodnot interval 0 ; .

Signum

Funkci signum definujeme jako sgn x :

1 : x 0

0 : x 0

1 : x 0

.

sgn : R 1 ; 0 ; 1 (Obr. 41). Funkci singum se také íká znaménková funkce.

V ta: Pro každé reálné íslo x platí x x sgn x.

Obr. 39

Celá ást

Funkci celá ást definujeme jako nejv tší celé íslo x , pro které platí, že n x , x R.

3 Teorie – didaktické hry

Ráda bych tuto kapitolu za ala citátem, který krásn vystihuje místo hry ve výuce matematiky:

„P edm t matematiky je natolik vážný, že nelze vypustit žádnou p íležitost, jak jej u init trochu zajímav jší.“ (Pascal)

Pro studenty st edních škol ob as bývá matematika nudnou záležitostí. Podle m a mých zkušeností, se jim v tšinou u itelé snaží nahrnout do hlavy spousty informací, které si studenti nedokáží spojit a unikají jim souvislosti. Pro se tohle musíme u it?

Na co nám to bude? Otázky, se kterými se setkáme nejen na st edních školách. Pro to tedy student m neud lat trochu zajímav jší a neoko enit hodinu matematiky sem tam n jakou tématickou hrou? V dnešní dob existuje již mnoho materiál , ze kterých m žeme erpat nám ty na hry. Studenti budou jist rádi, že u itel matematiky p inese do svých hodin zajímavou hru, protože v každém v ku je lov k sout živý a chce si hrát.

Nyn jší koncepce rámcových vzd lávacích program klade d raz na rozvoj samostatného myšlení student , tvo ivost, kreativitu, komunikaci, na samostatné vyhledávání informací. Od frontální výuky se ustupuje a nahrazují ji jiné, netradi ní postupy. Jedním z nich je práv didaktická hra (L. Sochorová, 2011 [17]).

Hra má velmi významné místo v celém život jedince. Jakákoli hra stimuluje tvo ivost, tv r í zp sob myšlení, rozvíjí dovednosti a schopnosti, zdokonaluje pam , vychovává, socializuje a p ispívá k hlubšímu sebepoznání. Didaktická hra ješt k tomu vzd lává a je velmi cenným motiva ním faktorem ve výuce. M la by vyvolat radost, zájem o podobné aktivity, nadšení z práce a i hlubší zájem o samotnou matematiku. Didaktickou hru ale nelze tak snadno za lenit do výuky. Je t eba velké nadšení (jak u itele, tak student ), fantazie a spontánnost (E. Krej ová, 2001 [9]).

Už J. A. Komenský využíval hru k ú el m vzd lávacím a výchovným. Za azení didaktické hry do výuky se doporu uje hlavn p i výchov a vzd lávání d tí v p edškolním (nap . Opravilová) a v mladším školním v ku. Já jsem ale takového

názoru, že za azení didaktických her je vhodné i u d tí staršího v ku. Každý jedinec pot ebuje stále motivovat a hra je velmi vhodným nástrojem k motivaci.

H e by se tedy ve vyu ovacích hodinách m l dát prostor, protože je nejen významným výchovným prost edkem, ale vychází z vnit ní motivace, kterou u student touto formou podporujeme a rozvíjíme.

3.1 Klasifikace her

Jelikož je herní innost lov ka velmi rozmanitá, existuje mnoho d lení her podle r zných determinant a podle r zných autor . Uvedeme si zde jen n která d lení.

Typy her

D. Fontana (1995, s. 52–53 [4]) t ídí hry podle jejich obsahu na hry funk ní, fiktivní, receptivní a konstruktivní. Také dává, že p i hrách d ti postupují následujícími stadii.

První rok života p evažuje senzomotorická hra, kdy dít manipuluje s p edm ty a zkoumá je.

Po átkem druhého roku se objevuje první p edstíravá hra.

Dále se dít orientuje k objekt m a hraje si k hra kám a k druhým lidem.

Ve v ku 2–3 let dít užívá p edm ty k p edstavení n eho jiného – náhražková p edstíravá hra.

Sociodramatická hra, kdy dít p edstírá, že je n kdo jiný, se objevuje ve v ku 5 let.

Od 6 let ukládá dít role druhým a v dom plánuje herní innosti – uv dom ní rolí.

Až od 7–8 let se objevují hry s pravidly.

E. Opravilová uvádí ve své publikaci (2004, s. 11–13 [13]) toto d lení her podle:

schopností, které rozvíjejí (smyslové, pohybové, intelektuální a speciální), typ inností (napodobovací, dramatizující, konstruktivní a fiktivní), místa (exteriérové, interiérové),

po tu hrá (individuální, párové a skupinové), v ku a podle pohlaví.

Druhy her

V. Sochorová ve svém lánku (2011 [17]) uvádí t íd ní her, p i kterém vycházela z publikací autorek Bart škové a již zmi ované Opravilové.

Hry funk ní spo ívají v procvi ování jednotlivých orgán vlastního t la dít te a jeho senzomotorických funkcí.

Hry manipula ní p edstavují zacházení s p edm ty – uchopování, atd.

Napodobivé hry imitují innosti, které dít odpozorovalo od druhých lidí.

V úlohových hrách dít imituje už celý soubor inností.

Modelování, navlékání, kreslení, atd. – dít d lá nový výtvor pat í do sekce konstruktivních her.

K pohybovým a hudebn -pohybovým hrám musí dít zvládat složité motorické dovednosti.

Prohlížení, sledování, naslouchání, atd. pat í mezi receptivní hry.

P esn stanovenými pravidly jsou ízeny skupinové hry s pravidly. Vedou dít , mimo jiné, ke kázni a sebekontrole.

Zám rn vytvá eny k rozvoji v domostí, poznávacích proces a duševní schopnosti dít te jsou didaktické hry.

Druhy didaktických her

Uvedeme si zde d lení, které uvád jí M. Kožuchová a E. Kor áková (1998, [8]).

! Podle cíle didaktické hry a jejího využití je d líme na:

motiva ní,

k získání nových znalostí a zkušeností, k upev ování získaných znalostí.

! Podle obsahu didaktické hry je d líme na hry, které rozvíjejí:

jazykové schopnosti,

logicko-matematické schopnosti, v decké poznání,

pohybové dovednosti,

esteticko-hudební schopnosti, organiza n - ídící schopnosti.

! Podle p sobení didaktických her je m žeme rozd lit na ty, které rozvíjejí:

smysly (senzorické hry), pam ,

myšlení,

komunikaci, tvo ivost, kooperaci.

Toto d lení není ale striktní, obvykle didaktická hra rozvíjí více t chto stránek lidské osobnosti.

3.2 Didaktická hra jako vyu ovací prost edek

Funkce didaktické hry

! Již n kolikrát zmi ovaná motiva ní funkce hry ve vyu ovacích hodinách m že zp sobit, i u zatvrzelých odp rc matematiky, zájem o ni. Nejd íve bude ale p evažovat motivace vn jší (radost z výhry, ú asti ve h e, že byl rychlejší než soupe ). Nikoli vnit ní motivace (chce sám nalézat matematické zákonitosti, baví ho matematická innost). M li bychom usilovat o to, aby postupem asu p evažovala motivace vnit ní. U všech student se nám to obvykle ale nepovede.

Z tohoto hlediska musíme také minimalizovat negativn p sobící motiva ní initele – nudu a strach. Nud p edejdeme tím, že p i aktivit budou pracovat všichni studenti. Hra m že pomoci p i subjektivním pocitu student o neužite nosti daného matematického celku.

! Cílem didaktické hry by m lo být získávání zkušeností, v domostí, dovedností a jejich upev ování. Proto mluvíme o instrumentální funkci.

! Diagnostická funkce slouží jak u iteli, tak i studentovi samotnému ke zjišt ní dosažené úrovn ovládání nau ených poznatk .

! Existenciální funkce p sobí na rozvoj každého jedince. P i h e se rozvíjí osobnost, tvo ivost, kooperace mezi jedinci, atd (A. Vávrová a kol., 2006 [18]).

Vliv didaktické hry na studenta

! Sociální dovednosti – komunikace a kooperace v týmu, schopnost obhájit sv j názor, vyslechnout názor druhého. Rozvoj sebed v ry, sebev domí, d v ry ve spoluhrá e.

! Zvýšení motivace p i matematice, zvýšení zájmu o matematiku.

! Rozší ení zkušenostního obzoru jedince, dotvá ení matematických pojm .

! Zp esn ní studentových v domostí, rozvoj dovedností.

! Rozvoj tvo ivého zp sobu myšlení, samostatného objevování, kreativity.

! Rozvoj emocionality studenta, protože hlavn sout živá hra bývá pro studenty velmi emotivním a citovým zážitkem.

Zásady použití didaktických her v hodinách matematiky

! Hra nesmí být pro studenty nudná. M la by být poutavá a zajímavá, jinak ztrácí smysl.

! Respektovat v kové zvláštnosti a individuální schopnosti, nadání žák .

! Nastavit pro hru jasná a srozumitelná pravidla a po celou dobu je neporušovat, ani nem nit. Za porušení pravidel by m ly být ud leny tresty (odebrání bod , ...).

! Hru zajistit jak z organiza ní, tak z materiální stránky ( tvrtky, projektor, ...).

! Není t eba vymýšlet na každou hodinu jinou hru, studenti si n jakou hru mohou oblíbit a po ádn pochopit až po n kolikátém opakování.

! Promyslet cíl didaktické hry, nem la by být do hodiny vložena náhodn , nap íklad kv li ukrácení volného asu.

! Podporovat kooperaci p i práci ve skupinách, aby každý student ve skupin n co d lal a byl pro skupinu užite ný.

! Zásada úsp šnosti: vkládat takové hry, ve kterých mohou usp t i ti slabší

(o výh e rozhoduje náhoda – nap . matematické bingo).

! Didaktická hra by m la zam stnat co nejvíce smysl (E. Krej ová, 2011 [9]).

Za azení hry v hodin :

! Jako „rozcvi ka“ na za átku hodiny. Taková hra by m ly být krátká (5 minut), jasná, jednoduchá a m la by procvi ovat již nau ené znalosti.

! Pro vysv tlení nové látky. Osv d ené je, do každé skupiny dát schopného studenta, který látku pochopil. On ji vysv tlí ostatním ve skupin . U itel už jen chodí po t íd a koriguje toto interpretování nové látky.

! Pro procvi ení probrané látky do hlavní ásti hodiny, nebo nakonec. Vhodný je sout živý charakter hry a maximální délka od 15 minut. P i použití hry na konci hodiny si hlídat as, abychom ji mohli p ed zazvon ním ádn ukon it, vyhlásit vít ze a shrnout hodinu.

! V rámci celé hodiny. Opakování probrané látky sout živým charakterem.

U itel a jeho práce s didaktickou hrou

Realizace didaktické hry ve výuce je zna n náro ná hlavn pro u itele, protože vyžaduje funk ní promyšlení obsahové i organiza ní nápln , materiální zajišt ní, výb r skupin i postupnou p ípravu student . U itel musí um t správn vybrat hru pro vhodný okamžik, aby tato aktivita neztratila na významu (Z. Kalhous, 2002 [6]).

U itel by m l respektovat tyto pravidla:

! Promyslet si, kdy a zda v bec hru do výuky za adit.

! Dob e hru organiza n a materiáln zabezpe it, stanovit jasná pravidla. Na t chto pravidlech trvat po celou dobu trvání hry.

! U itel by m l být se hrou maximáln seznámen. M l by si ji p ed zadání student m sám n kolikrát zahrát.

! Po celou dobu trvání hry kontrolovat dodržování pravidel, p ípadné podvád ní trestat.

! Hlídat as, aby každá hra byla na konci ádn ukon ena, shrnuta.

(jednotlivci) využili.

! U itel motivuje ke h e, m l by jí být sám nadšen. Sám si m že se studenty hru zahrát, protože osobní ú ast u itele ve h e zvyšuje samotnou atraktivitu hry.

! Tolerovat a respektovat vývoj hry, tzn. respektovat samostatnost student .

! Um t vystihnout, kdy ho d ní hry vstoupit a kdy nikoli.

! Odm ovat studenty.

Doporu uji, aby si u itel, který chce s didaktickými hrami pracovat, vytvo il svou vlastní kartotéku didaktických her, které vyzkoušel a dob e se mu s nimi pracovalo.

Každý si je m že rozt ídit podle toho, jak uzná za vhodné podle ur itých hledisek.

3.3 Rozvoj tvo ivého myšlení

P edpoklady žáka pro tvo ivé myšlení jde jist posilovat a rozvíjet. lov k se p i ešení neopírá o existující postupy, ale navrhuje vlastní, neoby ejné nápady. Proto se v koncepci tvo ivého vyu ování zam ujeme na rozvoj tvo ivého potenciálu žák (L. Sochorová, 2011 [17]).

Tvo ivost m že u itel rozvíjet u student hlavn pomocí obsahu u iva jednotlivých p edm t . Existují tedy r zné metody tvo ivého vyu ování (I. Lokšová, J. Lokša, 2003 [11]):

výzkumná metoda, metoda ízeného objevování,

metody zm ny úloh netvo ivého charakteru na úlohy divergentního typu, metody volby diferencovaných úloh,

inspirativní metody – tení životopis v dc , um lc atd., demonstrativní a laboratorní metody (pokusy ve škole),

heuristické metody – metoda heuristického rozhovoru, brainstorming a jeho varianty,

aktivizující metody – situa ní metoda, inscena ní metoda, simula ní metoda, dramatizace aj.,

relaxa n -aktiva ní metody

problémové metody – problémový výklad, metody ešení problémových

úloh, dialogické problémové metody – tvo ivé dílny, tvo ivé seminá e, didaktické hry.

Už jsme si uvedli, že tvo ivé myšlení m žeme p i matematice rozvíjet pomocí didaktické hry. Kreativní myšlení je úpln nejvyšší metou, kterou u student p i výuce matematiky chceme dosáhnout. Proto je zde další možnost, jak toto kreativní matematické myšlení u student rozvíjet, a to ešením zajímavých matematických problém . Tuto problematikou se zabývá Prof. RNDr. Jan Kopka, Csc. hlavn ve své publikaci Um ní ešit matematické problémy (2013 [7]).

Problémy v matematice m žeme podle vstupních dat rozd lit na t i skupiny:

Rutinní problémy (cvi ení) jsou nejjednoduššími úlohami v matematice. Je nám známá výchozí situace, koncová situace i cesta k ní

Nerutinní problémy (úlohy) by m ly být ve školní matematice nejrozší en jší. Zde je nám známa výchozí i koncová situace, ale neznáme cestu ešení.

Zkoumání je nejvyšší stupe matematického problému, kdy známe jen výchozí situaci.

Problémy v matematice p sobí na motivaci student , objas ování nových myšlenek, procvi ování, rekreaci, ospravedln ní výuky matematiky a slouží i k ov ování znalostí. Pro to, aby výuka plnila všechny tyto funkce, musíme studenty vést k rozvoji schopností tyto problémy ešit.

O jednotlivých strategií ešení matematických problém se m žete do íst ve výše zmi ované knize J. Kopky (2013 [7]).

4 Praxe – soubor didaktických her a aktivit

Tuto kapitolu si rozd líme na dv ásti:

! Matematické aktivity, které se dají použít na kterékoli u ivo na st edních školách a i ve vyšších ro nících základních škol. Nejsou vytvo ené konkrétn pro funkce, ale mohou být zajímavým zpest ením jakékoli hodiny matematiky.

! Hry, které jsem situovala p ímo do tématu funkce se mohou rovnou použít p i výuce na školách st edních.

4.1 Zajímavé aktivity p i hodin matematiky

Matematika – a se to student m nemusí tak zdát – je velmi tvo ivý obor. I oni v ní mohou nacházet nové myšlenky, formule a pravidla. Jen je k tomu musíme p i hodinách vést. Nejlepším zp sobem je ešit s nimi zajímavé matematické problémy. Na toto téma napsal Prof. RNDr. Jan Kopka, CSc. knihu s názvem Um ní ešit matematické problémy (2013 [7]).

Vybrala jsem z této knihy pár problém pro ilustraci, které lze použít b hem probírání funkcí pro zpest ení hodin na st edních školách. Jinak Vás odkazuji na výše zmi ovanou publikaci.

Dále budou uvedeny jiné aktivity, erpané p edevším z knihy Didaktické hry v matematice (E. Krej ová, 2001 [9]) a z vlastní praxe a zkušeností.

Problém . 1: Pythagorejské trojice

Zadání: Víme, že trojice p irozených ísel 3, 4, 5 je pythagorejská, tzn., že platí: 3² 4² 5². Nalezn te více takových trojic.

ešení:

1. Hledáme všechna ešení rovnice x² y² z²; x , y , z N.

2. Použijeme rovnost a 1 ² a² 2a 1 . Musíme tedy nalézt taková a N ,, že ísla 2a 1 budou tvercová. Tzn. 2a 1 p², p N.

3. Po dosazení a p² 1

2 do p vodní rovnice dostaneme vztah

p² 1 ² p² 1 ² 2p ². Volbou parametru p pak získáme nekone n mnoho pythagorejských trojic x , y , z , pokud x 2p , y p² 1,

z p² 1.

Nechte d ti pracovat nejd íve samotné, p ípadn potom postupn napovídejte. Po p ti minutách samostatného p emýšlení nad problémem, bude t eba se studenty spole n dojít až do bodu . 2. Od bodu . 3 už student m ned lá velké potíže úlohu vy ešit.

Problém . 2: Hra NIM

Zadání: Dva hrá i A a B hrají hru zvanou NIM. Každý hrá má dostate né množství zápalek. St ídav pokládají na st l jednu, dv nebo t i zápalky. Vyhrává ten, který doplní svými zápalkami po et na 24. Existuje vít zná strategie pro n kterého z hrá ?

ešení: cesta zp t

1. Jestliže je na hromádce 21, 22 nebo 23 zápalek, vyhrává hrá , který je na ad . Když je jich tam 20, vyhrává protihrá .

2. Tzn., že budu hrát tak, aby po mém tahu bylo na stole 20 zápalek.

3. Jestliže je na hromádce 17, 18 nebo 19 zápalek, je to výhodné pro hrá e, který je na tahu (m že doplnit na 20). Když je jich tam 16, je to výhodné pro druhého hrá e.

4. Tzn., že budu hrát tak, aby po mém tahu bylo na stole 16 zápalek. Dále analogicky 12, 8, 4.

5. Existuje vít zná strategie pro druhého hrá e. Musí pokládat na st l zápalky tak, aby po jeho tahu byly postupn na stole 4, 8, 12, 16 a 20 zápalek.

Nejlépe zadat 10 minut p ed koncem hodiny. Student m dát k dispozici zápalky (párátka), aby ve dvojicích hráli hru a p išli na tuto strategii. Není nutné jim to prozradit hned na stejné hodin . Lépe, když se k tomu vrátíte na za átku další hodiny.

Problém . 3: Hrozen problém – po et tverc ve tvercové síti

Zadání: Ur ete celkový po et tverc ve tvercové síti o velikosti 4 × 4.

ešení: Ur íme po et tverc jednotlivých velikostí:

! po et tverc velikosti 1 × 1 ... 4 4 4² 16

! po et tverc velikosti 2 × 2 ... 3 3 3² 9

! po et tverc velikosti 3 × 3 ... 2 2 2² 4

! po et tverc velikosti 4 × 4 ... 1 1 1² 1 Celkový po et tverc ve tvercové síti 4 × 4 je 30.

Hrozen problém :

Ur ete celkový po et tverc ve tvercové síti 5 × 5.

Ur ete celkový po et tverc ve tvercové síti o velikosti n × n, kde

n N 0 .

Ur ete celkový po et trojúhelníku v trojúhelníkové síti 4 × 4 × 4.

Ur ete celkový po et trojúhelníku v trojúhelníkové síti n × n × n, kde

n N 0 .

Ur ete celkový po et krychlí v krychlové síti 4 × 4 × 4.

…

Necháme studenty experimentovat samotné a postupn jim p idáváme další úlohy.

Matematické bingo

Hra, kde je d ležité hlavn št stí a náhoda, takže p i ní mohou vyhrát i matematicky slabší jedinci. M že být použita na kterékoli u ivo, kde mohou být výsledky celá ísla.

Cíl: Procvi ování probrané látky zábavn jší formou.

as: Do 20 minut – záleží na po tu p íklad .

Pom cky: Karty na bingo, p ipravené p íklady na karti kách (výsledky by m ly být z oboru 1–40 – dle po tu p íklad ).

Organizace: Každý student dostane, nebo si na rtne do sešitu tvercovou sí o velikosti 5 × 5 (4 × 4, 3 × 3). Zvolte velikost podle toho, jak chcete aby hra dlouho trvala – k tomu samoz ejm p izp sobte po et p íklad . Do polí ek má každý náhodn vepsat ísla od 1 do 40 (podle po tu p íklad ). Žádná se nesmí opakovat.

Popis: U itel postupn vytahuje p íklady, které má napsané zvláš na karti kách. Nap íklad probírají pravidla p i po ítání s mocninami a u itel má p ipravené p íklady typu:

3 ^{2 1}; atd. Studenti si výsledky vyškrtávají z tvercové sít . První, kdo má vyškrtaný ádek, sloupec nebo úhlop í ku vyhrává.

Zásady: M že se hrát i o druhé, t etí místo.

Volit takové p íklady, které student m nebudou d lat velký problém. M že se stát, že u itel musí improvizovat a vymýšlet další p íklady, protože se studenti nemohou výsledk dopo ítat.

Reflexe: Hra je velmi oblíbená na základní škole, nesmí ale trvat moc dlouho. Je ale vhodná i na st ední školu.

Kdo d ív

Cíl: Procvi ování probrané látky zábavn jší formou.

as: Dle náro nosti úlohy (ne krátká a p íliš jednoduchá).

Pom cky: Tabule s pohyblivými „k ídly“.

Organizace: Jeden student zezadu u tabule, ostatní v lavicích – samostatná práce.

Popis: Jak student u tabule, tak studenti v lavicích eší stejnou úlohu, která se týká probíraného u iva. Když n kdo ve t íd dojde k výsledku, stoupne si v lavici. Když skon í student u tabule, oto í ji ke spolužák a zkontroluje, zda byl n kdo

p ed ním. Když nestojí alespo polovina t ídy, tak vyhrál a u itel mu m že ud lit známku. V opa ném p ípad vyhrává t ída.

Zásady: Pe liv vybírat studenta, který bude po ítat u tabule. Ne všichni snesou neúsp ch. M žeme vybrat nap íklad velmi sebev domé jedince (E. Krej ová, 2001 [9]).

Nevybírat studenta, u kterého víme, že nebude schopen úlohu vy ešit. Hra se jist hodí i na st ední školu.

Chy te je

Cíl: Procvi ení probrané látky zábavn jší formou.

as: Do 20 minut – podle po tu úloh.

Pom cky: Po íta , projektor, úlohy v elektronické podob (tak aby bylo možno úlohy postupn odkrývat, ale p edcházející tam z staly).

Organizace: Skupinová práce – skupiny po 3–5 žácích.

Popis: U itel promítne na tabuli první p íklad, který se týká probraného u iva. Studenti se ho ve skupin snaží spo ítat.

Spo te-li n která skupina správn , u itel odkryje ešení a druhý p íklad. Nikdo nesmí po ítat p íklad následující, pokud nemá ten p edchozí.

Skupina, která bude mít spo ítáno vše správn a jako první, vyhrává.

Zásady: Na konci by m la následovat reflexe práce ve skupinách.

Reflexe: Hra je vhodná i na st ední školu.