Svar p˚ a uppgifterna i del A (uppgifter 1 - 20) och del B (uppgifter 21 - 30) l¨ amnas in p˚ a utdelat svarsformul¨ ar. Den fullst¨ andiga l¨ osningen till uppgiften i del C l¨ amnas in p˚ a utdelat l¨ osblad.

Chalmers tekniska h¨ ogskola Matematik- och fysikprovet

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov 2010 - MATEMATIK

2010-05-08, kl. 9.00 - 12.00 Skrivtid: 180 min

Inga hj¨ alpmedel till˚ atna.

Svar p˚ a uppgifterna i del A (uppgifter 1 - 20) och del B (uppgifter 21 - 30) l¨ amnas in p˚ a utdelat svarsformul¨ ar. Den fullst¨ andiga l¨ osningen till uppgiften i del C l¨ amnas in p˚ a utdelat l¨ osblad.

A. Markera r¨ att svar genom att ringa in r¨ att svarsalternativ p˚ a svarsfor- mul¨ aret. (1p f¨ or varje r¨ att svar; OBS! Endast ett r¨ att svar per uppgift.)

1. Om a = 1, b = −2, och x = a

√

ab + b

+ 2, s˚ a g¨ aller

(a) x = ±2; (b) x = 2; (c) x = −2; (d) inget av (a)-(c).

2. Om U = 6

9 − x

+ 1

x − 3 + 1

x + 3 , s˚ a g¨ aller f¨ or alla x 6= ±3 att (a) U = 0; (b) U = 2

x + 3 ; (c) U = 2

x − 3 ; (d) inget av (a)-(c).

3. Om a > √

b, a

= b + 1 och U =

q a − √

b − q

a + √ b



, s˚ a g¨ aller (a) U = a ± 1; (b) U = 2a ± 2; (c) 2a − 2; (d) inget av (a)-(c).

4. Alla l¨ osningar till olikheten 1 x − 1

x + 1 > 0 ges av

(a) alla reella tal x s˚ adana att x 6= 0, x 6= −1;

(b) alla positiva tal x;

(c) alla reella tal x s˚ adana att x < −1;

(d) ingen av m¨ angderna (a)-(c) ger alla l¨ osningar.

5. Summan av alla heltal som ¨ ar l¨ osningar till olikheten x

− 7x + 10 < 0 ¨ ar (a) 14; (b) 7; (c) annat tal; (d) det finns inga heltalsl¨ osningar.

6. Om m
n = m(n − 1) f¨or alla heltal m och n, s˚ a g¨ aller att 7
(3
12) ¨ar lika med

(a) 224; (b) 154; (c) 231; (d) annat svar.

7. Ekvationen x

+ bx + c = 0 har f¨ or c < 0 (a) tv˚ a olika reella l¨ osningar;

(b) endast en reell l¨ osning;

(c) inga reella l¨ osningar;

(d) man kan inte dra n˚ agon av slutsatserna (a)-(c).

8. Ekvationen ax

+ bx + c = 0 har f¨ or c < 0 (a) tv˚ a olika reella l¨ osningar;

(b) endast en reell l¨ osning;

(c) inga reella l¨ osningar;

(d) man kan inte dra n˚ agon av slutsatserna (a)-(c).

9. Alla reella l¨ osningar till ekvationen ln x + ln (x + 1) = 0 ges av (a) x

= −1 ± √

5

2 ; (b) x = −1 + √

5

2 ;

(c) ekvationen har inga reella l¨ osningar; (d) inget av (a)-(c).

10. F¨ or alla positiva tal x g¨ aller att (a) ln 1

x = 1

ln x ; (b) ln 1

x = 1 − ln x;

(c) ln 1

x = ln (−x); (d) inget av (a)-(c).

11. L¨ osningen till ekvationen e

= √

2 − 1 ges av (a) ln 1

√ 2 + 1 ; (b) 1

2 ln 2 − 1; (c) 1

2 ln 2; (d) annat tal.

12. Om α ¨ ar vinkel i en triangel och sin α = 2

3 , s˚ a g¨ aller att cos α ¨ ar lika med (a)

√ 5

3 ; (b) −

√ 5

3 ; (c) annat tal; (d) kan ej avg¨ oras.

13. Om α ¨ ar vinkel i en triangel och cos α = 2

3 , s˚ a g¨ aller att sin α ¨ ar lika med (a)

√ 5

3 ; (b) −

√ 5

3 ; (c) annat tal; (d) kan ej avg¨ oras.

14. Om sin α = p, och π

2 < α < π s˚ a g¨ aller att tan α ¨ ar lika med

(a) p

p1 − p

; (b) − p

p1 − p

; (c) ± p

p1 − p

; (d) annat svar.

15. Likheten | xy| = −x| y| g¨ aller

(a) f¨ or alla x ≥ 0; (b) f¨ or alla x ≤ 0; (c) aldrig; (d) annat svar.

16. Summan av de reella l¨ osningarna till ekvationen | | x − 1| − 1| = 3 ¨ ar (a) 4; (b) 2; (c) annat tal; (d) det finns inga reella l¨ osningar.

17. Det ¨ ar inte sant att

(a) Varje kvadrat ¨ ar en parallellogram.

(b) Varje rektangel ¨ ar en parallellogram.

(c) Varje romb ¨ ar en parallellogram.

(d) Varje parallelltrapets ¨ ar en parallellogram.

18. En rektangel har diagonall¨ angd 8 l¨ angdenheter. Om rektangelns omkrets

¨

ar 24 l.e., s˚ a ¨ ar dess area

(a) 32 areaenheter; (b) 40 areaenheter; (c) annat tal;

(d) det finns ingen s˚ adan rektangel.

19. H¨ ojden mot basen i en likbent triangel ¨ ar 7 l¨ angdenheter l˚ ang. Om trian- gelns omkrets ¨ ar 18 + 8 √

2 l.e., s˚ a ¨ ar dess area (a) 56 √

2 areaenheter; (b) 28 √

2 areaenheter; (c) annat tal;

(d) det finns ingen s˚ adan triangel.

20. Givet triangeln ABC med sidl¨ angder |AB| = c, |BC| = a, |CA| = b, l˚ at h

vara l¨ angden av h¨ ojden mot sidan AB. D˚ a g¨ aller

(a) h

= p(2a + 2b − c)(2a − 2b + c)(2b + 2c − a)(a + b + c)

2c ;

(b) h

= pabc (a + b + c)

2c ;

(c) h

= p(a + b + c)(a + b − c)(a − b + c)(b + c − a)

2c ;

(d) h

= pab (a + b + c)

2c .

B. L¨ os uppgifterna nedan; ange endast svar p˚ a svarsformul¨ aret. (2p f¨ or varje r¨ att svar)

21. Ber¨ akna

1 2

−

2 7

+

.

Ange svaret p˚ a formen

, d¨ ar p, q ¨ ar heltal och br˚ aket

¨ ar maximalt f¨ orkortat.

22. Ange den minsta l¨ osningen till ekvationen 3x

+ 4x − 17 = 0.

23. Givet funktionen f (x) = tan x

1 + x

, ange f

(1).

24. Ber¨ akna R

0

(sin (π − x) + e

) dx.

25. Ange summan av kvadraterna p˚ √ a de l¨ osningar till ekvationen 1 − cos x + √

1 + cos x = √

3 som ligger mellan −π och π.

26. Ange summan av alla heltalsl¨ osningar till olikheten 8

3

− 2 ≥ 3

.

27. Det reella talet a ¨ ar s˚ adant att funktionen f (x) = ax

+ a

x

− x + 1 har lokalt maximum f¨ or x = −1. Ange det v¨ arde p˚ a a, f¨ or vilket detta lokala maximum ¨ ar minst.

28. En triangel har sidl¨ angderna 3, 5 och 7 l¨ angdenheter. Ange cos γ + sin γ, d¨ ar γ ¨ ar den st¨ orsta vinkeln i triangeln.

29. En cirkel tangerar en r¨ at linje i punkten A. Punkten P p˚ a cirkeln projiceras vinkelr¨ att p˚ a linjen p˚ a punkten Q. Om |P Q| = 3 l¨ angdenheter och |AQ| = 4 l¨ angdenheter, best¨ am cirkelns radie.

30. Fyrh¨ orningen ABCD ¨ ar en parallellogram, i vilken diagonalen BD ¨ ar lika l˚ ang som sidan AB. Punkten F p˚ a sidan CD ¨ ar s˚ adan att |BF | = |BC| =

|F D|. Best¨ am parallellogrammens vinklar och ange vinkel ∠ABC.

C. Ge fullst¨ andig l¨ osning till uppgiften nedan. (max 5p)

Finn alla reella l¨ osningar till ekvationen

√ 15x + 1 − 2 = √

x

− 6x + 9.